Về các nửa nhóm giao hoán hấp thụ cấp hai và ứng dụng

1 B        V CÁC NA NHÓM GIAO HOÁN HP TH CP HAI VÀ NG DNG LUC    2014 2 B        V CÁC NA NHÓM GIAO HOÁN HP TH CP HAI VÀ NG DNG LUC   :             : 60 46 01 04          PGS.TS. LÊ QU      2014 3 MC LC Trang M U 1 Chương 1. A NH 3 a nhóm 3 1.2  ti tiu và na nhóm 0 -  4 1.3 Na nhóm 0   7 A NHÓM GIAO HOÁN HP TH CP HAI VÀ NG DNG 14 2.1 Na nhóm giao hoán hp th cp hai 14 2.2 Tính hp th ca na nhóm nhân trong vành giao hoán 19 2.3 V các vành hp th cp n và hp th cp n mnh 24 KT LUN 27  28 4 M U 2007, A.            sau:  R          321 ,, rrr ca R sao cho 1 2 3 0rr r  tn ti   , 1,2,3ij , ij tho mãn   .0 ij rr  cu trúc ca lp vành này và chng t c rng mt vành R là hp th cp hai nu và ch ni v 321 ,, III tu ý ca R sao cho 0 321 III , tn ti   , 1,2,3ij , ji  tho mãn 0.  ji II    y, vành hp th cp hai có th  thut ng  Trong bài báo On 2  absorbing commutative semigroups and their applications to ring  A.Yousefian Darani và E. R. ng t rng: nu S là na nhóm vi phn t u kin    và     A.Yousefian Darani và E. R. Puczylowski gi na nhóm tho u kin    là na nhóm hp th cp hai và na nhóm tho u kin    là na nhóm hp th cp hai mnh. A.Yousefian Darani và E. R.  c rng, trong mt vành giao hoán R thì tính hp th cp hai và tính hp th cp hai mnh ca na nhóm nhân   SR  i tính hp th ca vành R . Lua chúng tôi da trên bài báo trê tìm hiu các na nhóm hp th cp hai và các ng dng ca nó trong vic mô t mt s lp vành. Ngoài phn m u, kt lun và tài liu tham kho, lu   thng các kin thc v a   cho vi 5 a nhóm hp th cp hai và ng dng trình bày các khái nim và các tính cht ca na nhóm hp th cp hai và na nhóm hp th cp hai mnh. T  hiu mi liên h gia tính hp th cp hai và hp th cp hai mnh ca mt vành giao hoán R . h  chân thành và  .  Toán  cho tôi trong .                      Ngh  Tác gi 6 1. A NHÓM  1.1. trên na nhóm 1.1.1.  Gi s S là mt tp con khác rng ca n (i) I c gi là mt  ng, phi) ca S nu SI I ng, SII  ). (ii) I c gi là  ca S nu I v phi. T 1.1.1 suy ra nu S là na nhóm vi phn t không 0 thì mi a S u cha không 0. 1.1.2 M. Giao ca h a na nhóm S , nu khác rng, là ma na nhóm S . Chú ý rng nu S cha phn t  rng, vì nó cha 0. 1.1.3. . Gi s X là mt tp con khác rng ca na nhóm S . Khi a tt c a S cha X là ma S .  nh nht ca S cha X c gi là i X . Ký hiu X . Nu X ch cha mt phn t Sa i X c gi là  chính sinh bi a c ký hiu bi a . 1.1.4. iu. Gi s I là ma S . T mt quan h I  trên S nh bi Is I I id      là I xy  nu và ch nu ,x y I hoc xy  I  là mng trên S c gi là ng Rees trên S nh b I . N   I S  s c ký hiu bi S I   c gi là ees ca S theo modulo I . Rõ ràng S I có mt phn t là I và các phn t khác   x , vi \x S I  n ký hing nht phn t   I xx   vi phn t \x S I . Tích các phn t ees 7  x y xy vi Iyx , và Ix I xI vi mi xS  I là phn t không ca nhóm ca na nhó S I . 