Nhóm abel hữu hạn sinh và phân tích nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH VÀ PHÂN TÍCH NHÓM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin trân trọng bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới cô giáo – TS Nguyễn Thị Kiều Nga. Cô đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số và toàn thể các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý, cộng tác, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận. Do trình độ chuyên môn còn hạn chế , thời gian nghiên cứu eo hẹp nên khóa luận này còn tồn tại nhiều thiếu sót. Em kính mong nhận được sự phê bình góp ý của các thầy cô cùng toàn thể các bạn để khóa luận này trở nên hoàn thiện hơn . Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo - TS Nguyễn Thị Kiều Nga. Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất cứ công trình nào khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Phương MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 3 1.1. Nhóm, nhóm con ..................................................................................... 3 1.2. Tập sinh của nhóm .................................................................................. 5 1.3. Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm........................................... 5 1.4. Định lí Lagrange ..................................................................................... 6 1.5. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương ....................................................... 6 1.6. Đồng cấu nhóm ....................................................................................... 7 1.7. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các nhóm ........................................ 9 CHƯƠNG 2. NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH.......................................... 11 2.1. Nhóm Abel tự do................................................................................... 11 2.2. Nhóm Abel hữu hạn sinh ...................................................................... 19 2.3. Một số nhóm Abel hữu hạn sinh đặc biệt ............................................. 24 CHƯƠNG 3. SỰ PHÂN TÍCH NHÓM ...................................................... 28 3.1. Định nghĩa nhóm phân tích được, nhóm không phân tích được .......... 28 3.2. Sự phân tích nhóm ................................................................................ 28 3.3. Sự phân tích các nhóm xyclic ............................................................... 31 3.4. Sự phân tích nhóm Abel hữu hạn sinh .................................................. 35 3.5. Bài tập ................................................................................................... 42 KẾT LUẬN .................................................................................................... 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 53 LỜI MỞ ĐẦU Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết sâu sắc các cấu trúc này. Sở dĩ vì hai đặc trưng cơ bản nhất của toán học là trừu tượng và tính tổng quát, mà hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số. Đối tượng chủ yếu của cấu trúc đại số là nhóm, vành, trường. Trong đó nhóm là một trong những đối tượng cơ bản và cổ điển nhất của toán học. Nhóm Abel hữu hạn sinh và phân tích nhóm là hai vấn đề quan trọng trong lí thuyết nhóm và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như phương trình đạo hàm riêng, hàm giải tích, đại số tuyến tính... Với tất cả các ý nghĩa trên và lòng yêu thích chuyên ngành Đại số, mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về một số vấn đề của Đại số hiện đại, cùng với sự gợi ý và hướng dẫn tận tình của cô giáo - TS Nguyễn Thị Kiều Nga em mạnh dạn chọn đề tài “ Nhóm Abel hữu hạn sinh và phân tích nhóm ”để làm khóa luận tốt nghiệp của mình. Mục đích và nhiệm vụ chính của đề tài là cung cấp một số kiến thức cơ bản về nhóm Abel hữu hạn sinh và sự phân tích nhóm. Nội dung của đề tài được cấu trúc thành ba chương : - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị; - Chương 2: Nhóm Abel hữu hạn sinh; - Chương 3: Phân tích nhóm. Trong đó, qua các định lí 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3 ta có thể thấy được sự đẹp đẽ về cấu trúc của nhóm Abel hữu hạn sinh. 1 Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song do chưa có kinh nghiệm, thời gian cũng như năng lực còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. 2 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Nhóm, nhóm con 1.1.1. Nhóm a. Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho X một tập hợp khác rỗng, (.) là phép toán hai ngôi trên X. X được gọi là một nhóm nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) (xy)z = x(yz), với mọi x, y,z  X . ii) Tồn tại phần tử e  X có tính chất: xe = ex = x , với mọi xX. iii) Với mọi xX, tồn tại phần tử x’ X sao cho xx’= x’x = e. Chú ý  Phần tử e thỏa mãn điều kiện ii) gọi là phần tử đơn vị của nhóm X.  Phần tử x’ thỏa mãn điều kiện iii) gọi là phần tử nghịch đảo của x, thường kí hiệu là x-1 . Định nghĩa 1.1.2 Nhóm X gọi là nhóm giao hoán ( hay nhóm Abel ) nếu xy = yx với mọi x,yX. Định nghĩa 1.1.3 Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn (vô hạn) nếu tập X có hữu hạn (vô hạn) phần tử. b. Tính chất Cho X là một nhóm, với e là phần tử đơn vị. Khi đó:  Phần tử e của X tồn tại duy nhất.  Mỗi phần tử x của X tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo x-1. 3 Đặc biệt e-1=e ;(x-1)-1=x ; (xy)-1 = y-1x-1, với mọi x, y ∈ X  Trong nhóm có luật giản ước, tức là với mọi x,y,zX: xy = xz thì y = z. yx = xz thì y = z.  Với mọi ,b ∈ X, các phương trình x = b và y = b có nghiệm duy nhất trong X.  Cho xX, khi đó: xn = x.x.......x n x-n = ( x-1)n xnxm = xn+m (xn)m = xnm Quy ước x0 = e, với e là đơn vị của X Nếu X là nhóm Abel thì (xy)n = xnyn , với mọi x,yX . 1.1.2. Nhóm con a. Định nghĩa Cho X cùng với phép toán hai ngôi (.) là nhóm , A là một bộ phận ổn định của X .Khi đó, A được gọi là nhóm con của nhóm X nếu A cùng phép toán cảm sinh lập thành một nhóm. b. Điều kiện tương đương Một tập con A của nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: i) Với mọi x,yA thì xyA. ii) eA, với e là phần tử đơn vị của X. iii) Với mọi xA thì x-1A Hệ quả. Cho X là một nhóm, A ≠ ∅, A⊂X. Các điều kiện sau là tương đương i) A là nhóm con của X. 4 ii) Với mọi x,y A thì xyA, x-1A. iii) Với mọi x,yA thì xy-1A. c. Tính chất Giao của một họ khác rỗng các nhóm con của một nhóm X là một nhóm con của X. 1.2. Tập sinh của nhóm Định nghĩa Giả sử G là một bộ phận của nhóm X. Giao của tất cả các nhóm con của X chứa G là nhóm con của X chứa G gọi là nhóm con sinh bởi G, kí hiệu : < G > . Trong trường hợp < G > = X ta nói rằng G là một tập sinh của X hay X được sinh ra bởi G. Nếu G = thì ta viết X = < > Nếu X không được sinh bởi một tập con thực sự nào của G thì ta nói G là tập sinh cực tiểu của X. 1.3. Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm Định nghĩa Cấp của một nhóm X, kí hiệu |X|, là số phần tử của X nếu X có hữu hạn phần tử, là ∞ nếu X có vô hạn phần tử. Cấp của phần tử  X là cấp của nhóm xyclic sinh bởi , kí hiệu ord( ). Chú ý i) Cấp của bằng 1 khi và chỉ khi bằng ∞ khi và chỉ khi với mọi mZ*, ii) Cấp của m ≠ n thì ≠ e ( hay mọi m,nZ, ). bằng m hữu hạn nếu m là số nguyên dương bé nhất thỏa Cấp của mãn e. . 5 1.4. Định lí Lagrange Cho X là nhóm hữu hạn, A là nhóm con của X. Khi đó cấp của nhóm A là ước cấp nhóm X. Hệ quả  Cho X là một nhóm hữu hạn cấp n thì mọi phần tử X ta có .  Nếu X có cấp nguyên tố thì X là nhóm xyclic sinh bởi một phần tử X, ≠e.  Nếu p là số nguyên tố, là số bất kì thì chia hết cho p. 1.5. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương 1.5.1. Nhóm con chuẩn tắc a) Định nghĩa Một nhóm con A của một nhóm X gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu x-1 x  A với mọi A, xX . b) Ví dụ i) Mọi nhóm X với đơn vị e có ít nhất hai nhóm con chuẩn tắc tầm thường là X và {e}. ii) Mọi nhóm con của nhóm Abel là nhóm con chuẩn tắc. c) Điều kiện tương đương nhóm con chuẩn tắc Giả sử A là nhóm con của nhóm X, các điều kiên sau tương đương: i) A là chuẩn tắc. ii) xA = Ax với mọi xX. 1.5.3. Nhóm thương Định nghĩa Cho X là một nhóm, A là nhóm con chuẩn tắc của X. Khi đó, X A ={xA|  xX} 6 cùng với phép toán hai ngôi (xA)(yA)= xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A. Nhận xét Nếu X là nhóm Abel thì X A cũng là nhóm Abel. 1.6. Đồng cấu nhóm 1.6.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.6.1 Cho X, Y là hai nhóm, cùng với các phép toán hai ngôi tương ứng là () và (.). Một đồng cấu nhóm từ X đến Y là một ánh xạ f : X → Y sao cho: f( b) = f( ).f(b) với mọi ∈ . Nếu X=Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X Một đồng cấu nhóm và là đơn ánh thì gọi là một đơn cấu, một đồng cấu nhóm và là toàn ánh gọi là một toàn cấu, một đồng cấu nhóm và là song ánh gọi là một đẳng cấu. Nếu X=Y thì một đẳng cấu nhóm từ X đến Y gọi là tự đẳng cấu nhóm X. Định nghĩa 1.6.2 Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, các phần tử đơn vị của X và Y được kí hiệu theo thứ tự là ex , ey . Ta kí hiệu: Imf = f (X) Kerf = {xX | f(x) = ey } = f-1(ey) và gọi Imf là ảnh của đồng cấu f , Kerf là hạt nhân của đồng cấu f . 1.6.2. Ví dụ a) Giả sử A là một nhóm con của một nhóm X. Đơn ánh chính tắc : f:A→X là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc. 7 b) Ánh xạ đồng nhất của một nhóm X là một đồng cấu gọi là tự đẳng cấu đồng nhất của X. c) Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X. Ánh xạ: h:X→ X A x xA là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm thương X A Hơn nữa h còn là toàn cấu và gọi là toàn cấu chính tắc. d) Nếu f : X → Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y thì ánh xạ ngược f-1 : Y → X cũng là một đẳng cấu. Ta nói hai nhóm X và Y đẳng cấu với nhau và ta viết X  Y , nếu có một đẳng cấu từ nhóm này đến nhóm kia. 1.6.3. Tính chất a) Tính chất 1 Giả sử X,Y,Z là các nhóm và f: X Y và g:Y Z là những đồng cấu. Thế thì ánh xạ tích: g f : XZ cũng là một đồng cấu. Đặc biệt tích hai đẳng cấu là một đẳng cấu. b) Tính chất 2 Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y . Khi đó : i) f (ex ) = ey ii) f (x-1) = [f(x)-1] với mọi xX . c) Tính chất 3 Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là một nhóm con của X và B là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Khi đó: i) f(A) là một nhóm con của Y ii) f-1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X 8 d) Tính chất 4 Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Khi đó: i) f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf = Y ii) f là đơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf = {ex} e) Tính chất 5 Giả sử f : XY là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, p: X X Kerf là toàn cấu chính tắc. Khi đó: i) Tồn tại duy nhất đồng cấu nhóm f : X Kerf Y sao cho f = f p . ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Imf = f(X). Hệ quả: Với mọi đồng cấu f : XY từ một nhóm X đến một nhóm Y, ta có f (X) ≅ X Kerf Đặc biệt nếu f: XY là một toàn cấu thì X Kerf  Y . 1.7. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các nhóm 1.7.1. Định nghĩa a) Giả sử (Gi )iI là một họ các nhóm với phép toán (.). trên tập tích :  G = {( iI i i)iI| iGi, iI} Ta định nghĩa một phép toán nhân như sau : ( i)iI(bi)iI = ( ibi) iI Khi đó G iI i là một nhóm và gọi là tích trực tiếp của họ nhóm {Gi} iI b) Tổng trực tiếp của họ nhóm {Gi }iI , kí hiệu  Gi , là nhóm con của nhóm iI G iI i gồm tất cả các phần tử ( i)iI sao cho của nhóm 9 i = ei hầu hết, với là đơn vị Chú ý: Nếu tập chỉ số I hữu hạn thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp là trùng nhau, tức là  Gi = iI G iI i 1.7.2. Tính chất Cho A, B, C là các nhóm. (1) A×B ≅ B×A (2) ( A×B)×C= A×(B×C) (3) Có thể đồng nhất A (tương ứng B) với nhóm con A×{ eB }( tương ứng với { eA }×B ) của A×B nhờ đơn cấu sau: A  A B  B  A B    a (a, e B )  b (e A , B)  (4) Từ tính chất (3) suy ra mỗi phần tử của A giao hoán với mọi phần tử của B trong nhóm A×B: b = ( , eB )( eA , b) = ( ,b) = ( eA , b)( , eB ) = , ∀  A; b B. (5) Trong nhóm A×B thì A∩B = {e}. (6) Nhóm A×B được sinh bởi tập A∪B tức là A×B = . (7) A, B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm A B. (8) ( A  B) A  B, ( A  B) B  A . 