Phép chuyển dịch và nửa nhóm con gần cô lập của nửa nhóm

Trờng đại học vinh Khoa toán ---------*&*--------- Nguyễn Văn Hng phép chuyển dịch và nửa nhóm con gần cô lập của nửa nhóm Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân Khoa học toán Vinh - 2004 1 Lời nói đầu Lý thuyết nửa nhóm là một trong những lý thuyết sâu sắc và khá quan trọng trong toán học hiện đại. Trong lý thuyết nửa nhóm, nửa nhóm con gần cô lập của nửa nhóm có nhiều tính chất phong phú và có nhiều ứng dụng trong đại số nói riêng và trong toán học hiện đại nói chung. Nội dung của luận văn đợc chia thành ba tiết. Đ1. Phép chuyển dịch và biểu diễn chính quy. Trong tiết này chủ yếu là nêu các định nghĩa và một số bổ đề về phép chuyển dịch và biểu diễn chính quy. Đ 2. Nhóm con cô lập của nửa nhóm. Đ 3. Nửa nhóm con gần cô lập của nửa nhóm . Đ 4. Định lý Haouy. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS - TS Lê Quốc Hán, nhân dịp này tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ngời thầy nghiêm khắc, đầy lòng nhân ái đã dìu dắt chúng tôi đi đến hoàn thành luận văn. Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo cô giáo trong tổ Đại số cùng các bạn sinh viên đã động viên chúng tôi hoàn thành đề tài của mình. Vì thời gian có hạn bản thân còn nhiều thiếu xót nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế. Kính mong sự chỉ bảo của các thầy, các cô và bạn bè. Tác giả Nguyễn Văn Hng 2 Đ 1. Phép chuyển dịch và biểu diễn chính quy. 1.1. Các định nghĩa. 1.1.1. Định nghĩa 1. + ánh xạ S: S' đợc gọi là đồng cấu nếu: (xy) = (x )(y ) với x,y S ánh xạ: S: S' đợc gọi là phản đồng cấu nếu: (xy) = (y ) ( x ) với x,y S 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm và a S - ánh xạ a : xax SS đợc gọi là phép chuyển dịch trong bên phải ứng với phần tử a S. - ánh xạ a : axx SS đợc gọi là phép chuyển dịch trong bên trái ứng với phần tử a S. - ánh xạ : S S dợc gọi là phép chuyển dịch bên phải nếu thoả mãn: (xy) = x (y ) với Sy,x - ánh xạ : S S đợc gọi là phép chuyển dịch bên trái nếu thoả mãn là (xy) Sy,xvớiy)x( = - Phép chuyển dịch bên phải và phép chuyển dịch bên trái đợc gọi là liên kết với nhau nếu: Sy,xvớiy)x()y(x = 1.1.3. Định nghĩa 3: Giả sử S là nửa nhóm khi đó: + ánh xạ từ a a đợc gọi là biểu diễn chính quy. + ánh xạ a a đợc gọi là phản biểu diễn chính quy 1.2. Mệnh đề 1. 3 Tập hợp tất cả các phép chuyển dịch bên phải (bên trái) của nửa nhóm S là nửa nhóm con của nửa nhóm F s . Chứng minh. Kí hiệu p là tập hợp tất cả các phép chuyển dịch bên phải và q là tập hợp tất cả các phép chuyển dịch bên trái của nửa nhómS. Khi đó: Nếu Sy,xvàq 21 thì: 21212121 ))xy(()y)x((y))x((y))(x( === = ))xy(( 21 Từ đó q 21 q là nửa nhóm con của F s . Tơng tự ta cũng chứng minh đối với p là nửa nhóm con của F s . 