P tương đẳng trên nửa nhóm p chính quy

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN ĐÌNH PHƯƠNG - TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM - CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN ĐÌNH PHƯƠNG - TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM - CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên nghành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN Nghệ An – 2014 MỤC LỤC 3 Trang Mục lục ………………………………………………………… …………… 1 Mở đầu …………………………………………………………….…………….2 Chương 1. NỬA NHÓM - CHÍNH QUY ………………………… … …….4 1.1 - hệ trong nửa nhóm chính quy ……………………………………………4 1.2. Nửa nhóm - chính quy……………………………………………………10 Chương 2. - TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM - CHÍNH QUY…… 16 2.1. - đồng cấu và nửa nhóm thương của nửa nhóm - chính quy ………….16 2.2. Định lý mô tả - tương đẳng trên nửa nhóm - chính quy ………………20 KẾT LUẬN…………………………………………………………………… 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………32 MỞ ĐẦU 4 Trong lý thuyết nửa nhóm, lớp các nửa nhóm ngược khá hẹp và lớp các nửa nhóm chính quy khá rộng. Do đó nhiều tác giả đã đặt vấn đề khảo sát các lớp nửa nhóm nằm trung gian giữa hai lớp nửa nhóm này. Năm 1978, T. E. Nordal và H. E. Scheiblich đã đưa ra khái niệm ∗− nửa nhóm chính quy. Đó là nửa nhóm chính quy S được trang bị một phép đối hợp ∗ thỏa mãn các điều kiện xx x x * = , * * * * * ( ) , ( ) ( , )x x xy y x x y S= = ∀ ∈ . Năm 1982 dựa trên các kết quả về - hệ trong nửa nhóm chính quy, M. Yamada đã mô tả được cấu trúc của các ∗− nửa nhóm chính quy. Năm 1987, M. Yamada và M. K. Sen đưa ra khái niệm nửa nhóm - chính quy, một lớp nửa nhóm là mở rộng thực sự của lớp ∗− nửa nhóm chính quy và khảo sát cấu trúc của lớp nửa nhóm này. Một trong những đối tượng cần nghiên cứu khi khảo sát một nửa nhóm là xét các tương đẳng trên nửa nhóm đó. Vì vậy, khi khảo sát cấu trúc của các nửa nhóm - chính quy, một vấn đề đặt ra hết sức tự nhiên là mô tả các tương đẳng trên nửa nhóm này. Dựa trên công trình - congruences on - regular semigroups của M. K. Sen, luận văn trình bày một số vấn đề liên quan đến các nửa nhóm - chính quy, đặc biệt tập trung vào việc tìm hiểu định lý mô tả cấu trúc - tương đẳng trên nửa nhóm - chính quy, một mở rộng thực sự của định lý Prestơn về cấu trúc của các tương đẳng trên nửa nhóm ngược. 5 Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, Luận văn gồm hai chương. Chương 1. Nửa nhóm – chính quy Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày khái niệm - hệ trong nửa nhóm chính quy, ∗− nửa nhóm chính quy và mối quan hệ giữa chúng. Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm nửa nhóm - chính quy và các tính chất của nó. Chương 2. - tương đẳng trên nửa nhóm - chính quy Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày các khái niệm - đồng cấu, - tương đẳng và nửa nhóm thương của nửa nhóm - chính quy và mối liên hệ giữa chúng. Phần cuối của chương trình bày chứng minh chi tiết kết quả: Mỗi - tương đẳng trên một nửa chóm - chính quy hoàn toàn được xác định bởi hệ - hạt nhân chuẩn của nó. Luận văn được hoàn thành hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Tác