Phức đơn hình có các nhóm đồng điều đẳng cấu với các nhóm abel hữu hạn sinh cho trước

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ CÁC NHĨM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƢỚC Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực Lớp : TS Lƣơng Quốc Tuyển : Lê Thị Thu Nguyệt : 13ST Đà Nẵng, 05/2017 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH .4 1.1 CÁC PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ CÁC ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH 1.2 CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỒNG ĐIỀU RÚT GỌN 15 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ CÁC NHĨM Đ 27 2.1 SỰ TỒN TẠI CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ NHÓM ĐỒNG ĐIỀU - CHIỀU ĐẲNG CẤU V 27 2.2 SỰ TỒN TẠI CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ NHÓM ĐỒNG ĐIỀU p - CHIỀU ĐẲNG CẤU V 30 2.3 SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NH 31 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Bài toán phân loại topo toán ngành Topo : “Tìm điều kiện để hai khơng gian topo đồng phôi không đồng phôi với nhau” Để giải phần vấn đề người ta đặt tương ứng không gian topo, số nguyên p với nhóm Abel (được gọi nhóm đồng điều p - chiều không gian này) ánh xạ liên tục hai không gian topo với đồng cấu nhóm nhóm đồng điều p - chiều chúng Khi hai không gian topo đồng phôi nhóm đồng điều p chiều chúng đẳng cấu, để phân loại topo người ta thường tính nhóm đồng điều nhóm đồng điều chúng khơng đẳng cấu khơng gian topo khơng đồng phơi với Có hai loại lý thuyết Đồng điều Đồng điều đơn hình Đồng điều Kỳ dị, chúng tơi xét đến Đồng điều đơn hình Ta biết nhóm đồng điều kỳ dị p - chiều (p ∈ Z) không gian topo nhóm Abel; Như phát sinh vấn đề liệu nhóm Abel cho trước có tồn khơng gian topo có nhóm đồng điều kỳ dị p - chiều đẳng cấu với nhóm không? Vấn đề trả lời khẳng định Moore (xem [5]): Với p ≥ 1, với nhóm Abel G, tồn CW - phức X có nhóm đồng điều kỳ dị p - chiều đẳng cấu với nhóm G, người ta khơng nói CW - phức X có phức đơn hình hay khơng (lớp tất phức đơn hình chứa lớp tất CW - phức) để tính nhóm đồng điều kỳ dị CW - phức người ta phải sử dụng đến lý thuyết đồng điều CW - phức bậc ánh xạ liên tục từ mặt cầu vào Tương tự vậy, ta biết nhóm đồng điều đơn hình p - chiều (p ≥ 1) phức đơn hình hữu hạn nhóm Abel hữu hạn sinh; Như phát sinh câu hỏi liệu nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước có tồn phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồng điều đơn hình p - chiều đẳng cấu với nhóm khơng? Nội dung Khóa Luận trả lời khẳng định cho câu hỏi trên; Ở ta giải Bài toán tổng quát hơn: Cho G0 , G1 , G2 , dãy nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước mà G0 tự tồn p0 ≥ 0: Gp = 0, ∀p > p0 tồn phức đơn hình hữu hạn K có nhóm đồng điều p - chiều đẳng cấu với Gp , với p ≥ (Sở dĩ ta giả thiết G0 nhóm Abel nhóm đồng điều - chiều phức đơn hình nhóm Abel tự do) Trong khóa luận này, chúng tơi sử dụng kỹ thuật [7] tính tốn trực tiếp nhóm đồng điều chiều thấp đơn hình; Đối với việc tính tốn nhóm đồng điều chiều cao sử dụng đến dãy khớp Mayer - Vietoris Tác giả xin chân thành cám ơn Thầy Giáo, Cô Giáo Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà nẵng giúp đỡ Tác giả năm qua, đặc biệt Thầy Giáo Lương Quốc Tuyển, Đặng Văn Riền, Phan Đức Tuấn Tác giả cám ơn bạn bè lớp động viên suốt q trình làm Khóa Luận CHƯƠNG ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH Trong Chương ta trình bày khái niệm đơn hình, phức đơn hình, đồng điều đơn hình nêu vài kết liên quan đến chúng, phần lớn trình bày theo [6] 1.1 CÁC PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ CÁC ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH Cho trước không gian Euclide RN , hệ phần tử {a0 , a1 , , an } RN gọi độc lập affine (hay gọi độc lập hình học) ∀t0 , t1 , , tn ∈ R n n ∑ ∑ ti = 0, ti = ⇔ t0 = t1 = = tn = i=0 i=0 Ta có nhận xét hệ gồm phần tử độc lập affine hệ {a0 , a1 , , an } độc lập affine hệ {a1 − a0 , , an − a0 } độc lập tuyến tính; Từ nhận xét ta suy tính độc lập affine khơng phụ thuộc vào việc thay đổi thứ tự phần tử hệ Ta thấy hệ gồm điểm phân biệt độc lập affine, hệ gồm điểm không nằm đường thẳng độc lập affine Cho hệ {a0 , a1 , , an } RN độc lập affine, tập n n ∑ ∑ P = {x = ti / ti = 1} i=0 i=0 gọi n - phẳng (hay không gian affine) xác định hệ ∑ ∑ {a0 , a1 , , an }; Do tính độc lập affine nên biễu diễn x = ni=0 ti , ni=0 ti = ∑ ∑n ′ ∑n (có nghĩa ni=0 ti = a với t i i i=0 i=0 ti = ∑n ′ 1, i=0 ti = t0 = t′0 , t1 = t′1 , , tn = t′n ) Ta nhận thấy n ∑ P = {x = a0 + ti (ai − a0 )/t1 , t2 , , tn ∈ R} i=1 P gọi ”phẳng qua a0 song song với vector − a0 “ Ta kiểm tra rằng: Đối với hệ độc lập affine {a0 , a1 , , an } RN w ∈ RN hệ {a0 , a1 , , an , w} độc lập affine w∈ / P (ở P n - phẳng xác định hệ {a0 , a1 , , an }) Một phép biến đổi affine RN định nghĩa hợp phép tịnh tiến phép biến đổi tuyến tính không suy biến RN Nếu T phép biến đổi affine, {a0 , a1 , , an } hệ phần tử RN ; Khi {T (a0 ), T (a1 ), , T (an )} độc lập affine {a0 , a1 , , an } độc lập affine ảnh n - phẳng xác định hệ {a0 , a1 , , an } n - phẳng xác định hệ {T (a0 ), T (a1 ), , T (an )} Cho hệ {a0 , a1 , , an } độc lập affine RN , T : RN → RN phép tịnh tiến xác định T (x) = x − a0 , ∀x ∈ RN ảnh P qua T (ở P n - phẳng xác định hệ {a0 , a1 , , an }) không gian tuyến tính RN với sở {a1 − a0 , , an − a0 } nên ảnh khơng gian tuyến tính n chiều RN ; Hơn T ′ : RN → RN phép tịnh tiến mà P có ảnh qua T ′ khơng gian tuyến tính RN T (P ) = T ′ (P ) (ta kiểm tra điều sau: Ta đặt T ′ (x) = x + a, ∀x ∈ RN , T ′ (P ) = T (P ) + a + a0 ⇒ a + a0 ∈ T ′ (P ) (do T (P ) khơng gian tuyến tính RN ) ⇒ −a − a0 ∈ T ′ (P ) (do T ′ (P ) khơng gian tuyến tính RN ) ∀w ∈ T (P ), w + a + a0 ∈ T ′ (P ) ⇒ w = w + a + a0 − a − a0 ∈ T ′ (P ) ⇒ T (P ) ⊂ T ′ (P ), tương tự ta có T ′ (P ) ⊂ T (P ); T (P ) = T ′ (P )) Từ nhận xét giải thích ta gọi P n - phẳng Định nghĩa 1.1.1 Cho hệ {a0 , a1 , , an } độc lập affine RN , ∑n ∑n σ = {x = t a /t , t , , t ≥ 0, n i=0 i i i=0 ti = 1} gọi đơn hình n - chiều sinh hệ {a0 , a1 , , an } ký hiệu < a0 , a1 , , an > hay conv{a0 , a1 , , an } Bộ số (t0 , t1 , , tn ) Định nghĩa xác định từ x ti gọi tọa độ trọng tâm thứ i x hệ {a0 , a1 , , an } Ta có (1) Các hàm tọa độ trọng tâm ti (x) hàm liên tục theo x (ti : σ → R) (2) σ hợp tất đoạn thẳng nối điểm a0 với điểm đơn hình s =< a1 , , an > Hai đoạn thẳng khác có giao tập điểm {a0 } (3) σ tập lồi, compact RN giao tất tập lồi RN chứa a0 , a1 , , an (4) Đối với n - đơn hình σ cho trước, tồn tập {b0 , b1 , , bn } mà σ =< b0 , b1 , , bn > (thật cho σ =< a0 , a1 , , am >, hệ {a0 , a1 , , an } độc lập affine nên phần tử hệ a0 , a1 , , am phân biệt, phần tử b0 , b1 , , bn phân biệt Ta chứng minh tập hợp {a0 , a1 , , am }, {b0 , b1 , , bn } nhau: Xét b0 , Giả sử b0 ∈ / {a0 , a1 , , am } ⇒ a0 ̸= b0 , , am ̸= b0 Đặt a0 = t00 b0 + t10 b1 + + tn0 bn → t00 < Tương tự a1 = t01 b0 + t11 b1 + + tn1 bn → t01 < am = t0m b0 + t1m b1 + + tnm bn → t0m < Do < a0 , a1 , , am >=< b0 , b1 , , bn > đặt b0 = α0 a0 + α1 a1 + + αm am = (α0 t00 + α1 t10 + + αm tm )b0 ⇒ α0 t00 + α1 t10 + + αm tm =1 ∑m i=0 αi = ⇒ ∃k ∈ {0, 1, , m} : αk ̸= ⇒ α0 t00 + α1 t10 + + αm tm < α0 + α1 + + αm = → < (vô