Module hữu hạn sinh

LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy giáo Nguyễn Kế Tam, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt thời gian thực khóa luận này, đồng thời bổ sung nhiều kiến thức chuyên môn kinh nghiệm quý báu cho hoạt động nghiên cứu khoa học Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến q Thầy Cơ Trường Đại học Quảng Bình, đặc biệt quý Thầy Cô khoa Khoa học tự nhiên giảng dạy giúp đỡ trình học tập, nghiên cứu tạo điều kiện để giúp tơi hồn thành khóa luận Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Đại học Sư phạm Tốn Khóa 56 động viên giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành tốt khóa luận Trân trọng cảm ơn! Quảng Bình, tháng năm 2018 Tác giả Trần Diệu Linh i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực Đây cơng trình nghiên cứu tơi thực hướng dẫn Thầy giáo ThS Nguyễn Kế Tam Chúng tơi chịu hồn tồn trách nhiệm nội dung khoa học cơng trình Quảng Bình, tháng năm 2018 Tác giả Trần Diệu Linh ii MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Mở đầu Chương I: Kiến thức chuẩn bị Module – module Đồng cấu module Tổng trực tiếp – tích trực tiếp Module tự 11 Dãy khớp – dãy nửa khớp 14 Chương II: Module hữu hạn sinh 17 Module hữu hạn sinh 17 Module Noether 37 Module hữu hạn sinh vành 46 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 iii iv PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ngành toán học đại ngày phát triển phát triển không nhắc đến cấu trúc đại số Trong cấu trúc đại số mà tìm hiểu cấu trúc Module xuất hầu hết lí thuyết tốn học đại, sở để phát triển số cấu trúc đại số khác Cũng cấu trúc vành - trường, cấu trúc module phong phú đa dạng Có thể nói khái niệm module mở rộng khái niệm nhóm Abel khái niệm khơng gian vectơ Và chia làm nhiều loại: module hữu hạn sinh, module tự do, module Noether, module Artin,… Trong module hữu hạn sinh có nhiều tính chất làm tảng xây dựng loại module khác, đặc biệt module Noether Do gợi ý Giáo viên hướng dẫn, chọn đề tài “Module hữu hạn sinh” để làm luận văn tốt nghiệp cuối khóa ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài “ Module hữu hạn sinh” sâu nghiên cứu vấn đề module hữu hạn sinh số kiến thức liên quan Từ đưa mối liên hệ mật thiết module với loại module khác MỤC ĐÍCH VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Nhằm nâng cao kiến thức thân giúp tơi có nhìn sâu sắc kiến thức tiếp thu Đề tài nêu lại số vấn đề lý thuyết module làm sở nghiên cứu module hữu hạn sinh Từ tập hợp phân tích làm rõ khái niệm, tính chất,… module hữu hạn sinh.Nghiên cứu cấu trúc module tự hữu hạn sinh vành Nội dung nghiên cứu gồm hai chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương II: Module hữu hạn sinh PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu chủ yếu sưu tầm tài liệu sở phân tích tổng hợp kiến thức liên quan đến module hữu hạn sinh Sau chứng minh vấn đề nghiên cứu giải số tập liên quan CÁC BƯỚC THỰC HIỆN - Nhận đề tài – tìm tài liệu - Nghiên cứu sơ lược tài liệu - Lập đề cương - Tìm nghiên cứu thêm tài liệu - Thực đề tài - Trình bày luận văn - Bảo vệ luận văn CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ (Trong phạm vi đề tài kí hiệu R vành giao hốn có đơn vị khác 0) Module – module 1.1 Định nghĩa Cho R vành giao hốn có đơn vị Nhóm Abel  M,   gọi Rmodule hay module R tồn ánh xạ (phép nhân ngồi): RM  M (r,x) rx thỏa tính chất sau: r(x1  x )  rx1  rx (r  s)x  rx  sx (rs)x  r(sx) 1x  x (r,s  R, x,x1, x  M) 1.2 Các ví dụ (1) Mọi khơng gian vectơ V trường K K-module (2) Nếu R vành, n số tự nhiên Đặt M  R n Khi dễ dàng kiểm tra M R-module với phép nhân ngoài: (r,(r1,r2 , ,rn )) RM  M (rr1,rr2 , ,rrn ) Đặc biệt n  ta có R module (3) Mỗi nhóm cộng Abel A  module (4) Cho R vành có đơn vị, I ideal R Khi I module R Đặc biệt 0 R R-module gọi module tầm thường (5) Gọi S tập tất hàm f : X  R (R vành có đơn vị) Khi S R-module với phép nhân ngoài: R S  S (r,f) rf: X  R x rf(x) 1.3 Một vài tính chất Cho M R-module Khi đó, r,s  R, x,y,x1, x  M , ta có 1) 0R x  0M r0M  0M 2) (1R )x  x 3) (r)x  (rx)  r(x) y(rx)  r(yx) 4) r(x1  x )  rx1  rx 5) (r  s)x  rx  sx 1.4 Module 1.4.1.Định nghĩa Cho M R-module, N tập khác rỗng M Khi N gọi module M N module R với phép cộng phép nhân vô hướng M hạn chế N Nói cách khác: N module M (1) n1,n  N : n1  n  N (2) n  N, r  R : rn  N Kí hiệu: N  M 1.4.2 Ví dụ a) 0 M module module M gọi module tầm thường M b) Không gian vectơ không gian vectơ V trường K module module V c) Nhóm nhóm Abel A module  module A d) Mọi ideal vành giao hốn có đơn vị module vành e) Cho M R-module trái x  M Khi đó: Rx  rx, r  R Module M 1.4.3 Bổ đề Nếu Xi i  I họ module module M iI Xi module M 1.5 Module thương Cho M R-module, N module M Ta có  N,   nhóm chuẩn tắc  M,   Do M/N nhóm thương nhóm cộng Abel M Từ ta có M/N nhóm cộng Abel Xét phép nhân ngoài: R  M / N  M/N (r, x) rx  rx (r  R, x  M) Dễ dàng kiểm tra M/N với phép nhân lập thành cấu trúc R-module.Module M/N gọi module thương M 1.6 Module sinh tập Cho M R-module, X  M, X   Khi đó, phần tử x  M có dạng x   ri x i (ri  R, x i  X) gọi tổ hợp tuyến tính X Tập tổ hợp tuyến tính kí hiệu L(X) hay X Nếu A  X ta nói A module sinh X hay X hệ sinh A Nếu X  x1 , x , , x n  ta viết x1 , x , , x n thay X đương nhiên n  x1 , x , , x n   ri x i , ri  R  Đặc  i1  biệt n 1 ta có x  rx, r  R kí hiệu Rx.Nếu A  x ta gọi A module xyclic 1.7 Tổng trực tiếp Cho họ khác rỗng module Ni i  I R-module M Khi đó: HH  Tổng N  N1  N   Ni     x i x i  Ni , i  I  gọi   tổng