giả xin bày tỏ lòng bết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, Phòng Sau Đại Học Trường Đại học Vinh cùng các học viên cao học K20- Đại số đã quan tâm giúp đỡ và hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý thầy, cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Nghệ An, tháng 05 năm 2014 Tác giả 6 CHƯƠNG 1. NỬA NHÓM - CHÍNH QUY 1.1. - hệ trong nửa nhóm chính quy Giả sử S là một nửa nhóm. Phần tử a S ∈ được gọi là phần tử chính quy nếu có x S∈ sao cho axa a = . Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mỗi phần từ của S là phần tử chính quy. Với mỗi x S ∈ , ta sẽ ký hiệu: W( ) { = }a a S axa a = ∈ . Như vậy, S là nửa nhóm chính quy nếu và chỉ nếu W( )a ≠ ∅ với mọi a S ∈ . Ký hiệu E S là tập hợp các phần tử lũy đẳng của S : 2 : { } S E x S x x= Î = . Nếu S chính quy thì . S E ¹ Æ Nói chung S E không phải là nửa nhóm con của S . Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm orthodox nếu S là nửa nhóm chính quy và S E là nửa nhóm con của S . 7 Giả sử a là phần tử của nửa nhóm S . Khi đó phần tử b SÎ được gọi là phần tử ngược của a nếu ; .aba a bab a= = Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm ngược nếu mỗi phần tử của S có duy nhất một phần tử ngược. Với mỗi a SÎ , ký hiệu: ( ) : { , }V a b S aba a bab a= Î = = . Thế thì S là nửa nhóm ngược nếu và chỉ nếu ( ) 1, .V a a S= Î Nửa nhóm ngược là nửa nhóm orthodox, và do đó nó là nửa nhóm chính quy. 1.1.1. Định nghĩa. Nửa nhóm chính quy S được gọi là một ∗− nửa nhóm chính quy(regular ∗− semigroup) nếu trên S được trang bị phép toán một ngôi : S S∗ → thỏa mãn ba điều kiện: (1) * x , ;x x x x S = ∀ ∈ (2) ( ) * * , ;x x x S= ∀ ∈ (3) * * * ( ) , ,xy y x x y S= ∀ ∈ . Một phần tử x SÎ được gọi là hình chiếu nếu S x EÎ và * x x= . 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm chính quy. Một tập con S F của S E được gọi là - hệ của S nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 8 ( ) ( ) ( ) * * * * 2 1 , ! ( ): , ; 2 , ; 3 . S S S S S a S a V a aa a a F a S a F a F F F ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ∀ ∈ ⊆ ⊆ 1.1.3. Bổ đề. Trong một ∗− nửa nhóm chính quy, có: (i) Nếu S e FÎ thì * e e;= (ii) ( ) * * S: ;a a a" Î = (iii) ( ) * * * , S: ;a b ab b a" Î = (iv) S a E" Î , nếu * a a= thì S. a FÎ Chứng minh. Trực tiếp suy ra từ định nghĩa.  1.1.4. Nhận xét. i) Từ Bổ đề 1.1.3, trực tiếp suy ra * S S { }.F a F a a= Î = ii) Nếu S là ∗− nửa nhóm chính quy và S F là tập hợp các hình chiếu của nó. Thế thì phép toán một ngôi xác định như trong định nghĩa trên được gọi là ∗− toán tử được xác định bởi S . Ta nhắc lại rằng nếu S là một nhóm thì các quan hệ sau đây được gọi là các quan hệ Grin trên nửa nhóm S : 9 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 b b b b bS ; ( ). a S a S a aS bS a S aS S ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ∩ = = L R b J H L R D L R R L 1.1.5. Mệnh đề. Một nửa nhóm chính quy S là một ∗− nửa nhóm chính quy nếu và chỉ nếu S có một - hệ . S F Trong trường hợp này, S F là một tập hợp các hình chiếu của S tương thích với ∗− toán tử được xác định bởi . S F Chứng minh. Điều kiện đủ suy ra từ Bổ đề 1.1.3 