lý) → b0 ∈ {a0 , a1 , , am } Như b0 ∈ {a0 , a1 , , am }, tương tự ta có b1 , , bn ∈ {a0 , a1 , , am } tương tự {a0 , a1 , , am } ⊂ {b0 , b1 , , bn } {a0 , a1 , , am } = {b0 , b1 , , bn }) Cho σ n - đơn hình sinh hệ độc lập affine {a0 , a1 , , an } điểm a0 , a1 , , an gọi đỉnh đơn hình σ , số n gọi chiều σ Một đơn hình τ sinh hệ hệ {a0 , a1 , , an } gọi mặt σ (ta ký hiệu τ ≼ σ ), mặt sinh hệ {a0 , a1 , , ai−1 , ai+1 , , an } gọi mặt đối diện với đỉnh Mỗi mặt τ σ mà khác σ gọi mặt riêng hay mặt thực σ (ta ký hiệu τ ≺ σ ) Hợp tất mặt riêng σ gọi biên σ ký hiệu Bdσ (chú ý biên theo nghĩa khác biên theo nghĩa topo biên - đơn hình tập rỗng) Phần σ định nghĩa đẳng thức Intσ = σ\Bdσ (cũng ý phần khác với phần theo nghĩa topo phần - đơn hình trùng với - đơn hình này), tập Intσ đơi gọi đơn hình mở (mặc dù khơng mở) Từ Bdσ tập tất điểm x mà có tọa độ trọng tâm nên Intσ tập tất điểm x mà tất tọa độ trọng tâm khác (hay dương) Ta có (5) Intσ tập lồi tập mở P (ở P n phẳng xác định hệ {a0 , a1 , , an } σ đơn hình sinh {a0 , a1 , , an }) Intσ có bao đóng σ (trong không gian topo P hay không gian topo RN thế); Hơn Intσ hợp tất khoảng mở mà đầu a0 đầu khác thuộc Ints, với s mặt σ đối diện với a0 Cho n ∈ N, trang bị chuẩn Euclide ||.|| Rn ; Quả cầu đơn vị đóng n - chiều B n tập tất điểm x = (x1 , , xn ) ∈ Rn mà ||x|| ≤ 1, mặt cầu đơn vị S n−1 tập tất điểm x = (x1 , , xn ) ∈ Rn + mà ||x|| = Nửa mặt cầu En−1 S n−1 tập tất điểm − x = (x1 , , xn ) ∈ Sn−1 mà xn ≥ 0, Nửa mặt cầu En−1 S n−1 tập tất điểm x = (x1 , , xn ) ∈ Sn−1 mà xn ≤ Với định nghĩa này, B không gian điểm, B đoạn [−1, 1], S không gian hai điểm {−1; 1} B hình trịn đơn vị đóng, S đường trịn đơn vị đóng (6) Tồn đồng phôi từ σ lên cầu đơn vị đóng B n mà ảnh Bdσ S n−1 Thật (6) hệ bổ đề sau Bổ đề 1.1.2 Cho U tập mở, lồi, giới nội không gian Rn w ∈ U ; Khi ¯ \U điểm (1) Mỗi tia phát xuất từ w giao với BdU = U ¯ lên cầu đơn vị đóng B n mà ảnh (2) Tồn đồng phôi từ U BdU S n−1 ✷ Bây ta định nghĩa phức đơn hình Định nghĩa 1.1.3 Một phức đơn hình K RN họ đơn hình RN thỏa mãn điều kiện: (1) ∀σ ∈ K, ∀τ ≼ σ, τ ∈ K (2) ∀σ, τ ∈ K; σ ∩ τ = ∅ σ ∩ τ mặt chung đơn hình σ, τ Ta có Bổ đề 1.1.4 Cho K họ đơn hình RN ; Khi K phức đơn hình thỏa mãn điều kiện: (1) ∀σ ∈ K, ∀τ ≼ σ, τ ∈ K (2’) ∀σ, τ ∈ K mà σ ̸= τ Intσ ∩ Intτ = ∅ ✷ Định nghĩa 1.1.5 Cho K phức đơn hình, L họ K mà với σ ∈ L, với τ ≼ σ τ ∈ L; Khi L phức đơn hình L gọi phức K Với p ∈ N, ta ký hiệu K (p) phức K gồm tất đơn hình thuộc K có chiều nhỏ hay p, phức gọi p - khung K Với {v} ∈ K (0) v gọi đỉnh K ta thường đồng v với {v} Định nghĩa 1.1.6 Cho K phức đơn hình với đơn hình nằm khơng gian RN , |K| hợp tất đơn hình thuộc K , đơn hình có topo tự nhiên với topo cảm sinh từ không gian RN , |K| ta trang bị topo sau: ”Một tập A |K| gọi đóng |K| A ∩ σ đóng σ , với σ ∈ K “ Rõ ràng cách xác định đắn |K| gọi giá hay không gian trải K ; Topo |K| gọi topo coherent Một không gian topo mà không gian trải phức đơn hình gọi đa diện Ta nhận thấy |K| có topo cảm sinh từ không gian R ; Topo gọi topo cảm sinh Nói chung hai topo khác nhau, topo coherent mạnh topo cảm sinh (xem [7], trang 9) K phức đơn hình hữu hạn (K họ hữu hạn) hai topo trùng Nếu khơng có thích ngược lại topo xét giá phức đơn hình ln ln hiểu topo coherent N Ta có bổ đề sau Bổ đề 1.1.7 Nếu L phức phức đơn hình K |L| đóng |K|; Trường hợp riêng ∀σ ∈ K σ đóng |K|.