Tương đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh

1 Mục lục Trang Lời nói đầu .2 Chơng I. Các khái niệm cơ bản trên nửa nhóm 4 1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập .4 1.2. Băng và nửa dàn .8 Chơng II. Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh 11 2.1. Một số kết quả về nửa nhóm giao hoán .11 2.2. Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh 13 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo.28 2 Lời nói đầu Tơng đẳng là một trong những khái niệm cơ bản nhất của lý thuyết nửa nhóm. Thông qua việc mô tả tơng đẳng trên một lớp nửa nhóm nào đó chúng ta sẽ hiểu đợc sâu sắc cấu trúc của các lớp nửa nhóm đó. Một số tơng đẳng trên các lớp nửa nhóm đã đợc khảo sát nh tơng đẳng trên nửa nhóm ngợc (Vagner & Preston), nửa nhóm chính quy (Pertric), nửa nhóm các phép biến đổi (Mantsev) Khóa luận của chúng tôi nhằm mô tả tơng đẳng trên lớp nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh thông qua việc chứng minh một cách chi tiết Định lý Rédéi nói rằng: Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh là nửa nhóm xác định hữu hạn. Khóa luận gồm hai chơng. Chơng I. Các khái niệm cơ bản trên nửa nhóm. Trong chơng này, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất liên quan đến nửa nhóm các quan hệ trên một tập, tơng đẳng và nửa nhóm thơng, băng và nửa dàn để làm cơ sở cho việc trình bày chơng sau. 1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập. 1.2. Băng và nửa dàn. Chơng II. Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh. Đây là phần chính của khóa luận. Trong chơng này, trớc hết chúng tôi trình bày lại một số kết quả về nửa nhóm giao hoán để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của khóa luận: Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh. 2.1. Một số kết quả về nửa nhóm giao hoán. Trình bày một cách chi tiết các kết quả của T. Tamura và N. Kimura chứng tỏ rằng một nửa nhóm giao hoán biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng một dàn các nửa nhóm Archimede (Định lý 2.1.5). 2.2. Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh. Trong tiết này, trớc hết chúng tôi trình bày lại một cách tờng minh Định lý mô tả các tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh trên cơ sở đó chứng minh chi tiết Định lý của Rédéi: Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh là nửa nhóm xác định hữu hạn (Định lý 2.2.22). 3 Việc xây dựng các tính chất của tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh là vấn đề chúng tôi đang tiếp tục nghiên cứu. Khóa luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy PGS.TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy vì đã có nhiều chỉ bảo, giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành khóa luận. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số; các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trờng Đại Học Vinh và tập thể lớp 47B Toán đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khoá luận này. Do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận đợc sự góp ý, chỉ bảo của bạn đọc để khóa luận đợc hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 05 năm 2010. Tác giả 4 Chơng I Các khái niệm cơ bản về tơng đẳng trên nửa nhóm 1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập Trong chơng này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất mở đầu của lý thuyết nửa nhóm các quan hệ trên một tập. 1.1.1. Định nghĩa. i) Giả sử là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Khi đó tập con của tích Descartes đợc gọi là một quan hệ trên tập . Giả sử . Nếu , trong đó là các phần tử thuộc tập thì ta cũng sẽ viết và nói nằm trong quan hệ với . ii) Nếu và là các quan hệ trên , thì cái hợp thành của chúng đợc định nghĩa nh sau: nếu tồn tại phần tử sao cho và . Do đó . Phép toán hai ngôi ( ) là kết hợp. Thật vậy, nếu và là các quan hệ trên , thì mỗi một trong các điều khẳng định ) và tơng đơng với điều khẳng định: tồn tại các phần tử sao cho: 5 và . Do đó, tập x tất cả quan hệ hai ngôi trên là một nửa nhóm đối với phép toán ( ). Nửa x đợc gọi là nửa nhóm các quan hệ trên tập . 1.1.2. Một số quan hệ hai ngôi đặc biệt. 1) Giả sử là một tập hợp tuỳ ý. Quan hệ đợc gọi là quan hệ bằng nhau (hay quan hệ đờng chéo) nếu khi và chỉ khi , với mọi . 2) Quan hệ đợc gọi là quan hệ phổ dụng nếu với mọi . Dễ thấy x là phần tử đơn vị và là phần tử không của nửa nhóm x . 