Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 6 - Trường ĐH Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 6: Tích phân mặt cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân mặt loại 1, ứng dụng của tích phân mặt loại 1, tích phân mặt loại 2. cuối bài giảng có thêm phần bài tập vận dụng giúp sinh viên có thể ôn tập và củng cố kiến thức đã học.

Trường Dai hoc Bách khoa tp Hỗ Chí Minh

Bộ môn Toán Ưng dụng

Giải tích hàm nhiều biên

Giảng viên Ts Dang Van Vinh (4/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

lích phân mặt loại 1

1) Định nghĩa : Cho hàm / (x, w, z) xác định

trên mặt cong S chia mat cong thành # phần không trùng lấp nhau , ký hiệu là

S],S89,83, 8, Ciọi đ7(S;) là diện tích của

mặt cong Š;, trên mdi mat cong S; ta chon

mét diém tty ¥ M;(x;, v;,2;) Thiét lap tong

Hi

Ly — » ƒ(%X¿, Vj, 2; )-dt(S;)

i=]

Xét lim 7„., nếu giới hạn này tồn tại hữu

?†—> GO

hạn , không phụ thuộc cách ta chia mặt cong

Ÿ và cách chọn điểm tùy ý Ä⁄Z;(x; w;, z;) thì

giá trị giới hạn ấy gọi là tích phân mặt loại l

cửa hàm (+, y, z) lấy trên miền S va ky hiéu

`

là

I= || f(x,y, 2) ds

S

2)Tính chất: tương tự như tích phân đường 1

3) Cach tinh :

*®) Nếu phương trình của mặt cong Š cho bởi

Z = 2(x, y)

Tương tự ta có thệả chiếu xuống các mắt phaung còn lại

Nếu phương trình cửa mặt cong Š cho bởi

y=W(x,z), Dy; là hình chiếu của Š xuống

mặt phẳng Óxz thì

*)Néu phương trình cửa mặt cong S cho

bởi x = x(y,Z), Jy; là hình chiếu cửa 8

xuống mặt phẳng Óyz thì

Chú ý : Nếu hình chiếu cuơa Š xuống maẻt phẳng Oxy chœ là một đường cong (trường hợp này xaơy ra khi S lao moat mắt trui song

song với trục Oz ) thì phaơi chiếu Š xuống các

mắt phating toia độ khác , không được chiếu

xuống Oxy

z= x24 y?

dy =

|| Wx? + v2} I 2dxdy _Dg

Vidu :Tinh || z ds trong

S

đó § là phần cửa mặt

paraboloid z= 2-x“—yˆ trong miền z >0

z=2-x —

Ví dụ : Tính tích phân Ï[x“ + v2 ds , trong

Ss

đó % là nửa trên của mặt cầu x? ty? +27 =R?

, lay phan z>0

Hinh chiéu ctia S xu6ng mat phang Oxy 1a

2

hinh tron x ty? <R?, phương trình của mặt sS

la z= \J\R2—x2— y2,

OZ

[fx + y- ds =

»

Ví dụ: Tính || x+ +2 ds trong dé S cho

S

bédi x+ y+z2=1, z>0,x=0,y2=0

Ví dụ: Tính || x+ +2 ds trong dé S cho

S

bởi x+ + z =1, z>0,x>0,y>0

Vidu: Tinh || x+ y+ z ds trong đó S là

S

mặt xung quanh hình chóp cho bởi

x+y+Z<l, z>0,x>0,y>0

Ví dụ: Tính || x+ y+ z & trong đồ S là

Ss

mặt xung quanh hình chóp cho bởi

x+y+Z<l, z>0,x>0,y>0

Mặt S gồm có bốn mặt của tứ diện OABC

Tích phân Ï; trên mặt AB€ đã tính trong vi

dụ trước Ta tính tích phần trên các mặt còn

lai OAB, OBC , OCA

L kL 1L

Trén mat OAB , phuong trinh cla mat 1a

z=6, hình chiếu của mat xu6ng Oxy 1a

chính tam giác OAB

4) Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 :

*®) Tính diện tích mặt cong 8: || 1a

Ví dụ : Tính diện tích nửa trên mặt cầu bán

kính & và diện tích toàn bộ mặt cầu

Ví dụ : Tính diện tích của mặt cong S,

trong đó S là phân của mặt paraboloid z=2-x“_—y^ lấy trong phần 0 <z< 1

| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai

Định nghĩa mặt hai phía

Cho mặt cong S có biên là đường cong kín C

Di chuyển pháp vécto của S từ một điểm A nào đó theo một đường cong tùy ý không cắt biên C Nếu khi quay lại

vị trí xuất phát, pháp vécto không đối chiêu thì mặt cong S

được gọi là mặt hai phía

Trong trường hợp ngược lại, pháp vectơ đối chiêu thì mặt cong S được gọi là mặt một phía

