Module hữu hạn sinh

Trong các cấu trúc đại số mà chúng ta đã được tìm hiểu thì cấu trúc Module xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết toán học hiện đại, nó là cơ sở để phát triển một số cấu trúc đại số khác.

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy giáo Nguyễn Kế Tam, người đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận này, đồng thời đã bổ sung nhiều kiến thức chuyên môn và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong hoạt động nghiên cứu khoa học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô Trường Đại học Quảng Bình, đặc biệt là quý Thầy Cô trong khoa Khoa học tự nhiên đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và tạo mọi điều kiện để giúp tôi hoàn thành bài khóa luận này

Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Đại học Sư phạm Toán Khóa 56 đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành tốt khóa luận này

Trân trọng cảm ơn!

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018

Tác giả

Trần Diệu Linh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả nghiên cứu trong bài khóa luận này

là hoàn toàn trung thực Đây là công trình nghiên cứu của chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo ThS Nguyễn Kế Tam

Chúng tôi chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình này

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018

Tác giả

Trần Diệu Linh

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mục lục iii

Mở đầu 1

Chương I: Kiến thức chuẩn bị 3

1 Module – module con 3

2 Đồng cấu module 6

3 Tổng trực tiếp – tích trực tiếp 9

4 Module tự do 11

5 Dãy khớp – dãy nửa khớp 14

Chương II: Module hữu hạn sinh 17

1 Module hữu hạn sinh 17

2 Module Noether 37

3 Module hữu hạn sinh trên vành chính 46

Kết luận 59

Tài liệu tham khảo 60

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Ngành toán học hiện đại đang ngày càng phát triển và trong sự phát triển

đó không thể không nhắc đến cấu trúc đại số Trong các cấu trúc đại số mà chúng ta đã được tìm hiểu thì cấu trúc Module xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết toán học hiện đại, nó là cơ sở để phát triển một số cấu trúc đại số khác Cũng như cấu trúc vành - trường, cấu trúc module cũng rất phong phú và đa dạng Có thể nói rằng khái niệm module là mở rộng của khái niệm nhóm Abel

và khái niệm không gian vectơ Và được chia ra làm nhiều loại: module hữu hạn sinh, module tự do, module Noether, module Artin,… Trong đó module hữu hạn sinh có rất nhiều tính chất làm nền tảng xây dựng các loại module khác, đặc biệt là module Noether

Do đó được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Module hữu hạn sinh” để làm luận văn tốt nghiệp cuối khóa

2 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đề tài “ Module hữu hạn sinh” đi sâu nghiên cứu các vấn đề về module hữu hạn sinh và một số kiến thức liên quan Từ đó đưa ra mối liên hệ mật thiết giữa module này với các loại module khác

3 MỤC ĐÍCH VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Nhằm nâng cao kiến thức bản thân và giúp tôi có cái nhìn sâu sắc hơn về kiến thức đã được tiếp thu

Đề tài nêu lại một số vấn đề cơ bản của lý thuyết module làm cơ sở nghiên cứu module hữu hạn sinh Từ đó tập hợp phân tích làm rõ các khái niệm, tính chất,… của module hữu hạn sinh.Nghiên cứu cấu trúc của module tự do hữu hạn sinh trên vành chính Nội dung nghiên cứu gồm hai chương:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Chương II: Module hữu hạn sinh

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là sưu tầm tài liệu trên cơ sở đó phân tích tổng hợp các kiến thức liên quan đến module hữu hạn sinh Sau đó chứng minh các vấn đề nghiên cứu và giải quyết một số bài tập liên quan

5 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

- Nhận đề tài – tìm tài liệu

- Nghiên cứu sơ lược tài liệu

- Lập đề cương

- Tìm và nghiên cứu thêm các tài liệu

- Thực hiện đề tài

- Trình bày luận văn

- Bảo vệ luận văn

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

(Trong phạm vi đề tài này chúng ta kí hiệu R là vành giao hoán

(1) Mọi không gian vectơ V trên trường K là K-module

(2) Nếu R là vành, n là số tự nhiên Đặt MRn Khi đó dễ dàng kiểm tra M là R-module với phép nhân ngoài: R M   M

(r,(r , r , , r )) (rr , rr , , rr ) Đặc biệt khi n1 ta có R là module trên chính nó

(3) Mỗi nhóm cộng Abel A là module

(4) Cho R là vành có đơn vị, I là ideal của R Khi đó I là module trên R Đặc biệt  0 và R là các R-module và được gọi là module tầm thường

(5) Gọi S là tập tất cả các hàm f : X  R (R là vành có đơn vị) Khi

đó S là R-module với phép nhân ngoài:

R S S(r,f) rf: X R

Nói cách khác: N là module con của M nếu

d) Mọi ideal của vành giao hoán có đơn vị đều là module con trên chính vành đó

e) Cho M là một R-module trái và x  M Khi đó:

