Về các nửa nhóm số arf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN TÂN VỀ CÁC NỬA NHÓM SỐ Arf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN TÂN VỀ CÁC NỬA NHÓM SỐ Arf Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.LÊ QUỐC HÁN Nghệ An - 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC 1 LỜI NÓI ĐẦU 2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Nửa vành các số tự nhiên. Vành các số nguyên 5 1.2 Đồ thị và cây 11 CHƯƠNG 2. NỬA NHÓM SỐ Arf 16 2.1. Hệ Arf các phần tử sinh 16 2.2. Cây nhị nguyên của nửa nhóm số Arf 21 2.3. Tính bao đóng Arf của một số nửa nhóm số cho trước 26 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 LỜI NÓI ĐẦU Một  S là một tập con của nửa nhóm cộng các số tự nhiên N đóng dưới phép cộng, 0 ∈ S và S sinh ra nhóm cộng các số nguyên Z như một nhóm. Mặc dù ý tưởng nghiên cứu về các nửa nhóm số đã được hình thành vào năm 1884 bởi Sylvester, Frobenius và sau đó vào năm 1942 bởi Brauer, nhưng mãi đến 1987 mới được các tác giả Fröberg, Gottlieb và Häggkvit đề xuất nghiên cứu một cách có hệ thống (xem [7]). Từ đó đến nay đã xuất hiện nhiều hướng nghiên cứu về tính chất của nửa nhóm số. Một trong những hướng nghiên cứu được nhiều tác giả quan tâm là dựa trên tính chất của vành Arf (xem [5]) để đề xuất khái niệm về nửa nhóm số Arf: Một nửa nhóm số S được gọi là  nếu đối với mỗi bộ ba phần tử x, y, z ∈ S sao cho x ≥ y ≥ z thì x + y – z ∈ S. Để tìm hiểu lớp nửa nhóm này, luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo “Arf numerical semiroups” đăng trên Journal of Algebra số 276 năm 2004 ([9]). Ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn chia làm hai chương như sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về vành số nguyên và nửa vành các số tự nhiên, lý thuyết đồ thị liên quan đến cây và cây – từ. Chương 2. Nửa nhóm số Arf Đây là nội dung chính của luận văn. Tiết 1.  Trong tiết này chúng tôi trình bày nửa nhóm số, nửa nhóm số Arf, hệ Arf các phần tử sinh và chứng minh tính duy nhất của hệ sinh Arf tối tiểu của nửa nhóm số Arf. Tiết 2.  Trong tiết này chúng tôi trình bày khái niệm cây nhị nguyên và chứng tỏ rằng cây của nửa nhóm số Arf là cây nhị nguyên (Định lý 2.2.10). Tiết 3.  !"#"  $ % & " % "'(  Trong tiết này chúng tôi trình bày thuật toán tính bao đóng Arf của một số nửa nhóm số cho trước Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Quốc Hán, người đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả biết ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toa ́ n, Pho ̀ ng Đa ̀ o ta ̣ o Sau Đại học cũng như các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã tạo điều kiện giúp đỡ và hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. 3 Mặc dù đã cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báo của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Nghệ An, tháng 10 năm 2012 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. NỬA VÀNH CÁC SỐ TỰ NHIÊN, VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN 1.1.1. Tập hợp tương đương. Bản số Giả sử  và ) là hai tập hợp. Khi đó ta nói rằng  '(#'( với ) nếu tồn tại một song ánh từ  lên ). Khi hai tập hợp  và ) tương đương với nhau thì nói rằng chúng có * +,-,'. hay *+!/ Bản số của tập hợp  được ký hiệu bởi c012. Giữa các bản số ta định nghĩa quan hệ 3 như sau: Giả sử  và ! là những bản số. Gọi  và ) là các tập hợp sao cho 0124501)24!. Khi đó 3! nếu và chỉ nếu  tương đương với một tập con của ). Một tập hợp không tương đương với bất kỳ một tập con thật sự nào của nó được gọi là một 6.78. Một tập hợp không phải là tập hợp hữu hạn được gọi là 6.9%8. 