MỘT số LOẠI bài tập về MODULE hữu hạn SINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI THIỆU NHƯ NGỌC MỘT SỐ LOẠI BÀI TẬP VỀ MODULE HỮU HẠN SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI THIỆU NHƯ NGỌC MỘT SỐ LOẠI BÀI TẬP VỀ MODULE HỮU HẠN SINH Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Dương Quốc Việt HÀ NỘI - 2018 Mục lục Lời nói đầu Module hữu hạn sinh vành giao hốn 1.1 Định lí Hamilton - Cayley mở rộng 1.2 Module hữu hạn sinh vành địa phương Bài tập Lời giải Module Noether 11 2.1 Module Noether 11 2.2 Phân tích nguyên sơ Module Noether 12 2.2.1 Module nguyên sơ phân tích nguyên sơ 12 2.2.2 Ideal nguyên tố liên kết 13 2.2.3 Các thành phần nguyên sơ bất biến 15 Bài tập 15 Lời giải 20 Module Artin Module có độ dài hữu hạn 35 3.1 Module Artin 35 3.2 Module có độ dài hữu hạn 36 Bài tập 36 Lời giải 40 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn PGS.TS Dương Quốc Việt, luận văn chuyên ngành Đại số Lý thuyết số với đề tài: "Một số loại tập module hữu hạn sinh" hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2018 Tác giả Thiệu Như Ngọc Lời nói đầu Mục đích luận văn "Một số loại tập module hữu hạn sinh" trình bày số loại tập quan trọng lớp module hữu hạn sinh, nhằm giúp tác giả có thêm hiểu biết lớp module Luận văn gồm có ba chương Nội dung chương trình bày vắn tắt sau: Chương Module hữu hạn sinh vành giao hoán, bao gồm sơ lược lí thuyết tập thuộc vấn đề: Định lí Hamilton - Cayley mở rộng, module hữu hạn sinh vành địa phương Chương Module Noether, bao gồm sơ lược lí thuyết số tập thuộc vấn đề vành module Noether, Định lí sở Hilbert, phân tích nguyên sơ module Noether Chương Module Artin module có độ dài hữu hạn, bao gồm sơ lược lí thuyết số tập liên quan đến vấn đề vành module Artin, đặc trưng module có độ dài hữu hạn Luận văn hoàn thành dẫn PGS TS Dương Quốc Việt Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy, người hướng dẫn suốt thời gian học tập nghiên cứu trường Đại học sư phạm Hà Nội Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn tới q Thầy, Cơ giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể bạn bè đồng nghiệp gia đình ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2018 Học viên Thiệu Như Ngọc Chương Module hữu hạn sinh vành giao hoán Trong chương này, khơng nói thêm, ta ln coi vành A vành giao hốn có đơn vị = 1.1 Định lí Hamilton - Cayley mở rộng Sau đây, xem xét tính chất quan trọng module hữu hạn sinh, Định lí Hamilton - Cayley mở rộng Định lí 1.1.1 (Định lý Hamilton-Cayley mở rộng) Cho A vành giao hoán M A-module Giả sử M sinh hệ gồm k phần tử, I ideal A tự đồng cấu ϕ A-module M thỏa mãn: ϕ(M ) ⊆ IM Khi đó, tồn ∈ I i với i = 1, , m thỏa mãn: ϕm + a1 ϕm−1 + · · · + am = Hệ 1.1.2 Cho M module hữu hạn sinh vành giao hoán A J ideal A thỏa mãn: JM = M Khi đó, tồn a ≡ 1(mod J) để aM = Hệ 1.1.3 (Bổ đề Nakayama) Cho M module hữu hạn sinh vành giao hoán A I ideal A chứa Jacobson J(A) A Khi đó, từ IM = M suy M = Chương Module hữu hạn sinh vành giao hoán 1.2 Module hữu hạn sinh vành địa phương Định nghĩa 1.2.1 Vành giao hốn có đơn vị A đuợc gọi vành địa phương tập tất phần tử không khả nghịch A lập thành ideal A Định lí 1.2.2 Vành giao hốn có đơn vị A vành địa phương A có ideal cực đại Ta định nghĩa lại sau: Định nghĩa 1.2.3 Vành giao hốn có đơn vị A gọi vành địa phương có ideal cực đại Khi ta kí hiệu vành địa phương A với ideal cực đại m (A, m) Định lí 1.2.4 Giả sử (A, m) vành địa phương M A-module hữu hạn sinh Khi S hệ sinh cực tiểu M ảnh S ∗ S M ∗ = M/mM sở A/m-khơng gian vectơ M ∗ Định lí 1.2.5 Số phần tử hệ sinh cực tiểu module hữu hạn sinh vành địa phương Bài tập 1.1 Chứng minh Bổ đề Nakayama 1.2 Cho M module hữu hạn sinh vành giao hoán A, R module M ideal I ⊆ J(A) Chứng minh M = IM + M R M = R 1.3 Chứng minh M A-module hữu hạn sinh M A/Ann(M )-module hữu hạn sinh 1.4 Cho dãy khớp ngắn A-module: −→ N1 −→ N2 −→ N3 −→ Chương Module hữu hạn sinh vành giao hoán Chứng minh (i) Nếu N2 hữu hạn sinh N3 hữu hạn sinh (ii) Nếu N1 N3 hữu hạn sinh N2 hữu hạn sinh 1.5 Chứng minh rằng: J(A) = a ∈ A | − ab khả nghịch với b ∈ A , J(A) Jacobson vành giao hoán A 1.6 Phần tử vành giao hoán A đuợc gọi nguyên ideal I tồn ak ∈ I k với k = 1, , m để xm + a1 xm−1 + · · · + am = Chứng minh M A-module hữu hạn sinh có Ann(M ) = xM ⊆ IM x nguyên I 1.7 Cho I module hữu hạn sinh vành địa phuơng (A, m) Chứng minh hệ sinh cực tiểu của I có số phần tử Gọi S hệ sinh cực tiểu I S ∩ mI = ∅ 1.8 Chứng minh ma trận vng vành giao hốn nghiệm phương trình đặc trưng 1.9 Cho M module hữu hạn sinh vành giao hoán A Chứng minh (i) Nếu φ : M −→ M tồn cấu A-module, đẳng cấu (ii) Nếu M module tự có hạng k, hệ sinh gồm k phần tử M sở M Lời giải 1.1 Bởi IM = M nên theo Hệ (1.1.2), tồn a ≡ 1(mod I) cho aM = Do a − ∈ I Vì J(A) giao tất ideal cực đại A mà I ⊆ J(A) nên a − ∈ J(A) Ta có: J(A) = a ∈ A | − ab khả nghịch với b ∈ A (xem Bài tập (1.5)) nên từ a − ∈ J(A) suy a = − (x − 1)(−1) phần tử khả nghịch Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 40 3.21 Cho A vành Artin có linh ideal khơng Chứng minh A có số hữu hạn ideal 3.22 Chứng minh vành Artin có phân tích ngun sơ cho ideal 3.23 Chứng minh module R A-module M cực đại module thương M/R đơn 3.24 Chứng minh P A-module Noether tồn dãy module P P = P0 ⊃ P1 ⊃ · · · ⊃ Pk ⊃ · · ·, cho Ps−1 /Ps A-module đơn với s 3.25 Cho P A-module hữu hạn sinh Chứng minh P có độ dài hữu hạn A/Ann(P ) vành Artin 3.26 Cho P A-module có độ dài hữu hạn I ideal A cho I ⊆ Ann(P ) Chứng minh P A/I-module có độ dài hữu hạn lA (P ) = lA/I (P ) 3.27 Cho dãy khớp A-module có độ dài hữu hạn → P1 → P2 → · · · → Pk → Chứng minh k (−1)i lA (Pi ) = i=1 3.28 Cho M module có độ dài hữu hạn vành Noether A Chứng minh lA (M ) = lAP (MP ) P ∈Ass(M ) 3.29 Chứng minh tính sai khác đẳng cấu phân tích vành Artin thành tích trực tiếp số hữu hạn vành Artin địa phương nói đến Định lí cấu trúc vành Artin 3.30 Khảo sát thay đổi độ dài module qua địa phương hóa Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 41 Lời giải 3.1 Coi R module M P = M/R (⇒) Vì dãy giảm module R dãy giảm module M mà M lại module Artin nên dãy phải dừng Do R module Artin Do dãy giảm P ảnh toàn cấu dãy giảm M mà M module Artin nên dãy giảm phải dừng Vì dãy giảm P phải dừng, tức P module Artin (⇐) Giả sử M1 ⊃ M2 ⊃ · · · ⊃ Mk ⊃ dãy giảm M Khi đó, ta có M1 ∩ R ⊃ M2 ∩ R ⊃ · · · ⊃ Mk ∩ R ⊃ · · · dãy giảm R M1 + R/R ⊃ M2 + R/R ⊃ · · · ∩ Mk + R/R ⊃ · · · dãy giảm P Vì R P hai module Artin nên tồn r để Mr ∩ R = Mr+1 ∩ R Mr + R/R = Mr+1 + R/R Nhắc lại luật modular : Nếu M1 , M2 , M3 module A-module M với M2 ⊆ M3 (M1 + M2 ) ∩ M3 = (M1 ∩ M3 ) + M2 Do Mr = (Mr + R) ∩ Mr = (Mr+1 + R) ∩ Mr = Mr+1 + Mr ∩ R = Mr+1 + Mr+1 ∩ R = Mr+1 Vậy M module Artin 3.2 Giả sử P ideal nguyên tố vành Artin A Suy F = A/P miền nguyên Artin Với r = 0, r ∈ F , ta có (r) ⊇ (r2 ) ⊇ · · · ⊇ (rk ) ⊇ · · · dãy giảm ideal Bởi F vành Artin nên tồn s ∈ N∗ cho (rs ) = (rs+1 ) Do tồn sv ∈ F cho rs = vrs+1 Do F miền nguyên nên sử dụng luật giản ước cho phần tử khác không, ta = vr Vậy r phần tử khả nghịch Vì thế, F trường suy P ideal cực đại Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 42 3.3 Vì linh vành giao tất ideal nguyên tố Jocobson tất ideal cực đại vành kết hợp với Bài tập (3.2) ta nhận điểu cần chứng minh 3.4 Giả sử Σ tập tất ideal vành Artin A biểu diễn giao số hữu hạn ideal cực đại A, J phần tử cực tiểu Σ Và giả sử J = m1 ∩ · · · ∩ ·mk Gọi m ideal cực đại A Ta có J ⊇ m ∩ J ∈ Σ Do J cực tiểu Σ nên m ∩ J = J, nghĩa J ⊆ m Vì tồn i cho mi ⊆ m Do m = mi , suy điều phải chứng minh 3.5 Gọi I linh vành Artin A Do A vành Artin nên tồn s cho I s = I s+1 = · · · = J Với J ideal khơng, I ideal lũy linh Xét trường hợp J ideal khác ideal khơng Khi gọi Σ tập tất ideal A thỏa mãn điều kiện nhân với J ideal khác ideal khơng Vì JJ = J khác ideal khơng nên J ∈ Σ Vậy Σ = Ø Giả sử Q phần tử cực tiểu Σ Từ đó, ta có Q = (a) ideal Do (QJ)J = QJ = QJ = QJ ⊆ Q nên QJ = Q Vậy nên tồn b ∈ J cho a = ab Vì J ⊆ I nên b phần tử lũy linh Từ a = ab, suy a = ab = ab2 = · · · = abk = · · · = Do Q = (a) = 0, mâu thuẫn với việc chọn Q Vậy