Cac vi du

Mặt tờ giây, mặt quả câu, mặt bàn, mặt nón, là những ví dụ về

mặt hai phía

| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai

Định nghĩa mặt định hướng

S là mặt cong hai phía

Nêu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía còn lại

là âm thì mặt S được gọi là mặt định hướng

Chú ý Pháp véctơ của mặt định hướng luôn được chọn theo qui tac sau:

Khi đứng lên phía dương của mặt định hướng thì pháp

véctơ đi từ chân lên đâu

Vi du

Tìm pháp véctơ của mặt nón Z=^j xˆ+ y tại A(1.1, V2

biết mặt nón được định hướng phía dưới nhìn theo hướng

Vi du

Tìm pháp véctơ của x°+y° +z =4 © tai AÍI 0,3)

biết mặt câu được định hướng phía ngoài

Phương trình : F(X, y,Z) =4- xˆ— y -Z =0

†

Phap vécto n= Ge ¬ F,) =(-2x,~2y,~22)

S định hướng phía ngoài nên: n= (2x 2y, 22)

Pháp véctơ tai diém A: n= (2 0,243

Phia ngoagi

Phia trong

| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai

Pháp vécto đơn vị của mat S la: N=(cosa@,cos f,cos 7)

Tích phân mặt loại một ƒ = {j(Pcosa@ + Qcos 8 + Reos y) ds

| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai

Cách tính

Vì tích phân mặt loại hai là tích phân mặt loại một nên ta

có thê sử dụng cách tính tích phân mặt loại một

Pháp véctơ đơn vị phức tạp, ta có cách tính sau:

[ = || Pd/dz+ (dxdz+ Rdxdy = [[ Pdydz+ j[ Qdxdz+[[ Rdxdy

4) Cách tính: 72: = jj R(x, y,z)dxdy

S

Dâu cộng nêu pháp véctơ tạo với chiêu dương 0z

một góc nhọn, ngược lại dâu trừ.

Chú ý : Nếu hình chiếu cuơa Š xuống một mắt phẳng tọa độ nào đó (ví dụ mašt phẳng Oxy) chœ lao moat đường cong (trường hợp này xaơy ra khi S lao moat mắt trui song song véui truic Oz ) thi tich

phaan té6ng dung véui catic biedn vi phadn cufa mắt

phẳng đó bằng không

Tương tự cho cách tính các tích phân

S

( chiếu xuống mặt phẳng Øyz , biểu diễn

phương trình mặt cong S theo x = X(,Z)

trong do S la phan mat phăng X+ y+Z=3 năm trong hình

trụ xˆ + yˆ =2x, phía dưới theo hướng trục 0z

-| -] Si v3 43 43

trong do S la phan mat z = x? + y’, bi cắt bởi mặt phăng

x+Z= 2, phía dưới theo hướng trục 0z

5) Cơng thức Ostrogratxki-Gauss :

Cho Š là mặt kín, lấy hướng ra phía ngồi

V là vật thể được bao quanh bởi S, nếu

các hàm ?(x, y,Z),O(x, y,Z), R(X, w, Z) và các

đạo hàm riêng của nĩ liền tục trên miền Ƒ

rtích phaan maết loại 2

(ich phaan boar 3 ha

[| PQ, », 2) dvdz+ Ox, y, z)dxdz+ R(x, y, 2) dedy

S

Vidu : Tinh tich phân

{| 2° dydz + xdxdz—zdxdy

S

Trong đó S là mặt xung quanh , hướng

phía ngoài của vật thể giới hạn bởi các mặt

z=4-y^,z=0 ,„ x=l, x=0

Diing céng thifc Ostrogratxki-Gauss ta có

{| 2° dydz + xdxdz— zdxdy =

S

Ví dụ : Tính tích phan

l[(y+z)dv& + (x— z)dxđ&z + (z +1) dvẩy

S

trong đó Š là mặt hướng phía trên của nửa

trên mặt cầu x 4 yp? 427 = RY, Z20

Công thức Ostrogratxki-Gauss viết

Công thức viết dưới dạng vectơ

I = || P(x.y.,z)dvdz+ O(x, y,z)dxdz+

Cơng thức Stokes :

