Về các nửa nhóm số arf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN TÂN VỀ CÁC NỬA NHÓM SỐ Arf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN TÂN VỀ CÁC NỬA NHÓM SỐ Arf Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS.LÊ QUỐC HÁN Nghệ An - 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa vành số tự nhiên Vành số nguyên 1.2 Đồ thị 11 CHƢƠNG NỬA NHÓM SỐ Arf 16 2.1 Hệ Arf phần tử sinh 16 2.2 Cây nhị nguyên nửa nhóm số Arf 21 2.3 Tính bao đóng Arf số nửa nhóm số cho trƣớc 26 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 LỜI NÓI ĐẦU Một nửa nhóm số S tập nửa nhóm cộng số tự nhiên N đóng dƣới phép cộng,  S S sinh nhóm cộng số nguyên Z nhƣ nhóm Mặc dù ý tƣởng nghiên cứu nửa nhóm số đƣợc hình thành vào năm 1884 Sylvester, Frobenius sau vào năm 1942 Brauer, nhƣng đến 1987 đƣợc tác giả Fröberg, Gottlieb Häggkvit đề xuất nghiên cứu cách có hệ thống (xem [7]) Từ đến xuất nhiều hƣớng nghiên cứu tính chất nửa nhóm số Một hƣớng nghiên cứu đƣợc nhiều tác giả quan tâm dựa tính chất vành Arf (xem [5]) để đề xuất khái niệm nửa nhóm số Arf: Một nửa nhóm số S đƣợc gọi nửa nhóm Arf ba phần tử x, y, z  S cho x ≥ y ≥ z x + y – z  S Để tìm hiểu lớp nửa nhóm này, luận văn dựa báo “Arf numerical semiroups” đăng Journal of Algebra số 276 năm 2004 ([9]) Ngồi lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo kết luận, luận văn chia làm hai chƣơng nhƣ sau: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Trong chƣơng chúng tơi trình bày kiến thức sở vành số nguyên nửa vành số tự nhiên, lý thuyết đồ thị liên quan đến – từ Chƣơng Nửa nhóm số Arf Đây nội dung luận văn Tiết Hệ phần tử sinh Trong tiết chúng tơi trình bày nửa nhóm số, nửa nhóm số Arf, hệ Arf phần tử sinh chứng minh tính hệ sinh Arf tối tiểu nửa nhóm số Arf Tiết Cây nhị nguyên nửa nhóm số Arf Trong tiết chúng tơi trình bày khái niệm nhị nguyên chứng tỏ nửa nhóm số Arf nhị nguyên (Định lý 2.2.10) Tiết nh ao óng m t nhóm số cho tr c Trong tiết chúng tơi trình bày thuật tốn tính bao đóng Arf số nửa nhóm số cho trƣớc Luận văn đƣợc thực hoàn thành Trƣờng Đại học Vinh Nhân dịp tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Quốc Hán, ngƣời hƣớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Tác giả biết ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, Phịng Đào tạo Sau Đại học nhƣ thầy giáo, cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số tạo điều kiện giúp đỡ hƣớng dẫn tác giả trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đƣợc đóng góp quý báo thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 10 năm 2012 CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 NỬA VÀNH CÁC SỐ TỰ NHIÊN, VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN 1.1.1 Tập hợp tƣơng đƣơng Bản số Giả sử A B hai tập hợp Khi ta nói A