Một số vấn đề về vành chính qui von neumann

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Lư Công Minh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Lư Công Minh Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 MỤC LỤC trang Trang phụ bìa Mục lục Các qui ước kí hiệu MỞ ĐẦU Chương - CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phần tử qui vành 1.1.1 Khái niệm phần tử qui 1.1.2 Vành Abel 10 1.1.3 Phần tử qui vành tự đồng cấu R - môđun 12 1.2 Vành qui Von Neumann 13 1.2.1 Định nghĩa số ví dụ 13 1.2.2 Các điều kiện tương đương vành qui 15 Chương - MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUI 16 2.1 Các tính chất vành qui 16 2.2 Môđun xạ ảnh vành qui 29 2.3 Vành qui Abel 48 Chương - MỘT SỐ VÀNH CHÍNH QUI ĐẶC BIỆT 62 3.1 Vành ma trận vuông cấp n vành qui 62 3.2 Vành toán tử bị chặn không gian Hilbert 69 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 CÁC QUI ƯỚC VÀ KÍ HIỆU ƒ Hầu hết vành luận văn giả sử kết hợp có đơn vị, vành đồng cấu vành cho có đơn vị Ta hay kí hiệu R vành với đơn vị ƒ Phép chiếu tự nhiên từ vành R đến vành thương R/I cho qui luật x x= x+I ƒ Đôi miền nguyên hiểu không cần giao hoán ƒ Cho vành R số nguyên dương n, M n ( R ) vành ma trận vuông cấp n R ƒ Với vành R bất kì, ta dùng kí hiệu L2 ( R ) để dàn iđêan hai phía R (được thứ tự phận quan hệ bao hàm) ta sử dụng kí hiệu Mod - R để phạm trù tất R - môđun phải ƒ Tất môđun luận văn môđun vành có đơn vị Hầu hết chúng môđun phải, đồng cấu thường viết phía bên trái chúng Cụ thể, môđun phải A vành R xem môđun trái End R ( A) - vành tự đồng cấu ƒ Nếu A R - môđun, kí hiệu B ≤ A nghĩa B môđun A, kí hiệu B < A nghĩa B môđun thực A Trong trường hợp đặc biệt, R vành thì: I ≤ RR : I iđêan phải R I ≤ R R : I iđêan trái R ƒ Với A, B môđun: A ≤ e B : A môđun cốt yếu B, nghĩa A ∩ C ≠ với môđun C khác B 4 A ≺ B : A đẳng cấu với môđun B ƒ Cho A môđun số nguyên không âm n, nA tổng trực tiếp n A Tương tự, α số vô hạn, α A tổng trực tiếp α A ƒ Với môđun A tùy ý, E(A) bao nội xạ A, nghĩa môđun nội xạ bé cho A cốt yếu E(A) ƒ Một R - môđun phải không suy biến M hiểu theo nghĩa M môđun cho phần tử M bị linh hóa iđêan phải R phần tử không 5 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Khái niệm vành qui Von Neumann xuất năm 1936 John Von Neumann định nghĩa vành qui vành R với tính chất: với phần tử a ∈ R tồn b ∈ R cho a = aba Để phân biệt với vành qui khác qui Noether đại số giao hoán, lí thuyết vành không giao hoán sửa đổi tên gọi đưa thêm “Von Neumann” vào tên gọi loại vành đặc biệt Tuy nhiên thực có hội nhầm lẫn hai khái niệm chúng nghiên cứu chung Ví dụ điển hình vành qui (Von Neumann) vành đầy đủ phép biến đổi tuyến tính không gian vectơ vành chia Chuyển động theo hệ tọa độ hình học xạ ảnh nghiên cứu lại thời gian (1936) theo ngôn ngữ dàn, Von Neumann giới thiệu vành qui công cụ đại số để nghiên cứu dàn thuộc dạng Dàn Von Neumann đặc biệt quan tâm nảy sinh hợp tác làm việc với F.J.Murray để giải vấn đề đại số toán tử không gian Hilbert, mà sau biết đến với tên gọi đại số Von Neumann hay W* - đại số Mặc dầu W* - đại số A trở thành vành qui A hữu hạn chiều, vành qui gán với A cách làm việc với tập P(A) phép chiếu, phép chiếu A trở thành lũy đẳng tự liên hợp Đối với W* - đại số hữu hạn A, Murray Von Neumann sử dụng vành qui R để “tọa độ hóa” P(A) theo nghĩa P(A) trở nên đẳng cấu tự nhiên với dàn iđêan phải R Chú ý hữu hạn hữu hạn trực tiếp, nghĩa t *t = t t * = với t ∈ A Mở rộng ý tưởng này, Von Neumann phát minh vành qui cho tọa độ hóa dàn modular có phần bù, dàn L tọa độ hóa vành qui R đẳng cấu với dàn iđêan phải R Như Von Neumann ra, hầu hết dàn modular có phần bù tọa độ hóa vành qui Theo quan điểm lí thuyết vành túy, vành qui xem chủ đề nghiên cứu bị lãng quên quãng thời gian dài Trong sách kinh điển Nathan Jacobson lí thuyết vành: “Structure of rings”, vành qui đề cập đến phần nhỏ Tuy nhiên nói vành qui có nhiều lợi ích xứng đáng để nghiên cứu, chúng xuất nhiều ngữ cảnh Dùng kiến thức học bậc Đại học Sau đại học để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác, với cách nhìn tổng quát mục tiêu quan trọng học viên Ngay từ thuở sinh viên, làm luận văn tốt nghiệp bậc đại học, tác giả có dịp tiếp xúc với vành qui Von Neumann với đề tài “Vành Chính Qui Von Neumann” Thế nhưng, với hạn chế sinh viên lúc Đại số đồng điều kiến thức Đại số giao hoán, Đại số không giao hoán, … tác giả gặp nhiều khó khăn chưa thể có nhìn thật tổng quan vành qui Von Neumann Do vậy, sau trang bị số kiến thức từ khóa học Sau đại học, tác giả định tiếp tục nghiên cứu vành qui Von Neumann với mong muốn dùng kiến thức vừa học để tiếp tục nghiên cứu vấn đề 7 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tiếp tục xem xét tính chất vành qui Von Neumann sở luận văn bậc đại học: “Vành qui Von Neumann” Đồng thời trọng việc cụ thể hóa khái niệm liên quan vào vành cụ thể tìm hiểu tính chất đặc trưng khái niệm Đối tượng phạm vi nghiên cứu ƒ Đối tượng nghiên cứu: Vành qui Von Neumann ƒ Phạm vi nghiên cứu: Lí thuyết vành môđun Ý nghĩa việc nghiên cứu đề tài Luận văn xem tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên người bắt đầu quan tâm đến vành qui Von Neumann đối tượng hay gặp nhiều ngữ cảnh khác đại số 8 Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Mục đích chương điểm lại số khái niệm kết đơn giản vành qui Von Neumann Hầu hết kiến thức trình bày chương trích chủ yếu từ [3] theo quan điểm tóm tắt lại kết đạt nghiên cứu vành qui Von Neumann từ thuở luận văn sinh viên Do đó, đa số mệnh đề, chứng minh không trình bày lại 1.1 Phần tử