Về các nửa nhóm ternary

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ LỆ THỦY VỀ CÁC NỬA NHÓM TERNARY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2012 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ LỆ THỦY VỀ CÁC NỬA NHÓM TERNARY CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ và LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. LÊ QUỐC HÁN 2 Nghệ An - 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ………………………………………………………… 1 CHƯƠNG 1. CÁC PHẦN TỬ ĐẶC BIỆT TRONG NỬA NHÓM 1.1.Phần tử khả nghịch và nhóm con tối đại ………………… 3 1.2. Phần tử chính quy. Nửa nhóm chính quy………………… 5 1.3. Phần tử ngược. Nửa nhóm ngược…… 7 1.4. Phần tử không. Nhóm phải ………………………………… .9 CHƯƠNG 2. VỀ CÁC NỬA NHÓM TERNARY 2.1. Nửa nhóm ternary ………………………………………… 11 2.2. Nửa nhóm ternary chính quy ……………………………… 16 2.3. Cái phủ nửa nhóm của một nửa nhóm ternary…………… .18 KẾT LUẬN……………………………………………………………….25 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………26 3 LỜI NÓI ĐẦU Một nửa nhóm ternary là một tập hợp khác rỗng T cùng với phép toán ba ngôi ( ) , , ,T T T T a b c abc     × × → a thỏa mãn luật kết hợp thứ nhất [ ] , , ,abc uv a bcu v ab cuv a b c T                     = = ∀ ∈ . Khái niệm nửa nhóm ternary được Banach nêu ra khi ông xét một số ví dụ nửa nhóm ternary không đưa về được một nửa nhóm (với phép toán hai ngôi). Năm 1955, J. Los đã chứng minh được rằng: mỗi nửa nhóm có thể nhúng được vào một nửa nhóm. Trước đó, năm 1932, D. H. Lehmer đã khảo sát một loạt hệ thống bộ ba để nửa nhóm ternary trở thành các nửa nhóm ternary giao hoán. Năm 1965, F. M. Sioson đã nghiên cứu các nửa nhóm ternary liên quan đặc biệt đến iđêan và căn bằng cách mở rộng các khái niệm đã biết như iđêan nguyên sơ, iđêan nửa nguyên sơ. Ông cũng đã định nghĩa nửa nhóm ternary chính quy. Một số tính chất của các nửa nhóm chính quy khác cũng được nghiên cứu bởi các tác giả M. L. Santiago và S. Svi Bala vào các năm 1990 và 2000. Phép nhân ternary tương thích với cấu trúc không gian vectơ đã được nghiên cứu bằng cách sử dụng cả hai phương pháp đại số và giải tích hàm, chúng được trình bày trong các công trình của các tác giả K. Mayber (1972) và V. Ramaswmy (1981). Khái niệm khả nghịch đối với một phần tử trong hệ thống bộ ba được xét đến, độc lập với khái niệm nhị phân của phần tử đơn vị. Khái niệm này đưa đến một đặc trưng tổng quát hóa khái niệm nhóm. Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Ternary semigroups của hai tác giả M. I. Santiago và S. Sri Bala đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 81, năm 2010 để tìm hiểu các điều kiện chính quy của các nửa nhóm ternary. Đặc biệt chúng tôi quan tâm kết quả tương tự trong lý thuyết nửa nhóm: mỗi nửa nhóm ternary nhúng được vào một nửa nhóm. 4 Luận văn được chia làm hai chương. Trong chương 1 trình bày các kiến thức về phần tử khả nghịch và nhóm con tối đại, phần tử chính quy - nửa nhóm chính quy, phần tử ngược - nửa nhóm ngược, phần tử không - nhóm phải. Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày nửa nhóm ternary, nửa nhóm ternary chính quy và cái phủ nửa nhóm của nửa nhóm ternary. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Quốc Hán, người đã hướng dẫn tác giả hoàn thành Luận văn này. Tác giả cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học cũng như các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện giúp đỡ và hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành Luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. Nghệ An, tháng 9 năm 2012 Tác giả 5 CHƯƠNG 1. CÁC PHẦN TỬ ĐẶC BIỆT TRONG NỬA NHÓM 1.1. PHẦN TỬ KHẢ NGHỊCH VÀ NHÓM CON TỐI ĐẠI Đối với một nửa nhóm S tùy ý, ta xét vị nhóm S 1 bằng cách bổ sung một đơn vị cho S, nếu S không chứa đơn vị : { } khi là môt vi nhóm khi không phai là vi nhóm 1 S S 1 S S S      ∪ = trong trường hợp thứ hai, 1 là phần tử đơn vị mới, 1 S∉ . 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một vị nhóm với đơn vị là 1. Nếu x và y là các phần tử thuộc S sao cho xy = 1 thì x gọi là nghịch đảo bên trái của y, còn y được gọi là nghịch đảo bên phải của x. Phần tử khả nghịch bên phải (trái) của S được định nghĩa là một phần tử có một nghịch đảo bên phải (trái) thuộc S. Phần tử khả nghịch thuộc S là một phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải. 1.1.2. Mệnh đề [1, trang 44]. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1. Khi đó: (i) Tập P (hay Q) tất cả các phần tử khả nghịch bên trái (hay bên phải) của S là một nửa nhóm với luật giản ước bên phải (tương ứng, bên trái) chứa 1. (ii) Tập U tất cả các phần tử khả nghịch thuộc S là một nhóm con của S và U = P ∩ Q. Mỗi phần tử nghịch đảo hai phía duy nhất thuộc U và không có nghịch đảo bên trái hay bên phải nào thuộc tập đó. (iii) Mỗi nhóm con của S chứa 1 đều được chứa trong U. 1.1.3. Định nghĩa. Phần tử e ∈ S được gọi là lũy đẳng nếu e = e. 6 khi S không phải là vị nhóm khi S là một vị nhóm Tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S được ký hiệu bởi E(S), E hay đơn giản bởi E. Phần tử đơn vị của nửa nhóm là lũy đẳng nhưng ngược lại có thể không đúng. 1.1.4. Nhận xét. Một nửa nhóm tùy ý không phải bao giờ cũng chứa các nhóm con. Chẳng hạn, nhóm xyclic vô hạn không chứa nhóm con nào. Hơn nữa S chứa nhóm con nếu và chỉ nếu S chứa lũy đẳng. Nếu e là một lũy đẳng của S, thế thì eS gồm tất cả các phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị trái, nghĩa là ea = a ∀a ∈ eS. Tương tự Se gồm tất cả các phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị phải, nghĩa là ae=a, ∀a ∈ Se, và eSe = eS ∩ Se là tập hợp tất cả các phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị hai phía. Vì eSe có đơn vị hai phía là e nên eSe có nhóm con các phần tử khả nghịch trong nó mà ta sẽ ký hiệu bởi e H . 1.1.5. Mệnh đề [1, trang 45]. Giả sử e là một lũy đẳng tùy ý của nửa nhóm S và e H là nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhóm eSe. Thế thì e H chứa mỗi nhóm con G của S mà G giao với e H . 1.1.6. Định nghĩa. Nhóm con G của nửa nhóm S được gọi là nhóm con tối đại của S, nếu G không thực sự được chứa trong một nhóm con nào khác của S. Giả sử G là một nhóm con tối đại của nửa nhóm S và e là đơn vị của G, khi đó e ∈ G ∩ e H , do đó G = e H do tính chất tối đại của G. Đảo lại, nếu e là một lũy đẳng của S thì từ Mệnh đề 1.1.6 suy ra rằng e H là một nhóm con tối đại của nửa nhóm S. Từ Mệnh đề 1.1.6 cũng suy ra rằng nếu e và f là các lũy đẳng khác nhau của S thì e H và H không giao nhau. 1.1.7. Chú ý. Giả sử X là một tập hợp tùy ý khác rỗng. Ký hiệu T là tập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào chính nó. Thế thì T cùng với phép nhân ánh xạ là một nửa 7 nhóm, vì phép nhân ánh xạ thỏa mãn luật kết hợp. Hơn nữa T là một vị nhóm với đơn vị là ánh xạ đồng nhất và được ký hiệu bởi X 1 . Vị nhóm T được gọi là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ trên tập X. 1.1.8. Mệnh đề [1, trang 46]. Giả sử T