1.1.2. Tập hợp các số tự nhiên Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là +-. Tập hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu bởi N . Vì tập hợp các số tự nhiên N là một tập hợp những bản số, do đó N cùng với quan hệ thứ tự ≤ đã xác định giữa các bản số trong 1.1.1 cũng được áp dụng cho N . Với quan hệ thứ tự đó, N là một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần. phần tử nhỏ nhất của ( N , ≤ ) là 0, trong đó 0 là bản số của tập rỗng. Giả sử x, y là các số tự nhiên với x ≤ y. Gọi Y là tập hợp mà card(Y) = y, khi đó tồn tại tập con X của Y sao cho card(X) = x. Thế thì y được gọi là :;  của x nếu và chỉ nếu card(Y – X) = 1. Nếu y là số kề sau x thì ta du ̀ ng ký hiệu y = x +1. Mệnh đề sau đây thường được gọi là #;<8= Giả sử M là một tập con của N thỏa mãn hai điều kiện (i) 0 ∈ M, (ii) Nếu x ∈ M thì x + 1 ∈ M. Khi đó M = N. Từ tiên đề qui nạp người ta đưa ra lược đồ về phép chứng minh quy nạp dựa trên hệ quả sau: Giả sử τ (n) là một khă ̉ ng đi ̣ nh nào đó phụ thuộc vào số tự nhiên n thỏa mãn hai điều kiện (i) τ (0) đúng, (ii) Nếu τ(n) đúng thì τ(n+1) đúng. Khi đó τ(n) đúng với mọi số tự nhiên n, nghĩa là ∀n τ(n) là một định lý. Tập hợp số tự nhiên N là một tập hợp vô hạn. Bản số của tập hợp N được gọi là ,-,'.#>#'.. Tập hợp ( N , ≤ ) là một tập sắp thứ tự tốt, nghĩa là mọi bộ phận khác rỗng của ( N , ≤) đều có số bé nhất. 6 Tập hợp s n = {x ∈ N / x < n } được gọi là đoạn n số tự nhiên đầu tiên hay đơn giản là #"8# s n . Ta có card (s n ) = n. 1.1.3. Vị nhóm cộng các số tự nhiên Vì hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hữu hạn, nên ta có thể xây dựng được phép toán hai ngôi trên N như sau. Phép toán N × N → N đặt tương ứng (a, b) với card ( A ∪ B), trong đó A, B là các tập con của N thỏa mãn card(A) = a, card (B) = b, A ∩ B = ∅ được gọi là ?+ các số tự nhiên. Khi đó card( A ∪ B) gọi là @ của a và b và được ký hiệu bởi a + b. Với phép cộng được định nghĩa như trên, N trở thành một vị nhóm giao hoán với phần tử trung lập là 0. Hơn nữa, nếu a, b là các số tự nhiên thỏa mãn a ≤ b thì a + c ≤ b + c với mọi c ∈ N . Ta nói rằng quan hệ thứ tự ≤ xác định như trên tương thích với phép cộng các số tự nhiên và ( N , +, ≤) là một  AB- 1.1.4. Vị nhóm nhân các số tự nhiên Vì tích Đề các của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn, nên ta có thể xây dựng được phép toán hai ngôi trên N như sau. Phép toán N × N → N đặt tương ứng (a, b) với card ( A × B), trong đó A, B là các tập con của N thỏa mãn card(A) = a, card (B) = b, A ∩ B = ∅ được gọi là ? các số tự nhiên. Khi đó card(A × B) gọi là C của  và ! và được ký hiệu bởi ! 7 Với phép nhân được định nghĩa như trên, N trở thành một vị nhóm giao hoán với đơn vị là 1. Ký hiệu N * là tập hợp tất cả các số tự nhiên khác không, khi đó N * là vị nhóm con của vị nhóm nhân N , hơn nữa ( N , . , ≤) và ( N * , . , ≤) là các vị nhóm sắp thứ tự được (Nghĩa là từ a ≤ b suy ra 3! với mọi  ∈ N ). 1.1.5. Nửa vành các số tự nhiên N Ta co ́ ( N , +) la ̀ mô ̣ t nư ̉ a nho ́ m, ( N , .) la ̀ mô ̣ t nư ̉ a nho ́ m va ̀ phép nhân trên N phân phối đối với phép cộng, nên ( N , +, . ) là một nửa vành. Nửa vành này giao hoán với đơn vị và có phần tử không, hơn nữa nó được sắp thứ tự bởi quan hệ ≤ xác định như trong 1.1.1. 1.1.6. Vành các số nguyên DE Z là vành cực tiểu chứa nư ̉ a vành các số tự nhiên N như một nư ̉ a vành con, nghĩa là các phép toán cộng và nhân trong Z thu hẹp trên N trùng với phép cộng và phép nhân đã xác định trong N . Vành các số nguyên Z là một miền nguyên có lực lượng đếm được. Trên Z xác định quan hệ thứ tự ≤ cho bởi x ≤ y (x, y ∈ Z ) nếu và chỉ nếu y – x ∈ N . Thế thì Z trở thành 9EAB-5 nghĩa là thỏa mãn hai điều kiện: (i) Nếu x ≤ y thì x + z ≤ y + z , ∀z ∈ Z , (ii) Nếu 0 ≤ x và 0 ≤ y thì 0 ≤ xy. 8