Dán các nửa nhóm số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN MỸ HẠNH DÁN CÁC NỬA NHÓM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI-2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ====== NGUYỄN MỸ HẠNH DÁN CÁC NỬA NHĨM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học: ThS ĐỖ VĂN KIÊN HÀ NỘI-2019 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô môn tổ Đại số thầy cô giảng dạy tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, tơi xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - ThS Đỗ Văn Kiên, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ bảo tận tình để tơi hồn thành khóa luận Do hạn chế thời gian, lực thân nên khóa luận tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè ln bên cạnh, ủng hộ, động viên tinh thần để tơi hồn thành khóa luận này! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Mỹ Hạnh Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Dán nửa nhóm số" cơng trình nghiên cứu cá nhân cố gắng, nỗ lực tìm hiểu với hướng dẫn tận tình thầy giáo - ThS Đỗ Văn Kiên Trong trình thực đề tài sử dụng số tài liệu tham khảo ghi rõ danh mục "Tài liệu tham khảo" Vì tơi xin cam đoan kết khóa luận hồn tồn trung thực không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Mỹ Hạnh Mục lục Lời mở đầu 1 Nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Tập Apéry 1.3 Số Frobenius số giả Frobenius 10 1.4 Phân loại nửa nhóm số 15 1.4.1 Nửa nhóm số đối xứng 15 1.4.2 Nửa nhóm số giả đối xứng 17 1.4.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng 21 Dán nửa nhóm số 24 2.1 Dán hai nửa nhóm số 24 2.2 Các kết 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh Lời mở đầu Lý chọn đề tài Vấn đề dán nửa nhóm số vấn đề vơ quan trọng đại số giao hốn hình học đại số Mục đích đề tài nghiên cứu tính chất loại nửa nhóm số thu cách dán hai nửa nhóm số tính giao đầy đủ, tính đối xứng hầu đối xứng Lịch sử nghiên cứu vấn đề Năm 2009 nửa nhóm số thu cách dán nửa nhóm số giới thiệu J.C Rosales García-Sánchez Các tính chất dán nửa nhóm số nhiều tác giả nghiên cứu J.C Rosales, García-Sánchez (2009) đưa điều kiện cần đủ để dán hai nửa nhóm số đối xứng H Nari (2013) đưa điều kiện cần để dán hai nửa nhóm số hầu đối xứng Takahiro Numata (2016) đưa đặc trưng cho dán hai nửa nhóm số hầu đối xứng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Quá trình nghiên cứu thực đề tài giúp bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học có hội tìm hiểu sâu đại số, đặc biệt số kiến thức sở nửa nhóm số, dán hai nửa nhóm số với tính chất đối xứng, hầu đối xứng dán