1.1.5. . Gi s S là mt n L , R, J  S : a L 11 b S a S b a R 11 b aS bS a J 1 1 1 1 b S aS S bS  1 Sa , 1 aS , 11 S aS ng là các  chính phi a S sinh bi a c RL = LRt D = L R (=R L ) và H = L  R. Th thì L, R, J, D và H là các quan h   S c gi là các quan h Green trên na nhóm S . Vi mi aS , ký hiu L - li L a vy, các R - lp, J - lp, D - lp hay H - lp cha a c ký hiu bi R a , J a và D a hay H a 1.2.  ti tiu và na nhóm 0   1.2.1. . Gi s S là na nhóm vi phn t  (i) M     i) M ca na nhóm S c gi là i) 0  ti tiu nu 0M  phi) duy nht ca S tht s cha trong M . (ii) S c gi là na nhóm 0    i) nu 2 0S  i) thc s duy nht ca S . Ta nhc li rng na nhóm S vi phn t c gi là na nhóm vi phép nhân không nu tích ca hai phn t tu ý ca nó bng 0. T  nu M  ti tiu ca S thì 2 MM hoc M là na nhóm vi phép nhân a, giao c ti tiu bt k ca na nhóm S bng 0 . 8 Na nhóm S c gi là ni) nu S không chc s hai phía (trái, phng t rng mi na nhóm 0  c t na nhóm 0  i bng cách ghép thêm phn t không. nh lý. Nu S là mt na nhóm 0  i (trái) thì \0S là mt ni (trái) ca S . Chng minh. Tc ht ta chng minh rng \0S là mt na nhóm con ca S  S không chc thc s ca không. Gi thit trái li rng , \ 0a b S  .0ab . Tp tt c các xS mà .0ax là mi ca S cha tp con   0, 0b  i trùng vi S    0,a là mi khác không ca S    0,aS . Th thì 2 0S  , trái vi gi thit S là na nhóm 0  i. Ta chng t na nhóm \0S i. Gi s R là mi ca \0S . Vì R  nên     00R    0RS  \0RS  Kt qu ng t rng gia các na nhóm 0  a nhóm n t 0 có nhng khác bit sâu sc. nh lý. Gi s S là na nhóm vi phn t 0 sao cho   0S   S là na nhóm 0   khi SaS S i vi 0a  thuc S . Chng minh. Gi thit rng S na nhóm 0   s B là tp tt c các phn t bS sao cho 0SbS   B là ma S  BS hoc 0B  ng hp th nht BS không x 3 0S  , trong khi  2 SS nên 32 S S S    0B     0SaS  vi mi 0a  thuc S . o li , gi thit rng SaS S i mi 0a  thuc S . Gi s A là ma S và gi s a là mt phn t khác không ca A .  S SaS SAS A  AS . Vì 0S  theo gi thit nên S cha phn t 0a  . T quan h bao hàm 2 A SaS S suy ra 2 0S  và do  S là na nhóm 0   9 Bây gi ta trình bày mt s kt qu  ti tiu và na nhóm 0   nh lý. Gi s M êan (hai phía) 0  ti tiu ca mt na nhóm S vi phn t c 2 0M  hoc M là na nhóm con 0  a S . Chng minh. Gi thit rng 2 0M   2 MM . Gi s ,0a M a . Vì 11 S aS là mca S cha trong M nên 11 S aS M . Do  3 1 1 M M MS aS M MaM M . T  MaM M và na nhóm M là na nhóm 0  nh lý 1.2.2. Chú ý rng nu A và B a mt na nhóm S thì AB B và AB A , t  S không cha quá mi tiu hai phía. Nu S có mi tiu hai phía K thì K c gi là ht nhân ca S . Vì K c cha trong ma S nên K là giao ca m hai phía ca S . Nng thì S không có ht nhân, ng hy ra chng hi vi na nhóm xyclic vô ha mi na nhóm hu hn u có ht nhân. T nh lý 1.2.4 trc tip suy ra 1.2.5. H qu. Nu na nhóm S cha ht nhân K thì K là n ca S. nh lý. Gi s S là mt na nhóm vi phn t 0 và M là m ti tiu ca nó cha ít nht m trái 0  ti tiu ca S  M là hp ca tt c  ti tiu ca S cha trong M  Chng minh. Gi s A là hp ca tt c  ti tiu ca S cha trong M . Ta chng t rng AM . Rõ ràng A là ma S  chng minh A là mi ca S , ta gi s ,a A c S   nh a A , aL  L là m ti tiu ca S cha trong M . Th thì 0Lc  hoc Lc     ti tiu ca S   a Lc Mc M và bi vy Lc A  ;0ac A A vì M cha ít nht mt  ti tiu ca S . T  A a A cha trong M nên AM do tính 0  ti tiu ca M . 