và Nhận xét 1.1.4 (i). Ta chứng minh điều kiện cần Giả sử S là một ∗ − nửa nhóm chính quy và . S F là tập hợp các hình chiếu của S , nghĩa là * S S { }.F a E a a= Î = Rõ ràng các điều kiện (1)-(3) của Định nghĩa 1.1.2 được thỏa mãn. Giả thiết rằng đối với a SÎ , tồn tại # a SÎ sao cho # # S , aa a a FÎ và ( ) # .a V aÎ Thế thì # # a a a aL . Vì một phép chiếu chứa trong một - lớp duy nhất nên # * a a a a= . Đối ngẫu, có # * aa aa= nên # a aH . Vì có nhiều nhất một phần tử ngược trong một - lớp, nên # * .a a= Từ đó, điều kiện (1) của Định nghĩa 1.1.2 được thỏa mãn.  10 1.1.6. Chú ý. Giả sử I là một tập hợp và S là một băng chữ nhật được xác định bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S: I I { i, j i I, j I} và i, j s,t i,t , i, j , ,t S.s= ´ = Î Î = " Î Nếu : I Iy ® là một song ánh thì ( ) F {(i, i ) i I} y y= Î là một - hệ của S . Đảo lại, mọi - hệ của nửa nhóm S đều có thể được xây dựng như vậy. Từ đó - hệ không duy nhất trong S . Giả sử ( ) ( ) P { i,i i I} v F {(i, i ) \ i I}à y= Î = Î│ , trong đó : I Iy ® là một song ánh, là một - hệ của S . Giả sử * và # là các *- toán tử trong S xác định bởi P và F tương ứng. Xét ánh xạ ( ) ( ) : S, S,#j * ® cho bởi ( ) ( ) i, j (i, i ).j y= Thế thì ( ) ( ) ( ) ( ) i, j , s,t ) i,t (i, t ).j j y= = Mặt khác, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i, j )( s,t ) (i, j )(s, t ) (i, t ).j j y y y= = Hơn nữa, ( ) ( ) * i, j j,i .= Từ đó, ( ) ( ) ( ) * i, j (j, i ).j y= Như vậy, ( ) ( ) ( ) * * i, j ( i, j ) .j j= Do đó là một đẳng cấu từ ( ) S,* lên ( ) S,# . Trong trường hợp này ( ) P Fj = . Như vậy ta chứng minh được kết quả sau. [...]... và - t p Phần còn lại của tiết này dành cho việc trình bày tương đẳng và thương trên nửa nhóm - chính quy 2.1.8 Định nghĩa Một tương đẳng trên nửa nhóm - chính quy được gọi là tương đẳng trên nửa nhóm ấy Giả sử một tương đẳng trên S (P) Với mỗi Đặt P = { q | q ∈ P} S ( P) là một nửa nhóm- chính quy và x∈S ( P) , ký hiệu xρ = x là ρ− ρ là l p chứa S = { x x ∈ S} và ( ) x y = xy, S P Với ph p toán trở... p, q, a + và - l p chứa và sao cho a' = a+ Như vậy a+ ∈T HT Do của S đó 25 a( P ∩ T )1 a ⊆ aP1a ∩aT 1a + ⊆ P ∩ T = PT T (P ) T Tương tự, a + ( P ∩ T )1 a ⊆ PT Từ đó là nửa nhóm - chính quy □ Chương 2 – TƯƠNG ĐẲNG TRONG NỬA NHÓM CHÍNH QUY 2.1 cấu và nửa nhóm thương của nửa nhóm - chính quy 2.1.1 Định nghĩa Giả sử f : S ( P ) → S ( P2 ) 1 S( P) 1 và T ( P2 ) là các nửa nhóm - chính quy Ánh xạ được... ’ Î P , nghĩa là a’ Î Q ( a ) b’ Î Q ( b) Tương tự, pq Î ES , P' Í P pp , p ∈ P nên thế Tương tự với p P qp Î Q ( pq ) nào đó Thế thì xÎ P Như vậy P ⊆ P' P 2 Í ES tồn tại (ii) Giả sử là nửa nhóm - chính quy Lấy VP ( a ) như bÎ S Từ đó là nửa nhóm - chính quy S ( P) Từ đó pq axa , = abb’ a’ S ( P) thì Điều này kéo theo Khi đó đối với mọi axa Î P = P # Q( a) với mỗi 20 aÎ S Thế thì, {VP (... ρ Tương tự, * * và do đó Từ ρ là một đó ∗−  2.2 Định lý mô tả - tương đẳng trên nửa nhóm - chính quy Giả sử ρ ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm chính quy là t p h p tất cả các ρ− l p chứa lũy đẳng của S S thì hạt nhân của Năm 1954, G B Preston đã chứng minh rằng hai tương đẳng