qui vành 1.1.1 Khái niệm phần tử qui Định nghĩa 1.1 Phần tử x ∈ R gọi phần tử qui Von Neumann tồn a ∈ R cho xax = x Nếu x phần tử qui Von Neumann, ta nói vắn tắt x phần tử qui hay x qui Ví dụ 1.2 a) Nếu R vành chia phần tử R qui b) Phần tử lũy đẳng phần tử qui Tiếp theo sau tính chất phần tử qui vành tùy ý Mệnh đề 1.3 Phần tử x ∈ R qui iđêan phải (trái) R sinh x sinh lũy đẳng e đó, tức xR = eR Ta kí hiệu tập tất phần tử qui vành R Von(R) Với vành R, tập Von(R) có tính chất ổn định việc chọn phần tử a cho phần tử qui x mà xax = x Cụ thể ta có: Mệnh đề 1.4 Cho vành R x ∈ Von( R) Khi tồn y ∈ Von( R) cho: xyx = y, yxy = y Phần tử y gọi phần tử ngược x 9 Mệnh đề 1.4 cho ta thấy phần tử qui có phần tử ngược với nó, phần tử ngược qui Hiển nhiên câu hỏi đặt là: Phần tử ngược phần tử qui có không? Xét vành chia R chẳng hạn, ta thấy phần tử qui có ngược Trong lúc đó, phần tử lũy đẳng e ∈ R , với R vành tùy ý, phần tử ngược với nó kết luận có phần tử ngược với Như thấy phần tiếp sau luận văn, xem xét vấn đề số vành cụ thể, vấn đề phần tử ngược phần tử qui vành phụ thuộc nhiều vào tính chất vành Trong trường hợp chung nhất, ta có kết cho phép mô tả mối liên hệ cấu trúc phần tử ngược phần tử qui sau: Mệnh đề 1.5 Cho vành R x ∈ Von( R) Chọn y phần tử ngược x Nếu y ' = y + s (1 − xy ) + (1 − yx)t với s, t ∈ R xy ' x = x Ngược lại, y ' thỏa xy ' x = x y ' có dạng: y ' = y + s (1 − xy ) + (1 − yx)t Ngoài ra, y ' có dạng y ' = y + s (1 − xy ) + (1 − yx)t điều kiện cần đủ để y ' xy ' = y ' (1 − yx)( s + t − txs)(1 − xy ) = , với s ∈ yRy, t ∈ Ry Mệnh đề 1.5 mô tả cho ta lớp đủ nhiều phần tử ngược phần tử qui Mối liên hệ phần tử ngược y phần tử qui x với phần tử qui x thể mệnh đề sau: Mệnh đề 1.6 Cho vành R x ∈ Von( R) Chọn y phần tử ngược với x Khi điều kiện sau tương đương: (a) x + (1 − xy ) R(1 − yx) ⊂ Von( R) (b) (1 − xy ) R(1 − yx) ⊂ Von( R) (c) x + R(1 − yx) ⊂ Von( R) (d) x + (1 − xy ) R ⊂ Von( R) 10 Mệnh đề sau cho ta điều kiện hữu ích để nhận biết phần tử qui Nó sử dụng bổ đề hữu dụng phép chứng minh phần sau, ta tạm gọi bổ đề 1.7 Bổ đề 1.7 Cho vành R x, y ∈ R Nếu x − xyx ∈ Von( R) x ∈ Von( R) Về cấu trúc Von(R), nói chung thêm điều kiện bổ sung cho vành R đáng nói Tuy nhiên, ta có thông tin lí thú sau: Bằng cách áp dụng bổ đề 1.7 bổ đề Zorn (về tập thứ tự), ta chứng minh Von(R) có chứa iđêan I reg ( R) iđêan “lớn nhất” theo nghĩa: vành thương R / I reg ( R) không chứa iđêan khác nằm Von( R / I reg ( R)) Mệnh đề 1.8 Mỗi vành R có iđêan “lớn nhất” I reg ( R) cho: I reg ( R) ⊂ Von( R) , I reg ( R) + Von( R) ⊂ Von( R) vành thương R / I reg ( R) không chứa iđêan khác nằm Von( R / I reg ( R)) 1.1.2 Vành Abel Như nhận xét mục trước, điều kiện bổ sung cho vành R nói chung Von(R) cấu trúc Mục dành cho việc xét tới cấu trúc Von(R), R