10 CHƯƠNG 2 NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH Trong chương này phép toán trên nhóm Abel được viết theo lối cộng và phần tử không luôn được kí hiệu là 0. Trước hết ta đi tìm hiểu về nhóm Abel tự do. 2.1. Nhóm Abel tự do 2.1.1. Nhóm tự do a) Định nghĩa Giả sửX là một tập hợp tùy ý cho trước. Ta gọi nhóm tự do trên tập X một nhóm F cùng với một ánh xạ f : X  F sao cho với mọi ánh xạ g:XG, tồn tại một đồng cấu duy nhất h : F G sao cho biểu đồ sau giao hoán: f X F g h G tức là g  h f b) Tính chất Định lý 1 Nếu một nhóm F cùng với một ánh xạ f : X  F là một nhóm tự do trên tập X thì f là đơn ánh và f ( X ) sinh ra F. Chứng minh  Giả sử F ứng với ánh xạ f : X  F là một nhóm tự dotrên tập X. Giả sử b  X,  b. Ta chứng minhf ( )  f (b). Thật vậy, chọn g : X  G với g ( )  g (b). Vì (F,f) là nhóm tự do trên X nên tồn tại duy nhất đồng cấu h : F  G sao cho g  h f 11 Vìh [ f ( ) ] = g ( )  g (b) = h [ f(b) ] nên f ( )  f (b). Vậy f là đơn ánh.  f ( X ) sinh ra F. Thật vậy: Giả sử A là tập con của F , A = < f ( X ) > Khi đó ánh xạ f xác định một ánh xạ g : X  A với i g  f , trong đó i : A  F. Theo định nghĩa nhóm tự do, tồn tại duy nhất một đồng cấu h : F  A sao cho h f  g . Xét biểu đồ : f X F j f k F Trong đó j là tự đồng cấu đồng nhất và k  i h Vì ta có : jₒf=f kₒf=(iₒh)ₒf=iₒg=f vì f là đơn ánh nên ta suy ra rằng : i ₒ h = k = j Vì j là tự đồng cấu đồng nhất nên i ₒ h là toàn cấu, do đói là toàn cấu. Như vậy A = F tức F được sinh ra bởi f ( X). Định lý được chứng minh. Định lý 2 ( Định lý về tính chất ) Nếu ( F, f ) và ( F’, f’ ) là nhóm tự do trên cùng một tập X thì có một đẳng cấu duy nhất j : F  F’ sao cho j ₒ f = f’. Chứng minh Vì ( F, f ) là một nhóm tự do trên tập X nên tồn tại một đồng cấu duy nhất 12 j : F  F’ sao cho j ₒ f = f’ , tức biểu đồ sau giao hoán: f X F f’ j F’ Tương tự tồn tại một đồng cấu duy nhất k : F’  F sao cho k ₒ f’ = f trong biểu đồ sau: f’ X F’ f k F Bây giờ ta xét h = k ₒ j và tự đồng cấu đồng nhất i của F. Trong biểu đồ: f X F h f i F ta có : h ₒ f = ( k ₒ j ) ₒ f = k ₒ f’ = f ; i ₒ f = f, tức (kj)f = if nên từ tính duy nhất trong định nghĩa ta suy ra rằng k ₒ j = h = i. Vì i là đẳng cấu nên k ₒ j là đơn cấu, do đó j là đơn cấu. Tương tự ta chứng minh được j ₒ k là tự đẳng cấu đồng nhất trên F’, từ đó j ₒ k là một toàn cấu nênj là một toàn cấu. Vậy j là một đẳng cấu. Định lý được chứng minh. 13 Định lý 3 ( Định lý về sự tồn tại ) Cho X là một tập bất kì. Khi đó luôn tồn tại một nhóm tự do trên X. Chứng minh Xét tích Descartes T = X × { 1; -1 }. Với mỗi  X , kí hiện 1 = ( , 1) ; -1 = ( , -1) Định nghĩa khái niệm “chữ” như sau : chữ W là tích hình thức hữu hạn những phần tử của T, tức là có dạng a1 a2 ...an ; 1 2 n i X,i = 1, n , các i có thể trùng nhau, i  { 1, -1 }, i = 1, n . Chữ W được gọi là rút gọn nếu trong biểu diễn của W không có trường hợp a1 đứng cạnh a-1, a X. Kí hiệu e thay cho “chữ rỗng”, tức là chữ “không có phần tử nào của X”. Kí hiệu F là tập tất cả các chữ rút gọn và phần tử e. Trên F xác định phép toán hai ngôi như sau: Giả sử u vàv là hai phần tử tùy ý củaF. - Nếu u = e thì u.v = v - Nếu v = e thì u.v = u - Nếu u  e, v  e thì u.v được viết thành tích hình thức như trên, trong u.v ta xóa đi các tích hình thức dạng a1a 1  a 1a1 nếu có mặt, suy ra u.v là chữ rút gọn, nếu xóa hết thì coi u.v = e. Khi đó F cùng với phép toán trên lập thành một nhóm. Xác định ánh xạ f : X  F a a 1 Ta sẽ chứng minh ( F, f ) là nhóm tự do. Thật vậy, giả sử X là nhóm bất kì, g : X  Y là ánh xạ bất kì. Xác định qui tắc: h:FY e h (e) = 1Y 14 W = a1 a2 ...an 1 2  g (a1 ) 1 n 2  g  a2   ... g (an )  n ; i  { 1, -1 }, i = 1, n  Ta có h là một đồng cấu nhóm và với mọi a  X : ( h ₒ f )(a) = h[ f (a) ] = h (a’) = [ g (a) ]’ = g (a)  h ₒ f = g Chứng minh tính duy nhất của h. Thật vậy, Giả sử tồn tại đồng cấu k : F  Y sao cho k ₒ f = g. Khi đó:  F, giả sử w = a1 a2 ...an , ta có k ₒ f = g 1 n 2 k (w)   k (a1 ) 1  k (a2 ) 2 ... k  an    1 2   k (a11 )   k (a21 )  ...  k  an1     n n   k[f (a1 )] 1  k[f (a2 )] 2 ... k[f  an  ]   n n  g(a1 ) 1 g(a2 ) 2 ...  g  an   h(w)   Suy ra k = h. Nhận xét Do f : X  F là một đơn ánh nên đồng nhất X với f ( X )khi đó ta có: X  Fvà F =< X > Mọi ánh xạ g : X  Y đều mở rộng thành đồng cấu h : F  Y. Khi đó ta gọi F là nhóm tự do sinh bởi tập X . Định lý 4 Mọi nhóm đều đẳng cấu với một nhóm thương của một nhóm tự do. Chứng minh Giả sử X là một nhóm tùy ý cho trước. Khi đó luôn tồn tại S  Xđể X =< S >, chẳng hạn S = X. Giả sử F là nhóm tự do sinh bởi S. Phép nhúng g : S  Xmở rộng ra thành một nhóm đồng cấu h : F  X ,ta có h( F )  X 15 Mặt khác S = g( S )  h( S )( do h là mở rộng của g). Do đó h là toàn cấu. Theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm ta có: F Kerh X . Nhận xét Giả sử Kerf =< R >, F =< S >. Khi đó F Kerh được xác định bởi tập S và R. Ta gọi các phần tử của S là các phần tử sinh của X, các phần tử của R gọi là các hệ thức cửa X. Như vậy, nhómX bất kì được xác định bởi tập sinh S và tập hệ thứcR, do đóX không còn tự do nữa; nhóm tự do F được xác định chỉ bởi tập S. 2.1.2. Nhóm Abel tự do a) Định nghĩa Giả sử S là một tập hợp tùy ý cho trước. Ta gọi nhóm Abel tự do trên tập S là một nhóm Abel F cùng với một ánh xạ f : S  F sao cho với mọi ánh xạ g : S  X từ tập S vào nhóm Abel X, tồn tại một đồng cấu duy nhất h : F  X sao cho biểu đồ sau giao hoán: f F S g h X Tức là g  h f . b) Tính chất Tương tự như nhóm tự do, ta có  Định lý 1 Nếu một nhóm F cùng với một ánh xạ f : S  F là một nhóm Abel tự do trên tập S thì f là đơn ánh và ảnh của nó f ( S ) sinh ra F . 16  Định lý 2 ( Định lý về tính duy nhất ) Nếu ( F, f ) và ( F’, f’ ) là nhóm Abel tự do trên cùng một tập S thì có một đẳng cấu duy nhất j : F  F’ sao cho j ₒ f = f’ .  Định lý 3 ( Định lý về sự tồn tại ) Cho S là tập khác rỗng. Khi đó luôn tồn tại một nhóm Abel tự do trên S. Chứng minh Cho Z là nhóm các số nguyên. Kí hiệu F = {  : S  Z sao cho ( S ) = 0 với hầu hết s  S } Xác định phép toán cộng trong F như sau Với mọi ,  F, s  S : (  + )( s ) = ( s ) + ( s ). Suy ra  +  F Phép toán cộng trên là phép toán đại số hai ngôi xác định trên F. Dễ dàng kiểm tra được ( F, + ) là nhóm Abel, với phần tử trung hòa là  : S  Z với ( s) = 0 với mọi s  S, phần tử đối của  là -: S Z với ( - )( s ) = -( s ). Xác định ánh xạ f : S  F s f (s) Với f(s) : S→Z được xác định như sau: 1 nếu t = s ∀ t ∈ S thì f (s)( t) = 0 nếu t  s Khi đó ( F, f ) là một nhóm Abel tự do. Thật vậy, giả sử g : S  X là ánh xạ tùy ý từ S đến nhóm Abel X. Khi đó ánh xạ: h:FX  h( )    ( s).g ( s) sS là đồng cấu nhóm. Thật vậy: 17      s .g  s  Với mọi , F thì: h(  +  ) = sS =    s     s .g  s  =    s .g  s     s .g  s  =   s .g  s     s .g  s  sS sS sS sS = h( ) + h(  ) s  S ,  h f  s   h  f  s     f  s  t  .g  t   1.g  s   g  s   h f  g . tS Chứng minh tính duy nhất của h. Giả sử tồn tại h’ : F  X sao cho h’ ₒ f = g . Giả sử  F thì      s . f  s  sS ;  (s) là số nguyên, f(s) là ánh xạ từ S vào Z được xác định như trên. Do h’ là đồng cấu nhóm nên:   h '( )  h'  (s) f (s)    ( s).h '  f ( s)   sS  sS   ( s).(h ' f )(s)   (s).g(s)  h(s) sS sS Suy ra h’ = h. Nhận xét: Vì f : S  F là đơn ánh nên tính chất đồng nhất S với f ( S )và khi đó F =< S >. Ta có ánh xạ g: S  X đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu h : F  X , do đó nói gọn F là nhóm Abel tự do xác định trên S.  