J ideal không ta có điều phải chứng minh 3.6 Nếu I ideal vành A có √ I = m ideal cực đại A vành thương A/I vành địa phương có m/I ideal cực đại Giả sử A vành Artin có {m1 , , ms } tập ideal cực đại Theo Bài tập (3.5) tồn t ∈ N∗ thỏa mãn s s mti i=1 t s mti = = i=1 mi = i=1 Theo định lí Trung Hoa dư, ta có s s mti A = A/ i=1 ∼ = A/mti i=1 Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 43 Và A/I vành địa phương với ideal cực đại m/I nên A/mti vành Artin địa phương với i = 1, , s 3.7 (i) Giả sử M = M0 ⊃ M1 ⊃ · · · ⊃ Mk = {0}, dãy hợp thành có độ dài nhỏ L(M ) = k M Từ đó, ta có R = R ∩ M0 ⊃ R ∩ M1 ⊃ · · · ⊃ R ∩ Mk = {0} (3.1) Nhận thấy ϕ : R ∩ Mi−1 /R ∩ Mi → Mi−1 /Mi x + R ∩ Mi → x + Mi đơn cấu Vì Mi−1 /Mi module đơn nên R ∩ Mi−1 /R ∩ Mi module không, đẳng cấu với Mi−1 /Mi , module đơn Ta thu dãy hợp thành R với độ dài không vượt L(M ) = k cách lược bỏ thành phần dãy (3.1) Vậy L(R) L(M ) Nếu L(M ) = L(R) (3.1) dãy hợp thành Điều tương đương với R ∩ Mi−1 /R ∩ Mi ∼ = Mi−1 /Mi , với i = 1, , k Vì R ∩ Mk−1 /R ∩ Mk ∼ = Mk−1 /Mk Mk = {0}, suy R ∩ Mk−1 = Mk−1 Do đó, ta có R ∩ Mk−2 /Mk−1 ∩ Mk ∼ = Mk−2 /Mk−1 R ∩ Mk−2 = Mk−2 Tiếp tục với lập luận vậy, ta nhận R ∩ Mi = Mi , với i = 0, , k Hơn R = R ∩ M = R ∩ M0 = M0 = M , Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 44 ta có điều phải chứng minh (ii) Ta có M/R = M0 + R/R ⊇ M1 + R/R ⊇ · · · ⊇ Mk + R/R = {0} (3.2) Có thể chứng minh rằng: Với M1 , M2 , M3 module A-module M thỏa mãn M1 ⊆ M2 M2 + M3 ∼ M2 = M1 + M3 M1 + M2 ∩ M3 Sử dụng tính chất trên, ta có Mi−1 + R/R ∼ Mi−1 + R ∼ Mi−1 , = = Mi + R/R Mi + R Mi + R ∩ Mi−1 với i = 1, , k Nhận thấy Mi−1 /Mi + R ∩ Mi−1 module thương module đơn Mi−1 /Mi nên module đơn module khơng Như vậy, ta thu dãy hợp thành M/R có độ dài khơng vượt q L(M ) = k cách lược bỏ thành phần dãy (3.2) Vậy L(M/R) L(M ) ta có điều cần chứng minh 3.8 Giả sử M có dãy hợp thành với độ dài k đây: M = M0 ⊃ M1 ⊃ · · · ⊃ Mk = {0} Theo Bài tập (3.7) L(M ) > L(M1 ) > · · · > L(Mk ) = 0, dẫn đến k L(M ) Và L(M ) độ dài dãy hợp thành ngắn M nên suy L(M ) = k Nghĩa dãy hợp thành M có độ dài L(M ) Giả sử tồn dãy thực tăng giảm module M Theo chứng minh dãy phải có độ dài hữu hạn độ dài khơng vượt độ dài dãy hợp thành Nếu dãy cho chưa có M {0} ta hồn tồn bổ sung thêm vào ln coi dãy có dạng M = M0 ⊃ M1 ⊃ · · · ⊃ Mr = {0} (3.3) Theo Bổ đề (3.7), module thương Mi−1 /Mi (i = 1, , r) có dãy hợp thành, chẳng hạn Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 45 Mi−1 /Mi = Q0 /Mi ⊃ Q1 /Mi ⊃ · · · ⊃ Qs /Mi = {0} Từ có dãy sau: Mi−1 = Q0 ⊃ Q1 ⊃ · · · ⊃ Qs = Mi , với Qt−1 /Qt ∼ = (Qt−1 /Mi )/(Qt /Mi )(1 t s) module đơn Sau đó, thay dãy ngắn Mi−1 ⊃ Mi dãy Mi−1 = Q0 ⊃ Q1 ⊃ · · · ⊃ Qs = Mi ta nhận dãy hợp thành mở rộng từ (3.3) 3.9 (⇒) Do M module có có độ dài hữu hạn nên dãy tăng giảm module M phải dừng Do M module Artin Noether (⇐) Nếu M module khơng M có độ dài Nếu M module khác khơng, M module Noether nên tồn module cực đại R1 M Khi tồn module cực đại R2 R1 Tiếp tục ta thu dãy giảm module M M = R0 ⊃ R1 ⊃ R2 ⊃ · · · ⊃ Rk ⊃ · · · Vì M module Artin nên dãy phải dừng nên ta nhận dãy hữu hạn module M : M = R0 ⊃ R1 ⊃ R2 ⊃ · · · ⊃ Rr , Ri module cực đại Ri−1 Vậy Ri−1 /Ri , i = 1, , r module đơn (Bài tập (3.23)) Cho nên dãy hữu hạn dãy hợp thành Vậy M module có độ dài hữu hạn 3.10 Vì M có độ dài hữu hạn M vừa Noether vừa Artin (Bài tập (3.9)) Do M có độ dài hữu hạn R Q vừa Noether vừa Artin (Bài tập (2.2) Bài tập (2.2)) Vậy M có độ dài hữu hạn R Q có độ dài hữu hạn ( Bài tập (3.9)) Nếu M có độ dài vơ hạn hai module R Q có độ dài vơ hạn Khi ta có Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 46 lA (M ) = lA (R) + lA (Q) Giả sử M , R, Q có độ dài hữu hạn R = R0 ⊃ R1 ⊃ · · · ⊃ Rs , Q = Q0 ⊃ Q1 ⊃ · · · ⊃ Qr dãy hợp thành R Q Lúc ta nhận dãy module M = g −1 (Q0 ) ⊃ g −1 (Q1 ) ⊃ · · · ⊃ g −1 (Qr ) = Kerg = f (R0 ) ⊃ f (R1 ) ⊃ · · · ⊃ f (Rs ) = {0} Vì f (R0 ) ⊃ f (R1 ) ⊃ · · · ⊃ f (Rs ) = {0} (3.4) dãy hợp thành f (R) = f (R0 ) g −1 (Qi−1 )/g −1 (Qi ) ∼ = Qi−1 /Qi , i = 1, , r nên (3.4) dãy hợp thành M ta có điều phải chứng minh 3.11 (i)⇒ (ii) Theo Bài tập (2.22) tồn ideal nguyên tố Pi (i = 1, , k) dãy M = M0 ⊃ M1 ⊃ · · · ⊃ Mk = {0}, thỏa mãn Mi−1 /Mi ∼ = A/Pi , Ass(M ) ⊆ {P1 , , Pk } Vì ideal nguyên tố vành Artin ideal cực đại nên miền nguyên Artin trường Vì lA (A/Pi ) = lA (Mi−1 /Mi ) hữu hạn nên A/Pi miền nguyên Artin với i = 1, , k Vậy A/Pi trường Vì vậy, với i = 1, , k Pi ideal cực đại Đó điều phải chứng minh (ii)⇒ (iii) Theo Định lí (2.2.14) tập thành phần cực tiểu Ass(M ) Supp(M ) Do phần tử cực tiểu Supp(M ) ideal cực đại Vậy phần tử Supp(M ) ideal cực đại (iii)⇒(i) Từ Bài tập (2.23) suy tồn dãy M = M0 ⊃ M1 ⊃ · · · ⊃ Mk = {0} , Mi−1 /Mi ∼ = A/Pi , với Pi ideal nguyên tố (1 Ass(M ) = {P1 , , Pk } (3.5) i k) Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 47 Vì A/Pi trường nên dãy (3.5) dãy hợp thành M 3.12 Vì M A-module có độ dài hữu hạn nên theo Bài tập (3.11) phần tử Ass(M) Supp(M ) ideal cực đại Vì nên Ass(M) Supp(M ) chứa phần tử cực tiểu Vì M hữu hạn sinh vành Noether A nên tập phần tử cực tiểu Ass(M) Supp(M ) Do Ass(M ) = Supp(M ) 3.13 (i)⇒(ii) Theo Bài tập (3.2) (ii)⇒(iii) Hiển nhiên (iii)⇒(i) Vì A A-module có độ dài hữu hạn (Bài tập (3.11)) nên A vành Artin (Bài tập (3.9)) 3.14 Nếu lA < ∞ A vành Artin (Bài tập(3.9)) Giả sử A vành Artin Theo Bài tập (3.2), (3.4), (3.5) tồn ideal cực đại k không