đại số họ Ni iI Tổng đại số gọi tổng trực tiếp với j  I ta có Nj Ni  Ni  0 Kí hiệu  iI i j I  1,2, ,k Nếu tổng kí hiệu k  Ni hay N1  N   N k i 1 Nếu M   Ni ta nói M tổng trực tiếp họ module iI 1.7.2 Định lý Cho họ khác rỗng họ module Ni i  I R-module M Khi M   Ni với x  M biểu diễn dạng iI HH x   x i với x i  Ni Đồng cấu module 2.1 Định nghĩa Cho M, N R-module Ánh xạ f : M  N gọi đồng cấu module R (hay R-đồng cấu) x, x1 , x  M, r  R ta có: f (x1  x )  f (x1 )  f (x ) f (rx)  rf (x) Tập hợp tất đồng cấu từ M tới N kí hiệu Hom(M,N) Đồng cấu f gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (tồn ánh, song ánh) §3 MODULE HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH CHÍNH 3.1 Bổ đề Nếu R-module tự hữu hạn sinh M có hai sở với hai lực lượng khác với k  * tồn sở M có lực lượng lớn k Chứng minh Giả sử M có hai sở với hai lực lượng khác nhau: Cơ sở (1) gồm n phần tử x1 , x , , x n  Cơ sở (2) gồm m phần tử y1 , y2 , , ym  Giả sử m  n Chọn n phần tử y1 , y2 , , yn sở (2) Gọi M ' module sinh y1 , y2 , , yn  Khi M ' module tự hữu hạn sinh có sở gồm n phần tử y1 , y2 , , yn  Rõ ràng yn 1 , yn 2 , , ym  M' nên M  yn 1, yn 2 , , ym  M' (*) Mặt khác ta có M module tự hữu hạn sinh có sở gồm n phần tử x1 , x , , x n  nên tồn đẳng cấu f : M  M' Vì y1 , y2 , , ym  sở M nên f (y1 ),f (y2 ), ,f (y m ) sở M ' Từ (*) suy f (y1 ),f (y2 ), ,f (y m ), y n 1, y n 2 , , y m  sở M gồm m  (m  n) phần tử với m  n  Bây ta lại xét hai sở có hai lực lượng khác M Cơ sở (2): y1 , y2 , , ym  Cơ sở (3): f (y1 ),f (y2 ), ,f (y m ), y n 1, y n 2 , , y m  Lập luận tương tự ta sở M gồm  m  (m  n)  (m  n) phần tử m  n  Tiếp tục thế, qua bước ta lập sở M có lực lượng tăng lên m  n phần tử Vậy qua k  bước ta sở M có lực lượng lớn k  46 3.2 Bổ đề Cho M module tự hữu hạn sinh vành R Khi M có sở có lực lượng n sở M có lực lượng nhỏ 2n Chứng minh Ta chứng minh bổ đề phương pháp qui nạp theo n lực lượng sở M Nếu n  , tức M có sở có phần tử x Giả sử M tồn sở khác x1, x , , x m  với m  Biểu diễn xj qua sở x , ta được: x1  r1x x  r2 x x m  rm x rj  0, rj  R, j  1, m Khi rm x1  r1x m  rm (r1x)  r1 (rm x)  (rmr1 )x  (r1rm )x  Suy hệ x1 , x m  phụ thuộc tuyến tính (mâu thuẫn) Do M khơng tồn sở có lực lượng lớn Giả sử bổ đề với (n-1) Nghĩa M có sở gồm (n-1) phần tử sở khác M phải có lực lượng nhỏ 2n 1 Ta chứng minh bổ đề với n Giả sử M có sở gồm n phần tử x1 , x , , x n  Giả sử M có sở khác y1 , y2 , , ym  với m  2n Khi biểu diễn yi qua xj ta được: n yi   rijx j với i  1, m j1 47 Giả sử có nhiều m m hệ số rin  Khi có nhiều yi 2 biểu diễn qua x1 , x , , x n 1 Tức có nhiều tuyến tính M'  x1 , x , , x n 1 Mà m  2n  m phần tử độc lập m  2n 1 Như có nhiều 2n 1 phần tử độc lập tuyến tính M'  x1 , x , , x n 1 (trái với giả