Các α tương đẳng trên các α nửa nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ THU HÀ CÁC α - TƯƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC α - NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2010 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ THU HÀ CÁC α - TƯƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC α - NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. LÊ QUỐC HÁN VINH - 2010 4 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Tương đẳng trên các nửa nhóm 1.2. Nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi Chương 2. CÁC α - TƯƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC α - NỬA NHÓM . 2.1. Nửa nhóm ( ) E T X 2.2. α - tương đẳng và α - nửa nhóm KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI NÓI ĐẦU Cùng với khái niệm iđêan, tương đẳng là một trong hai khái niệm quan trọng trong Lý thuyết nửa nhóm. Năm 1988, Hofmann và Magill đã xét mối quan hệ giữa các tương đẳng trên α - nửa nhóm T(X) và các T - tương đương trên X và nhận được kết quả Đối với mỗi tương đẳng σ trên T(X), giả sử { } ( ) ( , ) : ( , )x y x y γ σ σ = 〈 〉 〈 〉 ∈ . Thế thì ( ) ( )Teq X γ σ = . Mặt khác, đối với mỗi E ∈ T(X), giả sử { } ( ) ( , ) : ( , ) ( ( ))C E x y x y E T X= 〈 〉 〈 〉 ∈ ∪ ∆ Thế thì C(E) là một tương đẳng trên T(X). Ký hiệu Cong (T(X)) là dàn tất cả các tương đẳng trên T(X). Thế thì hàm γ là một đồng cấu từ Cong (T(X)) lên Teq(X), trong khi đó C là một đồng cấu từ Teq(X) vào Cong (T(X)). Hơn nữa, γ và C đều là đơn ánh, và C γ o là ánh xạ đồng nhất trên Teq(X). Tóm lại, mỗi T(X) xác định một dàn con đầy đủ của ε (X) chứa ∆ (X) và X × X, mà nó là ảnh của Cong (T(X)) dưới đồng cấu γ . Trong luận văn này, chúng tôi sẽ quan tâm tới bài toán đảo: Đối với mỗi dàn con đầy đủ L của ε (X) chứa ∆ (X) và X × X, tồn tại hay không nửa nhóm T(X) nào đó thoả mãn Teq(X) = L? Hơn nữa, nếu điều đó xảy ra thì T(X) có duy nhất không? Theo [ ] 8 , tồn tại một số các α - nửa nhóm T(X) với Teq(X) = L đối với dàn con đầy đủ L đã cho nào đó và nói chung T(X) không duy nhất, nhưng trong số chúng phần tử lớn nhất có thể được xác định một cách dễ dàng. Năm 1993, Pei Huisheng đã xét một lớp các tương đẳng trên S(X) (nửa nhóm các ánh xạ liên tục từ X vào X, trong đó X là một không gian tôpô), gọi là các α - tương đẳng. Dựa vào bài báo Equivalences, α - Semigroups and α - Congruences của Pei Huisheng đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 49 6 năm 1994, chúng tôi tìm hiểu các α - tương đẳng trên T(X) và các mối liên quan giữa các α - tương đẳng và các T - tương đương đối với các α - nửa nhóm T(X) tổng quát. Luận văn gồm 2 chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản trong Lý thuyết nửa nhóm: nửa nhóm, nửa nhóm các quan hệ trên một tập, tương đẳng, tương đẳng trên các nửa nhóm, tương đẳng sinh bởi một quan hệ cho trước, nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên một tập. Chương 2. Các α - tương đẳng trên các α - nửa nhóm. Đây là nội dung chính của luận văn. Tiết 1, chúng tôi sẽ quan tâm đến một lớp α - nửa nhóm, gọi là T E (X), mà nó được xác định bởi một quan hệ tương đương không tầm thường E. Chúng tôi chứng minh chi tiết kết quả đã biết: dàn phù hợp với T E (X) thực chất là { } X),E,X X∆( × và T E (X) là α - nửa nhóm lớn nhất phù hợp với E. Khi đó, bằng cách lấy giao của các T E (X) nào đó, nhận được phần tử lớn nhất T(X) với Teq(X) = L đối với dàn con đầy đủ đã cho L nào đó của ε (X). Tiết 2, chúng tôi nhắc lại định nghĩa các α - nửa nhóm đối với các nửa nhóm tuỳ ý và tìm hiểu một số kết quả trong các α - nửa nhóm tổng quát. Từ đó nhận được một sự phân hoạch của Cong (T(X)) đối với T(X) bất kỳ. Cuối cùng, các kết quả trong tiết 1 được áp dụng để xác định các α - tương đẳng thực sự lớn nhất và nhỏ nhất đối với một số α - nửa nhóm. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy, người đã tận tình chỉ dẫn chúng tôi trong học tập và tập dượt nghiên cứu khoa học.Cũng nhân dịp này, tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học, tổ Đại số và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng; PGS. TS. Nguyễn Thành Quang; 7 TS. Nguyễn Thị Hồng Loan cùng quý thầy cô trong khoa Toán của Đại học Vinh đã nhiệt tình chỉ dẫn và giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả 8 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. TƯƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC NỬA NHÓM 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Khi đó, một ánh xạ từ tích Descartes S x S vào S được gọi là một phép toán hai ngôi trên S. Nếu ánh xạ đó được ký hiệu bằng dấu (.) thì ảnh trong S của phần từ (a,b) ∈ S x S được ký hiệu a.b hay đơn giản hơn: ab. Để ký hiệu các phép toán hai ngôi ta cũng dùng các dấu “+” hay “  ”. Phép toán hai ngôi (.) trên S được gọi là kết hợp, nếu a.(b.c) = (a.b).c với mọi a, b, c thuộc S. Tập hợp S được gọi là một nửa nhóm, nếu trên nó đã xác định một phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm giao hoán, nếu phép toán trên S có tính chất giao hoán, nghĩa là a.b = b.a với mọi a, b thuộc S. 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý. Phần tử e ∈ S được gọi là một đơn vị trái của S nếu ex = x với mọi x ∈ S. Phần tử e ∈ S được gọi là một đơn vị phải nếu xe = x với mọi x ∈ S. Phần tử e ∈ S được gọi là phần tử đơn vị nếu e vừa là đơn vị trái, vừa là đơn vị phải của S. Chú ý rằng: Một nửa nhóm có thể không có hoặc có nhiều đơn vị trái (hay phải), nhưng nếu có thì chỉ có duy nhất một phần tử đơn vị. Nửa nhóm S được gọi là một vị nhóm, nếu S có đơn vị (hai phía). 1.1.3. Ví dụ. 1) Tập hợp các số tự nhiên ¥ cùng với phép cộng thông thường là một vị nhóm giao hoán. Tập hợp ¥ cũng là một nửa nhóm giao hoán đối với một trong các phép toán hai ngôi sau đây: - Phép nhân thông thường. 9 - Phép lấy UCLN (ước chung lớn nhất). - Phép lấy BCNN (Bội chung nhỏ nhất). 2) Tập hợp P (X) các tập con của tập hợp X là một vị nhóm giao hoán đối với mỗi phép toán hai ngôi giao và hợp. 3) Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và S là tập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào X. Khi đó S với phép nhân ánh xạ là một vị nhóm (đơn vị của S là ánh xạ đồng nhất của X). Nếu X có nhiều hơn một phần tử, thì S không giao hoán. 1.1.4. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý và A là tập con không rỗng của S. Khi đó A được gọi là một nửa nhóm con của S nếu A là tập con ổn định của S, nghĩa là ab ∈ A với mọi cặp phần tử a, b thuộc A. Tập con A của nửa nhóm S được gọi là một iđêan trái (phải) của S nếu SA ⊆ A (hay AS ⊆ A). Tập con A được gọi là iđêan của S nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của S. Từ định nghĩa suy ra iđêan các kiểu của S đều là các nửa nhóm con. Tuy nhiên, tồn tại các nửa nhóm con của một nửa nhóm S mà không phải là iđêan của S. Chẳng hạn, nếu Q là nửa nhóm cộng của các số hữu tỷ thì tập hợp các số nguyên Z là một nửa nhóm con của Q nhưng Z không phải là iđêan bất kỳ kiểu nào của Q. 1.1.5. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Khi đó một tập con ρ của tích Descartes X × X được gọi là một quan hệ trên tập X. Nếu ( , )a b ρ ∈ , trong đó a, b là các phần tử của tập X, thì ta cũng sẽ viết a ρ b và nói “a nằm trong quan hệ ρ với b”. Nếu ρ và σ là các quan hệ trên X, thì cái hợp thành ρ σ o của chúng được định nghĩa như sau: ( , )a b ρ σ ∈ o nếu tồn tại phần tử x X∈ sao cho ( , )a x ρ ∈ và ( , )x b σ ∈ . Phép toán hai ngôi (  ) là kết hợp. Thật vậy, nếu , ρ σ và τ là các quan hệ trên X, thì mỗi một trong các điều khẳng định ( , ) ( )a b ρ σ τ ∈ o o và ( , ) ( )a b ρ σ τ ∈ o o tương đương với điều khẳng định rằng tồn 10 . thuyết nửa nhóm: nửa nhóm, nửa nhóm các quan hệ trên một tập, tương đẳng, tương đẳng trên các nửa nhóm, tương đẳng sinh bởi một quan hệ cho trước, nửa nhóm. chúng tôi tìm hiểu các α - tương đẳng trên T(X) và các mối liên quan giữa các α - tương đẳng và các T - tương đương đối với các α - nửa nhóm T(X) tổng quát.