✷ Bổ đề 1.1.8 Cho phức đơn hình K , X khơng gian topo, ánh xạ f : |K| → X ; Khi f liên tục f |σ : σ → X liên tục, với σ ∈ K ✷ Định nghĩa 1.1.9 Cho X không gian topo, C họ không gian X mà có hợp X Topo X gọi coherent họ C tập A X đóng X A ∩ C đóng C , với C ∈ C ; Điều tương đương với tập A X mở X A ∩ C mở C , với C ∈ C Ta nhận thấy topo |K| coherent họ K Tương tự Bổ đề 1.1.8, ta có Bổ đề 1.1.10 Cho không gian topo X, Y , cho C họ 26 e1 ∈ C1 (K) cho c0 = ∂e1 ; Khi ∂([w2 , e1 ]−[w1 , e1 ]) = e1 −[w2 , ∂e1 ]− e1 + [w1 , ∂e1 ] = [w1 , c0 ] − [w2 , c0 ] nên [w1 , c0 ] − [w2 , c0 ] ∈ B1 (S(K)) φ0 đồng cấu nên (φ0 )∗ xác định đắn đồng cấu Bây ta chứng minh (φ0 )∗ đơn cấu: ˜ (K) mà (φ0 )∗ (c0 + B0 (K)) = B1 (S(K)); Từ Cho c0 + B0 (K) ∈ H [w1 , c0 ] − [w2 , c0 ] + B1 (S(K)) = B1 (S(K)) hay [w1 , c0 ] − [w2 , c0 ] ∈ B1 (S(K)) nên tồn [w1 , e1 ] + [w2 , f1 ] + g2 ∈ C2 (S(K)) mà ∂([w1 , e1 ] + [w2 , f1 ] + g2 ) = [w1 , c0 ] − [w2 , c0 ] hay e1 − [w1 , ∂e1 ] + f1 − [w2 , ∂f1 ] + ∂g2 = [w1 , c0 ]−[w2 , c0 ]; Như ∂(−e1 ) = c0 (ở ta xét - xích hai vế đẳng thức mà ghép với w1 ) Vì c0 ∈ B0 (K) hay c0 + B0 (K) = B0 (K) nên (φ0 )∗ đơn cấu Bây ta chứng minh (φ0 )∗ toàn cấu: Với [w1 , e0 ] + [w2 , f0 ] + g1 + B1 (S(K)) ∈ H1 (S(K)) mà [w1 , e0 ] + [w2 , f0 ] + g1 ∈ Z1 (S(K)), ta ∂([w1 , e0 ] + [w2 , f0 ] + g1 ) = 0, từ e0 − ϵ(e0 )w1 + f0 − ϵ(e0 )w2 + ∂g1 = 0, e0 + f0 + ∂g1 = ϵ(e0 ) = 0, từ [w1 , e0 ] + [w2 , f0 ] + g1 + B1 (S(K)) = [w1 , e0 ] + [w2 , −e0 − ∂g1 ] + g1 + B1 (S(K)) = [w1 , e0 ] − [w2 , e0 ] − [w2 , ∂g1 ] + g1 + B1 (S(K)) = [w1 , e0 ]−[w2 , e0 ]+∂[w2 , g1 ]+B1 (S(K)) = [w1 , e0 ]−[w2 , e0 ]+B1 (S(K)) = (φp )∗ (e0 + B0 (K)) (φp )∗ toàn cấu (chú ý e0 ∈ kerϵ ϵ(e0 ) = 0) ˜ (K) → H ˜ (S(K)) đẳng cấu (chú ý Như (φ0 )∗ : H ˜ (S(K)) = H1 (S(K))) H 27 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƯỚC 2.1 SỰ TỒN TẠI CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ NHĨM ĐỒNG ĐIỀU - CHIỀU ĐẲNG CẤU VỚI MỘT NHÓM CYCLIC HỮU HẠN CHO TRƯỚC Trong tiết nhóm cyclic hữu hạn cho trước, ta xây dựng phức đơn hình mà có nhóm đồng điều chiều đẳng cấu với nhóm (xem [4]) Sau cách tương tự ta phức đơn hình mà có nhóm đồng điều chiều đẳng cấu với nhóm Định lý 2.1.1 Với nhóm cyclic hữu hạn cho trước, tồn phức đơn hình hữu hạn mà có nhóm đồng điều chiều đẳng cấu với Chứng minh Đối với m ∈ N∗ mà m ≥ Cho M phức đơn hình biểu diễn đa giác m- cạnh Hình 2.1 Đầu tiên ta quy 1- chu trình 1- chu trình đặc biệt cách sau: Đối với 1- xích c cho trước, cho α giá trị c [o, u1 ]; Khi cách tính tốn trực tiếp, xích c1 = c − ∂2 (α[o, u1 , u2 ]) có giá trị đơn hình định hướng [o, u1 ] Như ta thấy, cách cải biên c tốn tử biên, ta “đẩy [o, u1 ] khỏi nó” c đồng điều với c1 Sau ta “đẩy [u1 , u2 ] khỏi c1 ” tương tự thế: Cho β giá trị c1 [u1 , u2 ]; Xích c2 = c1 + ∂2 (β[u1 , I1 , u2 ]) có giá trị đơn hình định hướng [u1 , u2 ] c2 có giá trị 28 Figure 2.1 Figure 2.2 [o, u1 ], [o, u1 ] không xuất biểu diễn ∂2 ([u1 , I1 , u2 ]) c1 đồng điều với c2 Vì ta đẩy [o, u1 ], [u1 , u2 ] khỏi c Bằng cách tương tự, ta sử dụng đơn hình định hướng [I1 , u1 , p] để đẩy [I1 , u1 ] khỏi c dùng [I1 , p, q] đẩy [I1 , p], [I1 , q, u2 ] đẩy [I1 , q], [q, a, u2 ] đẩy [u2 , q], [u1 , a, p] đẩy [u1 , p] Tiếp tục trình cho tam giác chứa điểm I2 , I3 , , Im , c đồng điều với 1- xích d, mà có giá phức M biểu diễn Hình 2.2 Chú ý phức không chứa đơn hình [o, u1 ], [o, u2 ], , [o, um−1 ], chứa đơn hình [o, um ] 29 Bây c chu trình, d chu trình; Ta suy giá trị d đơn hình [o, um ] phải (Vì ngược lại, ∂1 d có giá trị khác khơng đỉnh o.) Ta thấy giá trị d đơn hình [u2 , I1 ], [u3 , I2 ], , [um , Im−1 ], [u1 , Im ] phải (Vì ngược lại, ∂1 d có đỉnh I1 , I2 , , Im có giá trị khác không.) Ta thấy giá trị d đơn hình [u1 , a], [u2 , a], , [um , a] phải (Vì ngược lại, ∂1 d có đỉnh u1 , u2 , , um có giá trị khác khơng.) Do 1-chu trình of M đồng điều với 