Giải tích cơ sở: Hàm thực và giải tích hàm

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần Khơng gian metric §1 Metric tập hợp Sự hội tụ Không gian đầy đủ Phiên chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy (Typing by thuantd ) Ngày 10 tháng 11 năm 2004 A Tóm tắt lý thuyết Khơng gian metric Định nghĩa Cho tập X = ∅ Một ánh xạ d từ X × X vào R gọi metric X điều kiện sau thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X: i d(x, y) ≥ d(x, y) = ⇔ x = y ii d(x, y) = d(y, x) iii d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác) Nếu d metric X cặp (X, d) gọi không gian metric Nếu d metric X thỏa mãn tính chất sau |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng thức tứ giác) Ví dụ Ánh xạ d : Rm × Rm → R, định 1/2 m (xi − yi ) d(x, y) = , x = (x1 , , xm ), y = (y1 , , ym ) i=1 metric Rm , gọi metric thông thường Rm Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x − y| Trên Rm ta có metric khác m |xi − yi | d1 (x, y) = i=1 d2 (x, y) = max |xi − yi | 1≤i≤m Ví dụ Ký hiệu C[a,b] tập hợp hàm thực x = x(t) liên tục [a, b] Ánh xạ d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C[a,b] a≤t≤b metric C[a,b] , gọi metric hội tụ Sự hội tụ Định nghĩa Cho khơng gian metric (X, d) Ta nói dãy phần tử {xn } ⊂ X hội tụ (hội tụ theo metric d, cần làm rõ) phần tử x ∈ X lim d(xn , x) = n→∞ Khi ta viết lim xn = x (X, d) n→∞ d xn → x xn → x lim xn = x Như vậy, lim xn = x (X, d) có nghĩa n→∞ ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ∈ N∗ , n ≥ n0 ⇒ d(xn , x) < ε Ta ý rằng, metric khác tập X sinh hội tụ khác Tính chất Giới hạn dãy hội tụ Nếu dãy {xn } hội tụ x dãy hội tụ x Nếu lim xn = x, lim yn = y lim d(xn , yn ) = d(x, y) n→∞ n→∞ n→∞ Ví dụ Trong Rm ta xét metric thơng thường Xét phần tử a = (a1 , , am ) dãy {xn } với xn = (xn1 , , xnm ) Ta có m (xni − )2 ≥ |xni − |, d(xn , a) = i=1 ∀i = 1, , m Từ suy ra: lim xn = a (Rm , d) ⇐⇒ lim xni = R, ∀i = 1, , n n→∞ n→∞ Ví dụ Trong C[a,b] ta xét "metric hội tụ đều" Ta có d xn → x ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ≥ n0 ⇒ sup |xn (t) − x(t)| < ε) a≤t≤b ⇐⇒ dãy hàm {xn (t)} hội tụ [a, b] hàm x(t) =⇒ lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] n→∞ Như vậy, lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] điều kiện cần để lim xn = x C[a,b] với metric n→∞ hội tụ Chú ý giúp ta dự đoán phần tử giới hạn Không gian metric đầy đủ Định nghĩa Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy (dãy bản) lim d(xn , xm ) = n,m→∞ hay ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε Tính chất Nếu {xn } hội tụ dãy Cauchy Nếu dãy {xn } dãy Cauchy có dãy hội tụ x {xn } hội tụ x Định nghĩa Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Ví dụ Không gian Rm với metric d thông thường đầy đủ Thật vậy, xét tùy ý dãy Cauchy {xn }, xn = (xn1 , , xnm ) d(xn , xk ) ≥ |xni − xki | (i = 1, , m) ⇒ lim |xni − xki | = 0, Vì lim d(xn , xk ) = n,k→∞ n,k→∞ nên ta suy dãy {xni }n (i = 1, , m) dãy Cauchy R, chúng hội tụ R đầy đủ Đặt = lim xni (i = 1, m) xét phần tử a = (a1 , , am ), ta có lim xn = a (Rm , d) n→∞ n→∞ Ví dụ Khơng gian C[a,b] với metric hội tụ d đầy đủ Giả sử {xn } dãy Cauchy (C[a,b] , d) Với t ∈ [a, b], ta có |xn (t) − xm (t)| ≤ d(xn , xm ) Từ giả thiết lim d(xn , xm ) = ta n,m→∞ có lim |xn (t) − xm (t)| = n,m→∞ Vậy với t ∈ [a, b] {xn (t)} dãy Cauchy R, dãy hội tụ Lập hàm x xác định x(t) = lim xn (t), t ∈ [a, b] Ta cần chứng minh x ∈ C[a,b] lim d(xn , x) = Cho ε > tùy ý Do {xn } dãy Cauchy, ta tìm n0 thỏa ∀n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε Như ta có |xn (t) − xm (t)| < ε, ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b] Cố định n, t cho m → ∞ bất đẳng thức ta có |xn (t) − x(t)| ≤ ε, ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b] Như vậy, ta chứng minh ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ≥ n0 ⇒ sup |xn (t) − x(t)| ≤ ε a≤t≤b Từ suy ra: • Dãy hàm liên tục {xn (t)} hội tụ [a, b] hàm x(t), hàm x(t) liên tục [a, b] • lim d(xn , x) = n→∞ Đây điều ta cần chứng minh B Bài tập Bài Cho không gian metric (X, d) Ta định nghĩa d1 (x, y) = d(x, y) + d(x, y) , x, y ∈ X Chứng minh d1 metric X Chứng minh d xn −→ x ⇐⇒ d xn −→ x Giả sử (X, d) đầy đủ, chứng minh (X, d1 ) đầy đủ Giải Hiển nhiên d1 ánh xạ từ X × X vào R Ta kiểm tra d1 thỏa mãn điều kiện metric (i) Ta có: d1 (x, y) ≥ d(x, y) ≥ d1 (x, y) = ↔ d(x, y) = ↔ x = y d(y, x) d(x, y) (ii) d1 (y, x) = = = d(x, y) + d(y, x) + d(x, y) (iii) Ta cần chứng minh d(x, y) d(x, z) d(z, y) ≤ + + d(x, y) + d(x, z) + d(z, y) Để gọn, ta đặt a = d(x, y), b = d(x, z), c = d(z, y) Ta có a ≤ b + c; a, b, c ≥ (do tính chất d) a b+c t ≤ hàm tăng [0, ∞) 1+a 1+b+c 1+t a b c ⇒ ≤ + 1+a 1+b+c 1+b+c b c ≤ + (đpcm) 1+b 1+c ⇒ d Giả sử xn −→ x Ta có lim d(xn , x) = d1 (xn , x) = d(xn , x) + d(xn , x) d Do đó, lim d1 (xn , x) = hay xn −→ x d Giả sử xn −→ x Từ lim d1 (xn , x) = d(xn , x) = d1 (xn , x) − d1 (xn , x) d ta suy lim d(xn , x) = hay xn −→ x Xét tùy ý dãy Cauchy {xn } (X, d1 ), ta cần chứng minh {xn } hội tụ (X, d1 ) Ta có lim d1 (xn , xm ) = n,m→∞ d1 (xn , xm ) − d1 (xn , xm ) ⇒ lim d(xn , xm ) = hay {xn } dãy Cauchy (X, d) d(xn , xm ) = n,m→∞ ⇒ {xn } hội tụ (X, d) (vì (X, d) đầy đủ) Đặt x = lim xn (trong (X, d)), ta có x = lim xn (X, d1 ) (do câu 2) n→∞ n→∞ Bài Cho không gian metric (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) Trên tập X = X1 × X2 ta định nghĩa d((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) Chứng minh d metric X (n ∈ N∗ ), a = (a1 , a2 ) Chứng minh Giả sử xn = (xn1 , xn2 ) d n d x −→ a ⇐⇒ a1 xn1 −→ n d2 x2 −→ a2 Giả sử (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) đầy đủ Chứng minh (X, d) đầy đủ Bài Ký hiệu S tập hợp dãy số thực x = {ak }k Ta định nghĩa ∞ d(x, y) = k=1 |ak − bk | , k + |ak − bk | x = {ak }, y = {bk } Chứng minh d metric X Giả sử xn = {ank }k , n ∈ N∗ , x = {ak }k Chứng minh d xn −→ x lim ank = ak , ∀k ∈ N∗ ⇐⇒ n→∞ Chứng minh (S, d) đầy đủ Bài Trên X = C[0,1] xét metric d(x, y) = sup |x(t) − y(t)| 0≤x≤1 |x(t) − y(t)| dt d1 (x, y) = d d 1 Chứng minh: (xn −→ x) ⇒ (xn −→ x) Bằng ví dụ dãy xn (t) = n(tn − tn+1 ), chứng minh chiều "⇐" câu 1) khơng Chứng minh (X, d1 ) khơng đầy đủ GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần Không gian metric Phiên chỉnh sửa - có phần bổ sung trước PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày tháng năm 2006 Nội dung mơn Cơ sở Chun ngành: Tốn Giải tích Phương pháp Giảng dạy Tốn Phần 1: Khơng gian metric Metric tập hợp Sự hội tụ Khơng gian đầy đủ Tập mở Tập đóng Phần trong, bao đóng tập hợp Ánh xạ liên tục khơng