Nhom abel huu han sinh

TRƯỜNG DHSP HUẾ KHOA TOÁN   NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH + = Sinh viên: ? HỒ NGỌC HƯNG TRẦN QUANG Định nghĩa 4.1:   Cho G nhóm Abel ( phép toán ký hiệu + ) Khi đó: i) Phần tử gọi phần tử tuần hoàn hữu hạn ii)Bộ phận tất phần tử tuần hoàn nhóm G lập thành nhóm G, gọi nhóm xoắn G iii) Nhóm G gọi tuần hoàn G trùng với nhóm xoắn   Nhóm Abel G đgl nhóm Abel tự G tổng trực tiếp nhóm xyclic có cấp vô hạn Cơ sở X G tập G gồm phần tử có cấp vô hạn cho G = Lưu ý 4.2: i)   Nếu , chia hết mn Và rõ ràng nhóm Abel tuần hoàn hữu hạn sinh hữu hạn ii) Với số p nguyên tố, ta ký hiệu G(p) phận phần tử Khi đó: ) ) G(p) nhóm tuần hoàn G G(p) p-nhóm G(p) hữu hạn cho với Định lý 4.3: Cho G nhóm Abel hữu hạn Khi đó, G tích trực tiếp nhóm G(p) theo tất số nguyên tố p   Tức là: G = G() G() … G() với:   nguyên tố đôi khác Chứng minh:   Nếu với n khác lũy thừa p Khi n = m.m’ (m, m’ số (m,m’)=1 ) Ký hiệu Ta c/m G = mG m’G = nguyên lớn   Bằng chứng minh quy nạp ta có đẳng thức cần chứng minh: G = G() G() … G() Định lý 4.4:   Cho G nhóm Abel bất kỳ, F nhóm Abel tự có sở X f: X G ánh xạ Khi tồn đồng cấu F G cho X) Chứng minh:   Lấy u u = x Xét Mệnh đề 4.5:   Nếu H nhóm chuẩn tắc G G/H nhóm Abel tự tồn K , K=< {xk} > iii) Áp dụng định lí 4.8 Khi G= H K.Suy |G|=|H|+|K|-|H K| Từ tính số phần tử G MỞ RỘNG MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC (i) Mọi nhóm hữu hạn hữu hạn sinh (ii) Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh xoắn nhóm hữu hạn MỞ RỘNG MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC (iii) Nhóm Abel G có cấp vô hạn, có phần tử cấp vô hạn phần tử thuộc nhóm hữu hạn sinh G G nhóm hữu hạn sinh MỞ RỘNG MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC (iv) Mọi nhóm G khác {e} nhóm luỹ linh lớp k (k>1) G\Z(G) hữu hạn G nhóm hữu hạn sinh MỞ RỘNG MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC (v) Nhóm Abel hữu hạn sinh thỏa phần tử sinh có cấp lũy thừa số nguyên tố cho trước lũy linh (vi) Nhóm hữu hạn sinh có phần tử sinh có cấp vô hạn nhóm vô hạn T H E E XIN CÁM ƠN N D [...]... Abel hữu hạn sinh xoắn là nhóm hữu hạn MỞ RỘNG MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC (iii) Nhóm Abel G có cấp vô hạn, có phần tử cấp vô hạn và các phần tử này đều thuộc một nhóm con hữu hạn sinh của G thì G là nhóm hữu hạn sinh MỞ RỘNG MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC (iv) Mọi nhóm G khác {e} là nhóm luỹ linh lớp k (k>1) và G\Z(G) hữu hạn thì G là nhóm hữu hạn sinh MỞ RỘNG... không xoắn, được sinh bởi tập ít hơn n phần tử , do đó G/H Aben tự do   Khi đó, tồn tại K1) và G\Z(G) hữu hạn thì G là nhóm hữu hạn sinh MỞ RỘNG MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC (v) Nhóm Abel hữu hạn sinh thỏa mọi phần tử sinh có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố cho trước là lũy linh (vi) Nhóm hữu hạn sinh có một phần tử sinh có cấp vô hạn là nhóm vô hạn T H E E XIN CÁM ƠN N D ... nhóm abel tự do Tồn tại một nhóm Abel tự do Gf G sao cho G = Gt Gf Chứng minh:   i) Ta chứng minh bằng quy nạp: Gtii) = vớixoắn G/G không k} >=< t H=< {x1…xk-1} >, K=< {xk} > iii) Áp dụng định lí 4.8 Khi đó G= H K.Suy ra |G|=|H|+|K|-|H K| Từ đó tính được số phần tử G MỞ RỘNG MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC (i) Mọi nhóm hữu hạn đều hữu hạn sinh (ii) Mọi nhóm Abel. .. con chuẩn tắc của G và G/H là nhóm Abel tự do thì tồn tại K ... NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC (i) Mọi nhóm hữu hạn hữu hạn sinh (ii) Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh xoắn nhóm hữu hạn MỞ RỘNG MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC (iii) Nhóm Abel G có... QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH VỚI NHÓM KHÁC (v) Nhóm Abel hữu hạn sinh thỏa phần tử sinh có cấp lũy thừa số nguyên tố cho trước lũy linh (vi) Nhóm hữu hạn sinh có phần tử sinh có cấp vô hạn nhóm... nhóm Abel hữu hạn sinh G = H F với H nhóm phần tử có cấp hữu hạn, F nhóm Abel tự Chứng minh:   G/H = … F = Ta chứng minh: G=HF Định lý 4.9:   Giả sử G nhóm Abel hữu hạn sinh,