Về module hữu hạn sinh và module Noether

Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương Lời nói đầu Cùng với phát triển tốn học, mơn sở đại số đại ngày có vai trò quan trọng, tảng để phát triển, nghiên cứu chuyên sâu đại số đại Trong khái niệm module đóng vai trò quan trọng Hiện mơn Đại số đại cương nâng cao đưa vào giảng dạy trường Đại học Sư phạm Huế cung cấp kiến thức module đại số Với mong muốn hiểu rõ tính chất lớp module hữu hạn sinh, với truyền cảm hứng thầy giáo PGS-TS Phan Văn Thiện, em mạnh dạn chọn đề tài tiểu luận : Về module hữu hạn sinh Tiểu luận lời nói đầu mục lục, gồm hai chương: Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại kiến thức module, module con, module hữu hạn sinh, module thương, đồng cấu module, tích trực tiếp tổng trực tiếp Chương II: Một số toán Trong chương này, đưa số toán module hữu hạn sinh, đưa định nghĩa lớp module Noether trình bày tính chất lớp module Cuối tiểu luận có phần phụ lục: Vài nét nhà toán học Emmy Noether Tiểu luận hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Phan Văn Thiện Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Mặc dù cố gắng thời gian khả hạn chế, chắn tiểu luận em khơng tránh sai sót Em mong nhận lời góp ý, nhận xét từ thầy bạn để tiểu luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Page Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Module 1.2 Module 1.3 Module thương 1.4 Đồng cấu module 1.5 Tích tổng trực tiếp module CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN Bài toán .7 Bài toán .7 Ví dụ 2.1 Mệnh đề .9 2.2 Định nghĩa 10 2.3 Mệnh đề 10 2.4 Hệ 11 2.5 Mệnh đề 11 2.6 Mệnh đề (Hilbert) 12 2.7 Hệ 13 2.8 Mệnh đề 13 PHỤ LỤC: Vài nét nhà toán học Emmy Noether 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 Page Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Trong suốt tiểu luận này, khơng nói thêm, vành vành có đơn vị ln hiểu Module Định nghĩa 1.1 Cho vành có đơn vị R module trái (hay module trái vành R) với ánh xạ (gọi phép nhân vô hướng): :R M M gọi một nhóm cộng Abel M thỏa mãn điều kiện: (i) (ii) (iii) (iv) với Tương tự, gọi module phải (hay module phải vành ) nhóm cộng Abel với ánh xạ: thỏa mãn điều kiện: Page Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương với Trong tiểu luận đề cập đến module module trái, gọi chúng Module Định nghĩa 1.2 Cho module Khi đó: Bộ phận ổn định tập với ta có phép tốn sau: (i) gọi phép toán cho với , Khi có cảm sinh từ phép toán Một module module phận ổn định với phép cộng phép nhân với vô hướng cảm sinh lập thành module (ii) Định nghĩa 1.3 Cho module Một họ phần tử { } ⊂ M gọi hệ sinh của tổ hợp tuyến tính họ { } Khi sinh { } phần tử module gọi hữu hạn sinh có hệ sinh hữu hạn Nói cách khác = 〈{ }〉 Vậy module hữu hạn sinh có dạng: = với Khi sinh phần tử gọi module xyclic Page Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương Module thương Mệnh đề 1.4 Giả sử module module Khi nhóm thương cộng Abel với phép nhân cho bởi: với lập thành module Định nghĩa 1.5 module thương theo xác định gọi module Đồng cấu module Định nghĩa 1.6 Cho hai module xạ thỏa mãn: (i) (ii) vành Khi ánh với với gọi đồng cấu ánh xạ tuyến tính từ module từ vào ) vào (hay gọi Tích tổng trực tiếp module Mệnh đề 1.7 Giả sử module với ∏ ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân sau: Với , , Trên tập tích : Khi dễ dàng kiểm tra ∏ thành module với hai phép tốn nói lập Page Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương Định nghĩa 1.8 –module ∏ tiếp họ module { } mệnh đề gọi tích trực Mệnh đề 1.9 Gọi tập dãy (với ) có giá hữu hạn, tức hầu hết trừ số hữu hạn Với hai phép toán cộng nhân vô hướng định nghĩa module Định nghĩa 1.10 module trực tiếp họ module { } mệnh đề gọi tổng Lưu ý: Khi tập số hữu hạn, họ { } trùng nhau: { } tích trực tiếp tổng trực tiếp Page Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương Chương II: Một số tốn Sau đây, ta tìm hiểu số toán liên quan đến module hữu hạn sinh Bài tốn 1: Cho Khi module hữu hạn sinh, module hữu hạn sinh module Chứng minh: Theo giả thiết ta có: hệ sinh Khi với : module