Thuật toán tìm cơ sở của các môđun con của môđun tự do hữu hạn sinh trên vành chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - LƯU THỊ THANH HÀ THUẬT TOÁN TÌM CƠ SỞ CỦA CÁC MÔĐUN CON CỦA MÔĐUN TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH CHÍNH Chun ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUN Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Khi thầy Hun nói với tơi ý tưởng đề tài này, thầy có nhìn gần hồn chỉnh mặt đề tài Thầy gọi tơi lại, nêu ý để tơi tự chứng minh, tìm thuật tốn Thầy tìm người học trò để hướng dẫn nghiên cứu Tơi muốn cám ơn thầy tin tưởng lòng thầy dạy dỗ Tơi cảm ơn thầy dạy dỗ tơi suốt năm tháng qua, giúp tơi đạt kết hơm Sự quan tâm thầy nguồn động viên lớn tơi 1 Chương MỞ ĐẦU Đối tượng nghiên cứu luận văn sở mơđun tự hữu hạn sinh vành Nói mơđun tự hữu hạn sinh vành chính, lý thuyết mơđun có kết phong phú sâu sắc Ta nêu hai kết sau đây: Định lý: Trên vành chính, mơđun mơđun tự lại tự Định lý: Nếu F mơđun tự vành R M mơđun hữu hạn sinh = F ; tồn sở B F phần tử e1 , e2 , , em sở phần tử khác khơng a1 , a2 , , am ∈ R cho: Các phần tử a1 e1 , a2 e2 , , am em sở M R Ta có |ai+1 với i = 1, , m − Dãy iđêan (a1 ), (a2 ), , (am ) xác định theo điều kiện Tuy nhiên kết nêu nói lên tồn phần tử sở, mang nặng tính lý thuyết Mục đích chúng tơi đề tài xây dựng thuật tốn tìm sở mơđun mơđun Đặc biệt chúng tơi muốn xây dựng thuật tốn tìm giao tổng hai mơđun có sở cho trước Thuật tốn ứng dụng để tìm sở nhóm nhóm aben tự hữu hạn sinh (vốn Z-mơđun), mơđun tự hữu hạn sinh vành đa thức trường, mơđun tự hữu hạn sinh vành số ngun Gauss, 2 TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI Trong đề tài này, chúng tơi đưa khái niệm “đơn tử”, xem xét tính đơn tử phần tử sở Chúng tơi khẳng định đơn tử ln bổ sung thành sở Từ xây dựng nên thuật tốn tìm sở mơđun Nghiên cứu thuật tốn trường hợp cụ thể chúng tơi đưa thuật tốn tìm giao hai mơđun có sở cho trước thuật tốn tìm sở mơđun cho hệ sinh Trong q trình thực đề tài, chúng tơi chứng minh lại số kết lý thuyết mơđun Việc làm thể cách nhìn lý thuyết mơđun Những kết đề tài mơ tả rõ phần tử sở mơđun con, mối quan hệ sở mơđun với mơđun Để minh họa cho thuật tốn, chúng tơi nêu ví dụ áp dụng cho thuật tốn Trong có ví dụ nhóm aben tự hạng hữu hạng, mơđun tự hữu hạn sinh vành đa thức trường (như Z7 [x], Q[x], ) vành số ngun Gauss Z[i] 3 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1 Các kết vành 2.1.1 Định nghĩa vành Một miền ngun gọi vành iđêan iđêan Miền ngun vành có nhiều phần tử, giao hốn, có đơn vị, khơng có ước (sẽ định nghĩa đây) Iđêan iđêan sinh phần tử 2.1.2 Các tính chất số học vành Tính chia hết Giả sử R vành giao hốn Ta nói phần tử a ∈ R bội phần tử b ∈ R hay a chia hết cho b, kí hiệu a b, có c ∈ R cho a = bc; ta nói b ước a hay b chia hết a, kí hiệu b | a Như vậy, theo định nghĩa trên, phần tử x ∈ R ước ; ta lại định nghĩa: Một phần tử a = gọi ước có b = cho ab = Một số tính chất tính chia hết: • a | a 4 • c | b b | a kéo theo c | a • u khả nghịch, u | a với a • Nếu b | u với u khả nghịch, b khả nghịch • Quan hệ S xác định sau: xSx x = ux với u khả nghịch, quan hệ tương đương; x x gọi liên kết x x liên kết x | x x | x Kí hiệu: Ra = {xa, x ∈ R}, ta có: a | b Ra ⊃ Rb x x liên kết Rx = Rx Đặc biệt: u khả nghịch Ru = R Ta gọi phần tử liên kết với x phần tử khả nghịch ước ước khơng thực x, ước khác x ước thực x Giả sử x phần tử khác khơng khả nghịch R; x gọi phần tử bất khả quy R x khơng có ước thực Định nghĩa Nếu c | a c | b c gọi ước chung a b Phần tử c gọi ước chung lớn (ƯCLN) a b c ước chung a b, đồng thời ước chung a b ước c Hai ước chung lớn a b liên kết với nhau, coi khơng kể nhân tử khả nghịch Tương tự ta định nghĩa ước chung lớn ba phần tử trở lên sau: Định nghĩa