Trong bài viết này đưa ra các đặc trưng cơ bản của một phần tử trong một môdun X tự do hữu hạn sinh trên vành chính mà môdun cyclic sinh bởi phần tử đó là hạng tử trực tiếp của X, từ đó xây dựng các thuật toán tìm cơ sở của giao và tổng của hai môdun con trong môdun X.
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 _ THUẬT TỐN TÌM CƠ SỞ CỦA GIAO VÀ TỔNG HAI MODUN CON TRONG MODUN TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH CHÍNH TRẦN HUYÊN* TĨM TẮT Trong báo này, chúng tơi đưa đặc trưng phần tử môdun X tự hữu hạn sinh vành mà mơdun cyclic sinh phần tử hạng tử trực tiếp X, từ xây dựng thuật tốn tìm sở giao tổng hai môdun môdun X ABSTRACT On the algorithm constructing the basis of cross and total for two sub-modules in the finite free module generated over the principal ring In this paper, we consider the basic characteristics of the element in the finite free module X generated over the principal ring from which cyclic module from that element is the direct hierarchical element; thereby, we show the method of constructing algorithms to identify the basis of cross and total for two sub-modules in module X Mở đầu Mơđun tự vành chính, đặc biệt mơđun tự hữu hạn sinh môđun chúng nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đạt nhiều kết tốt đẹp Tuy nhiên, kết thường phát biểu dạng định lý tồn mang nặng tính lý thuyết Bài viết chúng tơi, bước đầu xây dựng vài thuật tốn tìm sở môđun con, đặc biệt ý tới sở giao tổng hai môđun dựa sở cho hai môđun Các kết Để tiện lợi cho trình bày, vành R ln hiểu vành mơđun X hiểu mơđun tự hữu hạn sinh vành R Định nghĩa 1: Trong môđun X, phần tử a X , a gọi đơn tử a rb với b X r R r khả nghịch Hiển nhiên a đơn tử a rb b đơn tử Các mệnh đề sau cho ta mô tả rõ đơn tử * TS, Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Sư phạm TP HCM 24 Trần Huyên Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Mệnh đề 1: Trong môđun X, phần tử a X đơn tử với sở {u1 , u , , u n } X a a1u1 a2u2 anun UCLN (a1 , a2 , , an ) =1 Thật chiều đảo mệnh đề 1, đòi hỏi so với phát biểu mệnh đề: cần có sở {ui} để a a1u1 anun mà UCLN (a1 , a2 , , an ) a đơn tử Mệnh đề 2: Trong môđun X, phần tử a X đơn tử tồn đồng cấu f : X R thỏa f ( a ) Chứng minh: () Chọn X sở {u1 , u2 , , u n } biểu diễn a a1u1 anun Theo mệnh đề 1, UCLN (a1 , a2 , , an ) , tồn hệ tử r1 , r2 , , rn R mà r1a1 r2a2 rn an Khi đồng cấu f : X R mà với x x1u1 xnun xác định f ( x) r1 x1 r2 x2 rn xn , hiển nhiên thỏa yêu cầu mệnh đề ( ) có đồng cấu f thỏa yêu f ( a ) f (rb) r f (b) , tức r khả nghịch Nếu cầu mệnh đề a=rb Mệnh đề 3: Trong môđun X, phần tử a X đơn tử a phần tử sở X Chứng minh: () Hiển nhiên phần tử sở X đơn tử () Nếu a X đơn tử, theo mệnh đề 2, tồn toàn cấu f : X R với f (a ) Vì R R-mơđun tự nên X Ra Kerf với Ra môđun cyclic sinh a: Ra {ra : r R} R Hệ thức tổng trực tiếp có nghĩa sở Kerf bổ sung thêm a sở X Nhận xét: Theo mệnh đề 3, phần tử sở môđun đơn tử mơđun Như vậy, phần tử a A X , khơng đơn tử X, song a thuộc sở A a đơn tử A Tức khái niệm đơn tử có tính chất tương đối, đơn tử theo môđun Áp dụng mệnh đề nhiều lần cho ta thuật toán xây dựng sở môđun X chứa đơn tử a X cho trước Thật vậy, giả sử X có sở ban đầu {e1 , e2 , , en } a X đơn tử X mà a a1e1 a2e2 anen Khi đó, 25 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 _ tồn hệ tử r1 , r2 , , rn R mà r1a1 r2 a2 rn an Chọn đồng cấu f : X R mà f ( x) r1 x1 r2 x2 rn xn với x x1e1 xn en X Ra Kerf Kerf tập phần