1.3. Nhận xét. Tập hợp tất cả các phép chuyển dịch trong bên phải (bên trái) của nửa nhóm S là nửa nhóm con p 0 của nửa nhóm p (hoặc nửa nhóm con q 0 của nhóm q) ánh xạ từ a a (hoặc a a ) là đồng cấu (hoặc phản đồng cấu) từ nửa nhóm S lên 0 p (hoặc 0 q ) đó chính là biểu diễn chính quy (hoặc phản biểu diễn chính quy) của nửa nhóm S. 1.4. Bổ đề 1.1. Giả sử và tơng ứng là các phép chuyển dịch bên trái và bên phải của nửa nhóm S, và a S thế thì: = aa ; = aa Nếu và liên kết với nhau, thì : = aa , = aa . Chứng minh. Với x tuỳ ý thuộc S ta có. x( a ) = (x a ) = ( .a ) = ( a )x = a x . 4 ==== aaa x)a(x)xa()x()(x . Bây giờ giả sử và liên kết với nhau. Thế thì với x tuỳ ý thuộc S. ==== aaa x\x)a()x(a)x()(x . ==== aaa x)a(xa)x()x()(x . Điều phải chứng minh 1.5. Nhận xét. Ta định nghĩa bao chuyển dịch S của nửa nhóm S là tập tất cả các cặp ( , ), trong đó và là các phép chyển dịch bên trái và bên phải liên kết với nhau của nửa nhóm S. Nếu )( 11 và ),( 22 là các phần tử thuộc S thì ),( 2112 cũng thuộc S , vì với x, y tuỳ ý thuộc S ta có: )y)(x(y))x(()y()x())y((x))(y(x 2121211212 ==== Vì vậy ta có thể định nghĩa một phép toán 2 ngôi trong S bằng cách đặt: ),(),(),( 21122211 = Tính kết hợp của phép toán đó là hiển nhiên, nên S là một nửa nhóm. Giả sử 0 S là tập tất cả các cặp ( aa , ) trong đó a S . Dễ thấy rằng SS 0 , vì aa và liên kết với nhau. Với mọi a, b tuỳ ý ta có: ),(),(),(),( ababbaabbbaa == . Thành thử 0 S là nửa nhóm con của nửa nhóm S và ánh xạ a ( aa , ) là đồng cấu từ S lên 0 S . Đồng cấu đó là đẳng cấu khi và chỉ khi từ các đẳng thức ba = và ba = suy ra a = b hay nói cách khác từ ax = bx và xa = xb với x S suy ra đẳng thức a = b, ta gọi nửa nhóm S có tính chất đó là rút gọn yếu. 1.6. Bổ đề 1.2. Giả sử S là nửa nhóm rút gọn yếu. Ta đồng nhất S với phần trong 0 S của bao chuyển dịch S của nửa nhóm S. Thế thì S là iđêan của nửa nhóm S và với a tuỳ ý thuộc S và ( , ) S ta có ( , )a = a , a ),( = a . 5 Chứng minh. Theo bổ đề 1.1 ),(),(),(),( aaaaaa == ( ),(),(),(),( aaaaaa == Bây giờ đồng nhất phần tử x S với phần tử 0xx S),( là điều có thể đợc vì S rút gọn yếu, và do đó x ( xx , ) là đẳng cấu từ S lên 0 S , thì ta suy ra điều phải minh . 1.7. Mệnh đề. Nếu S là iđêan của nửa nhóm T , thì mỗi phép chuyển dịch trong bên phải (hoặc bên trái) của nửa nhóm T cảm sinh phép chuyển dịch bên phải (hoặc bên trái) của S. Chứng minh. Nếu t T và x S , thì Sxtx t = vì S là iđêan của T, và hiển nhiên (xy) )y(x)yt(xt)xy( tt === , với Sy,x . Tơng tự: x St và St là phép chuyển dịch bên trái của nửa nhóm S. 1.8. Nhận xét. Điều kiện cần và đủ để nửa nhóm S nhúng chìm đợc vào một nửa nhóm T sao cho: (i): S là iđêan của T (ii): Mỗi phép chuyển dịch bên phải và mỗi phép chuyển dịch bên trái của S đợc cảm sinh bởi một phép chuyển dịch trong nào đó của T, là gì? Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó cho các nửa nhóm rút gọn yếu. 1.9. Định lý 1.3. Nửa nhóm rút gọn yếu S có thể nhúng chìm đợc vào nửa nhóm T nào đó thoả mãn tính chất (i) và (ii) vừa nêu ở trên khi và chỉ khi 6 (iii): Mỗi phép chuyển dịch bên trái của nửa nhóm S liên kết với một phép chuyển dịch nào đó và ngợc lại. Chứng minh. Giả sử S là một nửa nhóm có thể nhúng chìm đợc vào nửa nhón T sao cho thoả mãn tính chất (i) và (ii). Giả sử là phép chuyển dịch bên trái tuỳ ý của nửa nhóm S. Theo (ii) tồn tại phần tử t T sao cho S t = . Thế thì S t là phép chuyển dịch bên phải của nhóm S , liên kết với . Tơng tự: Mỗi phép chuyển dịch bên phải của nhóm S liên kết với một phép chuyển dịch bên trái của nó. Đảo lại: Giả sử S là nửa nhóm rút gọn yếu, có tính chất (iii) và giả sử T trùng với bao chuyển dịch S của nửa nhóm S thế thì S là iđêan của T theo bổ đề 1.2. Giả sử là phép chuyển dịch bên trái tuỳ ý của nửa nhóm S. Theo điều kiện (iii) tồn tại phép chuyển dịch bên phải của nửa nhóm S, liên kết với . Thế thì t = ( , ) T và = S t theo bổ đề 1.2. Chứng minh mệnh đề đối ngẫu trong điều kiện (ii) cũng tơng tự. Đ2 Nửa nhóm con cô lập của nửa nhóm. Tiết này dành cho việc khảo sát các nửa nhóm con cô lập của nửa nhóm. Khái niệm này là mở rộng khái niệm nhóm con của một nhóm . 2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm, U là tập con của S. Khi đó U đợc gọi là cô lập bên trái của S nếu từ các điều kiện u U , s S , us U suy ra s U Tập con U đợc gọi là cô lập bên phải nếu từ u U ,s S, su U suy ra s U. 7 Tập con U đợc gọi là cô lập trong S nếu U vừa cô lập bên trái vừa cô lập bên phải trong S. 2.2. Mệnh đề. Giả sử G là một nhóm và H là tập con của G. Khi đó H là cô lập trong G khi và chỉ khi H là nhóm con của G. Chứng minh. Giả sử H là cô lập trong G, khi đó, a , b H, ta có: a = ( 1 ab )b H nên 1 ab H. Do đó H là nhóm con của G. Đảo lại: Nếu H là nhóm con của G và Gb,Ha và Hba thì Ha 1 vì H là nhóm con của G . Do đó b = (ba) Ha 1 , vì H là nhóm con của G. Vậy H cô lập bên phải. Tơng tự, H là cô lập bên trái trong G nên H là cô lập trong G. Suy ra điều phải chứng minh. 2.3. Mệnh đề. Giả sử : S T là một đồng cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm T. Khi đó một tập con V của T là nửa nhóm cô lập của T khi và chỉ khi 1 (V) là một nửa nhóm con của cô lập của S. Chứng minh. Đặt U = 1 (V) Giả sử u U, s S và us U (us) = (u) (s) )U( = V mà V)u( và V cô lập nên )s( V s U)V( 1 = . Tơng tự, u U , Ss và su UsU . Vậy V cô lập. Đảo lại. Nếu u' V, s' T và u', s' V thì do là ánh xạ lên nên a U, b S sao cho (a) = u', (b) = s' khi đó V's'u)b()a()ab( == nên ab U)V( 1 = , mà U cô lập nên b U , s' = V)u()b( = 8 Tơng tự, nếu u' V, s' T và s'u' V thì s V. Vậy V là cô