gian metric Các tính chất: • Liên hệ với hội tụ • Liên hệ với ảnh ngược tập mở, tập đóng • Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ đồng phơi Tập compắc Các tính chất bản: • Hệ có tâm tập đóng • Tính chất compắc hội tụ • Ảnh tập compắc qua ánh xạ liên tục Phần 2: Độ đo tích phân σ–đại số tập hợp Độ đo tính chất Các tính chất độ đo Lebesgue R (không xét cách xây dựng) Hàm số đo Các tính chất • Các phép toán số học, lấy max, hàm đo • Lấy giới hạn hàm đo (khơng xét: hội tụ theo độ đo, định lý Egoroff, Lusin) Tích phân theo độ đo Các tính chất (khơng xét tính liên tục tuyệt đối) Các định lý Levi, Lebesgue qua giới hạn dấu tích phân Phần 3: Giải tích hàm Chuẩn không gian vectơ Chuẩn tương đương Không gian Banach Ánh xạ tuyến tính liên tục Khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục (khơng xét ánh xạ liên hợp, ánh xạ compắc, nguyên lý bản) Khơng gian Hilbert Phân tích trực giao Chuổi Fourier theo hệ trực chuẩn Hệ trực chuẩn đầy đủ §1 Metric tập hợp Sự hội tụ Khơng gian đầy đủ Phần có thêm phần bổ sung trước Tóm tắt lý thuyết 1.1 Không gian metric Định nghĩa Cho tập X = ∅ Một ánh xạ d từ X × X vào R gọi metric X điều kiện sau thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X: i d(x, y) d(x, y) = ⇔ x = y ii d(x, y) = d(y, x) iii d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác) Nếu d metric X cặp (X, d) gọi không gian metric Nếu d metric X thỏa mãn tính chất sau |d(x, y) − d(u, v)| d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng thức tứ giác) Ví dụ Ánh xạ d : Rm × Rm → R, định 1/2 m (xi − yi ) d(x, y) = , x = (x1 , x2 , , xm ), y = (y1 , y2 , , ym ) i=1 metric Rm , gọi metric thông thường Rm Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x − y| Trên Rm ta có metric khác m |xi − yi | d1 (x, y) = i=1 d2 (x, y) = max |xi − yi | i m Ví dụ Ký hiệu C[a,b] tập hợp hàm thực x = x(t) liên tục [a, b] Ánh xạ d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C[a,b] a t b metric C[a,b] , gọi metric hội tụ 1.2 Sự hội tụ Định nghĩa Cho không gian metric (X, d) Ta nói dãy phần tử {xn } ⊂ X hội tụ (hội tụ theo metric d, cần làm rõ) phần tử x ∈ X lim d(xn , x) = n→∞ Khi ta viết lim xn = x (X, d) n→∞ d xn → x xn → x lim xn = x Như vậy, lim lim xn = x (X, d) có nghĩa n→∞ ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ∈ N∗ , n n0 ⇒ d(xn , x) < ε Ta ý rằng, metric khác tập X sinh hội tụ khác Tính chất Giới hạn dãy hội tụ Nếu dãy {xn } hội tụ x dãy hội tụ x Nếu lim xn = x, lim yn = y lim d(xn , yn ) = d(x, y) n→∞ n→∞ n→∞ m Ví dụ Trong R ta xét metric thông thường Xét phần tử a = (a1 , , am ) dãy {xn } với xn = (xn1 , xn2 , , xnm ) Ta có m |xni − |, (xni − )2 d(xn , a) = ∀i = 1, 2, , m i=1 Từ suy ra: lim xn = a (Rm , d) ⇐⇒ lim xni = R, ∀i = 1, 2, , n n→∞ n→∞ Ví dụ Trong C[a,b] ta xét metric hội tụ Ta có d xn → x ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃n0 : ∀n n0 ⇒ sup |xn (t) − x(t)| < ε) a t b ⇐⇒ dãy hàm {xn (t)} hội tụ [a, b] hàm x(t) =⇒ lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] n→∞ Như vậy, lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] điều kiện cần để lim xn = x C[a,b] với metric hội n→∞ tụ Chú ý giúp ta dự đoán phần tử giới hạn 1.3 Không gian metric đầy đủ Định nghĩa Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy (dãy bản) lim d(xn , xm ) = n,m→∞ hay ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n, m n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε Tính chất Nếu {xn } hội tụ dãy Cauchy Nếu dãy {xn } dãy Cauchy có dãy hội tụ x {xn } hội tụ x Định nghĩa Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Ví dụ Khơng gian Rm với metric d thông thường đầy đủ Thật vậy, xét tùy ý dãy Cauchy {xn }, xn = (xn1 , , xnm ) d(xn , xk ) |xni − xki | (i = 1, , m) • Vì ⇒ lim |xni − xki | = 0, lim d(xn , xk ) = n,k→∞ n,k→∞ nên ta suy dãy {xni }n (i = 1, , m) dãy Cauchy R, chúng hội tụ R đầy đủ • Đặt = lim xni (i = 1, 2, , m) xét phần tử a = (a1 , , am ), ta có lim xn = a (Rm , d) n→∞ n→∞ Ví dụ Khơng gian C[a,b] với metric hội tụ d đầy đủ Giả sử {xn } dãy Cauchy (C[a,b] , d) Với t ∈ [a, b], ta có |xn (t) − xm (t)| d(xn , xm ) Từ giả thiết lim d(xn , xm ) = ta n,m→∞ có lim |xn (t) − xm (t)| = n,m→∞ Vậy với t ∈ [a, b] {xn (t)} dãy Cauchy R, dãy hội tụ GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần Độ Đo Và Tích Phân Chun ngành: Giải Tích, PPDH Tốn §2 HÀM ĐO ĐƯỢC (Phiên chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày tháng năm 2006 PHẦN LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho không gian đo (X, F), tập A ∈ F hàm f : A → R Với a ∈ R, ta ký hiệu: A[f < a] = {x ∈ A : f (x) < a} Các tập hợp A[f ≤ a], A[f > a], A[f ≥ a] định nghĩa tương tự Ta nói hàm f đo A (đo σ-đại số F hay F-đo được) nếu: A[f < a] ∈ F, ∀a ∈ R Định lý 1: Các mệnh đề sau tương đương 1) f đo A 2) A[f ≤ a] ∈ F, ∀a ∈ R 3) A[f > a] ∈ F, ∀a ∈ R 4) A[f ≥ a] ∈ F, ∀a ∈ R Một số lớp hàm đo Cho không gian đo (X, F) Các tập hợp xét giả thiết thuộc F 1) Hàm số đo Hàm đặc trưng 1A tập A đo A ∈ F 2) Nếu f đo A B ⊂ A f đo B ∞ Nếu f đo An (n ∈ N∗ ) f đo ∪ An n=1 3) Giả sử hàm f, g đo A nhận giá trị hữu hạn Khi hàm sau đo A : |f |, |f |α (α > 0), f + g, f.g, fg (nếu g(x) = ∀x ∈ A) 4) Giả sử hàm fn đo A (n ∈ N∗ ) Khi hàm sau đo A a) g(x) = sup{fn (x) : n ∈ N∗ }, h(x) = inf {fn (x) : n ∈ N∗ } b) f (x) = lim fn (x), giới hạn tồn tại x ∈ A n→∞ Hàm đo theo Lebesgue Hàm đo σ-đại số tập (L) đo gọi hàm đo theo Lebesgue hay (L) đo Định lý Nếu A ⊂ R tập (L)-đo hàm f : A → R liên tục f hàm (L)-đo Hàm đơn giản Định nghĩa : Cho không gian đo (X, F) tập A ∈ S Hàm f : A → R gọi hàm đơn giản có dạng n f (x) = 1Ai (x) i=1 n : Ai ∈ F, (i = 1, n), Ai ∩ Aj = ∅ (i = j), ∪ An = A 1Ai hàm đặc trưng i=1 tập Ai Như vậy, hàm đơn giản hàm đo được, nhận hữu hạn giá trị Định lý Nếu f hàm không âm, đo A tồn dãy {sn } hàm đơn giản A cho i) ≤ sn (x) ≤ sn+1 (x), ∀x ∈ A ii) lim sn (x) = f (x), ∀x ∈ A n→∞ PHẦN BÀI TẬP Bài : Cho hàm f : X → Rđo số a, b ∈ R, a < b Chứng minh hàm  f (x) a ≤ f (x) ≤ b g(x) = đo X a f (x) < a  b f (x) > b GIẢI: Cách 1: Đặt A1 = X[a ≤ f ≤ b], A2 = X[f < a], A3 = X[f > b], ta có: Ak ∈ F , k = 1, 2, 3, A1 ∪ A2 ∪ A3 = X   f (x) x ∈ A1 a x ∈ A2 g(x) =  b x ∈ A3 g đo A2 A3 hàm tập g đo A1 f đo A1 Do g đo A1 ∪ A2 ∪ A3 = X Cách 2: Ta dễ dàng kiểm tra g(x) = min{b, max{a, f (x)}} Từ hàm đo qua phép lấy max, ta nhận hàm đo Do g đo Bài : 1) Cho hàm f, g : X → R đo Chứng minh tập A := {x ∈ X : f (x) = g(x)} đo (nghĩa thuộc F) 2) Cho dãy hàm {fn } đo X Chứng minh tập B := {x ∈ X : lim fn (x) tồn tại} đo n→∞ GIẢI: 1) Cách 1: Đặt A1 = {x ∈ X : f (x) < g(x)}, A2 = {x ∈ X : g(x) < f (x)} Ta chứng minh A1 , A2 ∈ F Ta viết tập Q thành dãy {rn } Ta thấy f (x) < g(x) ⇔ ∃n : f (x) < rn < g(x) Do đó: ∞ A1 = {x ∈ X : f (x) < rn < g(x)} n=1 ∞ (X[f < rn ] ∩ X[g > rn ]) = n=1 nên A1 ∈ F Chứng minh A2 ∈ F tương tự Do A = X\(A1 ∪ A2 ) nên A ∈ F Cách 2: Đặt A1 = {x ∈ X : f (x) = +∞}, A2 = {x ∈ X : f (x) = −∞} A3 = {x ∈ X : g(x) = +∞}, A4 = {x ∈ X : g(x) = −∞} Y = X\ Ak k=1 Ta chứng minh Ak , Y ∈ F A = (A1 ∩ A3 ) ∪ (A2 ∩ A4 ) ∪ Y [f − g = 0] Chú ý Y f, g đo được, nhận giá trị hữu hạn nên f − g đo Y Y [f − g = 0] ∈ F 2) Đặt f (x) = lim fn (x), g(x) = lim fn (x) n→∞ n→∞ Theo định nghĩa, ta có f (x) = lim (inf fk (x)), g(x) = lim (sup fk (x)) n→∞ k≥n n→∞ k≥n Các hàm Fn (x) := inf fk (x) đo nên f (x) = lim Fn (x) đo n→∞ k≥n Tương tự, ta có g đo Ta có B = {x ∈ X : f (x) = g(x)} nên áp dụng câu 1) có B ∈ F Bài : Cho không gian độ đo (X, F, µ), A ∈ F hàm f : A → R đo 1) Đặt An = {x ∈ A : |f (x)| ≤ n}, n ∈ N∗ Chứng minh lim µ(Bn ) = µ(A) n→∞ 2) Giả sử µ(A) < ∞ Chứng minh với cho µ(A\B) < , f bị chặn B GIẢI: 1) Ta có: An ∈ F (vì |f | đo được), An ⊂ An+1 > 0, tồn tập B ⊂ A, B ⊂ F ∞ A= An (do f nhận giá trị hữu hạn) n=1 Do lim µ(An ) = µ(A) n→∞ 2) Do µ(A) < ∞ nên µ(A\An ) = µ(A) − µ(An ) Do lim µ(A\An ) = n→∞ Chú ý f bị chặn An Do ta cần chọn B = An n đủ lớn Bài : Cho không gian đo (X, F) hàm f1 , f2 : X → R đo được, hàm F : R2 → R liên tục Chứng minh hàm g : X → R, g(x) = F (f1 (x), f2 (x)) đo GIẢI Ta xét ánh xạ ϕ : X → R2 , ϕ(x) = (f1 (x), f2 (x)) Ta có g(x) = (F0 ϕ)(x) X[g < a] = g −1 ((−∞, a)) = ϕ−1 (F −1 ((−∞, a)))] (1) −1 Tập A := F ((−∞, a)) tập mở R (do f liên tục) nên hợp đếm hình chữ nhật mở: ∞ In × Jn , In = (an , bn ), Jn = (cn , dn ) A= (2) n=1 Từ (1),(2) ta có: ∞ X[g < a] = ϕ−1 (In × Jn ) = n=1 ∞ ∞ {x ∈ X : (f1 (x), f2 (x)) ∈ In × Jn } n=1 ({x : an < f1 (x) < bn } ∩ {x : cn < f2 (x) < dn }) = n=1 ⇒ X[g < a] ∈ F ∀a ∈ R Bài : Cho hàm f : (a, b) → R khà vi (a, b) a < b; a, b ∈ R Chứng minh hàm f (L)-đo (a, b) GIẢI Xét hàm fn : (a, b) → R xác định sau fn (x) = n f x+ n − f (x) c , x ∈ a, b − n1 , x ∈ b − n1 , b , n ∈ N∗ Ta có (1) lim fn (x) = f (x) ∀x ∈ (a, b) n→∞ Thật với x ∈ (a, b) ta có x < b − n1 n đủ lớn, lim fn (x) = lim n f x + n1 − f (x) = f (x) n→∞ n→∞ (2) fn (L)-đo (a, b) Thật vậy, (a, b − n1 ) hàm fn liên tục (vì f khả vi nên f liên tục) b − n1 , b fn hàm liên tục nên fn (L)- đo được) Từ (1),(2) ta có f (L)-đo GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần Độ Đo Và Tích Phân §3 TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE Chun ngành: Giải Tích, PPDH Tốn (Phiên chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày tháng năm 2006 PHẦN LÝ THUYẾT Điều kiện khả tích theo Riemann Nếu hàm f khả tích [a, b] theo nghĩa tích phân xác định ta nói f khả tích theo Riemann hay (R)−khả tích Định lý Hàm f khả tích Riemann [a, b] thỏa mãn hai điiều kiện sau : i f bị chặn ii Tập điểm gián đoạn f [a, b] có độ đo Lebesgue Định nghĩa tích phân theo Lebesgue Cho khơng gian độ đo (X, F, µ) A ∈ F, f : A −→ R hàm đo n 1Ai với Ai ∈ F, Ai ∩ Aj = (a) Nếu f hàm đơn giản, không âm A f = i=n n ø (i = j) Ai = A ta định nghĩa tích phân f A theo độ đo µ : i=1 n f dµ := µ(Ai ) i=n A (b) Nếu f hàm đo được, khơng âm tồn dãy hàm đơn giản, không âm fn cho fn (x) ≤ fn+1 (x), lim fn (x) = f (x) ∀x ∈ A n→∞ Khi ta định nghĩa f dµ = lim fn dµ n→∞ A A Chú ý rằng, tích phân hàm đo không âm tồn tại, số khơng âm +∞ (c) Nếu f hàm đo f + (x) = max{f (x), 0}, f − (x) = max{−f (x), 0} hàm đo được, khơng âm ta có f (x) = f + (x) − f − (x) Nếu f − dµ số hữu hạn ta định nghĩa f + dµ, tích phân A A A A A f − dµ f + dµ − f dµ = f dµ tồn hữu hạn (hay hai tích phân Ta nói f khả tích A A f − dµ số hữu hạn) f + dµ, A A Các tính chất Cho khơng gian độ đo (X, F, µ) 3.1 Một số tính chất quen thuộc : Giả sử A ∈ F f, g hàm đo được, không âm A khả tích A Khi ta có • (f + g)dµ = A f dµ + A cf dµ = c A gdµ A ∀c ∈ R f dµ A • Nếu f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ A f dà A gdà A Nu A = A1 ∪ A2 với A1 , A2 ∈ F, A1 ∩ A2 = ø f dµ = A f dµ + A1 f dµ A2 3.2 Sự khơng phụ thuộc tập độ đo O Khái niệm "hầu khắp nơi" Định nghĩa Giả sử P (x) tính chất phát biểu cho x ∈ A cho ∀x ∈ A P (x) P (x) sai Ta nói tính chất P (x) (hay xảy ra) hầu khắp nơi (viết tắt hkn) tập A tập B = {x ∈ A : P (x) không đúng} chứa tập C ∈ F mà µ(C) = (hoặc µ(B) = biết B ∈ F ) Ví dụ 1) Giả sử f, g đo A Ta có B := {x ∈ A : f (x) = g(x)} ∈ F Do ta nói "f (x) = g(x) hkn A " có nghĩa µ(B) = 2) Nếu f đo A tập B = {x ∈ A : |f (x)| = +∞} thuộc F Ta nói "f hữu hạn hkn A" có nghĩa µ(B) = 3) Cho hàm đo fn , f (n = 1, 2, ) Ta nói "Dãy {fn } hội tụ hkn A F có nghĩa B = {x ∈ A : fn (x) → f (x)} có độ đo Sự không phụ thuộc tập độ đo Nếu µ(A) = f đo A thỡ f dà = Do ú : A Nếu f có tích phân A ∪ B µ(B) = f dµ gdµ = A A∪B • Nếu f, g đo A, f (x) = g(x) hkn A f có tích phân A f dµ gdµ = A A f dµ = f (x) = hkn A 3.3 Nếu f đo được, không âm A A 3.4 Nếu f khả tích A f (x) hữu hạn hkn A 3.5 Tính chất σ−cộng Giả sử An ∈ F (n ∈ N∗ ), An ∩ Am = ø (n = m) f hàm đo được, khơng âm ∞ khả tích A = An Khi n=1 ∞ f dµ f dµ = n=1 A A n 3.6 Một số điều kiện khả tích: • Nếu f đo A f khả tích A |f | khả tích A • Nếu f đo được, g khả tích A |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ A f khả tích A • Nếu f đo được, bị chặn A µ(A) < ∞ f khả tích A Qua giới hạn dấu tích phân Định lý Levi (hội tụ đơn điệu) Giả sử : i fn (n ∈ N∗ ) hàm đo A < fn (x) < fn+1 (x), x∈A ii lim fn (x) = f (x) x ∈ A n→∞ Khi lim n→∞ A fn dµ = f dµ A (một cách hình thức lim fn dµ = A lim fn dµ) A Định lý Lebesgue (hội tụ bị chặn) Giả sử : i Các hàm fn đo A tồn hàm g khả tích A cho |fn (x)| ≤ g(x) ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ A ii lim fn (x) = f (x) x ∈ A n→∞ f dµ f dµ = lim Khi n→∞ A A Ghi Do không phụ thuộc vào tập độ đo tích phân, ta giả thiết diều kiện i., ii định lý Levi Lebesgue cần hkn A Liên hệ tích phân Riemann tích phân Lebesgue Nếu A ⊂ R tập (L)−đo tích phân theo độ đo Lebesgue ký hiệu b f (x)dx (L) (L) f (x)dx A = [a, b] a A Định lý 1) Nếu f khả tích Riemann [a, b] f khả tích theo nghĩa Lebesgue [a, b] ta có b b f (x)dx f (x)dx = (R) (L) a a 2) Nếu f khả tích Riemann suy rộng [a, b] (hoặc [a, ∞]) hàm khơng âm f khả tích theo nghĩa Lebesgue [a, b] (trên [a, ∞]) ta có :   b b ∞ ∞ (R) f (x)dx = (L) a f (x)dx (R) a f (x)dx = (L) a f (x)dx a PHẦN BÀI TẬP Trong tập ta giả thiết có khơng gian độ đo (X, F, µ) Các tập xét thuộc F Bài Cho hàm f đo A, hàm g, h khả tích A cho g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) ∀x ∈ A Chứng minh f khả tích A Giải Ta có f + ≤ h+ , f − ≤ g − f + dµ ≤ ⇒ A ( g ≤ f ≤ h) f− ≤ h+ dµ, A A g − dµ A f ± dµ < ∞ Suy f khả tích (Bài Các tích phân vế phải hữu hạn nên A giải dựa vào bất đẳng thức |f (x)| ≤ |g(x)| + |h(x)|) Bài Cho hàm số f ≥ 0, đo A Xét hàm Chứng minh lim n→∞ fn (x) = f (x), n, fn dµ = f dµ f (x) ≤ n f (x) > n (n ∈ N∗ ) A A dx √ x Ứng dụng kết để tính (L) Giải Ta dễ dàng kiểm tra fn (x) = min{n, f (x)} Do : • fn (x) đo được, khơng âm • fn (x) = min{n, f (x)} ≤ min{n + 1, f (x)} = fn+1 (x) • lim fn (x) = min{ lim n, f (x)} = min{+∞, f (x)} = f (x) n→∞ n→∞ Áp dụng định lý Levi ta có đpcm Đặt f (x) = √ , x ∈ (0, 1], f (0) = +∞ Ta dễ dàng tìm x   √1 , x ∈ [ , 1] fn (x) = n2 x  n x ∈ [0, ] n2 (L) fn (x)dx = − fn (x)dx = (R) n Theo câu 1) ta có (L) f (x)dx = lim fn (x)dx = n→∞ 0 Bài Cho hàm f khả tích A Ta xây dựng hàm fn sau :   f (x), |f (x)| ≤ n fn (x) = n, f (x) > n  −n, f (x) < −n Chứng minh lim fn dµ = n→∞ A f dµ A Giải Ta dễ thấy fn (x) = min{n, max{−n, f (x)}} Từ ta suy : • fn đo được, |fn | ≤ |f | ∀n ∈ N∗ • lim fn (x) = min{+∞, max{−∞, f (x)}} = f (x) ∀x ∈ A n→∞ Áp dụng định lý Lebesgue ta có đpcm Bài Cho ϕ hàm đo được, không âm X Ta định nghĩa : γ(A) = A∈F ϕdµ, A Chứng minh γ độ đo Giả sử f hàm đo được, không âm X Chứng minh f dγ = X f ϕdµ X Giải ϕdµ tồn tại, khơng âm Vì ϕ hàm đo được, khơng âm nên A • Chú ý ϕdµ = µ(A) = 0, ta có γ(φ) = A • Sử dụng tính chất σ−cộng tích phân ta suy γ có tính σ−cộng • Đầu tiên ta kiểm tra đẳng thức f hàm đơn giản, không âm : n n f= Ai ∩ Aj = ø(i = j), 1Ai , i=1 Ai = X i=1 Thật n f dγ = γ(Ai ) i=1 X n f ϕdµ = n i=1 X 1Ai ϕdµ = i=1 X ϕdµ Ai Từ ta có đpcm • Nếu f đo được, khơng âm tồn dãy hàm đơn giản fn ≤ fn ≤ fn+1 , lim fn = f Ta có : fn ϕf µ ∀n ∈ N fn dγ = X (do bước trên) X lim fn dγ = X f dγ, X lim fn ϕdµ = X (Do định lý Levi) Từ ta có đpcm f ϕdµ X Bài Cho hàm f, g khả tích A Với n ∈ N ta đặt : An = {x ∈ A : n ≤ |f (x)| < n + 1} Bn = {x ∈ A : |f (x)| ≥ n} Chứng minh : lim n→∞ An gdµ = ∞ nµ(An ) < +∞ n=1 lim nµ(Bn ) = n→∞ Giải ∞ Ta dễ kiểm tra An ∩ Am = ø (n = m) An = A n=0 Do tính chất σ−cộng, ta có: ∞ gdµ ∈ R gdµ = n=0 A A n Từ ta có đpcm (do điều kiện cần hội tụ chuỗi) Cũng tính chất σ−cộng, ta có: ∞ |f |dµ = n=0 A |f |dµ < ∞ A n |f |dµ ≥ nµ(An ), ta có đpcm Kết hợp đánh giá An ∞ Đặt Γn = kµ(Ak ) ta có : k=n lim Γn = (do câu 2) n→∞ ∞ Γn ≥ n µ(Ak ) = nµ(Bn ) k=n Từ ta có đpcm Bài Giả sử µ(X) < ∞ Ta kí hiệu M tập hàm đo được, hữu hạn X Trong M ta định nghĩa quan hệ ” = ” sau : f = g ⇔ f (x) = g(x)hkn X Ta định nghĩa : |f − g| dµ + |f − g| d(g, f ) = X Chứng minh d metric M f, g ∈ M Giả sử lim fn (x) = f (x) Chứng minh lim fn = f (M, d) n→∞ n→∞ Giải Trước hết ta kiểm tra số d(f, g) hữu hạn với cặp f, g ∈ M Thật vậy, hàm h = |f − g| đo được, bị chặn tập X µ(X) < ∞ nên hàm khả tích Kiểm tra + |f − g| điều kiện i), iii) metric sau : i) Hiển nhiên d(f, g) ≥ |f (x) − g(x)| =0 + |f (x) − g(x)| ⇔ f (x) = g(x) ⇔ f = g M d(f, g) = ⇔ hkn X hkn X iii) Với f, g, h ∈ M ta có : |f (x) − g(x)| ≤ |f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)| ⇒ |f (x) − g(x)| |f (x) − h(x)| |h(x) − g(x)| ≤ + + |f (x) − g(x)| + |f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)| (Phương pháp chứng minh biết) Lấy tích phân hai vế ta có