thiết qui nạp) Vậy có khơng khơng ( m hệ số rin  Giả sử có t hệ số rin khác m  t  m) Khơng tính tổng qt ta giả sử hệ số r1n ,r2n , ,rtn t Xét phần tử zk  r2k,n y2k 1  r2k 1,n y2k với k  1, 2, ,   2 t t   phần nguyên Vì hệ y1 , y2 , , ym  độc lập tuyến tính hệ số r2k 1,n , r2k,n khác t t không với k  1, 2, ,   nên z k  với k  1, 2, ,   Dễ dàng 2 2 thấy hệ số xn biểu diễn zk không nên zk biểu diễn qua x1 , x , , x n 1     Xét hệ z1 , z , z  t  , y t 1 , y t  , , y m  Hiển nhiên hệ độc lập tuyến 2       t m tính có số phần tử    (m  t)     2n 1 Điều mâu thuẫn với 2 2 giả thiết qui nạp Vậy M không tồn sở có lực lượng lớn 2n 48  3.3 Mệnh đề Hai sở module tự hữu hạn sinh vành có lực lượng Do lực lượng sở module tự hữu hạn sinh vành Chứng minh Cho M module tự hữu hạn sinh vành R Giả sử x1 , x , , x n  y1 , y2 , , ym  hai sở M với n  m Theo bổ đề 3.1 M có sở có lực lượng lớn k  2n Mặt khác theo bổ đề 3.2 sở M khác x1 , x , , x n  có lực lượng nhỏ 2n (mâu thuẫn) Vậy lực lượng sở M  Nhận xét: M module tự hữu hạn sinh vành R Nếu M có sở có lực lượng n ta nói module M có hạng n 3.4 Mệnh đề Module module tự khơng module tự Chứng minh  Ta có module module tự với sở (1,1) Xét  0 module  Ta chứng minh  0 không module tự Với (x,0)   0 Lấy (0,1)   Ta có (x,0).(0,1)  (0,0) Suy hệ (x,0) phụ thuộc tuyến tính Tức hệ gồm phần tử  0 phụ thuộc tuyến tính Do độc lập tuyến tính Suy module tự  0 khơng có hệ  0 khơng có sở Vậy  49  0 khơng 3.5 Định lý Cho R vành Khi module R-module R n (n  * ) module tự Chứng minh Giả sử M module Rn Có thể giả thiết M  0 M  M module tự sinh tập rỗng Ta chứng minh định lý phương pháp qui nạp theo n Với n  Ta có M ideal R Suy M  x (do R vành chính) Do M module tự với sở x (x  0) Giả sử mệnh đề với (n-1) Ta chứng minh mệnh đề với n Xét phép chiếu f : R n  R (r1,r2 , ,rn ) Đặt f  f M rn :M  R Ta có N  ker f  x  M f (x)  0  x  M x  (x1, x , , x n 1,0) Khi ánh xạ  : N  R n-1 (x1, x , , x n 1,0) (x1, x , , x n 1 ) đơn cấu Suy N  Im  Do N module tự theo giả thiết qui nạp Nếu f  M  N module tự Nếu f  ta có 0  Imf ideal R Do Im f  r , r  R, r  Suy tồn x  M cho f (x)  r, (x  0) Do x  Rx module tự với sở x Ta chứng minh M  N  Rx Giả sử m  M suy ra: f (m)  Im f  f (m)  ar (a  R)  f (m)  a.f (x)  f (ax) 50  f (m  ax)   m  ax  N  m  ax  n  N Do m  n  ax hay M  N  Rx  f (m)  m  N  Lấy m  N  Rx   m  Rx m  bx Suy  f (m)  f (bx)  bf (x)  br  b  (do r  ) Suy m  hay N  Rx  0 Vậy M  N  Rx Do Rx N module tự nên M module tự  3.6 Hệ Giả sử M R-module tự hữu hạn sinh (R vành chính) Khi module M module tự Chứng minh Giả sử M có hạng n Khi M  R n Gọi N module M Theo định lý 3.5 N module tự  3.7 Mệnh đề Cho M module tự hữu hạn sinh hạng k vành R, N module M Khi tồn đồng cấu f : M  R phần tử m  M