trên một nửa nhóm chính quy trùng nhau nếu và chỉ nếu chúng có cùng hạt nhân Đối với các nửa nhóm - chính quy S (P) , t p. .. l p bởi M Yamada và M K Sen năm 1987 (xem [7]) S [ P] 1.2.5 Bổ đề i) Giả sử và chỉ nếu là một nửa nhóm - chính quy Thế thì P = ES nếu P 2 = P f : S ( P) ® T ii) Giả sử lên nửa nhóm chính quy T và là một đẳng cấu từ nửa nhóm - chính quy P = { f ( q ) q ∈ P} ( ) S T P Thế thì là nửa nhóm - chính quy 1.2.6 Định nghĩa (i) Trong một nửa nhóm chính quy gọi là đầy đủ hoàn toàn nếu (ii) Nếu P ÇR ứng, - l p. .. C- t p P0 lên C- t p P Đồng cấu f như vậy gọi là - đồng cấu mà ta sẽ xét trong 2.1 1.2.11 Định nghĩa Giả sử T là một nửa nhóm con chính quy của nửa nhóm chính quy T ( P ∩ ET ) S Khi đó T được gọi là một nửa nhóm con - chính quy của là một nửa nhóm - chính quy Khi đó ta ký hiệu P ∩ ET bởi PT S ( P) nếu 23 1.2.12 Mệnh đề Giả sử S ( P) - chính quy của a trong S ( P) T ( PT ) Đối với là một nửa nhóm. .. thành một nửa nhóm - chính quy và được gọi là nửa nhóm thương - chính quy của S ( P ) modρ 29 Ta còn sử dụng ký hiệu S( P ) ρ ( ) S P thay cho Hơn nữa, từ đây về sau ta còn dùng thuật ngữ “một - tương đẳng thay cho một tương đẳng thông thường S ( P) ρ trên một nửa nhóm - chính quy ρ 2.1.9 Định lý Giả sử là một - tương đẳng trên một nửa nhóm - chính quy Thế thì ánh xạ ϕ: S ( P ) → S ( P ) ρ Đảo... một ∗− So So lên S ( P) , tồn tại một S ( P) ∗− nửa f ( Po ) = P sao cho , Do đó, mỗi - nửa nhóm chính quy là nửa nhóm chính quy Phần còn lại của tiết này trình bày về nửa nhóm con - chính quy Giả sử T là một ∗− nửa nhóm chính quy và Q là t p h p tất cả các hình chiếu của T Thế thì T có thể được xét như nửa nhóm - chính quy Mệnh đề 1.2.10, f là một đồng cấu từ S o ( P o) lên S ( P) T ( Q) Do đó, trong... của nửa nhóm chính quy T p h p P trong trường h p đặc biệt của C- t p được định nghĩa trong nửa nhóm - chính quy trên (ii) Đối với một họ bất kỳ các C- t p trong nửa nhóm - chính quy được trang bị với các S{Pi |i ∈I} P{ Pi |i ∈I} C− , chúng ta có thể xét một { P i ∈ I} i t p , được ký hiệu bởi Tuy nhiên, trong luận văn này chúng tôi chỉ xét các nửa nhóm - chính 18 quy được trang bị chỉ với C- t p mà... một mở rộng của Định lý Preston từ 32 nửa nhóm ngược đến các nửa nhóm orthodox Chúng ta thấy rằng các nửa nhóm ∗− orthodox và các nửa nhóm chính quy là những trường h p riêng của nửa nhóm - chính quy Tiết này dành cho việc mô tả - tương đẳng trên một nửa nhóm - chính quy bởi - hạt nhân chuẩn của nó 2.2.1 Định nghĩa Giả sử là một t p con của S S ( P) là một nửa nhóm - chính quy và B = {Bi | i Î I } . a P Î , nghĩa là ’ a a P . Như vậy ' P PÍ . Tương tự ' P P⊆ . Do đó ' P P = . Suy ra pqp P với ,p q P . Từ đó , pp p P∈ với p P∈ . Giả sử ( ) ( ) , , v p p , qp. 1. NỬA NHÓM - CHÍNH QUY ………………………… … …….4 1.1 - hệ trong nửa nhóm chính quy ……………………………………………4 1.2. Nửa nhóm - chính quy …………………………………………………10 Chương 2. - TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM - CHÍNH QUY …. là một đẳng cấu từ nửa nhóm - chính quy S lên nửa nhóm chính quy T và ( ) { } P f q q P = ∈ . Thế thì ( ) T P là nửa nhóm - chính quy. 1.2.6. Định nghĩa. (i) Trong một nửa nhóm chính quy S ,