là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ trên tập X. Khi đó : (i) Nửa nhóm con các phần tử khả nghịch bên trái trong T gồm tất cả các ánh xạ một - một từ X vào X; (ii) Nửa nhóm con các phần tử khả nghịch bên phải trong T gồm tất cả các ánh xạ một - một từ X vào X; (iii) Nhóm G tất cả các phần tử khả nghịch trong T gồm tất cả các song ánh từ X lên chính nó. Nếu X là một tập hợp hữu hạn, X n= thì T là một vị nhóm hữu hạn và n X T n= ; còn G là một nhóm hữu hạn với cấp là !n . Trong trường hợp này, G thường được gọi là nhóm các phép thế bậc n và được ký hiệu bởi n S . 1.1.9. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và X là một tập hợp khác rỗng tùy ý. Một đồng cấu ϕ : S → T được gọi là một biểu diễn của nửa nhóm S. Biểu diễn ϕ : S → T được gọi là biểu diễn trung thành nếu ϕ là một đơn ánh. 1.1.10. Định lý Cayley. Mỗi nửa nhóm đều có biểu diễn trung thành. 1.2. PHẦN TỬ CHÍNH QUY. NỬA NHÓM CHÍNH QUY 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm (i) Phần tử a ∈ S được gọi là phần tử chính quy nếu tồn tại x ∈ S sao cho axa a= ; 8 (ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mỗi phần tử thuộc S đều là phần tử chính quy. 1.2.2. Chú ý. Giả sử S là một nửa nhóm và a ∈ S. Ký hiệu ( ) { } W a a S axa a= ∈ = . Thế thì S là nửa nhóm chính quy nếu và chỉ nếu ( ) W a ≠ ∅ với mỗi a ∈ S. Hơn nữa, nếu x ∈ S thì ax và xa đều là các phần tử lũy đẳng của S. Do đó nếu S chính quy thì E(S) ≠ ∅. Nói chung E(S) không phải là nửa nhóm con của S. Nếu S là nửa nhóm chính quy và E(S) là nửa nhóm con của S thì S được gọi là nửa nhóm orthodox. 1.2.3. Mệnh đề [1, trang 53]. Phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính quy nếu và chỉ nếu mỗi iđêan chính phải (trái) của S được sinh bởi một lũy đẳng nào đó. 1.2.4. Định nghĩa. (i) Giả sử S là một nửa nhóm. Ta định nghĩa các quan hệ L, R, J trên S như sau : aLb ⇔ Sa = Sb aRb ⇔ aS = bS a J b ⇔ Sa S = SbS. và H = R ∩ L D = LoR (= RoL). Khi đó các quan hệ L, R, J , H, D được gọi là các quan hệ Grin trên S. (ii) Một D-lớp được gọi là chính quy nếu nó chỉ chứa các phần tử chính quy. 1.2.5. Mệnh đề [1, trang 103]. (i) Nếu D-lớp D chứa một phần tử chính quy thì D là D-lớp chính quy. 9 (ii) Nếu D là D-lớp chính quy thì mỗi L-lớp và mỗi R-lớp chứa trong D đều chứa lũy đẳng. (iii) Mỗi D-lớp là chính quy nếu và chỉ nếu nó chứa lũy đẳng. 1.2.6. Bổ đề Lallement. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm chính quy S . Khi đó : (i) S/ ρ là nửa nhóm chính quy. (ii) Với mỗi lũy đẳng x ρ∈ E(S/ ρ ) đều tồn tại lũy đẳng e ∈ E(S) sao cho e x ρ ρ = . 1.2.7. Mệnh đề [1, trang 63]. Giả sử X là một tập hợp khác rỗng tùy ý. Khi đó nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ T là nửa nhóm chính quy. 1.3. PHẦN TỬ NGƯỢC. NỬA NHÓM NGƯỢC 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. (i) Hai phần tử a,b ∈ S được gọi là ngược nhau nếu aba = a và bab = b. (ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm ngược nếu mỗi phần tử của S đều có một phần tử ngược duy nhất. 1.3.2 Chú ý. (i) Giả sử S là một nửa nhóm và a ∈ S. Ký hiệu ( ) V a là tập hợp tất cả các phần tử ngược của a trong S. Thế thì S là nửa nhóm chính quy nếu ( ) V a ≠ ∅ với mỗi a ∈ S. Hơn nữa S là nửa nhóm ngược nếu ( ) 1V a = , ∀a ∈ S. (ii). Giả sử S là một nửa nhóm ngược và a ∈ S. Khi đó phần tử ngược duy nhất của a trong S được ký hiệu bởi 1 a − . Thế thì ( ) 1 Saa E − ∈ và ( ) 1 Sa a E − ∈ . Hơn nữa, ∀a, b ∈ S ta có ( ) 1 1 a a − − = và ( ) 1 1 1 ab b a − − − = . 10