hữu hạn sinh Gọi { thì: x= ∑ , Với =∑ Do đó, tập { =∑ } hệ sinh Vậy, + } module hữu hạn sinh Bài toán 2: Cho module, module Giả sử module hữu hạn sinh -module hữu hạn sinh Khi module hữu hạn sinh Chứng minh: Theo giả thiết = Và ̅ module hữu hạn sinh nên ̅ ̅ module hữu hạn sinh nên có dạng: ̅ có dạng: = Với ̅ : ̅ ̅ Page Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 〈{ Vậy }〉 –module hữu hạn sinh Nhận xét: Ta có nhận xét rằng: Module module hữu hạn sinh chưa hữu hạn sinh Ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ: Xét tập hàm số liên tục đoạn Khi vành giao hốn có đơn vị, đương nhiên module hữu hạn sinh Bây giờ, với số nguyên dương xét hàm liên tục Gọi idean sinh tập { } Ta chứng minh không module hữu hạn sinh Thật vậy, giả sử có hệ sinh hữu hạn { tuyến tính số hữu hạn nên cho Khi =( Giả sử = Khi ta có: Vậy ) + + ( với thỏa mãn: module } Vì tổ hợp sinh , , ) ( ) = Mâu thuẫn với cách xác định module hữu hạn sinh Page Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương Sau ta nghiên cứu lớp module thỏa mãn tính chất: module module hữu hạn sinh Đó module Noether, đưa nhà tốn học E.Noether Ta mở đầu mệnh đề sau đây: Mệnh đề 2.1 Cho module Khi khẳng định sau tương đương: (i) Mọi tập hợp khác rỗng module ln chứa phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) (ii) Mọi dãy tăng module ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ (iii) dừng, tức có số n cho Mọi module hữu hạn sinh Chứng minh: (ii): Lấy tùy ý dãy tăng modulo ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Gọi tập tất phần tử dãy Theo giả thiết (i) tập có phần tử cực đại với Do ta có số cho = (i) (ii) (iii): Cho module Chọn tùy ý Nếu { } N sinh kết thúc chứng minh Nếu { } , ta lại chọn , { } Nếu { } kết thúc chứng minh Và { }, ta lại tiếp tục làm Và dãy tăng module Theo giả thiết (ii), trình phải dừng lại sau số hữu hạn bước, ta có { } với Vậy module hữu hạn sinh Page Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương (ii): Xét dãy tăng gồm module : ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Khi đó, hợp chúng module (iii) Theo giả thiết (ii) module hữu hạn sinh Giả sử { } tập sinh Mỗi thuộc module dãy tăng nói Vì có module chứa tất Ta có: ={ } = N Vậy = = (ii) (i): Giả sử phản chứng: ∑ họ khác rỗng module khơng có phần tử cực đại Giả sử ∑ Vì S khơng có cực đại nên ∑, cho ⊂ Tiếp tục trình trên: Nếu có module , ∑ khơng có cực đại, nên ∑ cho ⊂ Ta thu dãy tăng không ngừng module ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Điều vơ lí với giả thiết (iii) Vậy giả thiết phản chứng bị bác bỏ Định nghĩa 2.2 Một module M gọi module Noether thỏa mãn điều kiện tương đương nói Mệnh đề 2.1 Mệnh đề 2.3 Giả sử module module Khi Noether module Noether Chứng minh: ( Nếu Noether theo định nghĩa Noether Mỗi module có dạng với module cho ⊂ ⊂ Vì noether ( : Giả sử module module : Noether Với dãy tăng ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Page 10 Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương Ta xét hai dãy tăng tương ứng module ⊂ ⊂ ⊂ : ⊂ ⊂ ⊂ Do Noether, hay dãy dừng, chẳng hạn từ bước thứ Tức là: Từ đó: Với i = , ta có: = Hệ 2.4 Tích trực tiếp họ hữu hạn module Noether module nhân tử Noether Chứng minh: Chỉ cần chứng minh cho trường hợp tích hai module Bằng cách quy nạp lên, ta trường hợp tổng quát Nếu { } Noether { } module Theo Mệnh đề 2.3, Noether và Mệnh đề 2.5 Giả sử tự đồng cấu module Noether tồn cấu đẳng cấu Chứng minh: Giả sử Noether module : 0⊂ Khi đó, tồn cấu Ta có dãy tăng ⊂ ⊂ Page 11 Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương Vì thế, thuộc với Giả sử a phần tử tồn cấu nên với phần tử = Hay b Bởi Do đó, Từ cấu Như đơn cấu, đẳng Mệnh đề 2.6 (Hilbert) Giả sử vành Noether Khi vành đa thức biến vành Noether Chứng minh: Để vành Noether, ta chứng minh iđêan khác khơng hữu hạn sinh Giả sử iđêan (trái) khác không tuỳ ý vành Với ta kí hiệu tập hợp tất phần tử cho hệ số số hạng bậc cao đa thức bậc đó: thuộc Khi đó, Hơn idean (trái) Vì với ⊂ , phần tử với bậc Vậy dễ thấy hệ số cao đa thức Ta có dãy tăng idean vành : ⊂ Vì ⊂ ⊂ vành