Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 7 - Trường ĐH Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh

Bài này cung cấp co người học những kiến thức cơ bản về chuỗi số, chuỗi luỹ thừa. Nội dung trình bày gồm có: Khái niệm chuỗi số, chuỗi không âm, chuỗi có dấu tuỳ ý, hội tụ tuyệt đối, chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi luỹ thừa, bán kính và miền hội tụ. Mời các bạn cùng tham khảo.

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích 2 Chương 7 Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa.

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Nội dung

-Khái niệm chuỗi số.

Chuỗi có dấu tuỳ ý Hội tụ tuyệt đối.

– Chuỗi không âm.

- Chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz.

Chuỗi luỹ thừa Bán kính và miền hội tụ.

II Chuỗi không âmĐịnh nghĩa chuỗi không âm

Chuỗi số không âm là chuỗi

Với chuỗi không âm, dãy tổng riêng là dãy không giảm

Vậy chuỗi không âm hội tụ khi và chỉ khi bị chặn trên

n

S

      dãy tổng riêng của

bị chặn trên, vậy chuỗi hội1

n n

a







dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 3

Tiêu chuẩn d'Alembert



2) D  1:chuỗi phân kỳ

Tiêu chuẩn Cô si

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

(

11

))

n

n n

  HT theo t/c Cô si

n a

 

Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn d'Alembert

1 1

2 5 8 (3( ) 2)

2 ( 1)!

11

 

Chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn d'Alembert

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi / 2

1

, 0(ln( 1))n

n

n n

ln( 1)

n n



Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si với mọi 

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

3

1

1cos

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

3 1 1

11

n n

n

n n

1

n n n

n

n

n a

Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2

1 1

23

3

n n

n

n n

1lim lim 3 3 1

3

n

n n n

II Chuỗi có dấu tuỳ ý Hội tụ tuyệt đối.

Định nghĩa hội tụ tuyệt đối

Chuỗi gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi hội

1

n n

a







Theo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ

Mệnh đề ngược lại không đúng: có những chuỗi hội tụ,

nhiên chuỗi của trị tuyệt đối không hội tụ

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 3 7

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 4 6

n a

II Chuỗi đan dấu Tiêu chuẫn Leibnitz.

Định nghĩa chuỗi đan dấu

hoặc gọi là chuỗi đan dấu

Định nghĩa chuỗi Leibnitz

Chuỗi đan dấu gọi là chuỗi Leibnitz, nếu:

II Chuỗi đan dấu Tiêu chuẫn Leibnitz.

Định lý (Leibnitz)

Chuỗi Leibnitz hội tụ Tổng của chuỗi này thoả 0 | | S  a

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

( 1)

( 1)2

  là dãy giảm Đây là chuỗi Leibnitz và hội tụ

dụ Khảo sát sự hội tụ của

n a

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Điều kiện cần khoâng Phân kỳ thô

Chuỗi dương

có

có

Sử dụng các tiêu chuẩnhội tụ của chuỗi dương

a





 có HT tuyệtkhông

Đ/nghĩa, các

t/chuẩn khác

II Chuỗi luỹ thừa.

Định nghĩa chuỗi luỹ thừa

Chuỗi luỹ thừa là chuỗi 0

Tập hợp các giá trị của x, khi thay vào chuỗi (1) hoặcđược chuỗi số hội tụ, gọi là miền hội tụ của (1) hoặc (2

đề Abel

Nếu chuỗi hội tụ tại , thì nó hội tụ tuyệt đối

0

n n n

Định lý (dấu hiệu d'Alembert để tìm bán kính hội tụ)

Cho chuỗi Giả sử và

0

n n n

Định lý (dấu hiệu Côsi- Hadamard tìm bán kính hội tụ)

Cho chuỗi Giả sử

0

n n n

dụ Tìm bán kính và miền hội tụ của

hội tụ theo Leibnitz

Miền hội tụ của đã cho 1 x  1

có chuỗi số1

dụ Tìm bán kính và miền hội tụ của

x n

X  

1

5 ( 2)( 1)

dụ Tìm bán kính và miền hội tụ của 2

dụ Tìm miền hội tụ của

1

( 1) 3 - 2

ln (1)

3 21

n

n

n n

n

n n

a X n

n n

n

n n n

n

n

n n n

Miền hội tụ của (1) 1  x 1 1  2  x  0

dụ Tìm miền hội tụ của

X  

1

2 1 2 1( 1)n

Tính chất của chuỗi luỹ thừa

Tổng của chuỗi luỹ thừa là một hàm liên tục trênmiền hội tụ của nó

Trong khoảng hội tụ: Đạo hàm của tổng bằng tổng

n n

dụ Tính tổng của

2

1 1

2

5

n

n n

875 2

81 5

n

n n

Nhân hai vế cho x, đạo hàm hai vế ta được:

Số hạng cuối cùng tính trực tiếp, số hạng thứ hai tính

III Chuỗi Taylor Maclaurint.

Định nghĩa chuỗi Taylor

Hàm có đạo hàm vô hạn lần trong lân cận của

( )

0

0 0

điểm x0 Chuỗi gọi là chuỗi Taylor

của hàm y  f x( ) tại lân cận của x0

Chuỗi Taylor trong lân cận của x0  0gọi là chuỗi Maclaurint

III Chuỗi Taylor Maclaurint.

Định lý

Nếu hàm y  f x( ) cùng các đạo hàm mọi cấp của nó bị

chặn trong lân cận của điểm x0 , tức là tồn tại số thực M,

trong lân cận của x0 ta có ( n N), f ( )n ( )x  M

( )

0

0 0

( )( ) ( )

n

Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng:

n

x e

n

1

( 1)2) ln(1 )

n

x x

n

x x

16)

 

2 1 0

n

x x

n

0

( 1) ( ( 1))5) (1 )

n Miền hội tụ: R

dụ Tìm chuỗi luỹ thừa của hàm y  ln(2 3 ) x

trong lân cận của x 0 1

3 / 5

n n

n

X f

n

n n

x n

dụ Tìm chuỗi luỹ thừa của hàm y 22x 1

dụ Tìm chuỗi Maclaurint của hàm 1 2 , | | 1

n

n

x x

1

1

1

n n

nx x

dụ Tính tích phân

1 0

n

x n

dụ Tính tích phân

1 0

1ln

1

1 0

n

n

x dx n

dụ Tính tổng của 2

2

( 1)

2

n n

Tích phân: 1) Tích phân kép: toạ độ Đềcác, toạ độ cực; ứng

dụng hình học của tích phân kép (diện tích, thể tích, diện tích

mặt cong)

Tích phân bội ba: toạ độ Đềcác, toạ độ trụ, toạ độ cầu Ứng

dụng hình học: tính thể tích vật thể.

Tích phân đường: Tích phân đường loại một trong mặt phẳng

trong không gian Ứng dụng hình học: tính độ dài cung, diện

tích mặt cong.

Chuỗi luỹ thừa: bán kính hội tụ, miền hội tụ Dùng chuỗi

thừa để tính tổng của chuỗi số.

Chuỗi Taylor, Maclaurint: tìm chuỗi Taylor, Maclaurint của hàm

= f(x), ứng dụng để tính tổng của chuỗi số, tính tích phân.

Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút.

5 Sử dụng tích phân bội ba, tính thể tích vật thể giới hạn bởi

n

n n