tử x X có tọa độ sở ban đầu ( x1 , x2 , , xn ) thỏa phương trình nhất: r1 x1 r2 x2 rn xn Lấy nghiệm phương trình (b1 , b2 , , bn ) cho UCLN (b1 , b2 , , bn ) Khi b b1e1 bnen Kerf đơn tử Kerf (đồng thời đơn tử X) điều cho phép ta xác định đồng cấu g : Kerf R mà g ( x) t1 x1 t2 x2 t n xn với x x1e1 xn en thỏa g (b ) Đồng cấu cho ta phân tích Kerf Rb Kerg X Ra Rb Kerg với Kerg tập phần tử x X với tọa độ ( x1 , x2 , , xn ) sở ban đầu thỏa hệ r1 x1 r2 x2 rn xn phương trình t1x1 t2 x2 tn xn Nếu hệ có nghiệm khơng tầm thường ta tiếp tục chọn nghiệm (c1 , c2 , , cn ) mà c c1e1 cnen đơn tử Kerg (cũng đơn tử X) lặp lại tương tự q trình Thuật tốn kết thúc hệ phương trình cuối có nghiệm tầm thường Bây cho X môđun với sở {e1 , e2 , , en } môđun X1 với sở {u1 , u2 , , u k } mà ui ai1e1 2e2 ain en , môđun X2 với sở {v1 , v2 , , vs } mà v j b j1e1 b j 2e2 b jnen Mục tiêu viết xây dựng thuật tốn tìm sở mơđun giao X X môđun tổng X1+ X2 dựa sở X1, X2 Nếu x thuộc môđun giao, tồn hệ tử ( x1 , x2 , , xk ) ( y1 , y2 , , ys ) mà: x x1u1 x2u xk u k x y1v1 y2v2 ys vs Tọa độ hóa hệ thức sở ban đầu X ta có ( x1 , , xk , y1 , , ys ) nghiệm hệ phương trình nhất: a11 x1 a21 x2 ak1 xk b11 y1 b21 y2 bs1 ys a x a x a x b y b y b y k2 k 12 22 s2 s (*) 12 22 a1n x1 a2 n x2 akn xk b1n y1 b2 n y2 bsn ys Nếu hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường X X {0} ta có: 26 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trần Huyên _ Mệnh đề 4: Nếu ( a1 , , ak , b1 , , bs ) nghiệm hệ phương trình (*), xác X X thỏa UCLN (a1 , , ak , b1, , bs ) phần a a1u1 a2u2 ak uk b1v1 b2v2 bs vs đơn tử X X định tử Chứng minh: Gọi UCLN ( a1 , a2 , , ak ) UCLN (b1 , b2 , , bs ) điều kịên mệnh đề cho ta UCLN ( , ) Nếu có b X X r R mà a=rb hiển nhiên r ước đồng thời r khả nghịch Theo mệnh đề 3, phần tử a thỏa điều kiện mệnh đề phần tử sở X X {0} cần tìm Cũng theo mệnh đề 3, để xác định phần tử sở X X (nếu !) ta cần xây dựng đồng cấu f : X X R mà f ( a ) Có nhiều cách khác để xây dựng đồng cấu f thế, chẳng hạn: xây dựng đồng cấu f1 : X R mà f1 (a ) xây dựng đồng cấu f : X R mà f (a ) với UCLN ( a1 , , ak ) UCLN (b1 , , bs ) mà với f : X1 X R x X1 X f ( x ) p f1 ( x ) q f ( x ) , hệ tử p, q phải thỏa hệ thức: p q Xác định Để tìm phần tử sở (nếu còn) ta ghép vào hệ phương trình (*) thêm phương trình f ( x ) Nếu hệ phương trình ghép có nghiệm khơng tầm thường, ta lại chọn nghiệm (c1 , , ck , d1 , , d s ) với UCLN chúng Khi phần tử c1u1 ck uk d1v1 d svs đơn tử Kerf , phần tử sở X X Các phần tử sở lại X X tìm theo trình tương tự, mà bước thực đánh dấu ghép thêm phương trình vào hệ phương trình trước Thuật tốn tìm sở X X kết thúc hệ phương trình cuối có nghiệm tầm thường Thuật tốn tìm sở tổng X1+X2 tổ hợp thuật tốn trình bày Tuy nhiên, để tiện lợi cho diễn giải ta cần tới vài kết đơn giản sau: Mệnh đề 5: Trong môđun X, phần tử x X tồn đơn tử a X hệ tử r R cho x Nhận xét: Hệ tử r nói mệnh đề gọi hệ số đơn nguyên x môđun X Cũng khái niệm đơn tử, khái niệm hệ số đơn nguyên phần tử x có tính tương đối, phụ thuộc theo môđun chứa x Cũng dễ thấy hệ số đơn 27 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 _ nguyên phần tử x môđun X không nhất; hệ số đơn nguyên phần tử lập thành lớp hệ tử liên kết vành R Mệnh đề 6: Cho A mơđun X a A Khi tồn đơn tử u X hệ tử , , cho u đơn tử A a u (u ) Chứng minh: Sự tồn đơn tử u X hệ tử R cho a u suy từ mệnh đề Vì u X đơn tử nên có đồng cấu f : X R mà f (u ) hiển nhiên f ( a ) ! Ảnh f ( A) R iđêan sinh hệ tử R Vì f ( A) tồn R mà Chứng minh mệnh đề kết thúc ta kiểm tra u đơn tử A Thật có r R b A mà u rb r f (b) r.