1- chu trình có giá biên đa giác m- cạnh (xem Hình 2.1) Cho d = α[a, p] + β[p, q] + γ[q, a] (α, β, γ ∈ Z), ∂d = α(p − a) + β(q − p) + γ(a − q) = (α − β)p + (β − γ)q + (γ − α)a Bởi d chu trình nên α = β = γ Do d = α[a, p] + α[p, q] + α[q, a] Bây ta xác định ánh xạ φ : Zm → H1 (M ) φ(α) = α[a, p] + α[p, q] + α[q, a] + B1 (M ) Cho {σi } tập tất 2- đơn hình định hướng M (xem Hình 2.1) Ta có ∑ ∂2 ( σi ) = m([a, p] + [p, q] + [q, a]) ánh xạ xác định đắn đồng cấu Từ lập luận trên, ta có φ tồn cấu từ Zm lên H1 (M ) Bây ta chứng minh φ đơn cấu: Đối với α ∈ Zm cho φ(α) = B1 (M ), α[a, p] + α[p, q] + ∑ α[q, a] ∈ B1 (M ) Từ tồn 2- xích e = βi σi M mà ∂2 e = α[a, p] + α[p, q] + α[q, a] Bởi giá trị ∂2 e 1- đơn hình mà khơng nằm biên đa giác m- cạnh khơng nên ta có βi = βj với i, j ∈ 30 {1, 2, , m} Do đó, ∂2 e = β1 m([a, p] + [p, q] + [q, a]) thế, α = β1 m, điều kéo theo α = φ đơn cấu Như ta có H1 (M ) ∼ = Zm ˜ Ta thấy giá M liên thông nên nhóm đồng điều rút gọn H nhóm tầm thường 2.2 SỰ TỒN TẠI CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ NHÓM ĐỒNG ĐIỀU p - CHIỀU ĐẲNG CẤU VỚI MỘT NHÓM CYCLIC HỮU HẠN CHO TRƯỚC Đầu tiên nhóm cyclic hữu hạn, ta xây dựng phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồng điều 2- chiều đẳng cấu với Định lý 2.2.1 Đối với số tự nhiên m ≥ 2, tồn phức đơn hình hữu hạn mà có nhóm đồng điều 2- chiều đẳng cấu với Zm Chứng minh Cho T phức đơn hình biểu diễn đa diện 2m- mặt mà phần được biểu diễn Hình 2.3; Ta tính trực tiếp H2 (T ) ∼ = Zm Định lý 2.1.1, sử dụng Định lý 1.2.20, ta dùng dãy khớp Mayer - Vietoris để chứng minh điều này: Ta có M (trong Chứng minh Định lý 2.1.1) phức phức đơn hình T gồm tất đơn hình nằm mặt phẳng ou1 u2 , cho K1 , K2 phức phức đơn hình T gồm tất đơn hình nằm phía phía mặt phẳng ou1 u2 tương ứng Ta có T = K1 ∪ K2 , M = K1 ∩ K2 , K1 , K2 nón (nên nhóm đồng điều rút gọn chúng tầm thường) sử dụng dãy khớp Mayer - Vietoris (xem [5] [7]) ˜ p (M ) → H ˜ p (K1 ) ⊕ H ˜ p (K2 ) → H ˜ p (T ) → H ˜ p−1 (M ) → → H ˜ p−1 (K1 ) ⊕ H ˜ p−1 (K2 ) → H ˜ p−1 (T ) → H ˜ p (T ) ∼ ˜ p−1 (M ); ta H =H ˜ (M ) ∼ ˜ (T ) ∼ Như H2 (T ) = H = Zm =H 31 Figure 2.3 ˜ (T ) ∼ ˜ (M ) = H ˜ (T ) = Chú ý ta có H1 (T ) = H =H Tương tự vậy, cách sử dụng tích treo (suspension) dãy khớp Mayer - Vietoris ta Định lý 2.2.2 Đối với số tự nhiên m ≥ 2, với p ≥ tồn ˜ (T ) = 0, Hq (T ) = phức đơn hình hữu hạn T mà Hp (T ) ∼ = Zm , H 0, ∀q ∈ Z\{0; p} ✷ 2.3 SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ CÁC NHĨM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƯỚC Ta biết phức đơn hình hữu hạn K tồn p0 ≥ 0: Cp (K) = 0, ∀p > p0 , Hp (K) = 0, ∀p > p0 Nhóm Cp (K) (p ≥ 0) nhóm Abel tự hữu hạn sinh, Zp (K) nhóm Cp (K) nên nhóm Abel tự hữu hạn sinh Từ nhóm Hp (K) = Zp (K) Bp (K) nhóm Abel hữu hạn sinh, ta biết H0 (K) nhóm Abel tự hữu hạn sinh (xem Định lý 1.2.8) Từ ta đặt câu hỏi G0 , G1 , G2 , dãy nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước mà G0 tự tồn p0 ≥ 0: Gp = 0, ∀p > p0 có 32 tồn phức đơn hình hữu hạn K có nhóm đồng điều p - chiều đẳng cấu với Gp , với p ≥ hay không? Ta trả lời khẳng định cho câu hỏi này, ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 Cho K, L hai phức đơn hình mà có giá rời nhau; Khi ⊕ với p ∈ N,thì Hp (K ∪ L) = Hp (K) Hp (L) ⊕ Chứng minh Ta có Cp (K ∪ L) = Cp (K) Cp (L) nên Zp (K ∪ L) = ⊕ ⊕ Zp (K) Zp (L), Bp (K ∪ L) = Bp (K) Bp (L) Bp (K ∪ L) ⊂ Zp (K ∪ L), Bp (K) ⊂ Zp (K), Bp (L) ⊂ Zp (L) ta Hp (K ∪ L) = ⊕ Hp (K) Hp (L) (xem [7], trang 23) Bổ đề 2.3.2 Cho K, L hai phức đơn hình mà có giá giao đỉnh v chung phức đơn hình; Khi với p ∈ N,ta có ˜ p (K ∪ L) = H ˜ p (K) ⊕ H ˜ p (L) H Chứng minh Ta sử dụng sử dãy khớp Mayer - Vietoris ˜ p ({v}) → H ˜ p (K) ⊕ H ˜ p (L) → H ˜ p (K ∪ L) → H ˜ p−1 ({v}) → → H ˜ p−1 (K) ⊕ H ˜ p−1 (L) → H ˜ p−1 (K ∪ L) → H ˜ q ({v}) nhóm tầm H ˜ p (K) ⊕ H ˜ p (L) ∼ ˜ p (K∪L) thường với số nguyên q nên ta H =H Ta biết nhóm Abel hữu hạn sinh đẳng cấu với tổng trực tiếp nhóm cyclic hữu hạn nhóm cyclic vơ hạn, nhóm đồng điều p chiều phức đơn hình biên đơn hình p + 1- chiều đẳng cấu với nhóm cyclic vơ hạn (xem Định lý 1.2.19); Từ đây, kết hợp Định lý 2.2.2 Bổ đề 2.3.2 ta định lý Định lý 2.3.3 Với nhóm Abel hữu hạn sinh G cho trước, với số nguyên p ≥ 1, tồn phức đơn hình hữu hạn K mà ˜ p (K) ∼ ˜ q (K) = 0, ∀q ∈ Z\{p} ✷ H = G, H Định lý 2.3.4 Cho G1 , G2 , dãy nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước mà tồn p0 ≥ 0: Gp = 0, ∀p > p0 , tồn phức ˜ p (K) ∼ đơn hình hữu hạn K mà H = Gp , ∀p ∈ N∗ ✷ Kết hợp Định lý với Bổ đề 2.3.1 ta kết chính: 33 Định lý 2.3.5 Cho G0 , G1 , G2 , dãy nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước mà G0 tự tồn p0 ≥ 0: Gp = 0, ∀p > p0 , ˜ p (L) ∼ tồn phức đơn hình hữu hạn L mà H = Gp , ∀p ∈ N Chứng minh Cho K phức đơn hình thỏa mãn điều kiện Định lý 2.3.4; Gọi r số phần tử sở G0 , ta bổ sung vào K r − đỉnh phân biệt không thuộc vào giá K ta phức đơn hình L cần tìm Ta nhận thấy xây dựng phức đơn hình có nhóm đồng điều 2- chiều đẳng cấu với (Zm )2 trực tiếp sau (xem [8]) Định lý 2.3.6 Với số tự nhiên m ≥ 2, tồn phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồng điều 2- chiều đẳng cấu (Zm )2 Chứng minh Cho S phức đơn hình biểu diễn đa diện 2m- mặt mà phần được biểu diễn Hình 2.4 Đầu tiên ta quy 2- chu trình 2- chu trình đặc biệt cách sau: Với 2- xích c cho trước mà c chu trình, cho α giá trị c [o, u1 , x] Khi cách tính tốn trực tiếp, xích c1 = c − ∂3 (α[o, u1 , u2 , x]) có giá trị đơn hình định hướng [o, u1 , x] (xem Hình 2.6) Như ta thấy, cách cải biên c tốn tử biên, ta “đẩy [o, u1 , x]” c đồng điều với c1 Ta tiếp tục “đẩy [x, u1 , u2 ] khỏi c1 ” Tương tự thế: Cho I1 điểm nằm phần lục diện xu1 u2 pqr, cho β giá trị c1 [x, u1 , u2 ]; xích c2 = c1 − ∂3 (β[I1 , x, u1 , u2 ]) có giá trị đơn hình định hướng [x, u1 , u2 ] Nó có giá trị [o, u1 , x], từ [o, u1 , x] không xuất biểu diễn ∂3 (β[I1 , x, u1 , u2 ]) c1 đồng điều với c2 Vì ta đẩy [o, u1 , x], [x, u1 , u2 ] khỏi c Bằng cách tương tự, sử dụng đơn hình định hướng [I1 , x, u1 , q] ta đẩy [I1 , x, u1 ] khỏi c, ta dùng [I1 , q, u1 , p] đẩy [I1 , q, u1 ], [I1 , p, u2 , u1 ] đẩy 34 Figure 2.4 [I1 , u1 , p], [I1 , p, r, u2 ] đẩy [I1 , p, u2 ], [u1 , u2 , r, x] đẩy [I1 , r, u2 ], [I1 , x, r, q] đẩy [I1 , x, r], [I1 , p, r, q] đẩy [I1 , p, r], [a, u1 , p, q] đẩy [u1 , p, q], [a, u2 , p, r] đẩy [u2 , p, r], [a, x, r, q] đẩy [x, r, q] Các 2- đơn hình cịn lại chứa đỉnh I1 [I1 , u1 , u2 ], [I1 , u2 , x], [I1 , q, p], [I1 , q, r], [I1 , x, q] Trong đơn hình trên, [I1 , u1 , u2 ] 2- đơn hình chứa 1- đơn hình [I1 , u1 ] Do đó, c có giá trị đơn hình định hướng [I1 , u1 , u2 ] (bởi c chu trình) Tiếp tục trình này, c có giá trị đơn hình định hướng [I1 , u2 , x], [I1 , q, p], [I1 , q, r], [I1 , x, q] Từ đó, c có giá trị đơn hình định hướng [o, u1 , x] đơn hình định hướng chứa đỉnh I1 (xem Hình 2.5) Bây ta sử dụng đơn hình định hướng [q, x, u1 , s] đẩy [q, x, u1 ] khỏi c, sử dụng [q, u1 , p, s] đẩy [q, u1 , p], [r, x, u2 , s] đẩy [r, x, u2 ], [r, u2 , p, s] đẩy [r, u2 , p] (xem Hình 2.6) Ta lại sử dụng đơn hình định hướng [x, a, r, q] đẩy [x, r, q] khỏi c, tiếp tục sử dụng [x, a, q, s] đẩy [x, a, q], [x, a, r, s] đẩy [x, a, r] Ta thấy đơn hình định hướng [x, q, s] có cạnh chung [x, q] với