Định lý 4 Mọi nhóm Abel đều đẳng cấu với nhóm thương của nhóm Abel tự do. Chứng minh Giả sử X là một nhóm Abel tùy ý cho trước, bao giờ cũng tồn tại S  X để X = < S >,chẳng hạn S = X. 18 Giả sử F là nhóm Abel tự do sinh bởi S. Khi đó phép nhúng g : S  X mở rộng ra thành một đồng cấu h : F  X , ta có h( F )  X (1). Mặt khác S = g( S )  h( F ) ( do h là mở rộng của g ), mà X là nhóm sinh bởi S nên X  h( F ) (2). Từ (1) và (2) suy ra X = h( F )  h là một toàn cấu. Khi đó theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm ta có : F Kerh  X . Ta gọi tập sinh S là một cơ sở của nhóm Abel tự doF, S gọi là hạng của nhóm Abel tự doF, kí hiệu là rank( F ). 2.2. Nhóm Abel hữu hạn sinh 2.2.1. Định nghĩa Một nhóm Abel X gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một tập sinh hữu hạn. 2.2.2. Tính chất của nhóm Abel hữu hạn sinh Định lí 1 Mọi nhóm Abel với n phần tử sinh đều đẳng cấu với một nhóm thương của một nhóm Abel tự do hạng n. Chứng minh Giả sử X ==< ( x1, x2,..., xn) > là nhóm Abel. Giả sử (F, f ) là một nhóm Abel tự do sinh ra bởi S suy ra rank (F ) = n. Lấy g : S → X là phép nhúng chính tắc. Vì (F,f) là nhóm Abel tự do nên tồn tại duy nhất đồng cấu h : F → Xsao cho h f = g. Ta cần chứng minh hlà một toàn cấu. Thật vậy: Ta có h( F ) ⊂ (1) Mặt khác S = g( S ) = (h ○ f )( S ) = h[ f ( S )] ⊂ Mà X =< S > nên X ⊂ (2) 19 = X . Vậy h là một toàn cấu. Theo định lý cơ bản Từ (1) và (2) suy ra về đồng cấu nhóm ta có ≅ Định lý được chứng minh. Định lí 2 Mỗi nhóm con G và rank(G) = m của nhóm Abel tự do F hạng n là nhóm Abel tự do Hơn nữa có một cơ sở S = { u1, u2, ..., un} của F và một cơ sở B = {v1, v2, ...., vm} của G sao cho vi = ti .ui ,i = số nguyên dương thỏa mãn: ti chia hết ti + 1 , i= trong đó ti là các . Chứng minh Chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu rank (G) = 0 thì định lí đúng. Giả sử định lí đúng với rank (G) 0. Ta chứng minh định lí đúng với trường hợp rank (F) = n. là một cơ sở tùy ý của F, khi đó mọi g ∈ Giả sử ta có biểu diễn một cách duy nhất g = k1x1 + k2x2 + ... + knxn Trong đó k1, k2, ..., kn là các số nguyên. Giả sử là số nguyên dương nhỏ hất xuất hiện như là một hệ số trong các dạng tuyến tính đó. Số thuộc vào cơ sở . Giả thiết rằng cơ sở đó phụ của F đã được lựa chọn sao cho có giá trị nhỏ nhất có thể được. Đặt t1 = . Theo định nghĩa của số nguyên dương có một phần tử v1∈ G sao cho t1 xuất hiện như là một hệ số trong biểu diễn của v1. Bằng cách hoán vị các phần tử cơ sở x1, x2, ..., xn (nếu cần) ta có: v1 = t1x1 + t2x2 + ... + tnxn Trong đó k1, k2, .., kn là những số nguyên. Chia các số nguyên k1, k2, .., kn cho số nguyên dương t1, ta được: ki = qiti + ri , 20 Nếu kí hiệu u1 = x1 + q2x2 + ... + qnxn thì ta được cơ sở của F sao cho v1 = t1u1 + r2x2 + ... + rnxn. nên từ sự lựa chọn của số dương t1 suy ra ri = 0, Vì . Khi đó v1= t1u1. ∀ Gọi H là nhóm con của F sinh bởi n – 1 phần tử x1, x2, ..., xn-1 thế thì là H nhóm Abel tự do hạng n – 1. Xét nhóm con K = H ∩ G của nhóm con G của F. Vì H là nhóm Abel tự do hạng n – 1 và K là nhóm con của H nên từ giả thiết quy nạp ta có rank ( K ) ≤ n – 1. Giả sử rank ( K ) ≤ n – 1 thì m – 1 ≤ n – 1 suy ra m ≤ n. Lại theo giả thiết quy nạp có một cơ sở { u1, u2,... , un} của H và một cơ sở {v2,... , vn} của K sao cho vi = t1ui , i = , trong đó t2, t3, ..., tm là những số nguyên dương sao cho ti chia hết ti + 1, ∀ . Giả sử J là nhóm con xyclic vô hạn của F sinh ra bởi phần tử v1. Vì v1∈ G nên J⊂ . là một cơ sở của F và v1 = t1.u1 Lại có nên suy ra J ∩ K ⊂ J ∩ H = { 0 }. Mặt khác, giả sử g ∈ , vì Trong đó Do g ∈ , v1∈ là một cơ sở của F nên có: là những số nguyên. Chia c1 cho t1 ta được: nên nhóm con G chứa phần tử: k = g – qv1 = ( c1u1 + c2x2 + ... + cnxn ) – qt1u1 = ( c1u1 + c2x2 + ... + cnxn ) – c1u1 + ru1 = c2x2 + ... + cnxn + ru1 Vì nên từ sự lựa chọn của số nguyên dương t1, suy ra r = 0. Khi đó, k= c2x2 + ... + cnxn∈ . Suy ra k ∈ 21 ∩ G = K. Do vậy g = qv1 +k  J+K Vì J ∩ K = {0} nên G = J  K  G là một nhóm Abel tự do hạng m ≤ n . Ta có { u1, u2,... , un} là cơ sở của H; {v1= t1u1} là cơ sở của J và J∩H = {0} nên α = { u1, u2,... , un} là một cơ sở của F. Bây giờ ta sẽ chứng minh β = { v1, v2,... , vm} là một cơ sở của G. Thật vậy, theo chứng minh trên G = J  K nên ∀g G tồn tại duy nhất xJ , tồn tại duy nhất yK sao cho g= x+y. Vì J là nhóm Xyclic vô hạn sinh bởi v1 nên tồn tại duy nhất d1Z sao cho x=d1v1. Vì K là nhóm Abel tự do với cơ sở {v2,... , vm} nên : y= d2v2+…+dmvm, trong đó d2,…,dm là những số nguyên. Khi đó g= d1v1+d2v2+…+dmvm. Suy ra { v1, v2,... , vm} là một cơ sở của G . Ta cần phải chứng minh t1 chia hết t2 . Thật vậy chia t2 cho t1 ta được: t2 = q0t1+r0 , 0≤ r0 ≤ t1. Xét phần tử w1= u1- q0u2 thế thì { w1 , u2,... , un} cũng là một cơ sở của F . Đối với cơ sở này ta có : v2 – v1 = t2u2 – t1u1 = ( q0t1+r0) u2 - t1u1 = t1( q0u2-u1) + r0u2 = (-t1) w1 + r0u2 G Vì 0≤ r0 ≤ t1 nên từ sự lựa chọn của số nguyên t1 suy ra r0 = 0, do đó t1 chia hết t2. Định lí 3 Mọi nhóm Abel với n phần tử sinh đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp của n nhóm xyclic cấp t1, t2,…,tn với 1≤ t1 ≤ t2≤…≤tn ≤∞ và mọi ti+1 đều chia hết cho ti trong trường hợp ti+1 là hữu hạn. Chứng minh Giả sử X là một nhóm Abel tùy ý cho trước với một tập S={x1, x2,..., xn}, gồm n là phần tử sinh. 22 Theo định lí 1 ta có X đẳng cấu với nhóm thương F G của nhóm Abel tự do F hạng n sinh bởi S trên một nhóm con G Theo định lí 2 ta có G là một nhóm Abel tự do hạng m ≤ n và ta có một cơ sở của F là α = { u1, u2,... , un} và một cơ sở β = { v1, v2,... , vm} của G , trong đó t1, t2,... , tm là những số nguyên dương thỏa mãn vi = ti.ui , i = . Bây giờ ta xác định các nhóm xyclic C1, với ti + 1 chia hết cho ti , i= C2, …, Cn như sau: - Nếu i ≤ m thì Ci là nhóm xyclic cấp ti sinh bởi một phần tử . - Nếu i > m thì Ci là một nhóm xyclic vô hạn với phần tử sinh . Gọi  là tổng trực tiếp của n nhóm xyclic C1, C2, …, Cn. Ta sẽ chứng minh F G Các phần tử của  là các hàm  : M  C từ tập M = { 1, 2, …, n} vào tập C n Ci sao cho   i   Ci , i  1, n i 1 Xét hàm h: F   xác định như sau: Giả sử x ta có x = k1u1 + k2u2 + … + knun , trong đó k1, k2, …, kn là những số nguyên. Ta cho x ứng với hàm h(x) : M C cho bởi [h(x)](i) = ki Ta sẽ chứng minh G = Kerk. Thật vậy: + Với g ,g= = Suy ra h(g) = (vì Suy ra g Do đó G ⊂ Kerk + Ngược lại, giả sử g Suy ra 0= h(g) = , vì g nên có g = . Từ đó ta có ki Theo định nghĩa cấp của các phần tử ta có: 23 = 0, i = có cấp ti, i = ) q t , i  m kj   i i 0, i  m n m m i 1 i 1 i 1 Do đó g   kiui   qitiui   qi vi  G . Suy ra ker h  G (2) . Từ (1) và (2) suy ra G  Kerh. Theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm ta có: F G F KerG  . 