thiết khác m1 , m2 , , mk thỏa mãn s mi = Đặt Is = i=1 mi , s = i=1 1, 2, , k I0 = A Vậy ta có dãy A = I0 ⊃ I1 ⊃ · · · ⊃ Ik = {0} Do Is−1 /Is A/ms -không gian vectơ Artin nên theo Bài tập (3.26) lA (Is−1 /Is ) = lA/ms (Is−1 /Is ) < ∞, s = 1, 2, , k Vây A module có độ dài hữu hạn theo Bài tập (3.10) 3.15 (⇒) Vì A vành Artin nên ideal nguyên tố A ideal cực đại (Bài tập (3.2)) A A-module có độ dài hữu hạn (Bài tập (3.14)) Do A vành Noether (Bài tập (3.9)) (⇐) Hiển nhiên (Bài tập (3.13)) 3.16 Do M module hữu hạn sinh vành Artin A nên module Artin Theo Bài tập (3.15) A vành Noether Và theo Bài tập (2.4) M module Noether Vậy M module có độ dài hữu hạn (Bài tập (3.9)) 3.17 Gọi g tự đơn cấu module Artin Q Xét dãy giảm module Q: Im(g) ⊇ Im(g ) ⊇ · · · ⊇ Im(g s ) ⊇ · · · Vì Q module Artin nên dãy phải dừng, có số k cho Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 48 Im(g k ) = Im(g k+1 ) = · · · Ta lại có: g k (x) ∈ Im(g k ) = Im(g 2k ) với x ∈ Q, nghĩa tồn y ∈ Q để g k (x) = g 2k (y), hay g k (x − g k (y)) = Vậy x ∈ Im(g k ) + Ker(g k ) với x ∈ Q, tức Q = Im(g k ) + Ker(g k ) Bởi g đơn cấu nên g k đơn cấu Do Ker(g k ) = Suy Q = Img k Vì g toàn cấu nên g đẳng cấu 3.18 (⇒) Giả sử A-module M có hệ sinh x1 , x2 , , xk Xét đồng cấu ϕ : A → Mk a → (ax1 , ax2 , , axk ) Có thể chứng minh ϕ cảm sinh đơn cấu từ A/Ann(M ) vào M k Vì tổng trực tiếp hữu hạn A-module Artin A-module Artin nên M k module Artin Vậy theo Mệnh đề (3.1.5) A/Ann(M ) A-module Artin Cho nên A/Ann(M ) A/Ann(M )-module Artin hay A/Ann(M ) vành Artin (⇐) Ta có M module Artin M A/Ann(M )-module Artin Do vành A/Ann(M ) vành Artin M hữu hạn sinh nên M A/Ann(M )module Artin (vì A-module hữu hạn sinh vành Artin A-module Artin) Do M A-module Artin 3.19 Do tồn dãy giảm thật ideal (X) (X ) ··· (X k ) ··· nên vành A[X] vành Artin 3.20 (i)⇒ (ii) Hiển nhiên (ii)⇒(iii) Hiển nhiên (iii)⇒(i) Nếu dimk m/m2 = m = m2 Do đó, m = (xem Bổ đề Nakayama), hay A trường Suy ideal A ideal Nếu dimk m/m2 = Giả sử x ∈ m thỏa mãn điều kiện ảnh x m/m2 sở khơng gian vectơ m = (x) + m2 Vậy m = (x) (xem Bổ đề Nakayama) Gọi I ideal A Chỉ cần xét trường hợp I = Vì m linh A mà A vành Artin nên m ideal lũy linh Do tồn m ∈ N∗ để I mm+1 Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 49 I ⊆ mm Vì k-khơng gian vectơ mm /mm+1 khác sinh phần tử xm + mm+1 nên dimk mm /mm+1 = Hơn I + mm+1 /mm+1 không gian khác mm /mm+1 nên I + mm+1 /mm+1 = mm /mm+1 , nghĩa I + mm+1 = mm Suy I = mm = (x)m , hay I ideal 3.21 Gọi tập tất ideal cực đại A {m1 , m2 , , mk } Ta có m1 ∩ m2 ∩ · · · ∩ mk = Vì A vành có linh ideal khơng nên k √ √ 0 = k mi ∼ = Do A = A/ i=1 A/mi (theo Định lý Trung Hoa thặng dư) Bởi i=1 k A/mi có dạng