| P(x, y,z)dx+ O(x, y,Z) đy+ R(x, y,2) đz

i E - dydz+ (= F°\ trae+ | =) dedy

ch phân mat loạ 2

Vi du

Tính J =fi(3x- yˆ)dx+(3y-Z)d+(3z- xˆ)dz

C

trong đó C là giao của mặt phắng 2x+Z=2 và mặt

paraboloid z = x“ + yˆ ngược chiêu kim đông hô theo

Chọn S là phân mặt 2x + z = 2

năm trong paraboloid

Chọn phía trên của mặt S

Pháp véctơ đơn vị của S

n.=|-E.0,—= v5 V5

Chuyén vé tich phân mặt loại hai

I =I(3x— yˆ)d‹+(3y— Zˆ)dy+(3z— xˆ)dz

Vi du

Tinh [ =[Ïj(x + y)dx+(2x- Z)dy+ ydZ

C

trong đó S là giao của mặt phăng z= v“ va mat paraboloid

x2 + y2 = l ngược kim đông hô theo hướng của trục 0z

Chuyén vé tich phân mặt loại hai

[ =[Ïj(x + y)dx+ (2x—- Z)dy+ ydz

DE THI HOC KY 2 NAM HOC 2002-2003

Môn học: Toán3 Noày thị: 1606/2003 Thời gian làm bài: 90 phút

* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ và LAM TRUC TIẾP LÊN ĐỀ THI

* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 7 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)

* Sinh viên TỰ ĐIỀN vào bắng sau Nếu KHÔNG ĐIỀN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ

| Ma sé sinh vién Chữ ký giấm thị 2

Câu 1 : Tìm vi phân cấp 1 và 2 của hàm 2 biến z = (z + w)* tai diém A(2, 0)

Câu 2 : Tìm tất cả các cực trị của hàm 2 biến z(z.) = ð — 3z — 4, với điều kiện z? + ° = MẺ

Câu 3 : Tính diện tích S miền hình phẳng D = {(z.) e FỶ : z?+? < My: z <g: —z <9}

Công thức tính S (dạng tích phân lặp): _——————-—_-—_- : S=

truc Oz) ctia paraboloid z = 2? + ˆ nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = MI

Tinh a = 4 (div F)(A), voi F=2’yi ty’27 +k, O(0,0,0), A(1,2,M), | =0A

8

CHU NHIEM BO MON

DE THI HOC KY 2 NAM HOC 2004-2005

Môn học: Toán3 Ngày th: 16/06/2005 Thời gian làm bài: 90 phút

* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ va LÀM TRỰC TIEP LEN DE THI

* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 7 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)

* Sinh viên TỰ ĐIÊN vào bảng sau Nếu KHÔNG ĐIÊN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ

_ Mã số sinh viên Chữ ký giám thị 2 |

Câu 1 : (2đ) a Cho z = 2(z,y) 1a ham ẩn xác định bởi phương trình 2z? + 2y? + z— 3zuz — 2u+ 2 = 0

Tinh dz(zx, y),dz(0, 0)

b Viết khai triển Taylor của hàm ƒ(z z) = In(2zy+z?) tới cấp 2 tại lân cận điểm 1/¿(1, 1,0)

Câu 2 : (1đ) Tìm cực trị hàm ƒ(z.) = z + yỶ — 2+? — 4z — 2uˆ với z > 0

Câu 3 : (1.5đ) Thực hiện phép đổi biến thích hop, dat can va tinh J = I ydrdy véi

D

D={(z,y) :(t-1)°+(y-3)° $9,y >3)

Đổi biến:

Dat can: XE

Câu 4 : (1đ) Gọi Š là diện tích phần mặt phẳng z = 5(z + y) được giới hạn bởi mặt cong z = 2° + y”,

Viết công thức tích phan LAP tính Š với miền và hàm đã cho ở trên Từ đó, tính Š

TRINH BAY LOI GIAI CHI TIET CAU 6 VA CAU7 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY

Cau 6: (1.5d) Tinh J = [ (e7ˆ + zụ)dz + (cosụ + z?)dụ với Œ là biên của tam giác 4C có hướng

CUNG chiều kim đồng hổ, với 4(1, 1), B(2,2), C(4 1)

Câu 7 : (1.5đ) Tính ï = || rzdydz + yzdzdx + rdrdy véi S 1a mat trong của vật thể xác định bởi

S ety? +27 < 64, z>0 8 ˆ A A

CHU NHIEM BO MON

S la bién cua vat thé nén S kin

| =({] xzdydz+ yzdxdz+ xdxdy = —|j i(P, +Q + lkdyœ

DE THI HOC KY 2 NAM HOC 2005-2006

Môn học: Toán3 Thời gian làm bài: 90 phút

* Sinh viên shi họ tên, nhóm, mã số sinh viên đây đủ va LAM TRUC TIẾP LEN DE THI

* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 7 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)

* Sinh viên TỰ ĐIỂN vào bảng sau Nếu KHÔNG ĐIỀN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ

(1.0 đ) Gọi Š là diện tích phan mat paraboloid z + z? + ? = 4 nằm trong hình trụ z? +? = 1