t ơng ơng với B tồn song ánh từ A lên B Khi hai tập hợp A B tƣơng đƣơng với nói chúng có m t lực l ợng hay m t ản số Bản số tập hợp A đƣợc ký hiệu card(A) Giữa số ta định nghĩa quan hệ ≤ nhƣ sau: Giả sử a b số Gọi A B tập hợp cho card(A) = a, card(B) = b Khi a≤ A tƣơng đƣơng với tập B Một tập hợp không tƣơng đƣơng với tập thật đƣợc gọi tập hợp hữu hạn Một tập hợp tập hợp hữu hạn đƣợc gọi tập hợp vô hạn 1.1.2 Tập hợp số tự nhiên Bản số tập hợp hữu hạn đƣợc gọi m t số tự nhiên Tập hợp tất số tự nhiên đƣợc ký hiệu N Vì tập hợp số tự nhiên N tập hợp số, N với quan hệ thứ tự ≤ xác định số 1.1.1 đƣợc áp dụng cho N Với quan hệ thứ tự đó, N tập hợp đƣợc thứ tự toàn phần phần tử nhỏ ( N , ≤ ) 0, số tập rỗng Giả sử x, y số tự nhiên với x ≤ y Gọi Y tập hợp mà card(Y) = y, tồn tập X Y cho card(X) = x Thế y đƣợc gọi số kề sau x card(Y – X) = Nếu y số kề sau x ta dùng ký hiệu y = x +1 Mệnh đề sau thƣờng đƣợc gọi iên ề quy nạp: Giả sử M tập N thỏa mãn hai điều kiện (i)  M, (ii) Nếu x  M x +  M Khi M = N Từ tiên đề qui nạp ngƣời ta đƣa lƣợc đồ phép chứng minh quy nạp dựa hệ sau: Giả sử  (n) kh ng định phụ thuộc vào số tự nhiên n thỏa mãn hai điều kiện (i)  (0) đúng, (ii) Nếu (n) (n+1) Khi (n) với số tự nhiên n, nghĩa n (n) định lý Tập hợp số tự nhiên N tập hợp vô hạn Bản số tập hợp N đƣợc gọi lực l ợng ếm ợc Tập hợp ( N , ≤ ) tập thứ tự tốt, nghĩa phận khác rỗng ( N , ≤) có số bé Tập hợp sn = {x  N / x < n } đƣợc gọi đoạn n số tự nhiên hay đơn giản oạn ầu sn Ta có card (s n) = n 1.1.3 Vị nhóm cộng số tự nhiên Vì hợp hai tập hợp hữu hạn tập hữu hạn, nên ta xây dựng đƣợc phép tốn hai ngơi N nhƣ sau Phép toán N  N  N đặt tƣơng ứng (a, b) với card ( A  B), A, B tập N thỏa mãn card(A) = a, card (B) = b, A  B =  đƣợc gọi phép c ng số tự nhiên Khi card( A  B) gọi tổng a b đƣợc ký hiệu a + b Với phép cộng đƣợc định nghĩa nhƣ trên, N trở thành vị nhóm giao hốn với phần tử trung lập Hơn nữa, a, b số tự nhiên thỏa mãn a ≤ b a + c ≤ b + c với c  N Ta nói quan hệ thứ tự ≤ xác định nhƣ tƣơng thích với phép cộng số tự nhiên ( N , +, ≤) nửa nhóm thứ tự 1.1.4 Vị nhóm nhân số tự nhiên Vì tích Đề hai tập hợp hữu hạn tập hợp hữu hạn, nên ta xây dựng đƣợc phép tốn hai ngơi N nhƣ sau Phép toán N  N  N đặt tƣơng ứng (a, b) với card ( A  B), A, B tập N thỏa mãn card(A) = a, card (B) = b, A  B =  đƣợc gọi phép nhân số tự nhiên Khi card(A  B) gọi t ch a b đƣợc ký hiệu ab Với phép nhân đƣợc định nghĩa nhƣ trên, N trở thành vị nhóm giao hốn với đơn vị Ký hiệu N * tập hợp tất số tự nhiên khác khơng, N * vị nhóm vị nhóm nhân N , ( N , , ≤) ( N *, , ≤) vị nhóm thứ tự đƣợc (Nghĩa từ a ≤ b suy ac ≤ c với c  N ) 1.1.5 Nửa vành số tự nhiên N Ta có ( N , +) nửa nhóm, ( N , ) nửa nhóm phép nhân N phân phối phép cộng, nên ( N , +, ) nửa vành Nửa vành giao hốn với đơn