bổ sung thêm điều kiện để trở thành vành Abel Khái niệm vành Abel xác định sau: Định nghĩa 1.9 Vành R gọi Abel phần tử lũy đẳng R thuộc tâm R Ví dụ 1.10 a) Vành chia vành Abel b) Vành giao hoán vành Abel c) Tâm vành R vành Abel 11 d) Nếu R vành phần tử lũy linh khác lũy đẳng R giao hoán với phần tử R, nói cách khác, R vành Abel Ngoài có số ví dụ khác vành Abel ta thêm vào điều kiện qui để chúng trở thành vành qui Abel - đối tượng đáng quan tâm chương Ta tạm dừng việc lấy ví dụ vành Abel để đưa điều kiện tương đương nó: Mệnh đề 1.11 Vành R Abel hai phần tử lũy đẳng R giao hoán với Theo mệnh đề 1.11, làm việc với vành Abel, ta tập trung chủ yếu vào phần tử lũy đẳng Kết nối nhận xét với mệnh đề 1.3 lưu ý mệnh đề 1.4 ta trả lời câu hỏi đặt phần nhận xét sau mệnh đề 1.4 Nếu R vành bất kì, Von(R) chưa nửa nhóm Chẳng hạn vành số nguyên môđulô n, ta khó mà mô tả nhiều Von( n ) Nhưng trường hợp R vành Abel ta có kết sau: Mệnh đề 1.12 Nếu R vành Abel Von(R) vị nhóm Hơn phần tử qui có phần tử ngược với Khi Von(R) gọi vị nhóm ngược Ngược lại, Von(R) vị nhóm ngược R vành Abel Nhận xét 1.13 Nếu vành R phần tử qui có phần tử ngược tương ứng ta kết luận phần tử ngược phần tử nghịch đảo phần tử qui Để lấy ví dụ chứng tỏ nhận xét trên, ta cần R vành giao hoán (hay cần R Abel đủ, theo mệnh đề 1.12, phần tử ngược phần tử qui vành Abel nhất) không miền nguyên (nghĩa không thỏa luật giản ước) Chẳng hạn, 10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ta có: 12 0.0.0 = 0, 1.1.1 = 1, 2.8.2 = 2, 8.2.8 = 8, Trong 10 4.4.4 = 4, 3.7.3 = 3, 5.5.5 = 5, 6.6.6 = 6, 9.9.9 = , 7.3.7 = , phần tử qui có phần tử ngược với Tuy nhiên: 2.8 = 8.2 = ≠ nên nghịch đảo nhau, ngược nhau, Do ta thấy khái niệm phần tử ngược mở rộng khái niệm phần tử nghịch đảo không dễ thu hẹp khái niệm ngược nghịch đảo Trong [3], phần tử qui vành tự đồng cấu nhóm Abel xem xét cẩn thận Ta biết nhóm Abel xem - môđun, liệu kết phần tử qui vành tự đồng cấu nhóm Abel chuyển sang vô điều kiện cho vành tự đồng cấu R - môđun, R vành có đơn vị tùy ý? Khi soát lại phép chứng minh [3], không cần sử dụng đến tính chất đặc biệt - môđun mà R - môđun tổng quát Điều cho phép ta đưa câu trả lời khẳng định, nghĩa là: 1.1.3 Phần tử qui vành tự đồng cấu R - môđun Cho M R - môđun phải Xét vành tự đồng cấu M : End R ( M ) = { f : M → M | f R - đồng cấu} Mục dành cho việc xét phần tử qui End R ( M ) Trước hết, đặc trưng phần tử lũy đẳng, phần tử qui đặc biệt End R ( M ) , ta có: Mệnh đề 1.14 Phần tử f ∈ End R ( M ) phần tử lũy đẳng M = Im f ⊕ Kerf , f |Im f ≡ Id 13 Từ đặc trưng phần tử lũy đẳng xét tới mệnh đề 1.14, ta chứng minh đặc trưng phần tử qui End R ( M ) , thể mệnh đề sau: Mệnh đề 1.15 Phần tử f ∈ End R ( M ) qui tồn phân tích M thành tổng trực tiếp: M = M1 ⊕ M = M1' ⊕ M 2' cho f |M1 : M → M 1' đẳng cấu f |M : M → M 2' đồng cấu không Mệnh đề 1.15 đặc trưng phần tử qui End R ( M ) cho ta hệ đáng ý sau: Hệ 1.16 Nếu f ∈ End R ( M ) phần tử qui M ≅ Im f ⊕ Kerf Hệ 1.17 Phần tử f ∈ End R ( M ) qui Im f Kerf hạng tử trực tiếp M Đáng lẽ, để kết thúc mục này, ta đưa thêm ví dụ phần tử qui, chẳng hạn khảo sát tính qui toán tử bị chặn không gian Hilbert lí định, ta bàn luận chúng chương Ở mục tiếp theo, ta nhắc lại vài khái niệm đặc trưng đơn giản vành qui Von Neumann 1.2 Vành qui Von Neumann 1.2.1 Định nghĩa số ví dụ Định nghĩa 1.18 Vành R gọi vành qui (Von Neumann) phần tử phần tử qui Nghĩa là: R qui R = Von( R) Từ định nghĩa vành qui, ta dễ dàng suy tính chất đơn giản sau: Mệnh đề 1.19 Trong vành qui, phần tử khác khả nghịch ước 14 Hệ 1.20 Nếu vành qui đồng thời miền nguyên trường Mệnh đề 1.21 Vành qui R vành chia R có hai phần tử lũy đẳng tầm thường Mệnh đề 1.22 Tích trực tiếp họ khác rỗng vành qui vành qui Mệnh đề 1.23 Ảnh đồng cấu vành qui vành qui Suy tính qui bảo toàn qua phép đẳng cấu vành thương vành qui vành qui Ta đưa ba ví dụ vành qui, hai ví dụ trích dẫn [3], ví dụ cuối thuộc kinh điển Ví dụ 1.25 Vành ma trận vuông thực cấp n vành qui Ví dụ 1.26 Cho K trường S1 , , S n tập hữu hạn khác rỗng K Cho X , , X n n biến đặt Pi ( X i ) = ∏ ( X i − k ) với k∈Si i = 1, , n Khi vành thương K [ X , , X n ] / P1 ( X ), , Pn ( X n ) vành qui giao hoán Ví dụ 1.27 Vành phép biến đổi tuyến tính không gian vectơ vành chia vành qui Thật vậy, gọi End D (V ) vành phép biến đổi tuyến tính không gian vectơ V vành chia D Lấy f ∈ End D (V ) Khi Im f không gian V nên ta chọn sở (ei )i∈J bổ sung vào (ei )i∈J ' để sở V Với i ∈ J chọn bi cho f (bi ) = ei đặt f '(ei ) = bi Với i ∈ J ' đặt f '(ei ) = Do phép biến đổi tuyến tính hoàn toàn xác định biết ảnh sở nên f ' ∈ End D (V ) Bây giờ, với x ∈V : f ( x) ∈ Im f nên f ( x) = ∑ ei yi Khi đó: i∈J 15 ⎛ ⎞ ( ff ' f )( x ) = f f ' ⎜ ∑ ei yi ⎟ = ∑ ff '(ei ) yi = ∑ f (bi ) yi = ∑ ei yi = f ( x) i∈J i∈J ⎝ i∈J ⎠ i∈J Do ff ' f = f □ 1.2.2 Các điều kiện tương đương vành qui Mệnh đề 1.28 Cho vành R Khi điều kiện sau tương đương: (a) R vành qui (b) Mỗi iđêan phải (trái) R sinh lũy đẳng (c) Mỗi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh R sinh lũy đẳng Mệnh đề 1.28 cho ta ý sáng giá nghiên cứu vành qui: tập trung vào phần tử lũy đẳng chúng Để phát biểu điều kiện tương đương tiếp theo, ta cần phần tử lũy đẳng với tính chất đặc biệt - tính trực giao Mệnh đề 1.29 Cho {ei }i∈1, n họ lũy đẳng trực giao vành R (nghĩa ei e j = 0, ∀i ≠ j ) thỏa n ∑ e = Khi R vành qui i =1 i với x ∈ ei Re j tồn y ∈ e j Rei cho xyx = x Sử dụng mệnh đề trên, ta chứng minh vành ma trận vuông cấp n vành qui vành qui Sau đó, suy luận đơn giản, từ điều kiện tương đương vành qui, ta thu tính chất vành