d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g) Ta cần chứng minh lim d(fn , f ) = n→∞ |fn − f | Đặt hn = + |fn − f | (n ∈ N∗ ), ta có : • hn đo X, |hn | = hn ≤ 1, hàm g(x) = khả tích X (do à(X) < ) lim hn = hkn X n→∞ Áp dụng định lý Lebesgue, ta có lim hn dµ = hay lim d(fn , f ) = n→∞ n→∞ X Bài Cho f hàm đo được, dương, hữu hạn hkn A Với k ∈ Z đặt Ak = {x ∈ A : 2k−1 < f (x) ≤ 2k } Chứng tỏ f khả tích A : +∞ 2k µ(Ak ) < ∞ k=−∞ Giải Đặt B = {x ∈ A : f (x) = +∞} Ta có tập Ak , (k ∈ Z), B tập khơng giao nhau, có hợp A Do tính σ−cộng tích phân, ta có : +∞ f dµ = A f dµ ( ý k=−∞A k f dµ = µ(B) = 0) B f dµ ≤ 2k µ(Ak ) ta có Vì 2k−1 µ(Ak ) ≤ Ak +∞ 2k µ(Ak ) ≤ k=−∞ +∞ 2k µ(Ak ) f dµ ≤ k=−∞ A Từ ta có điều phải chứng minh Bài Cho dãy hàm {fn } khả tích, hữu hạn A, hội tụ A hàm f µ(A) < ∞ Chứng minh f khả tích A f dµ fn dµ = lim n→∞ A A Giải Vì hàm fn đo nên f đo Vì dãy {fn } hội tụ A f nên có số no ∈ N∗ thỏa mãn |fn (x) − f (x)| ≤ ∀x ∈ A, ∀n ≥ no (1) • Từ (1) ta có |f (x)| ≤ + |fn (x)| Vì µ(A) < ∞ nên hàm + |fn | khả tích A Do f khả tích A • Cũng từ (1) ta có |fn | ≤ + |f | A (∀n ≥ no ) hàm + |f | khả tích A Áp dụng định lý Lebesgue ta có đpcm Bài Tính giới hạn : lim √ n n→∞ + x2n dx lim n→∞ −1 x + x2 enx + enx dx n lim 1+ n→∞ x n n e−2x dx Giải Đặtfn (x) = √ n + x2n , x ∈ [0, 2], n = 1, 2, • Hàm fn liên tục [0, 2] nên (L)−đo • Khi ≤ x < ta có lim fn (x) = Khi < x ≤ ta có lim x2 n + n→∞ = x2 x2n lim fn (1) = n→∞ Do lim fn (x) = f (x) với f (x) = 1, x ∈ [0, 1], f (x) = x2 , x ∈ [1, 2] • |fn (x)| = fn (x) ≤ + x2 ∀n ∈ N∗ Áp dụng định lý Lebesgue, ta có : lim fn (x)dx = n→∞ f (x)dx = 10 Đặt fn (x) hàm dấu tích phân ta có • lim fn (x) = f (x) với f (x) = x, • |fn (x)| ≤ x ∈ (0, 1] |x| + x2 enx ≤ ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ [−1, 1] + enx Đặt x n n e−2x , x ∈ [0, n] , x ∈ (n, +∞) 1+ fn (x) = • fn f (x) = x2 , x ∈ [−1, 0], n→∞ (L)−đo [0, ∞) • Với x ∈ [0, ∞) x ∈ [0, n] n đủ lớn, : lim fn (x) = lim n→∞ 1+ n→∞ x n n e−2x = ex e−2x = e−x x n −2x e ≤ ex e−2x = e−x ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ [0, ∞) n (ta sử dụng + t ≤ et , t ≥ 0) Hàm g(x) = e−x (L)−khả tích [0, ∞) Áp dụng định lý Lebesgue ta có • |fn (x)| ≤ + n +∞ x 1+ n lim n→∞ n e−2x dx = lim Bài 10 Chứng minh lim n n→∞ xn dx = 1+x e−x = fn (x).dx = n→∞ +∞ Giải Ở ta áp dụng định lý Lebesgue cho dãy hàm fn (x) = hàm g khả tích cho |fn (x)| ≤ g(x) Ta tích phân phần : ∀n  n n+1 n x x dx = |1 + 1+x n+1 1+x n nxn khơng tìm 1+x n = n+1 + In Áp dụng định lý Lebesgue ta chứng minh lim In = n→∞ 10  x dx (1 + x)2 0 n+1 ... không đầy đủ GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần Khơng gian metric Phiên chỉnh sửa - có phần bổ sung trước PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày tháng năm 2006 Nội dung mơn Cơ sở Chun ngành: Tốn Giải tích Phương pháp... (x) = 0, ∀x ∈ A, f (x) = 1, ∀x ∈ B Hướng dẫn Chứng minh hàm f (x) = d(x, A) cần tìm d(x, A) + d(x, B) GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Chun ngành: Giải Tích, PPDH Tốn Phần Khơng gian metric §4 Tập compact, khơng... Chứng minh M1 khơng tập đóng, M2 tập đóng 14 x(t) x(t) ∀t ∈ [a, b] ∀t ∈ [a, b] GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Chun ngành: Giải Tích, PPDH Tốn Phần Khơng gian metric §3 Ánh xạ liên tục (Phiên chỉnh sửa) PGS