vị có phần tử khơng, đƣợc thứ tự quan hệ ≤ xác định nhƣ 1.1.1 1.1.6 Vành số nguyên Vành số nguyên Z vành cực tiểu chứa nửa vành số tự nhiên N nhƣ nửa vành con, nghĩa phép toán cộng nhân Z thu hẹp N trùng với phép cộng phép nhân xác định N Vành số nguyên Z miền nguyên có lực lƣợng đếm đƣợc Trên Z xác định quan hệ thứ tự ≤ cho x ≤ y (x, y  Z ) y – x  N Thế Z trở thành vành thứ tự, nghĩa thỏa mãn hai điều kiện: (i) Nếu x ≤ y x + z ≤ y + z , z  Z , (ii) Nếu ≤ x ≤ y ≤ xy 18 Rõ ràng cho trƣớc tập A  N với gcd (A) = l Arf (A) phải chứa tất phần tử dạng x + y - z với x, y, z  x ≥ y ≥ z 2.1.5 Mệnh đề Giả sử S m t vị nhóm N hế S’ = {x + y - z | x, y, z  S, x ≥ y ≥ z} m t vị nhóm N S  S’ Chứng minh Giả sử x  S Thế x + x - x  S’ nên S  S’ Rõ ràng S’ N theo định nghĩa S’ Giả sử a, b  S’ Khi tồn x1, x2, y1, y2, z 1, z  S, thỏa xi ≥ yi ≥ z i, i {l, 2} a = x1 + y1 - z1, b = x2 + y2 – z2 Khi a + b = (x1 + x2) + (y1 + y2) - (z1 + z2) Vì S vị nhóm N nên x1 + x2, y1 + y2, z + z2  S x1 + x2 ≥ y1 + y2 ≥ z + z Từ a + b  S’ S’ vị nhóm N (Chú ý  S S  S’ nên  S’) ✷ 2.1.6 Ký hiệu Giả sử S vị nhóm N n  N Ký hiệu : • S0 = S, • Sn+1 = (Sn )’ 2.1.7 Mệnh đề Giả sử S m t nửa nhóm số hế tồn k  N cho Sk = Arf (S) Chứng minh Bằng qui nạp theo n, ta chứng minh đƣợc Sn  Arf (S) với n  N Theo Mệnh đề 2.1.5, S n  Sn+1 S  Sn với n  N Nhƣ ý trên, số nửa nhóm số chứa S hữu hạn, từ S k = Sk+1 với k  N Rõ ràng Sk nửa nhóm số Arf Sk  Arf (S), Arf (S) nửa nhóm số nhỏ chứa S, nên Sk = Arf (S) ✷ 19 Để chứng minh hệ Arf phần tử sinh tối tiểu nhất, trƣớc hết cần chứng minh hệ Arf phần tử sinh phải chứa bội nửa nhóm 2.1.8 Mệnh đề Giả sử S m t nửa nhóm số Arf A m t hệ Arf phần tử sinh S m (S)  A Chứng minh Đối với x, y, z  S \ {m (S)} với x ≥ y ≥ z, ta nhận đƣợc x + y - z  S \ {m (S)}, từ S \ {m (S)} nửa nhóm số Arf Nếu m (S)  A, Arf (A)  Arf (S \ {m (S)}) = S \ {m (S)} ≠ S, mâu thuẫn giả thiết Arf (A) = S ✷ Chúng ta biết nửa nhóm số cho trƣớc S = , tồn k  N cho S k = Arf (A) Nói riêng điều kéo theo phần tử thuộc Arf (A) biểu diễn đƣợc dƣới dạng tổ hợp tuyến tính với hệ số nguyên phần tử A Tiếp theo chứng minh s  Arf (A), phần tử sinh xuất biểu diễn tùy ý S phải nhỏ s 2.1.9 Bổ đề Giả sử S m t nửa nhóm số A m t hệ Arf phần tử sinh S Đối v i s  S, ặt B (s) = {a  A | a ≤ s} Nếu s  n s  n Chứng minh Chúng ta chứng minh quy nạp theo n Đối với n = 0, kết rõ ràng theo định nghĩa B(s) Bây giả thiết kết với số tự nhiên n ta phải chứng minh với n + l Lấy s  n+1 Thế tồn x, y, z  n với x ≥ y ≥ z cho s = x + y - z Theo quy nạp, ta 20 có x  n, y  n, z  n Vì s = x + y - z x ≥ y ≥ z, có z ≤ y ≤ x ≤ s Từ B (z) B(y) B(x)  B(s) Suy x, y, z  n điều dẫn đến s = x + y - z  n+1✷ 2.1.10 Định lý Giả sử A B hai hệ sinh Arf tối tiểu m t nửa nhóm số Arf S hế A = B Chứng minh Giả thiết A = {n1 <