đơn hình [x, a, q], [x, r, q], [x, q, u1 ], [x, q, I1 ], c lại có giá trị đơn hình c chu trình, Do đó, c có giá trị [x, q, s] 35 Figure 2.5 Figure 2.6 36 Tương tự, c có giá trị [x, r, s] Bây ta sử dụng đơn hình định hướng [u1 , p, s, a], đẩy [u1 , p, s] khỏi c, sử dụng [u2 , p, s, a] đẩy [u2 , p, s] Tương tự vậy, c có giá trị đơn hình định hướng [o, u1 , u2 ], ′ đơn hình định hướng chứa đỉnh I1 [q ′ , x′ , u1 ], [q ′ , u1 , p′ ], [r′ , x′ , u2 ], [r′ , u2 , p′ ] (xem Hình 2.4) Bây ta xét phức đơn hình S , c có giá trị đơn hình định hướng [o, u1 , x], [o, u2 , x], , [o, um−1 , x] [o, u1 , u2 ], [o, u2 , u3 ], [o, um−1 , um ], o, um , u1 ] Do [o, um , x] 2- đơn hình cịn lại mà chứa 1- đơn hình [o, x] nên c có giá trị [o, um , x] (bởi c chu trình) Tương tự, c có giá trị đơn hình định hướng [o, u1 , u2 ] đơn hình định hướng [o, u1 , x′ ], [o, u2 , x′ ], , [o, um , x′ ] Từ 2- đơn hình định hướng [o, u1 , x] and [x, s, u1 ] có [x, u1 ] cạnh chung, nên c có giá trị hai 2- đơn hình Mặt khác, c có giá trị [o, u1 , x] nên c có giá trị [x, s, u1 ] Tiếp tục trình này, c có giá trị đơn hình định hướng [x, u2 , s], , [x, um , s] Từ 2- đơn hình định hướng [x, s, u1 ] [u1 , s, p] có [s, u1 ] cạnh chung, nên c có giá trị hai 2- đơn hình Mặt khác, c có giá trị [x, s, u1 ] nên c có giá trị [u1 , s, p] Tiếp tục q trình này, c có giá trị đơn hình định hướng [u2 , s, p], , [um , s, p] Bởi c chu trình [x, a, s] 2- đơn hình có [x, a] cạnh nên c có giá trị [x, a, s] Tương tự, c có giá trị đơn hình định hướng [s′ , u1 , x′ ], [a, u1 , s′ ], [a, x′ , s′ ] Ta thấy c có giá trị tất 2- đơn hình định hướng nằm mặt phẳng chứa ba điểm u1 , x, x′ Tương tự, c có giá trị tất 2- đơn hình định hướng nằm mặt phẳng chứa ba điểm u2 , x, x′ , , um , x, x′ 37 Từ 2- đơn hình định hướng [o, u1 , u2 ] [u1 , u2 , p] có [u1 , u2 ] cạnh chung nên c có giá trị 2- đơn hình Mặt khác, c có giá trị [o, u1 , u2 ] nên c có giá trị [u1 , u2 , p] Tiếp tục q trình này, c có giá trị đơn hình định hướng [a, p, u1 ], [a, p, u2 ] Tương tự ta thấy c có giá trị tất 2- đơn hình định hướng nằm mặt phẳng chứa ba điểm o, u1 , u2 Do 2- chu trình S đồng điều với 2- chu trình có giá biên đa diện 2m- mặt Hình 2.4 Chod = α1 [a, p, s] + α2 [s, p, q] + α3 [p, r, q] + α4 [p, s, r] + α5 [s, a, r] + α6 [r, a, q] + α7 [q, a, s] + α1′ [p, a, s′ ] + α2′ [p, s′ , q ′ ] + α3′ [r′ , p, q ′ ] + α4′ [s′ , p, r′ ] + α5′ [a, s′ , r′ ] + α6′ [a, r′ , q ′ ] + α7′ [a, q ′ , s′ ] (α1 , , α7 , α1′ , , α7′ ∈ Z) Do d chu trình nên α2 = α3 = · · · = α7 , α2′ = α3′ = · · · = α7′ α1 = 0, α1′ = (Bởi ∂2 d có giá trị α1 − α2 + α4 1- đơn hình định hướng [p, s] ∂2 d có giá trị −α1′ + α2′ − α4′ 1- đơn hình định hướng [p, s′ ]) Do đó, d = α2 ([s, p, q]+[p, r, q]+[p, s, r]+[s, a, r]+[r, a, q]+ [q, a, s])+α2′ ([p, s′ , q ′ ]+[r′ , p, q ′ ]+[s′ , p, r′ ]+[a, s′ , r′ ]+[a, r′ , q ′ ]+[a, q ′ , s′ ]) Bây ta xét ánh xạ φ : (Zm ))2 → H2 (S) xác định φ((α, β)) = α([s, p, q] + [p, r, q] + [p, s, r] + [s, a, r] + [r, a, q] + [q, a, s]) + β([p, s′ , q ′ ] + [r′ , p, q ′ ] + [s′ , p, r′ ] + [a, s′ , r′ ] + [a, r′ , q ′ ] + [a, q ′ , s′ ]) + B2 (S) Cho {τi } tập tất 3- đơn hình định hướng S (xem Hình 2.6) cho ∑ ∂3 ( τi ) = m([a, p, s] + [s, p, q] + [p, r, q] + [p, s, r] + [s, a, r] + [r, a, q] + [q, a, s] + [p, a, s]) + m([a, s′ , p] + [p, s′ , q ′ ] + [r′ , p, q ′ ] + [s′ , p, r′ ] + [a, s′ , r′ ] + [a, r′ , q ′ ] + [a, q ′ , s′ ] + [s′ , a, p]) + B2 (S) = m([s, p, q] + [p, r, q] + [p, s, r] + [s, a, r] + [r, a, q] + [q, a, s]) + m([p, s′ , q ′ ] + [r′ , p, q ′ ] + [s′ , p, r′ ] + [a, s′ , r′ ] + [a, r′ , q ′ ] + [a, q ′ , s′ ]) + B2 (S) ánh xạ xác định đắn đồng cấu Từ lập luận trên, ta φ toàn cấu từ (Zm )2 lên H2 (S) 38 Bây ta chứng minh φ đơn cấu: Với (α, β) ∈ (Zm )2 mà φ((α, β)) = B2 (S), α([s, p, q] + [p, r, q] + [p, s, r] + [s, a, r] + [r, a, q] + [q, a, s]) + β([p, s′ , q ′ ] + [r′ , p, q ′ ] + [s′ , p, r′ ] + [a, s′ , r′ ] + [a, r′ , q ′ ] + [a, q ′ , s′ ]) ∈ B2 (S) Do tồn 3∑ xích e = γi τi S cho ∂3 e = α([s, p, q] + [p, r, q] + [p, s, r] + [s, a, r] + [r, a, q] + [q, a, s]) + β([p, s′ , q ′ ] + [r′ , p, q ′ ] + [s′ , p, r′ ] + [a, s′ , r′ ] + [a, r′ , q ′ ] + [a, q ′ , s′ ]) Từ ∂3 e có giá trị 2- đơn hình định hướng mà khơng nằm biên đa diện 2m- mặt, nên ta có γi = γj với i, j Do đó, ∂3 e = γ1 m([s, p, q] + [p, r, q] + [p, s, r] + [s, a, r] + [r, a, q] + [q, a, s]) + γ1 m([p, s′ , q ′ ] + [r′ , p, q ′ ] + [s′ , p, r′ ] + [a, s′ , r′ ] + [a, r′ , q ′ ] + [a, q ′ , s′ ]) Từ ta suy α = γ1 m, β = γ1 m, điều kéo theo (α, β) = (0, 0); Như φ đơn cấu Từ H2 (S) ∼ = (Zm )2 39 KẾT LUẬN Các kết đạt Khóa Luận - Chứng minh liên hệ nhóm đồng điều phức đơn hình tích treo (Định lý 1.2.20) (đây tập [7]) mà không dùng đến dãy khớp Mayer - Vietoris - Chứng minh nhóm cyclic hữu hạn cho trước tồn phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồng điều đơn hình - chiều đẳng cấu với nhóm - Chứng minh với số nguyên p ≥ 1, với nhóm cyclic hữu hạn cho trước tồn phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồng điều đơn hình p - chiều đẳng cấu với nhóm - Chứng minh với số nguyên p ≥ 1, với nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước tồn phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồng điều đơn hình p - chiều đẳng cấu với nhóm - Cho G0 , G1 , G2 , dãy nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước mà G0 tự tồn p0 ≥ 0: Gp = 0, ∀p > p0 , chứng minh ˜ p (L) ∼ tồn phức đơn hình hữu hạn L mà H = Gp , ∀p ∈ N 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt (2016), Tính Hyperbolic Khơng gian H n , Tạp Chí Khoa Học Giáo dục 19(02) 2016, trang 54-58 [2] Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt (2016), Các Hàm Phân kỳ liên quan đến tính Hyperbolic, Tạp Chí Khoa Học Giáo dục 20(03) 2016, trang 61-66 [3] Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt (2016), Tính trắc địa đồ thị, Tạp Chí Khoa Học Giáo dục 21(04) 2016, trang 17-26 [4] Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt (2016), Sự tồn phức đơn hình có nhóm đồng điều đẳng cấu với nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước, gởi Tạp Chí Khoa Học Giáo dục Tiếng Anh [5] Allen Hatcher (2009), Algebraic Topology, Cambridge [6] James R Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, Inc [7] James R Munkres (1984), Elements of Algebraic Topology, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc [8] Luong Quoc Tuyen and Le Thi Thu Nguyet, A simplicial complex whose the 2th homology group is a finite cyclic group, preprint ... phức đơn hình hữu hạn nhóm Abel hữu hạn sinh; Như phát sinh câu hỏi liệu nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước có tồn phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồng điều đơn hình p - chiều đẳng cấu với nhóm khơng?... hình hữu hạn có nhóm đồng điều đơn hình p - chiều đẳng cấu với nhóm - Chứng minh với số nguyên p ≥ 1, với nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước tồn phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồng điều đơn hình. .. nhóm cyclic hữu hạn cho trước tồn phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồng điều đơn hình - chiều đẳng cấu với nhóm - Chứng minh với số nguyên p ≥ 1, với nhóm cyclic hữu hạn cho trước tồn phức đơn hình