phương phỏp đệ dóy tập con của Nbởi
(1) A1 = X,
(2) An+1 = ({x – min An / x ∈ An} \ {0}) ∪ {min An}.
Như một hệ quả của thuật toỏn Euclid đối với việc tớnh ước chung lớn nhất của X, chỳng ta nhận được tồn tại q = min {k ∈ N / 1 ∈ Ak}.
2.3.6. Định lý. Với cỏc ký hiệu trong 2.3.5, cú 0, min A1, min A1 +min A2 , ... ,min A1 + ... + min Aq-1 là cỏc phần tử thuộc Arf (X) khụng vượt quỏ F(Arf min A1 + ... + min Aq-1 là cỏc phần tử thuộc Arf (X) khụng vượt quỏ F(Arf (X)) + 1.
Chứng minh. Vỡ 1 ∈ Aq, Arf (aq) = N. Từ đú bằng cỏch ỏp dụng Định lý 2.3.3, ta nhận được rằng Arf (aq-1) = (min Aq-1 + N) ∪ {0}.
Giả thiết quy nạp rằng 0, min ≤ Aq-1, min Aq-i + min Aq-i+1, ... , min Aq-i + ... + min Aq-1 là cỏc phần tử của Arf (Aq-i) khụng vượt quỏ F(Arf (Aq-i)) + 1. Chỳng ta phải chứng minh rằng 0, min Aq-i-1, min Aq-i-1 + min Aq-i, ... , min Aq-i-1 + ... + min Aq-1 là cỏc phần tử thuộc Arf (Aq-i-1) khụng vượt quỏ F(Arf (Aq-i-1)) + 1. Theo Định lý 2.3.3, cú Arf (Aq-i-1) = (min Aq-i-1 + Arf (Aq-i)) ∪ {0}. Bằng cỏch sử dụng giả thiết quy nạp và Hệ quả 2.3.4, ta nhận được kết quả mong muốn. ✷
2.3.7. Vớ dụ. Tớnh Arf (7, 24, 33).Ta cú A1 = {7, 24, 33}, min A1 = 7 Ta cú A1 = {7, 24, 33}, min A1 = 7 A2 = {7, 17, 26}, min A2 = 7 A3 = {7, 10, 19}, min A3 = 7 A4 = {7, 3, 12}, min A4 = 3 A5 = {4, 3, 9}, min A5 = 3 A6 = {1, 3, 6}, min A6 = 1 Từ đú Arf (7, 24, 33) = {0, 7, 14, 21, 24, 27, →}.
KẾT LUẬN
Luận văn trỡnh bày cỏc vấn đề sau:
1. Hệ thống cỏc kiến thức cơ sở về vành số nguyờn và nửa vành cỏc số tự nhiờn, lý thuyết đồ thị liờn quan đến cõy và cõy – từ.
2. Trỡnh bày khỏi niệm nửa nhúm số Arf và cỏc tớnh toỏn của nú. (Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.8, Định lý 2.1.10)
3. Trỡnh bày cõy nhị nguyờn của nửa nhúm số Arf (Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.4, Định lý 2.2.10).
4. Trỡnh bày thuật toán để tớnh bao đúng Arf của một nửa nhúm số cho trước và ỏp dụng vào một trường hợp tớnh toỏn cụ thể (Định lý 2.3.3, Định lý 2.3.6, Vớ dụ 2.3.7).