1.6 Module con sinh bởi một tập

Cho M là R-module, X  M, X   Khi đó, mỗi phần tử x  Mcó dạng

i i i i

xr x (r R, x X) được gọi là tổ hợp tuyến tính của X Tập các tổ hợp tuyến tính được kí hiệu L(X) hay X Nếu A X thì ta nói A là module con sinh bởi X hay X là hệ sinh của A

Nếu Xx , x , , x1 2 n thì ta viết x , x , , x1 2 n thay X và đương nhiên

Nếu MN thì đồng cấu f được gọi là tự đồng cấu Tập các tự đồng cấu của M được kí hiệu là End(M)

Tự đồng cấu được gọi là tự đẳng cấu nếu nó là song ánh Tập các tự đẳng cấu của M được kí hiệu là Aut(M)

ker f  xM f (x)0 f (0) được gọi là hạt nhân của f

Imf  yN yf (x), x M f (M) được gọi là ảnh của f

Khi đó: f là đơn cấu khi và chỉ khi ker f 0

f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf N

2.2 Ví dụ

(1) Mỗi đồng cấu nhóm Abel đều là đồng cấu module trên

(2) Cho M, N là các R-module Khi đó ánh xạ 0 : M  N là R-đồng cấu và được gọi là đồng cấu không hay đồng cấu tầm thường

(3) Cho M là R-module, N là module con của M Ánh xạ i : N  M

b) Ánh xạ ngược của đẳng cấu là đẳng cấu

c) Ảnh và tạo ảnh của các module con là các module con

d) Giả sử f : M  N là đẳng cấu thì ta nói M đẳng cấu với N Kí hiệu

2) Tồn tại duy nhất một đồng cấu h : N  P sao cho hf g

Khi một trong hai điều kiện trên thỏa thì:

a) h là đơn cấu khi và chỉ khi ker f ker g

b) h là toàn cấu khi và chỉ khi g là toàn cấu

Với mỗi k  I gọi k i k

 Module này được gọi là tổng trực

tiếp (ngoài) của họ  Mi i I và được kí hiệu i

i I

M



 NếuI1, 2, , k là tập hữu hạn thì hai khái niệm tích trực tiếp và tổng trực tiếp là trùng nhau và được kí hiệu là M1M2  Mk

   thì x được biểu diễn

duy nhất dưới dạng x HHi (x )k i Như vậy ta có thể đồng nhất tổng trực tiếp ngoài với tổng trực tiếp trong

3.3.2 Định lý

Cho N là R-module con của R-module M Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

1) N là hạng tử trực tiếp của M

2) Tồn tại f End(M) sao cho f2f và NImf

3) Tồn tại g Hom(M, N) sao cho g(n)n ( n N)

X là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu X không phải là hệ độc lập tuyến tính

X là cơ sở của M nếu X vừa là hệ sinh vừa là hệ độc lập tuyến tính

M là R-module tự do (gọi tắt là module tự do) nếu M có một cơ sở nào

đó

4.2 Các ví dụ

a) Mỗi không gian vectơ V trên trường K là K-module tự do

b) Với vành R, xem R là R-module, I là tập chỉ số nào đó Đặt

2) Nếu X chứa 0 thì X là hệ phụ thuộc tuyến tính

3) Nếu X chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì X cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính

4) X là cơ sở của M khi và chỉ khi mỗi phần tử của M đều biểu diễn tuyến tính duy nhất qua hệ X

5) Nếu  Xi i I (I ) là họ các cơ sở của M , với Mi i là module con

là cơ sở của của M

Tổng quát: nếu  Mi i I là một họ các module tự do nào đó thì i

i IM





cũng là một module tự do

4.4 Định lý

Cho M là R-module có nhiều hơn một phần tử, XM, X xi i I Khi

đó X là cơ sở của M khi và chỉ khi với mỗi R-module N và mỗi ánh xạ

f : X  N thì tồn tại duy nhất một R-đồng cấu F : M  N sao cho

X

F f(F là mở rộng của f)

4.5 Các hệ quả

Hệ quả 1: Mọi R-module M đều là ảnh đồng cấu của R-module tự do nào

đó Hay mọi module M đều đẳng cấu với module thương của module tự do

Hệ quả 2: M và N là các R-module tự do đẳng lực khi và chỉ khi M  N Chú ý: Nếu f : M  N là đẳng cấu và X là cơ sở của M thì f(X) là cơ

sở của N

4.6 Bổ đề

Cho M, M ' là các R-module, trong đó M ' là module tự do Giả sử

f : M  M' là toàn cấu Khi đó tồn tại module con tự do N của M mà cái thu hẹp f trên N cảm sinh một đẳng cấu từ N lên M ' sao cho M N ker f

của M ') Suy ra  xi i I độc lập tuyến tính Vậy N là module tự do

Lấy x M suy ra tồn tại

Ta nói rằng dãy trên là khớp (nửa khớp) nếu nó khớp (nửa khớp) tại mỗi mắt xích, trừ mắt xích đầu và cuối (nếu có)