Viết công thức ở dạng tích phân lặp với cận và hàm cụ thể để tính 5 Từ đó tính Š

Kết quả: Công thức _—~~~~~~~~~~~—~~~=——~ 7 cam

(1,54) Cho J = [ zdi với Œ làphần tư đường tròn z? + y? = 9 lấy phần z < 0: > 0 Đưa về

C

tích phân xác định với hàm và cận cụ thể Từ đó, tinh J

Kếtquả: Tích phân xác định _ : fF «&

1.0 đ) Tìm hàm h(y) 109 ý) với hỊ) véi h(1) = 1 dé tich phan đường Ï = phân đường J = [ =2" -ử —— — dy — —— (2? + 1)3 dr

không phụ thuộc đường đi từ 4 đến Ö Với h(¿) tim dude, tinh J néu A(—1, 2); B(1,6)

Kết quả: h(u) = ~~~~~~~~~==—= ——‡ Ï= T _—_————————————

TRINH BAY LOI GIAI CHI TIETCAU 7 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY

Câu 7 : (1,5 đ) Tính tích phân mặt loại hai J = II adydz + (4y + 1)drdz + zdxdụ với S là phần hữu

S$

hạn của mặt zˆ + = z bị cắt bởi mặt phẳng z = 2z, phía trên nhìn từ hướng dương Óz

Chú ý: Š không kín; pháp vếctơ của Š tạo với chiều dương Óz một góc luôn nhọn

CHU NHIEM BO MON

DE THI CUOI HOC KY 2 NAM HOC 2006-2007 Môn học: TOÁN 3 Thời gian làm bài: 90 phút

Noày thi: 18/06/2007

* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ va LAM TRUC TIEP LEN DE THI

* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 8 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)

ĐỀ 2314 Câu 1 : Cho z = z(z.) là hàm ẩn xác định bổi phương trình “ = ai “ +4 Tính đz(z.) dz(0 1): zy

Kétqua: de(z,y)= :đz(0, 1) =

Câu 2 : Cho hàm số ƒ(z.) = 2# — 3z + 2u + (a — 1)z + (b+ 4)y+c Tìm a,b,c để hàm có cực

tiểu tại điểm 1⁄(1,1), với ƒ(1, 1) = 0

Kếtquả:a= ‘i= ._ | ee

1 vine Câu 3 : Đối thứ tự lấy tich phan trong tich phan kép sau: J = | dx ƒ(+z u)dụ

0 (1-2)?

Két qua: J =

Câu 4 : Tính diện tích S phan mat z = x? + ˆ nằm trong hình trụ z? + y? = 1, trong sóc phần tám thứ

TRÌNH BAY LOI GIAI CHI TIET CAU 7 VA CAU 8 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY

Câu 7 : Cho tích phân đường Ï = [ (2ye™¥ + e* cosy)dx + (2xe¥ — e™ sin y) dy

C

a) Tìm hằng số œ để ï không phụ thuộc đường đi

b) Với a ở câu a), hãy tính 7, biết Œ là cung tuỳ ý nối 4(0.z) và B(1.0)

bộ

mặt 2? +? + z? =4, z= V22 +

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

Nội dung ôn thi học ky nam 2007-2008

1 Dao hàm riêng và ứng dụng: Cách tìm ĐHR cấp 1, cap 2

của ham f = f(x,y), ham hop, ham an, dao ham theo hướng,

vécto Gradient

2 Ung dụng của DHR: Taylor, cuc tri tu do, cuc tri có diéu

kién, gia tri lén nhat, gia tri nho nhat, mat phang tiép dién, phap vécto

3 Tích phân kép: cách tính, tọa độ cực, tọa độ cực mở rộng

Ung dụng hình học: diện tích, thê tích, diện tích mặt cong

4 Tích phân bội ba: cách tính, tọa độ trụ, tọa độ câu Ứng

dụng hình học: thê tích

5 Tích phân đường loại một: cách tính, tích phân đường loại

một trong không gian: chú ý cách tham số hóa đường cong

trong không gian

6 Tích phân đường loại hai: cách tính, công thức Green, tích

phan khong phụ thuộc đường đi Chú ý: điêu kiện của định lý Green, điêu kiện tích phân không phụ thuộc đường đi

7 Tích phân mặt loại một: cách tính, ứng dụng tính diện tích mặt cong S

8 Tich phan mặt loại hai: cách tìm pháp véctơ mặt định hướng Cách tính: 1/ chuyên vê mặt loại một (nêu pháp véctơ đơn giản: mat phang); 2/ dung cong thirc Gauss — Ostrogradski): mat kin

Cong thirc Stokes: điều kiện sử dụng, dùng tính tích phần

đường loại hai trong không gian khi mà pt tham số khó viết