Cho a1 , a2 , , an phần tử vành R Nếu c | với i = 1, 2, , n ta nói c ước chung a1 , a2 , , an c gọi ước chung lớn a1 , a2 , , an c ước chung a1 , a2 , , an ước chung khác ước c 5 Trong kết ln xét R vành phần tử thuộc vành R Định lý Với R vành ước chung lớn hai phần tử a, b ln tồn Chứng minh Gọi I iđêan sinh a b Các phần tử thuộc I có dạng ax + by với x, y ∈ R Mặt khác R vành nên I sinh phần tử d đó, phần tử d thuộc I nên d có dạng d = ax + by, x, y ∈ R (1) Ta chứng minh d ước chung a b Thật vậy: a, b ∈ I = Rd nên a = a d b = b d với a , b ∈ R Vậy d ước chung a b Nếu c ước chung khác a b ta có a = ca b = cb với a , b ∈ R Lúc (1) trở thành: d = c(a x + b y) Suy c ước d Vậy d ước chung lớn a b Hệ Nếu e ước chung lớn a b, có r, s ∈ R cho e = + sb Hai phần tử a, b gọi ngun tố chúng nhận làm ước chung lớn Theo hệ trên: a, b ngun tố tồn r, s ∈ R cho = + sb Các kết dễ dàng mở rộng cho n phần tử, với n ≥ 2: Nếu R vành ước chung lớn n (n ≥ 2) phần tử a1 , a2 , , an ∈ R ln tồn 6 Nếu d ước chung lớn a1 , a2 , , an ∈ R tồn r1 , r2 , , rn ∈ R cho: d = r1 a1 + r2 a2 + · · · + rn an Hệ Nếu c | ab c, a ngun tố nhau, c | b Chứng minh Vì a, c ngun tố nên từ hệ vừa nêu ta có r, s ∈ R cho = ar + cs Nhân vế đẳng thức với b: b = abr + bcs Vì c | ab nên có q ∈ R cho ab = cq Do b = c(qr + bs) tức c | b Tính chất Nếu d ước chung lớn a, b, a = da , b = db với a , b ∈ R a , b ngun tố Thật vậy: Vì d ước chung a b nên a = da b = db với a , b ∈ R Gọi e ước chung lớn a b , ta có a = ea1 , b = eb1 Từ suy ra: a = dea1 , b = deb1 Tức de ước chung a b Vì d ước chung lớn nên de | d, e | Như ước chung lớn a , b hay a , b ngun tố 2.2 2.2.1 Các kết mơđun Định nghĩa mơđun mơđun Cho vành R có đơn vị (đơn vị R kí hiệu 1) Nhóm cộng aben (X, +) gọi mơđun trái vành R X ta xác định tác động trái từ R, tức có ánh xạ µ : R → X , ta kí hiệu µ(r, x) = rx gọi tích hệ tử r với phần tử x Ngồi tiên đề sau cần thỏa mãn với x, y ∈ X r, s ∈ R: 1.x = x, (rs)x = r(sx), r(x + y) = rx + ry , (r + s)x = rx + sx Tác động trái từ R vào X gọi phép nhân ngồi từ R vào X Vành R gọi vành hệ tử hay vành vơ hướng Mơđun trái gọi đơn giản mơđun Mỗi nhóm cộng aben (A, +) ln xem mơđun trái vành số ngun Z với phép nhân ngồi định nghĩa sau: với n > 0, na = a + a + + a ( n số hạng) (−n)a = −na, 0.a = Có thể dễ dàng kiểm tra phép nhân ngồi thỏa mãn tiên đề 1) đến 4) Nếu A, B tập mơđun X K ⊂ R với A, B, K = ∅, ta định nghĩa: A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B}; KA = {ra|r ∈ K, a ∈ A} Nếu A + A ⊂ A RA ⊂ A ta nói A phận ổn định X Mỗi phận ổn định mơđun X với phép tốn cảm sinh lập thành mơđun, gọi mơđun X Nếu A, B mơđun mơđun X Khi A + B mơđun X Mỗi nhóm nhóm aben xem Z-mơđun 2.2.2 Mơđun sinh tập Giao họ khác rỗng mơđun X lại mơđun X Xét S tập mơđun X Xét họ T tất mơđun X chứa S Hiển nhiên T khác rỗng X ∈ T Giao họ T mơđun X , chứa S , gọi mơđun X sinh bới tập S (kí hiệu < S >) S gọi tập sinh hay hệ sinh mơđun < S > Từ cách xác định thấy < S > mơđun nhỏ X chứa S , có nghĩa < S > chứa mơđun X chứa S Để mơ tả < S > với S = ∅ ta định nghĩa tổ hợp tuyến tính S tổng hữu hạn dạng: r x1 + r x2 + + r n xn r1 , r2 , , rn ∈ R x1 , x2 , , xn ∈ S Có thể dễ dàng chứng minh được: “Mơđun sinh tập S ⊂ X, S = ∅ mơđun gồm tất tổ hợp tuyến tính S ” 2.2.3 Mơđun thương Cho X mơđun A ✁ X Khi (A, +) nhóm nhóm (X, +) A nhóm chuẩn tắc X Theo lý thuyết nhóm, ta có thương (X/A, +) X giao hốn nên nhóm cộng X/A giao hốn Ta xác định X/A phép nhân ngồi từ R sau: ∀r ∈ R, ∀x + A ∈ X/A : r(x + A) = rx + A Với phép nhân ngồi X/A có cấu trúc R-mơđun gọi mơđun thương mơđun X theo mơđun A 2.2.4 Đồng cấu mơđun Cho X , Y R-mơđun Ánh xạ f : X → Y gọi R-đồng cấu với x, x1 , x2 ∈ X với r ∈ R: f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) f (rx) = rf (x)