lập trong T. 2.4 Hệ quả. Giả sử T là một vị nhóm và e là đơn vị của T; TS: là một đồng cấu từ nửa nhóm S lên T. Khi đó 1 (e) là nửa nhóm cô lập của S. Chứng minh. Hiển nhiên V = { } e là một nửa nhóm con của T. Nếu u' V, s' T và u's' V thì do V = { } e nên u' = e, u's' = e. Do đó s' = es' = u's' T . Tơng tự: u' V, s' T và s'u' V theo s' V. Vậy V cô lập trong T. áp dụng mệnh đề 2.3 suy ra điều phải chứng minh. 2.5. Hệ quả. Giả sử : G T là đồng cấu từ nhóm G lên vị nhóm T và e là đơn vị của T. Khi đó 1 (e) là nhóm con của G . Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ hệ quả 2.4 và mệnh đề 2.2. 2.6. Định nghĩa. Iđêan của nửa nhóm S đợc gọi là iđêan nguyên tố của S nếu S \ A là một nửa nhóm con của S. 2.7. Mệnh đề. Giả sử A là tập con tuỳ ý của nửa nhóm S. Khi đó: i) Nếu A là iđêan của S thì S\A cô lập trong S. ii) Nếu S\A là một iđêan thật sự nguyên tố của S thì A là một nửa nhóm con cô lập của S. Chứng minh. i) Giả sử u S\A, s S và us S\A, u A và us A khi đó s A thì do A S us A mâu thuẫn. Vì s A s S\A. Do đó S\A cô lập trái trên S. 9 Tơng tự S\A cô lập phải trong S S\A cô lập trong S. ii) Ta có A = S\(S\A) là nửa nhóm con của S A là nửa nhóm con của S. Hơn nữa S \A là iđêan của S nên S\(S\A) cô lập trong S S\(S\A) là cô lập trong S. Mệnh đề đợc chứng minh. 2.8 Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và A,N là các tập con tuỳ ý của S. i) Tập A đợc gọi là tập phản xạ nếu x,y S, từ xy A kéo theo yx A. ii) Tập con N đợc gọi là tập chuẩn tắc nếu a,b,c S từ giả thiết hai trong ba phần tử abc, ac, b thuộc N suy ra phần tử thứ ba cũng thuộc N. 2.9. Mệnh đề. Giả sử N là một nhóm con của nửa nhóm S. Thế thì N chuẩn tắc trong S khi và chỉ khi N cô lập và phản xạ trong S . Chứng minh. Giả sử N cô lập và phản xạ trong S. Ta chứng minh N là chuẩn tắc. Thật vậy, nếu abc N, ac N thì cab N và ca N vì N là phản xạ, do đó b N vì N cô lập. Nếu abc N, b N thì cab N (vì N phản xạ) và do đó ca N (vì N cô lập ac N (vì N phản xạ). Nếu ac N, b N thì ca N (vì N phản xạ) bac N (vì N là nửa nhóm con của S) acb N ( vì N phản xạ). Đảo lại: Giả sử N chuẩn tắc trong S, ta chứng minh N phản xạ và cô lập. Giả sử ab N, khi đó ab.ab N vì N là nửa nhóm con do đó: a(ba)b N trong đó ab N ba N vì N chuẩn tắc trong S. Vậy N phản xạ. Giả sử a N , x S và ax N trong đó a N x N vì N chuẩn tắc trong S vậy N cô lập bên trái. Tơng tự, N cô lập bên phải nên N cô lập trong S. 2.10. Định nghĩa. 10 . định nghĩa và một số bổ đề về phép chuyển dịch và biểu diễn chính quy. Đ 2. Nhóm con cô lập của nửa nhóm. Đ 3. Nửa nhóm con gần cô lập của nửa nhóm . Đ 4 đồng cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm T. Khi đó một tập con V của T là nửa nhóm cô lập của T khi và chỉ khi 1 (V) là một nửa nhóm con của cô lập của S. Chứng