con, iđêan, vành thương vành qui trình bày [3] Thế nhưng, tính chất chưa thực đầy đủ Cho nên, ta kết thúc mục để chuyển sang khảo sát cách tổng quát tỉ mỉ tính chất vành qui chương 16 Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUI Chương dành cho việc mô tả tính chất vành qui lớp vành qui đặc biệt vành qui Abel Thêm vào đó, môđun xạ ảnh hữu hạn sinh vành qui qui Abel xem xét kĩ để làm bậc lên vai trò phần tử lũy đẳng vành qui 2.1 Các tính chất vành qui Mục đích mục giới thiệu vài tính chất vành qui Điểm nhấn quan trọng đưa điều kiện cần thiết để vành vành qui Trong mệnh đề 1.28 ta tính chất có nhiều ứng dụng rộng rãi vành qui, cách lũy đẳng vành qui Ở mục này, ta thường xuyên liên tục phải sử dụng phần tử lũy đẳng vành qui, chẳng hạn: Mệnh đề 2.1 Cho R vành qui Khi đó: (a) Tất iđêan phía lũy đẳng (b) Tất iđêan hai phía nửa nguyên tố (c) J ( R) = với J ( R) Jacobson R (d) R (phải trái) nửa di truyền (e) R (phải trái) không suy biến Chứng minh (a) Lấy J iđêan phải R Với x ∈ J , ∃y ∈ R : xyx = x x = ( xy) x ∈ J Suy J = J (b) Dễ dàng suy từ (a) theo tính chất iđêan nửa nguyên tố (c) Căn Jacobson không chứa lũy đẳng khác 17 (d) Theo mệnh đề 1.28 iđêan phía hữu hạn sinh R hạng tử trực tiếp R nên xạ ảnh (e) Giả sử xJ = với x ∈ R J ≤ e RR Tồn lũy đẳng e ∈ R cho Re = Rx đó: ReJ = RxJ = Suy J ≤ (1 − e) R Khi đó: J ∩ eR = Do eR = x = xe = Vậy RR không suy biến □ Trước nghiên cứu tính chất iđêan vành qui ta cần định nghĩa iđêan qui Định nghĩa 2.2 Một iđêan hai phía J vành R gọi qui với x ∈ J , tồn y ∈ J cho xyx = x Mệnh đề 2.3 Cho J ≤ K iđêan hai phía vành R Khi đó: K qui J K / J qui Chứng minh ■ Nếu K qui K / J qui Lấy x ∈ J , ∃y ∈ K : xyx = x Khi đó: z = yxy ∈ J xzx = x Vì vậy, J qui ■ Ngược lại, giả sử J K / J qui Lấy x ∈ K , x + J phần tử qui K / J nên tồn y + J ∈ K / J : x + J = ( x + J )( y + J )( x + J ) Suy x − xyx ∈ J phần tử qui Do ∃z ∈ J : x − xyx = ( x − xyx) z ( x − xyx) Vì x = x[(1 − yx) z (1 − xy ) + y ]x = xwx , với w = (1 − yx) z (1 − xy ) + y ∈ K Vậy K qui □ Trong trường hợp đặc biệt, mệnh đề 2.3 chứng tỏ iđêan hai phía vành qui qui Nhìn nhận theo lối khác, J iđêan hai phía vành R cho J R / J qui R qui 18 Phương pháp tỏ hữu ích xây dựng ví dụ vành qui, chẳng hạn: Mệnh đề 2.4 Tích trực tiếp hữu hạn vành qui qui Chứng minh Ta cần xem xét trường hợp vành R tích trực tiếp hai vành qui Khi R có iđêan hai phía J K cho J ∩ K = R / J , R / K qui Do J ≅ ( J + K ) / K vành qui R / K , mệnh đề 2.3 chứng tỏ J qui Lại theo 2.3, R / J qui nên R qui □ Chú ý Tích trực tiếp vô hạn vành qui, chẳng hạn , không qui Trong mệnh đề 1.8, ta áp dụng bổ đề Zorn để vành R có iđêan I reg ( R) “lớn nhất” theo nghĩa: I reg ( R) qui vành thương R / I reg ( R) không chứa iđêan qui khác Bây giờ, nhận xét I reg ( R) kết hợp với tiêu