n  am  N (a  R) cho f (m)  f (n)  f (N) Chứng minh Giả sử M có sở x1 , x , , x k  Với đồng cấu h : M  R h(N) module R tức h(N) ideal R Xét họ tất ideal h(N) R với h  Hom(M,R) Vì R vành nên tồn phần tử tối đại họ (tối đại theo quan hệ bao hàm) Nghĩa tồn đồng cấu f : M  R mà f(N) phần tử tối đại họ ideal nói Vì họ đồng cấu h : M  R chứa đồng cấu khác không tức họ ideal h(N) chứa ideal khác không nên f (N)  tồn  a  R f (N)  Ra 51 a  1.a  f (N) nên tồn n  N cho f (n)  a tức f (N)  f (n) Ta cần chứng minh với h  Hom(M,R) f (n) h(n) ( f(n) ước h(n)) Xét I  h(n) : h  Hom(M,R) Rõ ràng I ideal R Thật vậy: với x, y  I , x  h1 (n), y  h (n), r  R Ta có: x  y  h1 (n)  h (n)  (h1  h )(n)  I h1  h  Hom(M,R) rx  rh1 (n)  (rh1 )(n)  I rh1  Hom(M,R) Do R vành nên I ideal suy tồn h (n)  I mà I  h (n)  h (N) Dễ thấy f (n)  I (vì f  Hom(M,R) nên f (N)  f (n)  I  h (N) Do tính tối đại f(N) suy f (N)  h (N) Vì f (n)  I , suy f (n) h(n) với h  Hom(M,R) Xét ánh xạ pi : M  R k  ri x i i 1 ri Khi ta có a  f (n) pi (n) i  1, k Nói cách khác, tồn hệ tử a i mà pi (n)  a if (n)  a ia Đặt m  a1x1  a x   a k x k Khi am  a(a1x1  a x   a k x k )  a(a1x1 )  a(a x )   a(a k x k )  (aa1 )x1  (aa )x   (aa k )x k  p1 (n)x1  p (n)x   p k (n)x k  n Vậy với đồng cấu f : M  R tồn phần tử m  M n  am (a  R) có tính chất f (n)  f (N) Ta chứng minh f (m)  52 Thật vậy, ta có: af (m)  f (am)  f (n)  a  a.1 Suy f (m)  (vì a  )  3.8 Mệnh đề Cho M module tự hữu hạn sinh hạng k vành R Và N module M Mệnh đề 3.7 chứng minh tồn đồng cấu f : M  R phần tử m  M am  n  N cho f (m)  f (n)  f (N) Khi M  Rm  ker f (1) N  Rn  (N  ker f ) (2) Chứng minh * Chứng minh (1)  x  Rm x  rm  Lấy x  Rm  ker f    x  ker f f (x)  Suy  f (x)  f (rm)  rf (m)  r.1  r x0 hay Rm  ker f  0 Với x  M ta có x  f (x)m   x  f (x)m Hiển nhiên f (x)m  Rm Và f  x  (f (x)m  f (x)  f f (x)m  f (x)  f (x)f (m)  f (x)  f (x)  Suy x  f (x)m  ker f Vậy M  Rm  ker f * Chứng minh (2) Với x  Rn suy x  rn  ram  (ra)m  Rm Do Rn  Rm , hiển nhiên N  ker f  ker f , mà Rm  ker f  0 Suy Rn  (N  ker f )  0 Với x  N ta có f (x)  f (N)  f (n) nên f (x)  sf (n), s  R 53 Ta có x  sn  (x  sn) Hiển nhiên sn  Rn Xét f (x  sn)  f (x)  f (sn)  f (x)  sf (n)  f (x)  f (x)  x  sn  ker f Rõ ràng x  sn  N (do N R-module) Suy Do x  sn  N  ker f Hay N  Rn  (N  ker f ) Vậy N  Rn  (N  ker f )  3.9 Định lý Cho M module tự hữu hạn sinh hạng n vành R N module M Khi tồn sở y1 , y2 , , yn  M hệ tử r1,r2 , ,rn  R cho r1y1,r2 y2 , ,rn yn  sở N (các ri khác 0) Chứng minh Theo hệ 3.6 N module tự Ta chứng minh qui nạp theo hạng n M tồn sở M N thỏa định lý Với n  Giả sử M có sở gồm phần tử, kí kiệu phần tử x1 Khi M  x1  Rx1  R Xét đẳng cấu f : M  R xác định f (x1 )  , N module M nên f(N) module R nên f(N) ideal