hai nửa nhóm số Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu tài liệu có liên quan đến đề tài Tổng hợp, phân tích đánh giá, phát triển giải vấn đề Chương Nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức nửa nhóm số đặc trưng nửa nhóm số Hai tài liệu tham khảo sử dụng chương [4] cho mục nửa nhóm số, tập Apéry, số Frobenius, số giả Frobenius [2] cho mục phân loại nửa nhóm số Định nghĩa 1.1.1 Cho H tập N H gọi nửa nhóm số thỏa mãn điều kiện sau: i) ∈ H; ii) H + H ⊆ H; iii) |N\H| < ∞ Nếu {a1 , a2 , , an } hệ sinh tối tiểu H, tức không tồn aj ∈ {a1 , a2 , , an } cho aj = i=j ci , với ci ∈ N Khi ta kí hiệu H = a1 , a2 , , an Dễ thấy trường hợp H = {c1 a1 + c2 a2 + + cn an |c1 , c2 , , cn ∈ N} Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh Trong trường hợp H = a1 , a2 , , an điều kiện iii) định nghĩa 1.1.1 đặc trưng mệnh đề Mệnh đề 1.1.1 Cho n ∈ N, n H = a1 , a2 , , an Khi |N\H| < ∞ gcd(a1 , a2 , , an ) = Chứng minh • Điều kiện cần Giả sử |N\H| < ∞ Ta chứng minh gcd(a1 , a2 , , an ) = Đặt d = gcd(a1 , a2 , , an ) Với α ∈ H ta có α = n i=1 ci Do chia hết cho d nên α chia hết cho d Vì d > ∀n ∈ N, nd + khơng chia hết cho d Khi nd + ∈ / H, ∀n ∈ N Do tập N\H vô hạn, điều trái với giả thiết Vậy d = hay gcd(a1 , a2 , , an ) = • Điều kiện đủ Giả sử gcd(a1 , a2 , , an ) = Ta chứng minh |N\H| < ∞ phương pháp quy nạp +) Với n = 2: Giả sử H = a, b , gcd(a, b) = Nếu a = b = Chẳng hạn a = ∀n ∈ N ta có n = n.1 ∈ H Suy N ⊆ H suy N = H Khi N\H = ∅ nên |N\H| < ∞ Nếu < a < b Đầu tiên ta với m ∈ Z m có biểu diễn dạng m = ax + by, y < a Sự biểu diễn: Vì gcd(a, b) = nên tồn số u, v ∈ Z cho Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh au + bv = Suy m = amu + bmv = amu + b(aq + y) (0 y < a) = amu + abq + by = a(mu + bq) + by = ax + by Tính nhất: Giả sử m = ax + by = ax + by y, y < a Suy a(x − x ) = b(y − y) Ta có gcd(a, b) = nên a ước |y − y | Lại có |y − y | a − suy y = y Do x = x Vậy với m ∈ Z, m viết dạng m = ax + by, Từ m ∈ H x y < a Vậy nên số lớn không thuộc H phải a(−1) + b(a − 1) = ab − a − b Đặt c = (a − 1)(b − 1) ta có c − = ab − a − b số lớn không thuộc H Vậy với m |N\H| c m > c − suy m ∈ H Do c − +) Giả sử n > khẳng định với n−1 Đặt d = gcd(a1 , a2 , , an−1 ) a1 an−1 gcd , , = Theo giả thiết quy nạp, tồn m1 ∈ N d d cho với m m1 m∈ Suy với m a1 an−1 , , d d m1 md ∈ a1 , a2 , , an−1 Đặt c = dm1 + (d − 1)an + 1, ta chứng minh với m c m ∈ H Thật vậy, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh t ∈ H2 suy d1 s + d2 t ∈ d1 H1 + d2 H2 ⊆ H Gọi ω số dư d1 s + d2 t chia cho d1 d2 Khi tồn ω ∈ Ap(H, d1 d2 ) cho (d1 s + d2 t − ω) d1 d2 Suy tồn k cho d1 s + d2 t − ω = d1 d2 k (***) Ta có ω ∈ H nên n m αi d1 + ω= i=1 với αi , βj Đặt s = βj d2 bj j=1 n i=1 αi , t = m j=1 βj bj Ta có s −d2 ∈ / H1 s − d2 ∈ H1 d1 s − d1 d2 ∈ d1 H1 Khi ω − d1 d2 = (s d1 + t d2 ) − d1 d2 = d1 s − d1 d2 + t d2 ∈ H Vậy s ∈ Ap(H1 , d2 ) Tương tự ta chứng minh t ∈ Ap(H2 , d1 ) Mặt khác, từ phương trình (***) ta có d1 s + d2 t − d1 s − d2 t = d1 d2 k Do d1 (s − s ) + d2 (t − t ) = d1 d2 k 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh Suy     d1 (s − s ) d2   d2 (t − t ) d1 Do    (s − s ) d2   (t − t ) d1 Vì s, s ∈ Ap(H1 , d2 ) t, t ∈ Ap(H2 , d1 ) nên s = s t = t Do k = suy ω = d1 s + d2 t Vậy {d1 s + d2 t|s ∈ Ap(H1 , d2 ), t ∈ Ap(H2 , d1 )} ⊆ Ap(H, d1 d2 ) • Xét ánh xạ f : Ap(H1 , d2 ) × Ap(H2 , d1 ) → X (s, t) → d1 s + d2 t Ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy, giả sử f ((s, t)) = f ((u, v)) với s, u ∈ Ap(H1 , d2 ) t, v ∈ Ap(H2 , d1 ) Suy d1 (s − u) + d2 (t − v) = Suy     (s − u) d2   (t − v) d1 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh Suy     s=u   t = v Do |X| d1 d2 Mà {d1 s + d2 t|s ∈ Ap(H1 , d2 ), t ∈ Ap(H2 , d1 )} ⊆ Ap(H, d1 d2 ) Suy |X| = d1 d2 Vậy Ap(H, d1 d2 ) = {d1 s + d2 t|s ∈ Ap(H1 , d2 ), t ∈ Ap(H2 , d1 )} Mệnh đề 2.1.3 Cho H = d1 H1 , d2 H2 dán hai nửa nhóm số H1 H2 Định nghĩa 2.1.1 Khi PF(H) = {d1 α + d2 β + d1 d2 |α ∈ PF(H1 ), β ∈ PF(H2 )} Đặc biệt t(H) = t(H1 ).t(H2 ) Chứng minh • Đầu tiên ta chứng minh {d1 α + d2 β + d1 d2 |α ∈ PF(H1 ), β ∈ PF(H2 )} ⊆ P F (H) Thật vậy, với α ∈ PF(H1 ), β ∈ PF(H2 ) α+d2 ∈ Ap(H1 , d2 ), β+ d1 ∈ Ap(H2 , d1 ) Suy theo Mệnh đề 2.1.2 d1 α + d2 β + 2d1 d2 = d1 (α + d2 ) + d2 (β + d1 ) ∈ Ap(H, d1 d2 ) 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh Do d1 α + d2 β + d1 d2 = d1 α + d2 β + 2d1 d2 − d1 d2 ∈ / H Hơn < ∀h ∈ H = d1 H1 , d2 H2 suy h = d1 h1 + d2 h2 với h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 Ta có d1 α + d2 β + d1 d2 + h = d1 (α + h1 ) + d2 (β + h2 ) + d1 d2 Do h > suy h1 > h2 > Nếu h1 > d1 α + d2 β + d1 d2 + h = d1 (α + h1 ) + d2 (β + d1 + h2 ) ∈ H Tương tự cho h2 > Vậy {d1 α + d2 β + d1 d2 |α ∈ PF(H1 ), β ∈ PF(H2 )} ⊆ PF(H) • Ngược lại, với f ∈ PF(H) suy f + d1 d2 ∈ Ap(H, d1 d2 ) Từ Mệnh đề 2.1.2 ta có f + d1 d2 = d1 s + d2 t, với s ∈ Ap(H1 , d2 ), t ∈ Ap(H2 , d1 ) Suy f = d1 (s − d2 ) + d2 (t − d1 ) + d1 d2 Vì s ∈ Ap(H1 , d2 ), t ∈ Ap(H2 , d1 ) nên s − d2 ∈ / H1 t − d1 ∈ / H2 Nếu s − d2 ∈ / PF(H1 ) s ∈ / max≤H1 Ap(H1 , d2 ) Khi tồn s ∈ Ap(H1 , d1 ) cho < s − s ∈ H1 Suy < d1 (s − s) ∈ d1 H1 ⊆ H 