Nhận xét:

1) Dãy đã cho là khớp tại M khi và chỉ khi gfn 0 và ker gImf 2) Dãy đã cho là nửa khớp tại M khi và chỉ khi gfn 0

3) Dãy 0 M fN là khớp nếu f là đơn cấu

4) Dãy Mf N 0 là khớp nếu f là toàn cấu

5) Dãy 0 M f N 0 là khớp nếu f là đẳng cấu

5.2 Định nghĩa

0 M  N  P 0 được gọi là dãy khớp ngắn Đặc biệt nếu Imf là hạng tử trực tiếp thì dãy khớp này được gọi là dãy khớp bị chẻ ra

Nhận xét: Dãy f g

0 M  N  P 0 là dãy khớp ngắn Suy ra:

1) Imf ker g

2) f là đơn cấu

3) g là toàn cấu

Ví dụ: Cho M là R-module và N là module con của M Khi đó

Dãy 0 N i M M / N0 là dãy khớp ngắn, trong đó i

là phép nhúng tự nhiên và  là toàn cấu chính tắc

(1) Dãy (*) là dãy khớp chẻ ra

(2) Với mọi R-module L, dãy sau là dãy khớp chẻ ra

CHƯƠNG II: MODULE HỮU HẠN SINH

§1 MODULE HỮU HẠN SINH 1.1 Định nghĩa

Cho M là R-module, X  M, X  

Nếu Xx , x , , x1 2 n và M X thì ta nói X là hệ sinh hữu hạn của M

và M được gọi là module hữu hạn sinh

Khi đó -module n là module hữu hạn sinh

(2) Tập hợp các số nguyên là -module hữu hạn sinh, sinh bởi 1 (3) Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1 Khi đó R là module trên chính

nó và R chính là module sinh bởi một phần tử là đơn vị

Điều này chứng tỏ X \ x 1 cũng là hệ sinh của Tiếp tục quá trình này

n bước ta được tập rỗng là hệ sinh của và do đó  0 (vô lý)

Vậy không có hệ sinh hữu hạn.

Với hai phép toán trên ta dễ dàng chứng minh được R là vành giao hoán

có đơn vị là   (1,1, ,1, ) Do đó nếu xem R là module trên chính nó thì R là module xyclic sinh bởi 

Xét A là tập con của R gồm tất cả các dãy  trong đó chỉ có hữu hạn các xi 0

Rõ ràng A là R-module con của module xyclic R

Tuy nhiên A không phải là module hữu hạn sinh Thật vậy:

Giả sử A  1, 2, ,n và k là chỉ số lớn nhất của các thành phần khác không của i (i1, 2, , n) Khi đó một vectơ thuộc A có thành phần thứ (k + 1) khác không sẽ không biểu thị tuyến tính được qua  1, 2, ,n

Vậy A không phải là module hữu hạn sinh 

Giả sử f : M  N là R-đồng cấu trong đó N y , y , , y1 2 n

() Ta có y , y , , y1 2 nN nên với mọi i1, 2, , n luôn tồn tại xiMsao cho yi f (x )i Vậy f là toàn ánh trên y , y , , y1 2 n

() Giả sử f toàn ánh trên y , y , , y1 2 n Khi đó với mọi i 1,2, ,n luôn tồn tại xiM sao cho yi f (x )i

Lấy y N    x M : yf (x)(do f là toàn cấu)

Do xM nên tồn tại riR (i=1,n) sao cho

() Giả sử M đẳng cấu với một module thương n

R /X Khi đó tồn tại một toàn cấu R-module n

: R M

  Theo ví dụ 4.2.b) chương I, Rn

là module tự do với cơ sở là S   1, 2, ,n Theo mệnh đề 1.7, M cũng là module hữu hạn sinh và M được sinh bởi f (S) 

  nên M 'cũng là module hữu hạn sinh Để ý rằng mỗi phần tử của

M ' là một bộ gồm vô hạn thành phần xn mà hầu hết xn 0 trừ một số hữu hạn Giả sử M ' x , x , , x1 2 k , gọi m là chỉ số lớn nhất của các thành phần khác không của x (j 1, 2, , k)j  Khi đó phần tử M ' có thành phần thứ m+1 khác không sẽ không biểu thị tuyến tính được qua các x (j 1, 2, , k)j  Điều này chứng tỏ M ' không là module hữu hạn sinh (mâu thuẫn)