chuẩn qui iđêan phát biểu mệnh đề 2.3 ta hình ảnh cụ thể I reg ( R) mà mệnh đề gọi M Mệnh đề 2.5 Cho vành R M = {x ∈ R | RxR iđêan qui} Ta có: (a) M iđêan hai phía qui R (b) M chứa tất iđêan hai phía qui R (c) Vành thương R / M không chứa iđêan hai phía qui khác Chứng minh (a) Lấy x, y ∈ M Ta có RyR ( RxR + RyR) / RyR ≅ RxR / ( RxR ∩ RyR) qui Do đó, theo mệnh đề 2.3, RxR + RyR qui 19 Vì RxR + RyR ⊂ M với x, y ∈ M Do M iđêan hai phía Dĩ nhiên M qui (b) Lấy A iđêan hai phía qui R xét x ∈ A Khi RxR iđêan hai phía A nên qui Suy x ∈ M A ⊂ M (c) Nếu A / M iđêan hai phía qui R / M theo mệnh đề 2.3, A qui M qui Suy A ⊂ M A / M = □ Theo mệnh đề 2.3, iđêan vành qui qui Một câu hỏi đặt vành vành qui có vành qui không? Ta xét trường số hữu tỉ Vì trường vành qui nên vành qui vành vành qui (phần tử ∈ vành số nguyên không là phần tử qui iđêan không sinh lũy đẳng nào: có hai lũy đẳng 1) Ví dụ cho ta thấy vành vành qui chưa vành qui Tuy nhiên, vành đặc biệt, ta có: Mệnh đề 2.6 Góc vành qui vành qui Chứng minh Với phần tử lũy đẳng e ∈ R , góc vành R định nghĩa vành eRe Ta cần chứng minh R vành qui eRe vành qui với lũy đẳng e Thật vậy, lấy x ∈ eRe , chọn y ∈ R : x = xyx Vì e lũy đẳng nên ta có: xe = ex = x Suy ra: x = ( xe) y (ex) = x(eye) x Đặt a = eye ∈ eRe ta có xax = x Vậy eRe vành qui □ Mệnh đề 2.7 Tâm vành qui qui Chứng minh Lấy R vành qui với tâm S chọn x ∈ S [...]... iđêan hai phía chính qui trong R / M thì theo mệnh đề 2.3, A chính qui do M chính qui Suy ra A ⊂ M và A / M = 0 □ Theo mệnh đề 2.3, iđêan của vành chính qui là chính qui Một câu hỏi được đặt ra là vành con của vành chính qui có là vành chính qui không? Ta xét trường các số hữu tỉ Vì trường là vành chính qui nên vành chính qui nhưng một vành con của vành chính qui (phần tử 2 ∈ là vành các số nguyên là... nhắc lại một vài khái niệm cơ bản cùng các đặc trưng đơn giản nhất về vành chính qui Von Neumann 1.2 Vành chính qui Von Neumann 1.2.1 Định nghĩa và một số ví dụ Định nghĩa 1.18 Vành R được gọi là vành chính qui (Von Neumann) nếu mọi phần tử của nó là phần tử chính qui Nghĩa là: R chính qui nếu và chỉ nếu R = Von( R) Từ định nghĩa vành chính qui, ta dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau: Mệnh đề 1.19... Trong một vành chính qui, mỗi phần tử khác 0 hoặc khả nghịch hoặc là ước của 0 14 Hệ quả 1.20 Nếu vành chính qui đồng thời là miền nguyên thì nó là trường Mệnh đề 1.21 Vành chính qui R là vành chia nếu và chỉ nếu R chỉ có hai phần tử lũy đẳng tầm thường Mệnh đề 1.22 Tích trực tiếp của một họ khác rỗng các vành chính qui là vành chính qui Mệnh đề 1.23 Ảnh đồng cấu của vành chính qui là vành chính qui. .. 