2.3. Một số nhóm Abel hữu hạn sinh đặc biệt 2.3.1 Nhóm xyclic a) Định nghĩa: Một nhóm Xđược gọi là nhóm xyclic nếu Xđược sinh ra bởi một phần tử a ∈X. Phần tử a gọi là phần tử sinh của nhóm X, kí hiệu X = < a >. ∈ Chú ý: . Do đó - Nếu phép toán hai ngôi trong X là phép toán cộng thì - Nếu phép toán hai ngôi trong X là phép toán nhân thì ∀ ∈ ∀ ∈ . . b) Ví dụ i) Nhóm các số nguyên là nhóm xyclic sinh ra bởi phần tử 1 hoặc -1. Thật vậy, mọi m đều là bội nguyên của 1 hoặc -1. Cụ thể hơn, m  m.1  (m)(1). m  ii) Nhóm các căn phức bậc n của đơn vị, xác định bởi số phức z thỏa mãnzn=1 với phép nhân các số phức là nhóm xyclic. Z2 Z1 Z0=1 Z3 Z4 Z5 24 Hình vẽ trên minh họa nhóm xyclic các căn phức bậc n = 6 của phần tử đơn vị 1 gồm 6 phần tử tương ứng được biểu diễn là 6 đỉnh của lục giác đều. iii) Nhóm cộng các số hữu tỉ không là nhóm xyclic. Thật vậy, giả sử nhóm xyclic sinh bởi là bội của a với b a , tức là tồn tại b ∈ ∈ . Khi đó , . Hơn nữa là a phải 2b sao cho a a 2na n  2b b 2b Suy ra hay . Điều này vô lí. b) Tính chất i. Mọi nhóm xyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên . ii. Mọi nhóm xyclic hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với nhóm cộng các lớp thặng dư theo module n. iii. Giả sử X và Y là hai nhóm hữu hạn có cấp m, n tương ứng. Khi đó nhóm tích X  Y là nhóm xyclic khi và chỉ khi m và n nguyên tố cùng nhau. Chứng minh Giả sử G = là nhóm Xyclic. Xét f : Z  G xác định n an + f là ánh xạ vì n  m  a n  a m  f (n)  f (m), m, n  Z . + f là đồng cấu vì f (n  m)  a nm  a n .a m  f (n). f (m), n, m  Z . + f là toàn cấu vì x  G  x  a n , n  Z  x  a n  f (n). + Kerf  {k  Z | a k  e}. i) G là nhóm xyclic cấp vô hạn G    ord ( a )    a k  e  k  0  Kerf  {0} 25  f là đơn cấu Theo Định lí đồng cấu nhóm suy ra Z ker f ≅ imf = G hay Z ≅ G. ii) Nếu nhóm xyclic cấp  Kerf  {k  Z | a k  e}  {k  | k n}=n Theo định lí đồng cấu nhóm ta có n  imf = G hay ker f ≅ iii) Giả sử X  x có cấp là m , Y  y có cấp là n , với  m, n   1. Ta sẽ chứng minh rằng X  Y là nhóm xyclic sinh bởi phần tử (x,y). Vì X có m phần tử, Y có n phần tử nên X  Y có m.n phần tử hay cấp của X  Y bằng m.n. Ta có:  x, y  m. n   x m.n , y m.n   (eX ,eY ) Nếu  x, y k  (eX ,eY ) thì  xk , y k   (eX ,eY ) , do đó xk  eX , y k  eY . Khi đó k chia hết cho m đồng thời k chia hết cho n mà (m,n)=1 nên k chia hết cho m.n. Do đó cấp (x,y)=m.n=| X  Y | Vậy X  Y là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử (x,y). Đảo lại, giải sử X  Y là một nhóm xyclic sinh bởi  xk , y k  . Gọi t   m, n ta có: x , y   x k k t kt , y kt   (eX ,eY ) Điều này chứng tỏ t chia hết cho cấp của  xk , y k  hay t chia hết cho m.n. Vậy(m,n)=1. d) Hệ quả  m  n là nhóm xyclic khi và chỉ khi (m,n) =1.  Số phần tử sinh của m  n là   m  .   n  . 26 Trong đó   m  ,  (n) là hàm Ơle tương ứng của m và n. Chứng minh  Áp dụng tính chất iii) cho trường hợp X  m ,Y suy ra điều phải n chứng minh.  Tìm số phần tử sinh của m  n Theo phần chứng minh tính chất iii), ta có nếu m  x , n  y thì m  n có phần tử sinh là  x, y  . m có phần tử sinh là x  sinh của m m trong đó x < m, (x,m)=1 suy ra số phần tử là   m  (   m  là hàm Ơle của m) Tương tự n có số phần tử sinh là   n  . Suy ra số phần tử sinh của m  n là   m  .   n  . 2.3.2. Nhóm xyclic nguyên sơ Định nghĩa Nhóm xyclic cấp Ví dụ: Nhóm ; p nguyên tố, m ∈ gọi là nhóm xyclicnguyên sơ. là nhóm xyclic nguyên sơ sinh bởi phần tử 27 có cấp là 23. CHƯƠNG 3 SỰ PHÂN TÍCH NHÓM 3.1. Định nghĩa nhóm phân tích được, nhóm không phân tích được Định nghĩa 3.1.1 Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X , với đơn vị e. Ta nói nhóm X phân tích được thành tích trực tiếp của A và B nếu: i) AB = X ii) A ∩ B = {e} Định nghĩa 3.1.2 Một nhóm X gọi là không phân tích được nếu nó không thể phân tích ra thành tích trực tiếp của hai nhóm con không tầm thường. 3.2. Sự phân tích nhóm Mệnh đề 3.2.1 Cho G là một nhóm, A là nhóm con của G, B là nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó, AB = BA là một nhóm con của G. Hơn nữa, nếu A là nhóm con chuẩn tắc của G thì AB cũng là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh AB = {ab|a  A, bB } + Với mọi ab  AB suy ra abaB. Vì B là nhóm con chuẩn tắc của G nên aB = Ba ⊂ BA suy ra ab  BA. Do đó AB ⊂ BA (1) Tương tự ta có BA ⊂ AB (2) Từ (1) và (2) suy ra AB=BA. + Ta chứng minh AB là nhóm con của G. Thật vậy, Ta có AB ⊂ G, AB ≠ ∅ vì ee = e  AB ∀x, y  AB, giả sử x = a1b1 ; y= a2b2, (a1, a2  A; b1, b2  B) Xét tích xy-1, ta có xy-1 = a1b1(a2b2)-1 = a1(b1b2-1)a1-1(a1a2-1) 28 Vì A là nhóm con của G nên a1a2-1 G và B là nhóm con chuẩn tắc của G nên a1(b1b2-1)a1-1 B. Vậy ta có xy-1  BA =AB suy ra xy-1 AB Do đó AB là nhóm con của G. + Nếu A là nhóm con chuẩn tắc của G, ta chứng minh AB là nhóm con chuẩn tắc của G. Thật vậy, mọi x  G, mọi a  AB: a= a1b1, (a1  A; b1  B) Xét phần tử x-1ax ta có x-1ax = x-1(a1b1)= x-1a1b1x = x-1a1x x-1b1x = (x-1a1x) (x-1b1x)  AB Vậy AB là nhóm con chuẩn tắc của G. Định lí 3.2.2 Nếu nhóm G phân tích được thành tích trực tiếp của hai nhóm con chuẩn tắc A và B thì mọi phần tử của A giao hoán được với mọi phần tử của B và mỗi phần tử gG đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng g = ab, (a A; b B). Chứng minh + Với ∀ a  A, b  B ta chứng minh ab = ba. Thật vậy: Ta có (ab)(ba)-1 = (ab)(a-1b-1) =(aba-1 )b-1 B ( Vì B là nhóm con chuẩn tắc của G) Suy ra (ab)(ba)-1 A ∩ B= {e} suy ra (ab)(ba)-1 = e hay ab=ba. + Với mọi g G , Do G = AB  g = ab, (a A; b B) Ta chứng minh biểu diễn trên là duy nhất. Thật vậy: Giả sử g = ab = a1b1. Ta chứng minh: a = a1; b = b1,( a, a1  A; b, b1 B) Ta có a-1a1 = a-1a1(b1b1-1) = a-1 (a1b1 )b1-1 = a-1 (ab)b1-1 = a-1 abb1-1 = ebb1 -1 = bb1-1B Suy ra a-1a1 B mà a-1a1A Suy ra a-1a1 A ∩ B = {e}  a-1a1 = e  a-1 = a1 Hoàn toàn tương tự ta có b-1 = b1. Vậy sự biểu diễn g = ab là duy nhất. 29 Định lí 3.2.3 Giả sử A,B là các nhóm con chuẩn tắc của G sao cho A∩B = {e} và G là nhóm sinh bởi A∪B. Khi đó G= AB Chứng minh Theo giả thiết ta có A∩B = {e} nên theo chứng minh của định lí 3.2.2 ta có ab=ba, ( với mọi a A; b B ). Ta chứng minh G=AB. Thật vậy, Hiển nhiên AB  G , AB ≠ ∅ (vì e AB) suy ra với mọi xAB có x=ab, ( a A; b B) , suy ra xG . Với mọi x,y AB: x=a1b1, y=a2b2, (∀a1, a2  A; b1, b2 B), ta có : xy-1 =a1b1 (a2b2)-1 = a1b1 (b2-1a2-1) = a1 (b1 b2-1 )a2-1 = a1a2-1(b1 b2-1 )  AB suy ra xy-1 AB Vậy AB là nhóm con của G. Dễ thấy AB là nhóm con nhỏ nhất của G chứa A và B . Theo giả thiết G = . Do đó G = AB. Mệnh đề 3.2.4 Nếu nhóm G phân tích được thành tích trực tiếp của các nhóm con chuẩn tắc A và B thì G ≅ A×B. Chứng minh Theo định lí 3.2.2 mỗi phần tử x G có một biểu diễn duy nhất dưới dạng x =ab,(aA, bB) và ab = ba. Xét ánh xạ f : G  A×B ab (a,b) Khi đó f là một đẳng cấu nhóm. Thật vậy, +) Với mọi x,y  G, x= ab, y = a’b’, (a,a’  A; b,b’  B) f(xy)= f((ab)(a’b’)) = f(aba’b’)= f(bab’a’) 30 = f(bb’aa’) = f((bb’)(aa’)) = f((aa’)(bb’))= (aa’,bb’)= (a,b)(a’,b’) = f(x)f(y) Suy ra f là đồng cấu. +) f là đơn ánh. Thật vậy, Với mọi x,y  G : x=ab, y=a’b’, (a,a’  A; b,b’  B). f(x) =f(y) khi và chỉ khi (a,b)=(a’,b’) hay a=a’ và b=b’ tức là x=y. +) f là toàn ánh. Thật vậy, Với mọi y  A×B, khi đó tồn tại aA, bB để y=(a,b). Đặt x=abG thì Suy ra f(x)= f(ab)=(a,b)=y. Vậy G≅ A×B . 