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh Do f + d1 (s − s) = d1 (s − s) + d1 s + d2 (t − d1 ) = d1 s + d2 (t − d1 ) ∈ H Suy d1 s + d2 (t − d1 ) = d1 u + d2 v với u ∈ H1 , v ∈ H2 Suy    (u − s ) d2   (v + d1 − t) d1 Mà u, s ∈ H1 ; s ∈ Ap(H1 , d2 ) Do    u s   v + d1 Do t    u = s   v = t − d1 Lại v ∈ H2 suy t − d1 ∈ H2 , điều mâu thuẫn Do s − d2 ∈ PF(H1 ) Tương tự ta có t − d1 ∈ PF(H2 ).Vậy PF(H) = d1 PF(H1 ) + d2 PF(H2 ) + d1 d2 Nói riêng, ta có F(H) = d1 F(H1 ) + d2 F(H2 ) + d1 d2 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 Nguyễn Mỹ Hạnh Các kết Định lý 2.2.1 Cho H dán hai nửa nhóm số H1 H2 Khi H đối xứng H1 H2 đối xứng Chứng minh • Đặt Ap(H1 , d2 ) = {0 = u1 < u2 < < ud2 } Ap(H2 , d1 ) = {0 = v1 < v2 < < vd1 } Suy Ap(H, d1 d2 ) = {d1 ui + d2 vj |i ∈ {1, , d2 }, j ∈ {1, , d1 }} Vì H1 H2 đối xứng nên    ui + ud −i = ud2 (1)   vj + vd1 −j = vd1 (2) Nhân d1 với (1), d2 với (2) ta (d1 ui + d2 vj ) + (d1 ud2 −i + d2 vd1 −j ) = d1 ud2 + d2 vd1 Do H đối xứng • Ngược lại H đối xứng ta có (d1 ui + d2 vj ) + (d1 ud2 −i + d2 vd1 −j ) = d1 ud2 + d2 vd1 Do d1 (ui + ud2 −i − ud2 ) + d2 (vj + vd1 −j − vd1 ) = 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học với i Nguyễn Mỹ Hạnh d2 − 1, j d1 − Suy    (ui + ud −i − ud ) d2 2   (vj + vd1 −j − vd1 ) d1 Suy    ui + ud −i ud2   vj + vd1 −j vd1 Suy     ui + ud2 −i = ud2   vj + vd1 −j = vd1 Do H1 H2 đối xứng Định lý 2.2.2 Cho H1 H2 hai nửa nhóm số Giả sử H1 H2 khơng đối xứng Khi dán H1 H2 khơng hầu đối xứng Trước chứng minh định lí ta cần dùng tới ký hiệu bổ đề Đặt PF(H1 ) = {f1 < f2 < < ft(H1 ) = F(H1 )}, PF(H2 ) = {f1 < f2 < < ft(H2 ) = F (H2 )}, PF(H) = {g1 < g2 < < gt(H) = F(H)}, với H dán H1 H2 t(H) = t(H1 ).t(H2 ) Ta coi F(H1 ) > F(H2 ) 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh Bổ đề 2.2.1 Cho H nửa nhóm số Đặt PF(H) = {α1 < α2 < < αt = F(H)} Khi F(H) − α1 αt−1 Chứng minh +) Nếu F(H) − α1 ∈ PF(H) rõ ràng F(H) − α1 = αj , với Do F(H) − α1 j t αt−1 Bởi j = t α1 = 0, điều mâu thuẫn với giả thiết α1 ∈ P F (H) +) Nếu F(H) − α1 ∈ / PF(H) Ta có F(H) − α1 ∈ Z\H P F (H) = max≤H (Z\H) Vì F(H) − α1 ∈ / PF(H) suy tồn β ∈ PF(H) cho F(H) − α1 ≤H β Do < β − (F(H) − α1 ) ∈ H Suy β − (F (H) − α1 ) = h với h ∈ H, h > Suy F(H) − α1 + h = β Nếu β = αt = F(H) α1 = h ∈ H, điều mâu thuẫn Vậy β = αt Do F (H) − α1 < β αt−1 • Bây trở lại với Định lí 2.2.2, ta có F(H) − g1 gt(H)−1 = d1 F(H1 ) + d2 ft(H2 )−1 + d1 d2 , g1 = d1 f1 + d2 f1 + d1 d2 Nếu F(H) − g1 = gt(H)−1 F (H) = d1 (f1 + F (H1 )) + d2 (f1 + ft(H2 )−1 + d1 ) + d1 d2 Nhưng f1 +F (H1 ) ∈ H1 (vì f1 +F (H1 ) > F (H1 )) f1 +(ft(H2 )−1 +d1 ) ∈ H2 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh Suy F (H) ∈ d1 H1 , d2 H2 = H (mâu thuẫn) Vậy F(H) − g1 < gt(H)−1 Bởi H không hầu đối xứng Ví dụ Cho H1 = 6, 10, 11, 13, 14 , H2 = 7, 8, 10, 13 H = 14H1 , 17H2 dán H1 H2 Nhờ Mệnh đề 2.1.3 ta tính PF(H) = {659, 673, 771} Do 659 + 673 = 771 nên H không hầu đối xứng Nhận xét Cho S = a1 , a2 , , an H = da1 , da2 , , dan−1 , an , d > gcd(d, an ) = Nếu an ∈ a1 , a2 , , an−1 an = với i n − H gọi dán a1 , a2 , , an−1 N Định lý 2.2.3 Cho H S có dạng Nhận xét (H không thiết dán a1 , a2 , , an−1 N) Các khẳng định sau đúng: (1) Ap(H, an ) = d Ap(S, an ) (2) t(H) = t(S) (3) H đối xứng S đối xứng (4) PF(H) = {df + (d − 1)an |f ∈ PF(S)} (5) F(H) = d F(S) + (d − 1)an Chứng minh (1) Với w ∈ Ap(H, an ) w ∈ H, với ci ta có n−1 w= dci + cn an i=1 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh Suy n−1 w − an = dci + (cn − 1)an ∈ / H i=1 Suy cn = Do w = ds với s ∈ S Lại w − an ∈ / H suy ds−dan ∈ / H, ds−dan ∈ H ds−an = ds−dan +(d−1)an ∈ H (mâu thuẫn) Do s − an ∈ / S (vì dS ⊆ H) Mà s ∈ S suy s ∈ Ap(S, an ) Vậy w ∈ d Ap(S, an ) Do Ap(H, an ) ⊆ d Ap(S, an ) Từ hai tập có an phần tử nên chúng (2) Ta chứng minh max≤H Ap(H, an ) = d max≤S Ap(S, an ) +) Đầu tiên ta chứng minh max≤H Ap(H, an ) ⊆ d max≤S Ap(S, an ) Với α ∈ max≤H Ap(H, an ) suy α ∈ Ap(H, an ) suy α = dβ với β ∈ Ap(S, an ) Giả sử tồn δ ∈ Ap(S, an ) cho β ≤S δ Suy δ − β = s ∈ S Do n−1 dδ − dβ = ds = dci + dan cn ∈ H i=1 Suy dβ ≤H dδ Suy α = dδ Do β = δ Từ β ∈ max≤S Ap(S, an ) Suy α ∈ d max≤S Ap(S, an ) Vậy max≤H Ap(H, an ) ⊆ d max≤S Ap(S, an ) +) Tiếp theo ta chứng minh bao hàm ngược lại d max≤S Ap(S, an ) ⊆ max≤H Ap(H, an ) Với β ∈ max≤S Ap(S, an ) suy β ∈ Ap(S, an ) Suy dβ ∈ Ap(H, an ) Đặt α = dβ Giả sử tồn α ∈ Ap(H, an ) 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh cho α ≤H α Vì α ∈ Ap(H, an ) nên α = dβ với β ∈ Ap(S, an ) Suy dβ ≤H dβ Suy n−1 d(β − β) = dci + an cn i=1 Do cn d Chia hai vế cho d ta n−1 β −β = c i + i=1 cn an ∈ S d Suy β ≤S β Suy β = β Do α = α nên α ∈ max≤H Ap(H, an ) Từ d max≤S Ap(S, an ) ⊆ max≤H Ap(H, an ) Vậy max≤H Ap(H, an ) = d max≤S Ap(S, an ) Do | max≤H Ap(H, an )| = |d max≤S Ap(S, an )| Suy t(H) = t(S) (3) H đối xứng t(H) = S đối xứng t(S) = Do theo (2) ta có điều phải chứng minh (4) Với g ∈ PF(H) ta có g = ω − an với ω ∈ max≤H Ap(H, an ) Vì max≤H Ap(H, an ) = d max≤S Ap(S, an ) 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh nên ω = dλ với λ ∈ max≤S Ap(S, an ) Ta có g = dλ − an = d(λ − an ) + (d − 1)an = df + (d − 1)an , với f ∈ PF(S) Do