Vậy chỉ có hữu hạn Mi khác không

() Giả sử chỉ có hữu hạn Mi khác không và Mi là module hữu hạn sinh

Với n2, ta có MM1M2 Theo định lý đẳng cấu M / M1 M2 Vì

M1, M2 hữu hạn sinh nên M cũng là module hữu hạn sinh

Giả sử mệnh đề đúng với (n-1), nghĩa là ta có n 1 i

Giả sử M là R-module hữu hạn sinh và M x , x , , x1 2 n

Gọi A là module con của M, AM Đặt  B A B M, BM Khi đó    Hơn nữa  là tập sắp thứ tự tốt theo quan hệ bao hàm

Để áp dụng bổ đề Zorn, ta cần chỉ ra mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn L của  có cận trên trong 

Do tính tối đại của D trong , suy ra N  D

Vậy D là module con tối đại của M 

Cho M là R-module hữu hạn sinh, A là ideal của R, End(M) thỏa

Im AM Khi đó, tồn tại a ,a , ,a1 2 n A sao cho n n 1



 

 

  

 

Nhân bên trái của (2) với ma trận phụ hợp B của B

Từ (2) suy ra B X 0 (3) , với B det B

Đặt f  B Từ (3) suy ra f (x )i 0, i 1, n Suy ra f là tự đồng cấu không của M, tức là f  B 0

Cho M là R-module hữu hạn sinh, A là ideal của R thỏa AM = M Khi

đó tồn tại phần tử x 1(mod A) sao cho xM = 0

Cho M là R-module hữu hạn sinh, A là ideal của R, ARad(R) Khi đó nếu AM = M thì M = 0

Chứng minh

Theo hệ quả 1.15, tồn tại xR sao cho x 1(mod A) thỏa xM = 0 Khi

đó 1 x A Rad(R)   theo định lý 8.4 chương I suy ra x 1 (1 x)   khả nghịch trong R Khi đó 1

() Xét tập hợp các module con dạng Ra aM Khi đó theo giả thiết tồn tại tập hữu hạn a , a , , a1 2 n sao cho M = Ra + Ra + + Ra 1 2 n

Vậy M là module hữu hạn sinh 

Đối với R-module M, các mệnh đề sau đây là tương đương:

a) M hữu hạn sinh

b) M thỏa mãn các điều kiện sau:

Rad(M) M 2) M/Rad(M) hữu hạn sinh

Chứng minh

a)  b) Giả sử M là module hữu hạn sinh, suy ra M/Rad(M) hữu hạn sinh và theo định lý 1.19 o

Rad(M) M b)  a) Xét toàn cấu chính tắc p : M  M/Rad(M)

Giả sử M / Rad(M) x , x , , x1 2 n Ta coi xi là phần tử đại diện cố định của lớp xi (i1, n) Khi đó xi p(x )i (i1, n)

Với mọi xM tồn tại riR (i1, n) sao cho

của Theo chứng minh ở ví dụ 1.3 thì bản thân E chính là hệ sinh của ,

 hay  fj 1,n là hệ sinh của Hom(M,R)

Vậy Hom(M,R) là một R-module tự do hữu hạn sinh 

Vì M là module xạ ảnh nên dãy khớp trên là chẻ ra Theo định lý 5.5

0Hom(M, R) Hom(F, R)Hom(ker ,R) 0

Do đó Hom(F,R) Hom(M,R) Hom(ker ,R)   Theo mệnh đề 1.24 Hom(F,R) là R-module tự do hữu hạn sinh

Vậy Hom(M,R) là module xạ ảnh hữu hạn sinh 

a) Phần tử xMđược gọi là phần tử xoắn nếu Ann(x)0

Tập hợp tất cả các phần tử xoắn của M được kí hiệu tor(M)

b) Nếu tor(M)0 thì M được gọi là module không xoắn

c) Nếu tor(M)M thì M được gọi là module xoắn

Gọi là trường các thương của R Ta có MM, nên ta có thể xem M là - không gian vectơ với cơ sở e ,e , ,e1 2 m Và có thể đồng

Giả sử mệnh đúng với mọi R-module M có số phần tử sinh nhỏ hơn n

Ta chứng minh mệnh đề đúng với mọi module được sinh bởi n phần tử

* Nếu tồn tại module con N của M sinh bởi (n-1) phần tử mà N  M thì theo giả thiết qui nạp ta có điều phải chứng minh

* Nếu không tồn tại module con nào sinh bởi (n-1) phần tử mà trùng M: Xét N x , x , , x1 2 n 1 M suy ra xnN Khi đó M N xn Thật vậy:

được xác định tốt Dễ thấy  là một đồng cấu

Đặt A Im  Suy ra A là ideal của R và ánh xạ : M   A là toàn ánh Ta có ker xM / (x) 0  xM / xNM N N

Nên dãy sau là khớp ngắn i