R Mà R vành nên f (N)  q (q  f(N)) Tất nhiên q  R Ta chứng minh N có sở qx1 Thật vậy, với x  N f (x)  f (N)  q tức f (x)  rq với r  R hay f (x)  rq.1  rq.f (x1 )  f (rqx1 ) suy x  rqx1 (do f đơn cấu) Vậy N  qx1 với q  R Giả sử định lý với (n-1) nghĩa M có hạng (n-1) N module M M có sở y1, y2 , , yn1 r1,r2 , ,rn 1  R cho r1y1,r2 y2 , ,rn 1yn 1 sở N Ta chứng minh định lý với n 54 Theo mệnh đề 3.7 3.8 tồn đồng cấu f : M  R phần tử m  M am  n  N cho f (m)  f (n)  f (N) đồng thời có phân tích M  Rm  ker f N  Rn  (N  ker f ) (*) Vì hạng M n nên kerf module tự có hạng (n-1) Hiển nhiên N  ker f  kerf Theo giả thiết qui nạp kerf tồn sở y1, y2 , , yn1 r1,r2 , ,rn 1  R cho r1y1,r2 y2 , ,rn 1yn 1 sở N  ker f Khi lấy yn  m  M rn  a  R ta y1 , y2 , , yn  sở M r1y1,r2 y2 , ,rn yn  sở N (do (*))  3.10 Mệnh đề Cho M module xoắn hữu hạn sinh vành R Ann(M)  Chứng minh Giả sử M  x1 , x , , x n , (x i  M, i  1,n) Vì M module xoắn nên tồn a i  R \ 0 : a i x i  (i  1, n) Đặt a  a1.a a n suy a  R a  (do R miền nguyên) Do ax i  (i  1, n) Ta chứng minh a  Ann(M) n Thật vậy, lấy x  M  x   ri x i (ri  R, i  1, n) i 1 n n i 1 i 1  ax  a  ri x i   ri ax i  Suy a  Ann(M) Vậy Ann(M)   3.11 Bổ đề Cho R vành với trường thương hữu hạn sinh khác khơng tự 55 Khi module Chứng minh Giả sử M module hữu hạn sinh khác không , M  q1,q , ,q n Gọi d mẫu số chung q1 ,q , ,q n Khi đó: dqi  R  , (i  1, n) 1 Lấy a  R , ta có aq i  (aq i d)( ) (i  1, n) , suy Rqi  R( ) (i  1, n) d d Do M  R( ) d Xét ánh xạ f : R  R( ) d r r( ) d Ta thấy f R- đẳng cấu Suy M  A với A ideal R Mà R vành nên A ideal Suy M module tự  3.12 Bổ đề Cho R vành chính, M R module khơng xoắn hữu hạn sinh Nếu M chứa module N module tự thỏa M/N module xoắn M module tự Chứng minh Giả sử M module không xoắn hữu hạn sinh N module M thỏa N tự M/N module xoắn Do N module tự nên tồn đẳng cấu f : N  R Cho trường thương R Khi đó tồn ánh xạ fˆ : M  R-module nội xạ, mở rộng f, tức fˆ (x)  f (x) (x  N) Khi M / ker fˆ  Imfˆ Do M module hữu hạn sinh nên Imfˆ module hữu hạn sinh Do theo bổ đề 3.11 Imfˆ module tự 56 Ta chứng minh fˆ đơn cấu: Lấy x  ker fˆ  M  fˆ (x)  Do M/N module xoắn nên tồn r  R,r  : rx  suy rx  N Do f (rx)  fˆ (rx)  rfˆ (x)   rx  (do f đơn ánh), suy x  (do M module không xoắn) Vậy fˆ đơn cấu Suy M  Imfˆ Vậy M module tự  3.13 Định lý Cho M module không xoắn hữu hạn sinh vành R Khi M module tự Chứng minh Nếu M module xyclic, tức M  x , (x  M) Khi M  R / Ann(x) Vì M module khơng xoắn nên Ann(x)  , suy M  R Vậy M tự Bây ta qui nạp theo số phần tử sinh M Giả sử Rmodule không xoắn sinh k phần tử module tự Ta chứng minh M  x1, x , , x k 1 (x k+1  0) module tự   Đặt M0  x  M rx  x k 1 , r  R, r  Khi   x   tor(M x k 1 )  x  x k 1 rx  0, r  R, r   x k 1 