10 1.2.7. nh lý. Gi s M là m ti tiu ca na nhóm S vi phn t 0 sao cho 2 0M  . Gi thit rng M cha ít nht m ti tiu ca S . a M a S . Chng minh. Gi s L là ma M và \0aL . Khi  0Ma  . Thc vy, na nhóm M là 0  nh lý 1.2.6, vì vy MaM M theo nh lý 1.2.3.  nh lý 1.2.6, tn ti m     ti tiu 0 L ca S sao cho 0 a L M . Vì Ma là m khác không ca S cha trong 0 L nên ta kt lun rng 0 Ma L  c bit a Ma      \L Ma a L   . p ca S a S . 1.3. Na nhóm 0    Mt quan h hai ngôi  trên mt tp X c gi là mt quan h th t nu tho mãn u kin: i)  phn x aa vi mi aX ; ii/  phi x ab và ba kéo theo ab ; iii)  bc cà ab và bc kéo theo ac . 1.3.2. Ví d. Gi s E là tp hp tt c các lu ng ca na nhóm S  quan h  cho bi ef nu và ch nu eef f e là mt quan h th t trên E . Tht vy, vì 2 ee nên ee ,    phn x. Gi s ef và fe  f=fe=ee và =ffe ef nên e=f , vy  phi xng. Cui cùng, nu ef và fg thì ef fe e và fg gf f nên     eg ef g e fg ef e        ge g fe gf e fe e     eg nên  bc cu. Ta gi  là th t nhiên trên E . [...]... R là một vành giao hoán và S  R  là nửa nhóm nhân ̣ của R Khi đó các điề u kiê ̣n sau tương đương: (i) R là vành hấp thụ cấp hai; (ii) S  R  là nửa nhóm hấp thụ cấp hai; (iii) S  R  là nửa nhóm hấp thụ cấp hai mạnh; (iv) Đối với các iđêan I1 , I 2 , I 3 tùy ý của R thỏa mãn I1I 2 I 3  0 tồn tại i, j 1,2,3, i  j sao cho I i I j  0 Chưng minh Từ đinh nghia suy ra (i) và (ii) tương... niệm nửa nhóm hấp thụ cấp hai và nửa nhóm hấ p thu ̣ cấ p hai ma ̣nh , các đặc trưng của nửa nhóm hấp thụ cấp hai mạnh (Mê ̣nh đề 2.1.7, Đinh lý 2.1.9, Đinh lý 2.1.10) ̣ ̣ 3 Tìm hiểu mối liên hệ giữa tính hấp thụ cấp hai của vành R và nửa nhóm nhân S  R  của nó (Đinh lý 2.2.5, Đinh lý 2.2.8, Đinh lý ̣ ̣ ̣ 2.2.9) 4 Trình bày mô ̣t điề u kiê ̣n để mô ̣t vành hấ p thu ̣ cấ p n là vành hấp. .. ̣n đề u là nửa nhóm tuần hoàn Do đó từ Đinh lý 1.3.14 trực tiế p suy ra ̣ 1.3.15 Hê ̣ quả Mọi nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn (đặc biê ̣t, mọi nửa nhóm 0 – đơn hữu hạn) đều là nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn 17 ̉ ́ Chƣơng 2 NƢA NHOM GIAO HOÁN HẤP THỤ CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Nƣ̉a nhóm giao hoán hấ p thụ cấp hai Các nửa nhóm được xé t trong tiế t này là nửa nhóm giao hoán với phầ... w j  I Từ đó S là nửa nhóm hấp thụ cấp hai Bây giờ x, y y, z z, x  I nhưng không mô ̣t tich nào của hai iđêan trong các iđêan ́ x, y , y, z , z, x đươ ̣c chứa trong I , vì vậy S không phải là nửa nhóm hấ p thụ cấp hai mạnh Sau đây là mô ̣t đă ̣c trưng của nửa nhóm hấ p thu ̣ cấ p hai ma ̣nh 2.1.7 Mênh đề Nửa nhóm S là nửa nhóm hấp thụ cấp hai mạnh nếu và chỉ ̣ nế u đố i với... hoă ̣c I1I 3  0 Điề u đó chứng tỏ rằ ng S là nửa nhóm hấp thụ cấp hai mạnh.