I1 × I2 × · · · × Ik với Ii ideal A/mi ideal vành i=1 truờng A/mi có ideal nên vành A có 2k ideal √ 3.22 Gọi m ideal cực đại vành Artin địa phương A Khi m = Vậy với √ ideal thực I A m = I Có nghĩa ideal thực của A ideal nguyên sơ, theo Mệnh đề (2.2.6) Giả sử A vành Artin Khi tồn vành Artin địa phương A1 , A2 , , Ak thỏa mãn A = A1 × A2 × · · · × Ak Vậy nên ideal I A viết đựợc dạng I = I1 × I2 × · · · × Ik với Ii ideal A1 Giả sử Ri = A1 × · · · × Ii · · · Ak Rõ ràng A/Ri ∼ = Ai /Ii Khi Ri ideal nguyên sơ A (nếu Ii ideal k thực A) A = Ri (nếu Ai = Ii ) Vì I = Ri nên với I = A loại bỏ i=1 giao vế phải đẳng thức ideal Ri mà Ri = A, ta có phân tích ngun sơ A 3.23 R module cực đại R = M không tồn module P M cho M P R Vì module thương M/R = module thương có hai module module Do M/R module đơn 3.24 Do P module Noether nên tồn phần tử cực đại P1 tập module thực M Suy P/P1 module đơn (Bài tập (3.23)) Vì P1 module Noether nên tồn phần tử cực đại P2 tập module thực P1 nhận đuợc module đơn P1 /P2 Tiếp tục thế, ta có dãy module P trình bày Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 50 3.25 (⇒) Vì A-module P có độ dài hữu hạn nên P A-module Artin Suy A/Ann(P ) vành Artin (Bài tập (3.18)) (⇐) Vì A/AnnP vành Artin nên vành Noether Do A/Ann(P ) vành Noether nên P module Noether (Bài tập (2.7)) A/Ann(P ) vành Artin nên P A-module Artin (Bài tập (3.18)) Bởi P vừa A-module Artin vừa A-module Noether nên P có độ dài hữu hạn 3.26 Nếu ideal I ⊆ P ta có khẳng định sau: R module P R A/I-module P Do vậy, dãy hợp thành A-module P dãy hợp thành A/I-module P Cho nên lA (P ) = lA/I (P ) 3.27 Với k = 1, ta có dãy khớp: −→ P1 −→ Từ suy P1 = 0, nên lA (P1 ) = Với k = 2, ta có dãy khớp −→ P1 −→ P2 −→ Từ suy P1 ∼ = P2 , nên lA (P1 ) − lA (P2 ) = Với k = 3, ta có dãy khớp , −→ P1 −→ P2 −→ P3 −→ Và theo Bài tập (3.10), ta có lA (P1 ) − lA (P2 ) + lA (P3 ) = Với k Giả sử điều cần chứng minh với k − Ta tách dãy khớp: g1 g2 g3 gk−1 −→ P1 −→ P2 −→ P3 −→ · · · −→ Pk −→0 thành hai dãy khớp sau: −→ P1 −→ P2 −→ P2 /Ker(g2 ) −→ 0, −→ P2 /Ker(g2 ) −→ P3 −→ · · · −→ Pk −→ Từ lA (P1 ) − lA (P2 ) + lA (P2 /Ker(g2 ) = lA (P2 /Ker(g2) ) − lA (P3 ) + · · · − (−1)k−1 lA (Pk ) = 0, Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 51 k (−1)i lA (Pi ) = ta có i=1 3.28 Theo Bài tập (2.23), tồn dãy module M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ · · · ⊃ Mk = {0} (3.6) thỏa mãn Mi−1 /Mi ∼ = A/Pi với Pi ideal nguyên tố A, i k Ta có Ass(M ) = Supp(M ) = {P1 , , Pk }, M module có độ dài hữu hạn Ta có Pi ideal cực đại với i k (3.6) dãy hợp thành M Gọi kP số số i ∈ {1, , k} thỏa mãn kP Giả sử P ∈ Ass(M ) Khi Pi = P Nhận thấy k = P ∈Ass(M ) (Mi−1 /Mi )P ∼ = (A/Pi )P ∼ = Pi = P , APi /Pi APi Pi = P Do Pi = P , Pi = P lAP ((Mi−1 /Mi )P ) = Vậy k lAP (MP ) = lAp ((Mi−1 /Mi )P ) = kP i=1 Suy lA (M ) = k = kP = P ∈Ass(M ) lAP (MP ) p∈Ass(M ) k Ai phân tích vành Artin A thành tích trực tiếp 3.29 Giả sử i=1 vành Artin địa phương pi : A −→ Ai phép chiếu tắc lên thành phần thứ i k A Đặt Si = Ker pi {(a1 , , ak ) ∈ A | = 0} Dễ thấy Si = Gọi mi ideal i=1 cực đại Ai mi = p−1 i (mi ) Lúc mi ideal nguyên tố A nên ideal cực đại Do mi linh A nên √ Si = −1 p−1 i (0) = pi (mi ) = mi Chương Module Artin Module có độ dài hữu hạn 52 k Do Si ideal mi -nguyên sơ Suy Si = phân tích nguyên sơ i=1 thu gọn ideal A Và mi ideal cực đại với i k nên thành phần nguyên sơ Si cô lập Vì Si xác định A Vậy nên Ai ∼ = A/Si xác định A 3.30 Giả sử M A-module có độ dài hữu hạn S tập đóng nhân A Nếu M A-module đơn tồn ideal cực đại P A thỏa mãn M ∼ = A/P Khi Supp(M ) = {P } S −1 M ∼ = S −1 (A/P ) ∼ = S −1 A/S −1 P Nhận thấy P ∩ S = Ø S −1 P = S −1 A P ∩ S = Ø S −1 P ideal cực đại S −1 A Vậy S −1 M = (khi P ∩ S = Ø ), S −1 M module đơn (khi P ∩ S = Ø) Do lS −1 A (S −1 M ) lA (M ) lS −1 A (S −1 M ) = lA (M ) P ∩ S = Ø với Supp(M ) = {P } Tổng quát hơn, giả sử M = M0 ⊃ M1 ⊃ · · · ⊃ Mk = {0} dãy hợp thành M Như chứng minh trên, ta có k lS −1 A (S −1 M) = k lS −1 A S i=1 −1 (Mi−1 /Mi ) lA (Mi−1 /Mi ) = lA (M ) i=1 Dấu xảy P ∩ S = Ø với P ∈ Supp(M ) Kết luận Luận văn trình bày lại số lí thuyết tập lớp module hữu hạn sinh, đồng thời trình bày lại lời giải tập đề cập tới với hi vọng mang lại số kiến thức hữu ích lớp module hữu hạn sinh cho tác giả Mặc dù cố gắng để hoàn thành luận văn, thời gian lực thân hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi ln sẵn sàng chờ đợi góp ý, bảo Thầy, Cô bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! 53 Tài liệu tham khảo [1] Dương Quốc Việt (chủ biên), Lê Văn Đính, Đặng Đình Hanh, Đào Ngọc Minh, Nguyễn Công Minh, Trương Thị Hồng Thanh, Phan Thị Thủy (2008), Bài tập lí thuyết Module, NXB Đại học Sư phạm [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lí thuyết module, NXB Đại học Sư phạm 54 ... Lời nói đầu Mục đích luận văn "Một số loại tập module hữu hạn sinh" trình bày số loại tập quan trọng lớp module hữu hạn sinh, nhằm giúp tác giả có thêm hiểu biết lớp module Luận văn gồm có ba chương... A -module: −→ N1 −→ N2 −→ N3 −→ Chương Module hữu hạn sinh vành giao hoán Chứng minh (i) Nếu N2 hữu hạn sinh N3 hữu hạn sinh (ii) Nếu N1 N3 hữu hạn sinh N2 hữu hạn sinh 1.5 Chứng minh rằng: J(A) =... P/I hữu hạn sinh Và I hữu hạn sinh nên P hữu hạn sinh Do đó, theo định lí Cohen, Bài tập (2.12) A vành Noether 2.12.(⇒) Hiển nhiên (⇐) Giả sử A không vành Noether Gọi Γ tập ideal không hữu hạn sinh