Noether, nên ⊂ Ngoài ra, ⊂ ⊂ Ta có: với số ⊂ ⊂ ⊂ Noether, nên: = + + ,( Page 12 Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương Gọi đa thức với hệ số số hạng bậc cao chứng minh idean (trái) sinh hệ hữu hạn { TH1: Nếu ∑ TH2: } đa thức bậc , với số hạng cao Giả sử : Ta có Nếu ∑ , =∑ đa thức có bậc Ta có = ∑ đa thức có bậc Khi Khi Bằng quy nạp lùi theo bậc , ta chứng minh sinh hệ hữu hạn Vậy Ta idean (trái) vành Noether Hệ 2.7 Nếu vành Noether vành đa thức nhiều biến Noether Chứng minh: Theo Mệnh đề 2.6, khẳng định với Giả sử quy nạp vành Noether Khi theo Mệnh đề 2.6: vành Noether Mệnh đề 2.8 Cho vành Noether Khi – module Noether –module hữu hạn sinh Page 13 Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương Chứng minh: } hệ sinh module Theo Hệ 2.4 module Noether Giả sử { Xét đồng cấu: xác định bởi: Dễ thấy = tồn cấu Ta có Áp dụng Bài tốn 1- Chương 2, ta có: Vậy module hữu hạn sinh, module module hữu hạn sinh –module hữu hạn sinh Khi có module Noether Page 14 Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương PHỤ LỤC: Vài nét nhà toán học Emmy Noether Emmy Noether (1882-1935) nhà toán học nữ tiếng người Đức gốc Do Thái Cha bà nhà toán học Max Noether Ban đầu bà dự định trở thành giáo viên dạy tiếng Anh, sau vượt qua kỳ thi kiểm tra trình độ, bà lại chọn học tốn đại học Erlangen, nơi cha bà làm giảng viên Sau hồn thành luận án vào năm , bà làm việc khơng lương Viện Tốn học Erlangen bảy năm (vào thời phần lớn phụ nữ bị loại khỏi vị trí học thuật) Năm 5, bà David Hilbert Felix Klein mời tham gia khoa toán Đại học Gottingen, trung tâm nghiên cứu toán học tiếng giới Bà trải qua bốn năm giảng dạy tên Hilbert Những đóng góp đột phá Emmy lĩnh vực đại số lý thuyết vật lý lý thuyết Bà đưa định lý Noether thứ vào năm bà đại học Gottingen để giúp Einstein giải vấn đề nghịch lý bảo toàn lượng thuyết tương đối rộng Thậm chí đến ngày nay, nghiên cứu Emmy sử dụng cơng khám phá hố đen tìm đối tượng ngồi khơng gian Sau , bà bị cấm dạy Gottingen đảng phát xít lên nắm quyền Đức Bà di cư sang M bắt đầu giảng dạy Viện nghiên cứu Cấp cao Princeton Năm 5, Emmy Noether phẫu thuật tuổi 53 thư hồi tưởng bà, nhà Tôpô học Pavel Alexandrov coi Emmy Noether "là Page 15 Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương nhà nữ toán học lớn thời đại" Còn nhà tốn học Norbert Wiener viết bà “ sánh ngang với Madame Curie” Khơng nhà tốn học tơn kính bà mà nhà vật lý học cần phải cảm ơn đóng góp bà Hay tin bà mất, nhà vật lý thiên tài Albert Einstein gửi thư tới tờ New York Times, có đoạn ông viết: "Fraulein Noether was the most significant creative mathematical genius thus far produced since the higher education of women began" Tạm dịch: "Noether thiên tài toán học sáng tạo lớn kể từ giáo dục dành cho phụ nữ nâng cao" Tên bà đặt cho tiểu hành tinh nhỏ vành đai hệ mặt trời Page 16 Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương TÀI LIỆU THAM KHẢO [ ] Văn Nam – Phan Văn Thiện, Giáo trình Đại số đại cương nâng cao, 2011 [2] Nguyễn Xuân Tuyến – Lê Văn Thuyết, Đại số trừu tượng Nhà xuất Giáo dục, 2005 [3] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương Nhà xuất Giáo dục, 1998 [4] Dương Quốc Việt, Cơ sở lý thuyết module Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2008 [5] Dương Quốc Việt, Bài tập lý thuyết module Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2013 [6] https://vi.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether Page 17 ... hệ sinh Vậy, + } module hữu hạn sinh Bài toán 2: Cho module, module Giả sử module hữu hạn sinh -module hữu hạn sinh Khi module hữu hạn sinh Chứng minh: Theo giả thiết = Và ̅ module hữu hạn sinh. .. module hữu hạn sinh, module module hữu hạn sinh module hữu hạn sinh Khi có module Noether Page 14 Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương PHỤ LỤC: Vài nét nhà toán học Emmy Noether Emmy Noether. .. ̅ module hữu hạn sinh nên có dạng: ̅ có dạng: = Với ̅ : ̅ ̅ Page Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 〈{ Vậy }〉 module hữu hạn sinh Nhận xét: Ta có nhận xét rằng: Module module hữu hạn sinh