□ 2.1.10 Đinh lý Giả sử S là nửa nhóm giao hoán với phần tử không Thế thì ̣ S là nửa nhóm hấp thụ cấp hai mạnh nếu và chỉ nế u các điề u kiê ̣n sau được thỏa mãn: (i) Đối với mỗi tập con X của N  S  , ann  X  là một iđêan nguyên tố của S ; (ii) Một trong hai điề u kiê ̣n sau đây đúng: (a) N  S  là iđêan... G ) thì khẳng định ngược lại cũng đúng 2.2.9 Đinh lý Giả thiết rằng R là một vành G – phân bậc với G là nhóm ̣ Aben phi xoắ n Nế u Sh  R  là nửa nhóm hấp thụ cấp hai , thế thì R là vành hấ p thụ cấ p hai (hay tương đương, Sh  R  là nửa nhóm hấp thụ cấp hai) Chưng minh Vì G là nhóm Aben phi xoắn nên một iđêa n thuầ n nhấ t của R ́ nguyên tố nế u và chỉ nế u nó là iđêan nguyên... một nửa nhóm và  là thứ tự tự nhiên trên E , tập các luỹ đẳng của S Nếu S chứa phần tử 0 thì 0  e với mỗi e  E Luỹ đẳng f được gọi là luỹ đẳng nguyên thuỷ nếu f  0 và nếu e  f kéo theo e  0 hoặc e f (ii) Nửa nhóm S với phần tử 0 được gọi là nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn nếu S là nửa nhóm 0 – đơn và chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ 1.3.4 Ví dụ Nếu S là nửa nhóm 0 – đơn hữu hạn thì S là nửa nhóm. .. nhóm nhân trong vành giao hoán 2.2.1 Đinh nghia Mô ̣t vành giao hoán R gọi là vành hấp thụ cấp hai nế u ̣ ̃ đối với các phầ n tử tùy ý của R sao cho rr2 r3  0 tồ n ta ̣i i, j 1,2,3, i  j 1 với rrj  0 i Trong [3] đã mô tả cấ u trúc của các vành này và áp du ̣ng các kế t quả nhâ ̣n đươ ̣c để chứng tỏ rằ ng mô ̣t vành R là vành hấp thụ cấp hai nếu và chỉ 23 nế u... 1,2,3, i  j thỏa mãn I i I j  0 Như vâ ̣y, có thể định nghĩa vành hấp thụ cấp hai theo thuật ngữ iđêan (thay cho thuâ ̣t ngữ Đinh nghia 2.2.1) ̣ ̃ “phầ n tử” như trong Trong tiế t này, R là vành giao hoán và S  R  là nửa nhóm nhân của R 2.2.2 Bổ đề Giả sử A là một nửa nhóm con của nhóm cộng  R,   và X ,Y là các tập hợp con của R sao cho đố i với mỗi a  A, aX  0 hoặc... vị nhóm giao hoán với phần tử không là 0; ii) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm; iv) r.0  0  0.r với mọi r  R Nếu điều kiện (i) thay bởi điều kiện chặc hơn: “ cùng với phép cộng là một nhóm Aben” thì nửa vành R trở thành một vành Phép chứng minh trên cũng có thể áp dụng cho trường hợp R là nửa vành Chúng ta có thể kiểm tra được rằng tất cả các kết quả sau cũng đúng đối với các nửa . a nhóm 3 1.2  ti tiu và na nhóm 0 -  4 1.3 Na nhóm 0   7 A NHÓM GIAO HOÁN HP TH CP HAI VÀ NG DNG 14 2.1 Na nhóm giao hoán hp th cp hai. khái nim và các tính cht ca na nhóm hp th cp hai và na nhóm hp th cp hai mnh. T  hiu mi liên h gia tính hp th cp hai và hp th cp hai mnh ca mt vành giao hoán R . na nhóm hp th cp hai và na nhóm tho u kin    là na nhóm hp th cp hai mnh. A.Yousefian Darani và E. R.  c rng, trong mt vành giao hoán