PF(H) ⊆ {df + (d − 1)an |f ∈ PF(S)} Mà hai tập hợp có số phần tử theo (2) Vậy PF(H) = {df + (d − 1)an |f ∈ PF(S)} (5) Ta có F(H) = max Ap(H, an ) − an = d max Ap(S, an ) − an = d(max Ap(S, an ) − an ) + (d − 1)an = d F(S) + (d − 1)an Nhận xét Do N khơng đối xứng nên theo Định lí 2.2.2, H không hầu đối xứng Kết sau điều an ∈ / a1 , a2 , , an−1 Mệnh đề 2.2.1 Cho S = a1 , a2 , , an nửa nhóm số khơng đối xứng Khi H = da1 , da2 , , dan−1 , an không hầu đối xứng Chứng minh Giả sử H nửa nhóm số hầu đối xứng không đối xứng Đặt PF(S) = {f1 < f2 < < ft = F(S)} 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh PF(H) = {g1 < g2 < < gt = F(H)}, t > Khi theo Mệnh đề 1.4.4 ta có gi + gt−i = F(H) với i t − Vì gi = dfi + (d − 1)an theo Định lí 2.2.3, ta có đẳng thức d(fi + ft−i ) + (d − 1)an = d F(S) Do ta có d = gcd(d, an ) = 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mỹ Hạnh KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu Dán nửa nhóm số gồm nội dung sau: (1) Trình bày khái niệm số tính chất nửa nhóm số (2) Đặc trưng nửa nhóm số thơng qua tập Apéry, tập số giả Frobenius (3) Phân loại nửa nhóm số (4) Các tính chất loại nửa nhóm số thu cách dán hai nửa nhóm số tính giao đầy đủ, tính đối xứng hầu đối xứng Mặc dù cố gắng, thời gian kiến thức thân hạn chế nên khóa luận tơi khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Một lần tơi xin cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo - Thạc sĩ Đỗ Văn Kiên, thầy khoa Tốn, bạn sinh viên giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Mỹ Hạnh 40 Tài liệu tham khảo [1] R Frăoberg, C Gottlieb, R Hăaggkvist, On numerical semigroups, Semigroup Forum 35 (1987), 63–83 [2] H Nari, Symmetries on almost symmetric numerical semi-groups, Semigroup Forum, 86 (2013), 140-154 [3] T Numata, A variation of gluing of numerical semigroups, Semigroup Forum 93 (2016), 152–160 [4] J.C.Rosales, P.A.García - Sánchez, Numerical Semigroups, Developments in mathematics, vol 20 (2009), Springer, New York 41 ... định nghĩa số tính chất sở nửa nhóm số đối xứng, nửa nhóm số giả đối xứng nửa nhóm số hầu đối xứng 1.4 1.4.1 Phân loại nửa nhóm số Nửa nhóm số đối xứng Định nghĩa 1.4.1 Cho H nửa nhóm số Ta nói... Chương Nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức nửa nhóm số đặc trưng nửa nhóm số Hai tài liệu tham khảo sử dụng chương [4] cho mục nửa nhóm số, tập Apéry, số Frobenius,... 15 1.4.1 Nửa nhóm số đối xứng 15 1.4.2 Nửa nhóm số giả đối xứng 17 1.4.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng 21 Dán nửa nhóm số 24 2.1 Dán hai nửa nhóm số