3.3. Sự phân tích các nhóm xyclic Bổ đề 3.3.1 Nhóm cộng các số nguyên là không phân tích được. Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử tồn tại các nhóm con không tầm thường A,B của nhóm cộng cho: = A+B, A∩B = {0}. Do là nhóm Abel nên mọi nhóm con của sao là nhóm con chuẩn tắc. Vì nhóm con của Z có dạng n , (n ) nên giả sử A=n , B=m  với m,n  Z* , ta có: nmA mnB suy ra nm  A∩B. Mặt khác mn≠0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy nhóm cộng các số nguyên Z là không phân tích được. Định lí 3.3.2 Một nhóm xyclic không phân tích được khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra 31 i) |G| =∞ ii) |G| là lũy thừa của một số nguyên tố Chứng minh Vì G là nhóm xyclic nên nếu |G| = ∞ thì G đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z. Nếu |G| = m < ∞ thì G đẳng cấu với nhóm cộng Zm các lớp thặng dư theo mô đun m. Nên có thể giả thiết nhóm xyclic G là một trong các nhóm Z hoặc Zm. *Điều kiện cần: Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử nhóm G là không phân tích được và không thỏa mãn cả hai điều kiện i), ii). Suy ra tồn tại hai số tự nhiên m,n là nguyên tố cùng nhau sao cho |G|=nm, khi đó trong nhóm Znm có hai nhóm con xyclic là: A = = {0, n, 2n, …, (m-1)n} B = = {0, m,2m,…, (n-1)m} Rõ ràng A∩B = {0}. Mặt khác, vì (n,m) =1 nên tồn tại hai số nguyên x,y sao cho xn+ym = 1 1A+B. Mà Znm = < 1 > Znm A+B. Hiển nhiên A+B  Znm . Từ đó suy ra Znm =A  B mâu thuẫn với tính không phân tích được của G Vậy điều giả sử là sai *Điều kiện đủ Có hai trường hợp xảy ra: +) Trường hợp 1 Nếu |G| =∞, vì nhóm xyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên, mà theo bổ đề 3.1.1 ta đã chứng minh được nhóm Z là không phân tích được. Vậy trong trường hợp này G là nhóm không phân tích được ccu 32 +) Trường hợp 2 Nếu |G|= p  , Với p là một số nguyên tố và  là một số tự nhiên nào đó. Nếu |G|= p thì theo định lí Lagrange G không có nhóm con thực sự nào. Do đó G không phân tích được. Giả sử >1 và Zp∝phân tích được thành tổng trực tiếp của hai nhóm con thực sự A và B. Khi đó phải tồn tại hai số tự nhiên n và m thực sự bé hơn ∝ sao cho A và B có các phần tử sinh tương ứng pn và pm. Đặt 0≠ k=max(n,m) suy ra {0}≠⊂(A∩B) Điều này mâu thuẫn với điều kiện A ∩ B = {0} Vậy G là không phân tích được. Định lí chứng minh. Hệ quả: Giả sử p là một số nguyên tố, m>0. Khi đó nhóm cộng Z p các số m nguyên module p m là không phân tích được. Bổ đề 3.3.3 Nếu n= ts, trong đó t và s nguyên tố cùng nhau thì Zn  Zt  Zs . Chứng minh +) Ta có Zn = { 0 , 1 ,…, n  1 } Vì n= ts nên t , s  Zn, 1≤t, s≤n Đặt A= t ,vì t  Zn suy ra A là nhóm con của Zn Do n = ts suy ra n = ts = st = 0 (vì n = 0 ) Suy ra cấp t = s Do đó A= t = {0 , 1. s ,…,(t-1) s } Đặt B= s . Tương tự như trên ta cũng suy ra B là nhóm con của Zn và cấp s =t Suy ra B ={ 0 , 1. s ,…,(t-1) s }. Ta có A∩B ={0} vì (t,s)=1 Mặt khác do (t,s)=1 suy ra tồn tại k,m  Z sao cho kt+ms=1 33 Với mọi =k’.( =k’. Zn: + = k’. = k’.( ) ) + k’. ∈ A+B Suy ra Zn ⊂ A+B (1) Hiển nhiên A+B  (2) Từ (1) và (2) suy ra Zn=A+B +) Mặt khác A∩B={0} Suy ra Zn=A  B mà A ≅ Zs ; B ≅ Zt Vậy Zn≅ Zt  Zs (điều phải chứng minh). Định lí 3.3.4 , trong đó pi (∀i=1, r ) là Nếu số tự nhiên n có phân tích n = các số nguyên tố khác nhau thì Zn = Z p  Z p  ...  Z p m1 1 2 m2 r mr , với miN* với mọi i= Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp theo r. Nếu r=1 thì n = , Zn = Z p , do đó định lí đúng. m1 1 Giả sử r>1 và định lí đúng với một tích lũy thừa của r-1 số nguyên tố . Ta chứng minh định lí đúng với tích lũy thừa của r số nguyên tố.Thật vậy: Đặt t = ;s= . Ta có (t,s) nguyên tố cùng nhau. Theo bổ đề 3.3.3 ta có Zn≅ Zt  Zs ≅ Zt  Z p . mr r Theo giả thiết quy nạp ta có Zt = Z p  Z p  ...  Z p m1 1 2 m2 mr 1 r 1 Vậy Zn = Z p  Z p  ...  Z p , tức định lí đúng với tích lũy thừa của r số m1 1 2 m2 r mr nguyên tố. Từ đó ta có điều phải chứng minh. 34 Hệ quả 3.3.5 Mỗi nhóm xyclic không tầm thường là không phân tích được khi và chỉ khi hoặc nó là nhóm xyclic vô hạn hoặc nó là nguyên sơ. Hệ quả 3.3.6 Mọi nhóm xyclic cấp hữu hạn,không tầm thường đều phân tích được thành tổng trực tiếp của các nhóm xyclic nguyên sơ. Ví dụ: 6  2  3 ; 15  3  5 ; 18  2  32 3.4. Sự phân tích nhóm Abel hữu hạn sinh 3.4.1. Định lí về sự tồn tại phân tích nhóm Abel hữu hạn sinh Mọi nhómAbel hữu hạn sinh đều phân tích được thành tổng trực tiếp của một số hữu hạn nhóm xyclic không phân tích được. Chứng minh: Giả sử G là một nhóm Abel có một hệ sinh n phần tử. Ta đặt Ω là tập hợp tất cả những hệ sinh gồm n phần tử của G (chú ý rằng trong một hệ sinh như thế ta chấp nhận cả phần tử không để cho đủ n phần tử). Cho a là một phần tử của G, ta ký hiệu ord(a) là cấp của phần tử a. Giả sử S  a1 ,..., an  . Ta có thể đánh số lại các i để ord(a1 )  ord (a2 )  ...  ord (an ). Ta xây dựng trên Ω một quan hệ thứ tự toàn phần  theo kiểu từ điển như sau: Cho X  b1 ,..., bn  là một phần tử khác của Ω với ord (b1 )  ord (b 2 )  ...  ord (b n ). Ta nói S  X khi và chỉ khi tồn tại một số tự nhiên i với 1  i  n , sao cho ord (a1 )  ord (b1 ), ..., ord (ai 1 )  ord (bi 1 ), ord (ai )  ord (bi ) Bây giờ, giả sử hệ sinh S đã chọn ở trên là phần tử cực tiểu trong tập hợp được sắp thứ tự Ω. Khi đó ta sẽ chứng minh rằng G là tổng trực tiếp của các 35 nhóm xyclic a1 ,... an . Dựa vào Định lí 3.3.2 và Hệ quả 3.3.6 ta có định lí được chứng minh. Giả sử ngược lại, G không phải là tổng trực tiếp của những nhóm xyclic trên. Do đó tồn tại những số nguyên m1 ,..., mn sao cho m1a1  m2 a2  ...  mn an  0, mà có ít nhất một hạng tử trong tổng trên khác không. Giả sử j là một số sao cho m1a1  ...  m j 1a j 1  0, nhưng m j a j  0. Giả thiết thêm rằng 0  m j  ord  a j  Gọi m là ước số chung lớn nhất của các số m j ,..., mn tức tồn tại những số nguyên k j ,..., k n có ước số chung lớn nhất là 1 sao cho mi  mki , i  j,..., n. Tiếp theo ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo k với k  k j  ...  kn rằng, luôn có thể tìm được các phần tử b1 ,..., bn  G sao cho G  a1 ,..., a j 1 , b j ,..., bn , trong đó bj  k j a j  k j 1a j 1  ...  