rx  x k 1 , r  R, r   M x k 1 Nên M / M0  (M x k 1 ) tor(M x k 1 ) , M / M0 module khơng xoắn Vì M / M0  x1, x , , x k nên theo giả thiết qui nạp M / M0 module tự Xét tồn cấu tắc  : M  M / M0 Theo bổ đề 4.6 chương I,tồn module tự N M cho M  N  ker   N  M0 Ta có M module hữu hạn sinh vành nên M0 module hữu hạn sinh Hơn nữa, M module không xoắn nên Ann(x k 1)  Suy 57 x k 1 module tự Khi M0 thỏa mãn điều kiện bổ đề 3.12 nên M0 module tự Vì M  N  M0 module tự  3.14 Định lý Cho M module hữu hạn sinh vành R Khi tồn N module M, N tự thỏa M  tor(M)  N Chứng minh Xét tồn cấu tắc p : M  M/tor(M) Vì M module hữu hạn sinh nên M/tor(M) module hữu hạn sinh Do M/tor(M) module khơng xoắn hữu hạn sinh Theo định lý 3.13, M/tor(M) module tự Theo bổ đề 4.6 chương I,tồn N module M, N tự cho M  ker p  N Mà ker p  tor(M) nên M  tor(M)  N  58 KẾT LUẬN Đề tài “Module hữu hạn sinh” nghiên cứu tính chất module hữu hạn sinh: module con, đồng cấu module, tổng trực tiếp, tích tenxơ,… Từ module hữu hạn sinh ta xây dựng nên module Noether Ta có module module hữu hạn sinh vành Noether module hữu hạn sinh Nếu vành sở vành ta có kết module module tự hữu hạn sinh module tự Ngồi đề tài nghiên cứu mối liên hệ module hữu hạn sinh với loại module khác: module xạ ảnh, module nội xạ, module xoắn, module khơng xoắn… Trong suốt q trình nghiên cứu giúp tơi có kinh nghiệm q báu, đồng thời mở rộng kiến thức mình, làm tảng để nghiên cứu vấn đề Tuy cố gắng nhiều giúp đỡ nhiệt tình Giáo viên hướng dẫn thầy cô, bạn bè luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tơi hy vọng đóng góp ý kiến nhiệt tình thầy bạn để luận văn ngày hoàn thiện 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thanh Bình,“ Lý Thuyết Vành Trường ”, ĐHCT [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng, “Đại Số Đại Cương” [3] Serge Lang, “Đại số”, Phần 1,2,3 (bản dịch tiếng việt), NXB ĐH&THCN Hà Nội – 1975 [4] Ngơ Thúc Lanh, “Đại Số ”, (Giáo Trình sau Đại Học), NXB Giáo Dục 1985 [5] TS Nguyễn Tiến Quang – TS Nguyễn Duy Thuận, “Cơ Sở Lý Thuyết Module Vành”, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội, NXBGD – 2001 [6] Lê Văn Sáng, “Đại Số Giao Hoán ”, ĐHCT 60 ... M/N 20 x x Vì M module hữu hạn sinh, p tồn cấu, suy M/N hữu hạn sinh M / N  x1 , x , , x n  1.9 Định lý Cho M R -module, N module M Khi N, M/N module hữu hạn sinh M hữu hạn sinh Chứng minh... mệnh đề 1.7, M module hữu hạn sinh M sinh f (S)  1.11 Mệnh đề Cho Mi iI họ R -module Khi M   Mi module hữu iI hạn sinh Mi module hữu hạn sinh hầu hết Mi không trừ số hữu hạn Chứng minh... chứng tỏ M ' không module hữu hạn sinh (mâu thuẫn) Vậy có hữu hạn Mi khác khơng () Giả sử có hữu hạn Mi khác không Mi module hữu hạn sinh Ta chứng minh M   Mi module hữu hạn sinh phương pháp