( k ) f (b) f ( A) iđêan sinh Giản ước hai vế đẳng thức R ta có: rk hay r khả nghịch Hệ quả: Với tất giả thiết kí hiệu mệnh đề 6, mơđun A có phân tích : A R(u ) ( A Kerf ) X Ru Kerf nên R (u ) ( A Kerf ) {0} x A : x=tu+y vớ i t R y Kerf Hiển nhiên t f ( x) f ( A) neâ n t=. , x (u ) y , (u ) R (u ) A Khi đồng thời ta có y x (u ) A K erf Kết hợp kiện ta có phân tích A phát Thật vậy: biểu hệ Bây xác định phần tử sở cho tổng X1+X2 sau Chọn phần tử sở thuật tốn tìm sở X X có biểu diễn qua sở ban đầu X là: a ru 1 r2u2 rnun Theo mệnh đề tồn đơn tử u X hệ tử , 1 , 2 mà 1u đơn tử X1 2u đơn tử X2 a u đơn tử X X Theo hệ mệnh đề ta có phân tích: X Ru K erf X R(1u ) ( X K erf ) X R(2u ) ( X K erf ) X X Ra ( X X K erf ) X X [R (1u ) R (2u )] [( X K erf ) ( X K erf )] với R(1u ) R(2u ) R(u ) với UCLN (1 , 2 ) Từ 28 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trần Huyên _ Tức phần tử sở X1+X2 u Nếu X X K erf , ta ghép vào hệ phương trình (*) thêm hệ f ( x ) với x X1 hay x X , tức phương trình f ( x1u1 x2u2 xk u k ) hay f ( y1v1 y2v2 ys vs ) phương trình Để tìm phần tử sở X1+X2, ta chọn đơn tử b X X K erf mà tọa độ X1 X2 nghiệm hệ phương trình với UCLN biểu diễn b qua sở ban đầu môđun X: b t1u1 t2u2 tnun Tương tự xử lý với a, ta tìm đơn tử w X hệ tử 1 , R cho 1w, w đơn tử X K erf , X K erf ; đồng thời ta có phân tích: K erf Rw ( K erf K erg ) X K erf R( 1w) ( X K erf K erg ) X K erf R( w) ( X K erf K erg ) X X K erf Rb ( X X K erf K erg ) g : X R đồng cấu thỏa g (b ) phần tử sở thứ hai X1+X2, tương tự làm trên, là: w với UCLN ( 1 , ) Các phần tử sở lại X1+X2, mà trình tìm phần tử sở X X tiến hành tương tự hệ phương trình ghép cuối cho nghịêm tầm thường Để kết thúc thuật toán phải bổ sung cho hệ đơn tử {1u, 1w, } X1 hệ đơn tử {2u, 2w, } X2 đơn tử cần thiết để có sở X1, X2 Điều tiến hành dựa theo thuật toán xây dựng sở môđun chứa đơn tử cho trứơc Kết hợp lại hệ sở X1+X2 đơn tử: u, w, bổ sung thêm đơn tử hệ sở X1, X2 mà mơđun cyclic sinh chúng có giao với X X Cuối để kết thúc viết, xem hệ q trình hình thành thuật tốn tìm sở tổng hai mơđun X1+X2 tảng thuật tốn tìm sở môđun giao X X , ta có: Hệ quả: Cho X1; X2 mơđun X Khi đó: dimX1+dimX2=dim(X1+X2)+dim( X X ) thơng lệ dimA lực lượng sở A Nói cách khác, công thức số chiều lý thuyết khơng gian vectơ cho mơđun tự vành (Xem tiếp trang 53) 29 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 _ 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Cartan, H.and Eilenberg,S (1956), Homological Algebra – Princeton University Press Cozzens, J.H (1972), “Simple principal left ideal domains”, J.Alg.23 Jategaonkar, A.V (1970), Left Principal Ideal Rings, Berlin-Heidelberg-New York Kaplansky, I (1970), Commutative Rings, Allyn and Bacon, Inc (1970) ... lại hệ sở X1+X2 đơn tử: u, w, bổ sung thêm đơn tử hệ sở X1, X2 mà môđun cyclic sinh chúng có giao với X X Cuối để kết thúc viết, xem hệ q trình hình thành thuật tốn tìm sở tổng hai mơđun... svs đơn tử Kerf , phần tử sở X X Các phần tử sở lại X X tìm theo trình tương tự, mà bước thực đánh dấu ghép thêm phương trình vào hệ phương trình trước Thuật tốn tìm sở X X kết thúc hệ phương... cấu thỏa g (b ) phần tử sở thứ hai X1+X2, tương tự làm trên, là: w với UCLN ( 1 , ) Các phần tử sở lại X1+X2, mà trình tìm phần tử sở X X tiến hành tương tự hệ phương trình ghép cuối