kn an . Thật vậy, nếu k=1 thì kết luận trên là hiển nhiên. Với k > 1, phải có ít nhất hai số trong những số nguyên tố cùng nhau k j ,..., kn là khác không, chẳng hạn bằng cách đánh số lại ta có thể cho k j và k j 1 cùng khác không. Từ đó ta suy ra k j  k j 1  k j hoặc k j  k j 1  k j . Giả sử k j  k j 1  k j , từ đây kéo theo k j  k j 1  k j 1  ...  kn  k. Vậy, áp dụng giả thiết quy nạp theo hệ các số nguyên tố cùng nhau 36 k j  k j 1 , k j 1 ,..., kn  Đối với hệ sinh mới a1 ,..., a j 1 , a j , a j 1  a j , a j  2 ,..., an  của G, ta tìm được một hệ sinh S '  a1 ,..., a j 1 , b j ,..., bn  của G, mà b j   k j  k j 1  a j  k j 1  a j 1  a j   k j  2 a j  2  ...  kn an .  k j a j  k j 1a j 1  ...  kn an . Một cách hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được kết luận trên cho trường hợp k j  k j 1  k j . Từ biểu thức của bj ta suy ra mbj = 0. Do đó ord (b j )  m  m j  ord (a j ), Tức S’< S trong Ω. Điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của S. Vậy ta phải có n G   ai . i 1 Bây giờ xét một phân tích tùy ý cho trước G  G1  G2  ...  Gn của một nhóm Abel hữu hạn sinh G thành tổng trực tiếp của những nhóm xyclic không phân tích được. Nghĩa là một số trong các nhóm xyclic đó có cấp vô hạn, số còn lại là những nhóm xyclic nguyên sơ. Bằng cách đánh số lại thứ tự của các nhóm xyclic Gi , ta luôn có thể giả thiết phân tích trên thỏa mãn thêm điều kiện sau: Cấp của G1 là lũy thừa cao nhất của số nguyên tố nhỏ nhất p, rồi cấp của G2 tiếp theo là lũy thừa cao nhất của p trong những nhóm còn lại. Sau khi đã vét hết tất cả những nhóm có cấp là lũy thừa của p, ta tiếp tục làm như trước cho những nhóm có cấp là lũy thừa của số nguyên tố nhỏ nhất còn lại cho đến khi tất cả các nhóm Gi có cấp hữu hạn được vét hết. Cuối cùng là đến những nhóm có cấp vô hạn. Một phân tích G thành tổng trực tiếp 37 của những nhóm xyclic không phân tích được và thỏa mãn tính chất trên được goi là phân tích tiêu chuẩn của G. 3.4.2 Định lý về tính duy nhất. Cho G và H là hai nhóm Abel hữu hạn sinh với các phân tích tiêu chuẩn G  G1  G2  ...  Gn H  H1  H 2  ...  H m . Khi đó, nếu G  H, thì ta phải có n  m và Gi  H i , i  1,..., n. Chứng minh Ký hiệu t(G) là tập hợp tất cả các phần tử của G có cấp hữu hạn. Rõ ràng t(G) là một nhóm con của G (được goi là nhóm con xoắn của G). Cho f : G  H là một đẳng cấu. Vì ảnh của một phần tử có cấp hữu hạn trong G qua f cũng phải có cấp hữu hạn, nên f t G   t  H  . Do đó đẳng cấu f cảm sinh ra một đẳng cấu trên các nhóm thương f * :G t (G ) H t(H ) . Từ đây theo ta suy ra số các nhóm xyclic vô hạn trong phân tích tiêu chuẩn của G và H phải bằng nhau. Hơn nữa, sử dụng các nhóm thương trên ta có thể giả thiết t(G) = G và t(H) = H mà không làm mất tính tổng quát, tức các nhóm Gi và Hi là những nhóm xyclic nguyên sơ. Mặt khác, vì f là một đẳng cấu, nên cấp của một phần tử x  G bằng cấp của f  x   H . Khi đó, bằng lập luận hoàn toàn tương tự như trước, ta có thể giả thiết thêm mà không làm mất tính tổng quát rằng mọi phần tử của G và H có cấp là lũy thừa của cùng một số nguyên tố p. Tức, cấp của các nhóm xyclic 38   Gi và Hi sẽ có dạng là p i và p i . Do các phân tích đã cho của G và H là những phân tích tiêu chuẩn, nên ta có 1   n  ...  1 ; 1   m  ...  1. Ta chứng minh n = m và  i  i với mọi i  1,..., n. Thật vậy, xét các nhóm con A  G và B  H được sinh bởi tất cả các phần n m tử cấp p trong G và H. Dễ thấy A  p và B  p . Vì f  A  B và f là một song ánh, nên p n  p m . Vậy ta nhận được n = m. Ta sẽ chứng minh  i  i bằng phản chứng. Giả sử rằng tốn tại một số k nào đó mà  k   k trong khi  k   k , i  k . Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng  k   k . Xét các nhóm con C  G và D  H được xác định bởi:     C  x  G | a  G, x  pk a D  y  H | b  H , y  pk b Rõ ràng f (C )  D , nên C  D . Gọi a1 ,...., an là các phần tử sinh của các nhóm con xyclic tương ứngG1,...Gn. Dễ chứng minh được rằng C  pk a1 ,..., pk an . k 1   . Từ đây suy ra C   p i k i 1 Trong khi đó, một cách tương tự ta có n D p i 1 i  k C n  p i  k C i k Điều này mâu thuẫn với C  D . Định lý được chứng minh xong. 39  Đăc biệt, khi hai nhóm Abel G và H trùng nhau thì ta được hệ quả sau đây. Hệ quả 1. Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh đều có một phân tích tiêu chuẩn duy nhất. Số các hạng tử xyclic vô hạn trong phân tích tiêu chuẩn của một nhóm Abel hữu hạn sinh G được gọi là hạng của nhóm đó. Cấp của các nhóm xyclic nguyên sơ trong phân tích tiêu chuẩn G được gọi là các bât biến nguyên sơ của G. Các bất biến nguyên sơ này cùng với hạng của G lập thành một hệ được gọi là hệ bất biến đầy đủ của G. Khi đó, hệ quả sau đây được suy ra lập tức từ Định lý 3.4.2. Hệ quả 2. Một nhóm Abel hữu hạn sinh được xác định hoàn toàn bởi hệ bất biên đầy của của nó. Tức là, nếu hai nhóm Abel hữu hạn sinh nào có cùng hạng và cùng các bất biến nguyên sơ thì chúng đảng cấu với nhau. 3.4.3. Định lí cơ bản Giả sử G là nhóm Abel hữu hạn sinh. Khi đó đối với nhóm G tồn tại duy nhất một phân tích dạng: G t  n1  n2  ...  ns (1) Trong đó thì n1  1 và ni chia hết ni 1 , 1  i  s Chứng minh Vì mỗi nhóm xyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên và mỗi nhóm xyclic hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với nhóm cộng , do đó tồn tại phân tích (1) của nhóm Abel hữu hạn sinh là hệ quả trực tiếp của định lí 2(phần 2.2.2) Ta chứng minh tính duy nhất của phân tích này. Kí hiệu  (G ) là nhóm con xoắn của G ta có: 40  (G)  Z n  Z n  ...  Z n 1 G  (G)  Z 2 s t Trong đó t là hạng của nhóm Abel tự do G   (G)  Zn  Zn  ...  Zn nên t 1 2 s không phụ thuộc vào phân tích (1).Để chứng minh tính duy nhất của n1 , n2 ,..., ns ta có thể giả thiết G là nhóm hữu hạn. Khi đó: G   (G)  n1  n2  ...  ns Do đó ta sẽ chứng minh tính duy nhất của n1 , n2 ,..., ns với giả thiết nhóm G đẳng cấu với tổng trực tiếp n1   ...  n2 ns trong đó n1  1 và ni chia hết ni 1 ,1  i  s . Vì mỗi nhóm ni , i  1, s đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số hữu hạn các nhóm xyclic nguyên sơ, do đó nhóm G có thể biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp các nhóm xyclic nguyên sơ.Khi đó chỉ có một cách duy nhất trở về phân tích của nhóm G dưới dạng n1  n2  ...  ns trong đó n1  1 và ni chia hết ni 1 ,1  i  s . Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng đối với mỗi số nguyên tố p và số nguyên dương r thì số lần xuất hiện của nhóm xyclic nguyên sơ Z p trong r biểu diễn nào đó của nhóm G dưới dạng tổng trực tiếp của các nhóm xyclic nguyên sơ chỉ phụ thuộc vào nhóm G. Giả sử G được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của nhóm xyclic nguyên sơ nào đó và p là một số nguyên tố, n là số lớn nhất trong các số nguyên r sao cho nhóm xyclic nguyên sơ là số lần xuất hiện của nhóm pr xuất hiện trong phân tích đã cho. Gọi  ( p, r ) pr ,1  r  n trong phân tích. Ta kí hiệu G  p  là tập các phần tử cấp p của nhóm G thì G  p  là nhóm con của nhóm G. Từ biểu diễn của nhóm G ta suy ra G  p   p r G đẳng cấu với tổng trực tiếp của ( p ) ( p,n) ...  ( p,r 1) ,0  r  n 41 Vậy ta có: p ( p ,n )... ( p,r 1)  card (G  p   p r G) , dẫn đến:  ( p , n )  ...   ( p , r  1)  log( card (G p  p r G ) log p Vậy với 0≤r với S,={e1, e2,…,en } với ei   ij  , i, j  1, n Xét ánh xạ f : S ,  G ei xi , i  1, 2,..., n Theo bài 7 thì tồn tại duy nhất đồng cấu F: Zn  G sao cho F  ei   xi , i  1, 2,..., n theo bài 8 thì F là toàn cấu. Nên G = F ( Z ). Vậy mọi n nhóm Abel hữu hạn sinh đều là ảnh đồng cấu của Zn . Bài 11. Cho G là nhóm Abel sinh bởi 2 phần tử đều có cấp 2. Chứng minh rằng G có một nhóm con có chỉ số 2. Giải. Gọi G  a, b , cấp a bằng 2, cấp b bằng 2. Với mọi g  G, ta có g = ambn, m, n  Z, khi đó g  a 2 s  r b2 s  r với , , 0  r, r ,  2 Nếu r = r, = 0 thì g = e Nếu r = 0 và r, = 1 thì g = b Nếu r = 1 và r, = 0 thì g = a Nếu r = r, = 1 thì g = ab Do đó G  e, a, b, ab. 4 2 Gọi H  a  e, a , khi đó G : H    2 Suy ra điều cần chứng minh. Bài 12. Tìm tất cả các nhóm Abel sai khác một đẳng cấu có cấp 360. Giải. Ta có 360 =23.32.5 do đó theo định lý 3.3.4 ta có tất cả 6 nhóm thỏa đề bài là 49 2  2  2  3  3  2  4  3  3  5 ; 2  2  2  9  5 ; 2  4  9  5 8  3  3  5 8  9  5 . 5 ; ; ; Bài 13. Chứng minh rằng nếu X là nhóm chỉ có các nhóm con tầm thường là {e }và X thì X là nhóm xyclic, hữu hạn, cấp nguyên tố. Giải. Lấy x  X , x  e . Xét nhóm con < x >. Vì  x  {e} nên < x> = X. Vậy X là nhóm xyclic. Nếu x có cấp vô hạn thì  x 2  là nhóm con thực sự của X (trái giả thiết). Vậy X phải có cấp hữu hạn n. Nếu n không phải là số nguyên tố, tức n = n1n2 ( n1 , n2  , 1< n1, n2 [...]... (1) và (2) suy ra X = h( F )  h là một toàn cấu Khi đó theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm ta có : F Kerh  X Ta gọi tập sinh S là một cơ sở của nhóm Abel tự doF, S gọi là hạng của nhóm Abel tự doF, kí hiệu là rank( F ) 2.2 Nhóm Abel hữu hạn sinh 2.2.1 Định nghĩa Một nhóm Abel X gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một tập sinh hữu hạn 2.2.2 Tính chất của nhóm Abel hữu hạn sinh Định lí 1 Mọi nhóm Abel. .. tử sinh của m  n là   m    n  2.3.2 Nhóm xyclic nguyên sơ Định nghĩa Nhóm xyclic cấp Ví dụ: Nhóm ; p nguyên tố, m ∈ gọi là nhóm xyclicnguyên sơ là nhóm xyclic nguyên sơ sinh bởi phần tử 27 có cấp là 23 CHƯƠNG 3 SỰ PHÂN TÍCH NHÓM 3.1 Định nghĩa nhóm phân tích được, nhóm không phân tích được Định nghĩa 3.1.1 Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X , với đơn vị e Ta nói nhóm X phân. .. nhóm X phân tích được thành tích trực tiếp của A và B nếu: i) AB = X ii) A ∩ B = {e} Định nghĩa 3.1.2 Một nhóm X gọi là không phân tích được nếu nó không thể phân tích ra thành tích trực tiếp của hai nhóm con không tầm thường 3.2 Sự phân tích nhóm Mệnh đề 3.2.1 Cho G là một nhóm, A là nhóm con của G, B là nhóm con chuẩn tắc của G Khi đó, AB = BA là một nhóm con của G Hơn nữa, nếu A là nhóm con chuẩn... Mọi nhóm Abel với n phần tử sinh đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp của n nhóm xyclic cấp t1, t2,…,tn với 1≤ t1 ≤ t2≤…≤tn ≤∞ và mọi ti+1 đều chia hết cho ti trong trường hợp ti+1 là hữu hạn Chứng minh Giả sử X là một nhóm Abel tùy ý cho trước với một tập S={x1, x2, , xn}, gồm n là phần tử sinh 22 Theo định lí 1 ta có X đẳng cấu với nhóm thương F G của nhóm Abel tự do F hạng n sinh bởi S trên một nhóm. .. với mọi phần tử của B trong nhóm A×B: b = ( , eB )( eA , b) = ( ,b) = ( eA , b)( , eB ) = , ∀  A; b B (5) Trong nhóm A×B thì A∩B = {e} (6) Nhóm A×B được sinh bởi tập A∪B tức là A×B = (7) A, B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm A B (8) ( A  B) A  B, ( A  B) B  A 10 CHƯƠNG 2 NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH Trong chương này phép toán trên nhóm Abel được viết theo lối cộng và phần tử không luôn được... đó g   kiui   qitiui   qi vi  G Suy ra ker h  G (2) Từ (1) và (2) suy ra G  Kerh Theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm ta có: F G F KerG   2.3 Một số nhóm Abel hữu hạn sinh đặc biệt 2.3.1 Nhóm xyclic a) Định nghĩa: Một nhóm Xđược gọi là nhóm xyclic nếu Xđược sinh ra bởi một phần tử a ∈X Phần tử a gọi là phần tử sinh của nhóm X, kí hiệu X = < a > ∈ Chú ý: Do đó - Nếu phép toán hai ngôi... v1= t1u1 ∀ Gọi H là nhóm con của F sinh bởi n – 1 phần tử x1, x2, , xn-1 thế thì là H nhóm Abel tự do hạng n – 1 Xét nhóm con K = H ∩ G của nhóm con G của F Vì H là nhóm Abel tự do hạng n – 1 và K là nhóm con của H nên từ giả thiết quy nạp ta có rank ( K ) ≤ n – 1 Giả sử rank ( K ) ≤ n – 1 thì m – 1 ≤ n – 1 suy ra m ≤ n Lại theo giả thiết quy nạp có một cơ sở { u1, u2, , un} của H và một cơ sở {v2,...  Định lý 4 Mọi nhóm Abel đều đẳng cấu với nhóm thương của nhóm Abel tự do Chứng minh Giả sử X là một nhóm Abel tùy ý cho trước, bao giờ cũng tồn tại S  X để X = < S >,chẳng hạn S = X 18 Giả sử F là nhóm Abel tự do sinh bởi S Khi đó phép nhúng g : S  X mở rộng ra thành một đồng cấu h : F  X , ta có h( F )  X (1) Mặt khác S = g( S )  h( F ) ( do h là mở rộng của g ), mà X là nhóm sinh bởi S nên... cấu từ nhóm X đến nhóm Y Khi đó : i) f (ex ) = ey ii) f (x-1) = [f(x)-1] với mọi xX c) Tính chất 3 Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là một nhóm con của X và B là một nhóm con chuẩn tắc của Y Khi đó: i) f(A) là một nhóm con của Y ii) f-1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X 8 d) Tính chất 4 Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Khi đó: i) f là toàn ánh nếu và chỉ... xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A Nhận xét Nếu X là nhóm Abel thì X A cũng là nhóm Abel 1.6 Đồng cấu nhóm 1.6.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.6.1 Cho X, Y là hai nhóm, cùng với các phép toán hai ngôi tương ứng là () và (.) Một đồng cấu nhóm từ X đến Y là một ánh xạ f : X → Y sao cho: f( b) = f( ).f(b) với mọi ∈ Nếu X=Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X Một đồng cấu nhóm và là đơn ... biệt, hai nhóm Abel G H trùng ta hệ sau Hệ Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh có phân tích tiêu chuẩn Số hạng tử xyclic vô hạn phân tích tiêu chuẩn nhóm Abel hữu hạn sinh G gọi hạng nhóm Cấp nhóm xyclic... hữu hạn sinh 19 2.3 Một số nhóm Abel hữu hạn sinh đặc biệt 24 CHƯƠNG SỰ PHÂN TÍCH NHÓM 28 3.1 Định nghĩa nhóm phân tích được, nhóm không phân tích 28 3.2 Sự phân tích nhóm. .. tập sinh hữu hạn 2.2.2 Tính chất nhóm Abel hữu hạn sinh Định lí Mọi nhóm Abel với n phần tử sinh đẳng cấu với nhóm thương nhóm Abel tự hạng n Chứng minh Giả sử X ==< ( x1, x2, , xn) > nhóm Abel