0 và R / J , R / K đều chính qui Do J ≅ ( J + K ) / K trong vành chính qui R / K , mệnh đề 2.3 chứng tỏ rằng J chính qui Lại theo 2.3, R / J chính qui nên R chính qui □ Chú ý Tích trực tiếp con của vô hạn vành chính qui, chẳng hạn , không chính qui Trong mệnh đề 1.8, ta đã áp dụng bổ đề Zorn để chỉ ra trong vành R có iđêan I reg ( R) “lớn nhất” theo nghĩa: I reg ( R) chính qui và vành thương R / I reg... con, iđêan, vành các thương của vành chính qui như đã trình bày trong [3] Thế nhưng, các tính chất này chưa thực sự đầy đủ Cho nên, ta kết thúc mục này ở đây để chuyển sang khảo sát một cách tổng quát và tỉ mỉ hơn các tính chất của vành chính qui trong chương 2 16 Chương 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUI Chương này dành cho việc mô tả các tính chất của vành chính qui và một lớp các vành chính qui đặc... tử chính qui vì iđêan 2 không được sinh bởi lũy đẳng nào: chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1) Ví dụ trên cho ta thấy một vành con của vành chính qui chưa chắc là vành chính qui Tuy nhiên, đối với các vành con đặc biệt, ta có: Mệnh đề 2.6 Góc của vành chính qui là vành chính qui Chứng minh Với mỗi phần tử lũy đẳng e ∈ R , góc của vành R được định nghĩa là vành con eRe Ta cần chứng minh nếu R là vành chính. .. là vành chính qui Abel Thêm vào đó, các môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui và chính qui Abel cũng được xem xét khá kĩ để làm nổi bậc lên vai trò của các phần tử lũy đẳng trong vành chính qui 2.1 Các tính chất cơ bản của vành chính qui Mục đích của mục này là giới thiệu vài tính chất cơ bản của vành chính qui Điểm nhấn quan trọng là đưa ra những điều kiện cần thiết để vành là vành chính qui. .. qui Nhìn nhận theo lối khác, nếu J là một iđêan hai phía trong vành R sao cho J và R / J chính qui thì R chính qui 18 Phương pháp này tỏ ra hữu ích khi xây dựng các ví dụ về vành chính qui, chẳng hạn: Mệnh đề 2.4 Tích trực tiếp con hữu hạn của các vành chính qui là chính qui Chứng minh Ta chỉ cần xem xét trường hợp vành R là tích trực tiếp con của hai vành chính qui Khi đó R có các iđêan hai phía J... đẳng của R đều thuộc tâm của R Ví dụ 1.10 a) Vành chia là vành Abel b) Vành giao hoán là vành Abel c) Tâm của vành R là vành Abel 11 d) Nếu R là vành không có phần tử lũy linh khác 0 thì mỗi lũy đẳng của R giao hoán với mọi phần tử của R, nói cách khác, R là vành Abel Ngoài ra còn có một số ví dụ khác về vành Abel khi ta thêm vào điều kiện chính qui để chúng trở thành vành chính qui Abel - một đối tượng... của vành R được gọi là chính qui nếu với mỗi x ∈ J , tồn tại y ∈ J sao cho xyx = x Mệnh đề 2.3 Cho J ≤ K là các iđêan hai phía của vành R Khi đó: K chính qui nếu và chỉ nếu J và K / J đều chính qui Chứng minh ■ Nếu K chính qui thì K / J chính qui Lấy x ∈ J , ∃y ∈ K : xyx = x Khi đó: z = yxy ∈ J và xzx = x Vì vậy, J chính qui ■ Ngược lại, giả sử J và K / J chính qui Lấy x ∈ K , x + J là phần tử chính