3) Giả sử x . Khi đó, quan hệ ngợc của đợc định nghĩa nh sau: . Dễ thấy: ; x . 4) Giả sử x . Khi đó nếu là tập con của , nghĩa là kéo theo . Vì x gồm tất cả các tập con của , nên ta có thể thực hiện trong x các phép toán Boole: hợp, giao và phần bù. 5) Giả sử là một quan hệ trên . Khi đó đợc gọi là đối xứng nếu (và do đó ; quan hệ đợc gọi là phản xạ nếu và đợc gọi là bắc cầu 6 nếu . Một quan hệ trên đợc gọi là tơng đơng nếu là phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Khi đó là một luỹ đẳng của nửa nhóm x . 1.1.3. Phân hoạch một tập hợp. Giả sử là một quan hệ tuỳ ý trên và . Khi đó, ta sẽ ký hiệu và Nếu là quan hệ tơng đơng thì hai điều kiện sau đây đợc thoả mãn: i) với mọi . ii) Nh vậy, họ các tập , trong đó là một phân hoạch của tập , tức là các tập đó không giao nhau và hợp của chúng bằng . Ta ký hiệu họ đó là . Ta gọi là lớp tơng đơng của tập theo mod chứa . Đảo lại, mọi phân hoạch của tập xác định một quan hệ tơng đơng mà , cụ thể khi và chỉ khi và thuộc cùng một tập của phân hoạch . Ta gọi ánh xạ là ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ chính tắc từ tập lên tập và ký hiệu ánh xạ đó là . Chú ý rằng với mỗi . 1.1.4. Bổ đề. Nếu và là các quan hệ tơng đơng trên và = thì cũng là quan hệ tơng đơng trên và . 7 1.1.5. Định nghĩa. Giả sử là nửa nhóm và là một quan hệ trên . Khi đó đợc gọi là ổn định bên phải (trái) nếu kéo theo (hay , với mọi . Quan hệ đợc gọi là tơng đẳng phải (trái) nếu là quan hệ tơng đơng và ổn định phải (trái), nghĩa là với mọi thì (hay . Quan hệ đợc gọi là một tơng đẳng trên nếu vừa là tơng đẳng phải vừa là tơng đẳng trái. 1.1.6. Bổ đề [5]. Một quan hệ tơng đơng trên nửa nhóm là một tơng đẳng nếu và chỉ nếu với mọi có: . 1.1.7. Định nghĩa. Giả sử là một tơng đẳng trên và giả sử là tập hợp tất cả các lớp tơng đẳng của . Khi đó tơng ứng là một phép toán hai ngôi trên và với phép toán đó trở thành một nửa nhóm đợc gọi là nửa nhóm thơng (của modun ). 8 Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.7 hợp lý, chỉ cần chứng tỏ phép toán hai ngôi xác định trong nh trên có tính chất kết hợp. Thật vậy, với mọi : 1.1.8. Mệnh đề [5]. i) Nếu là một họ đẳng của , thì cũng là một tơng đẳng của . ii) Giả sử là một quan hệ trên . Thế thì là một tơng đẳng trên là tơng đẳng bé nhất của chứa . 1.1.9. Định nghĩa. Giả sử là một tơng đẳng trên . Khi đó ánh xạ cho bởi là một toàn cấu và đợc gọi là toàn cấu chính tắc. Vì là một toàn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.9 hợp lý ta chỉ cần chứng minh đồng cấu. Thật vậy, với mọi , ta có: là một đồng cấu. 1.1.10. Định nghĩa. Giả sử là một đồng cấu nửa nhóm. Khi đó quan hệ xác định bởi: là một tơng đẳng trên , đợc gọi là hạt nhân của và đợc kí hiệu là . Chúng ta cũng viết: , 9 trong đó và đợc hình dung nh là tích các quan hệ (thực hiện từ trái qua phải). Chú ý. là một tơng đẳng đợc suy trực tiếp từ đồng cấu nửa nhóm và cách xác định . Nếu là một tơng đẳng trên thì . 1.1.11. Hệ quả. Mỗi tơng đẳng là một hạt nhân của một đồng cấu nào đó. 1.1.12. Định lý. Giả sử là một đồng cấu của nửa nhóm tuỳ ý. Tồn tại duy nhất phép nhúng sao cho biểu đồ sau giao hoán: nghĩa là . 1.1.13. Định lý (định lý đồng cấu nửa nhóm) [2].Giả sử là một đồng cấu nửa nhóm và là một tơng đẳng của . Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất sao cho , trong đó là toàn cấu chính tắc. 10 Hơn nữa, nếu là một đồng cấu thoả mãn thì . 1.1.14. Định lý (định lý đẳng cấu) [2]. Giả sử là một đồng cấu. Thế thì . 1.1.15. Bổ đề (định lý đồng cấu cảm sinh) [2]. Giả sử và là các đồng cấu nửa nhóm sao cho (tức là . Khi đó tồn tại một đồng cấu duy nhất sao cho . 1.1.16. Định nghĩa. Nửa nhóm gọi là ảnh đồng cấu của nửa nhóm nếu tồn tại một toàn cấu . 1.1.17. Hệ quả [2]. Nếu là các tơng đẳng trên nửa nhóm sao cho thì là ảnh đồng cấu của . 1.2. Băng và nửa dàn Trớc hết ta nhắc lại rằng quan hệ thứ tự trên một tập đợc gọi là một thứ tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ta sẽ dùng kí hiệu ch v . . tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh trên cơ sở đó chứng minh chi tiết Định lý của Rédéi: Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh là nửa nhóm xác định hữu. tơng đẳng trên lớp nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh thông qua việc chứng minh một cách chi tiết Định lý Rédéi nói rằng: Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh là nửa