Về các nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ TRƯỜNG AN VỀ CÁC NỬA NHÓM THỪA NHẬN CẤU TRÚC VÀNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ TRƯỜNG AN VỀ CÁC NỬA NHÓM THỪA NHẬN CẤU TRÚC VÀNH Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN NGHỆ AN - 2013 MỤC LỤC Trang Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm quan hệ tập 1.2 Băng nửa dàn 1.3 Một số tính chất trường hữu hạn 13 Chương Nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành 19 2.1 Nửa nhóm chuỗi phải thừa nhận cấu trúc vành 19 2.2 Nửa nhóm vành với nửa nhóm tạo thành chuỗi 23 2.3 Nửa nhóm khoảng bị chặn thừa nhận cấu trúc vành .27 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 -2- MỞ ĐẦU Giả sử S nửa nhóm nhân ( ) với phần tử không Nửa nhóm S gọi nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành S xác định phép cộng cho (S , , ) vành Một nửa nhóm S thừa nhận cấu trúc vành gọi nửa nhóm vành Không phải nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành Bài toán đặc trưng nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành R.E Peinado nghiên cứu từ năm bảy mươi kỷ trước Tuy nhiên, từ năm 1961, S.R Kogalovski chứng minh đặc trưng lớp tất nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành, để đạt kết có ý nghĩa, toán thường thu hẹp số nửa nhóm đặc biệt Thỉnh thoảng trở thành toán dễ, chẳng hạn nửa nhóm null (nghĩa nửa nhóm S thỏa mãn điều kiện xy  với x , y  S ) thừa nhận cấu trúc vành Bản luận văn dựa báo On semigroups admitting ring structure tác giả Ryszard Mazurek đăng tạp chí Semigroup Forum năm 2011 để tìm hiểu số lớp nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương hệ thống khái niệm nửa nhóm quan hệ tập, băng nửa dàn, trường hữu hạn tính chất chúng để làm sở cho việc trình bày chương sau -3- Chương Nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành Đây nội dung luận văn Trước hết, trình bày khái niệm nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành, nửa nhóm null, nửa nhóm chuỗi phải điều kiện để nửa nhóm chuỗi phải thừa nhận cấu trúc vành Tiếp đến, trình bày cấu trúc nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành cho lớp nửa nhóm với nửa nhóm tạo thành chuỗi Phần cuối luận văn xét nửa nhóm khoảng bị chặn thừa nhận cấu trúc vành Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn Thầy PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, Người giúp đỡ tận tình, chu đáo, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Qua đây, tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn đến quý thầy giáo, cô giáo Bộ môn Đại số & Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo sau đại học trường Đại học Vinh quan tâm giúp đỡ trình giảng dạy Tác giả xin cảm ơn bạn học viên lớp Cao học khóa 19 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số hỗ trợ tác giả trình học tập Do trình độ thời gian có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện tốt Nghệ An, tháng năm 2013 Tác giả -4- Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm quan hệ tập 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X tập hợp tùy ý khác rỗng Khi tập  tích Đềcác X x X gọi quan hệ X Nếu (a, b)   , a, b phần tử tập X , ta viết ab nói “ a nằm quan hệ  với b ” Nếu   quan hệ X , hợp thành   chúng định nghĩa sau: (a, b)    tồn phần tử x  X cho (a, x)   ( x, b)   Phép toán hai ( ) kết hợp Thật vậy,  , , quan hệ X , khẳng định (a, b)  (   )  (a, b)   (  ) tương đương với điều kiện khẳng định tồn phần tử x, y  X cho (a, x)   , ( x, y )   ( y, b)   Do đó, tập Bx tất quan hệ hai X nửa nhóm với phép toán ( ) Nửa nhóm Bx gọi nửa nhóm quan hệ tập X 1.1.2 Một số quan hệ hai đặc biệt Giả sử X tập hợp tùy ý Quan hệ iX gọi quan hệ ( hay quan hệ đồng quan hệ đường chéo ) (a, b)  iX a  b Rõ ràng iX đơn vị nửa nhóm Bx Quan hệ X gọi quan hệ phổ dụng (a, b)  X với a, b  X -5- Giả sử   Bx Khi quan hệ ngược  1  định nghĩa bởi: (a, b)   1 (b, a)  Dễ thấy: (  1 )1   , (   )-1 =  -1  -1 ,   , Bx Giả sử  ,  Bx Khi     tập  , nghĩa ab kéo theo a  b Vì thực Bx Bx gồm tất tập X x X nên ta phép toán Bun (Boole): hợp, giao phần bù Giả sử  quan hệ X Khi  gọi quan hệ đối xứng  1   (và  1   ); quan hệ  gọi phản xạ iX   gọi bắc cầu     1.1.3 Quan hệ tương đương Một quan hệ  X gọi tương đương  phản xạ, đối xứng bắc cầu Khi  lũy đẳng nửa nhóm Bx ( nghĩa    ) Giả sử  quan hệ tùy ý X a  X Khi ta ký hiệu  a : x  X x a ; a : x  X a x  Nếu  quan hệ tương đương S hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) a  a với a  X ; (ii) a   b   kéo theo a  b Như vậy, họ tập a , a  X phân hoạch tập X , tức tập không giao hợp chúng X ; ta ký hiệu họ X  Ta gọi a lớp tương đương tập X theo mod  -6- chứa a Đảo lại, phân hoạch P tập X xác định quan hệ tương đương  P = X  Cụ thể ab a b thuộc tập phân hoạch P Ta gọi ánh xạ a a ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ tắc từ tập X lên tập X  Rõ ràng ánh xạ toàn ánh 1.1.4 Tương đẳng Giả sử S nửa nhóm  quan hệ S Khi  gọi ổn định phải (trái) ab ( a, b  S ) kéo theo acbc ( tương ứng ca cb ) với c  S Quan hệ  gọi tương đẳng phải (trái)  quan hệ tương đương ổn định phải (trái) Quan hệ tương đương  gọi tương đẳng S  vừa ổn định trái vừa ổn định phải 1.1.5 Nửa nhóm thương Giả sử  tương đẳng nửa nhóm S S    a a  S  Khi tương ứng (a , b ) ab phép toán S  Với phép toán này, S  trở thành nửa nhóm gọi nửa nhóm thương S theo mod  1.1.6 Đồng cấu Giả sử  : S  T ánh xạ từ nửa nhóm S vào nửa nhóm T Khi  gọi đồng cấu nửa nhóm  (ab)   (a)  (b) với a,b S Đồng cấu  gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu  đơn ánh, toàn ánh hay song ánh Nếu  đẳng cấu ta nói nửa nhóm S nửa nhóm T đẳng cấu với nhau, ký hiệu S  T -7- Giả sử  : S  T đồng cấu nửa nhóm Khi quan hệ  cho (a, b)    (a)   (b) tương đẳng S , gọi tương đẳng hạt nhân liên kết với đồng cấu  , ký hiệu ker ( ) Ta có S , Im ( ) :  (S )    ( x) x  S  ker ( )  Im ( ) 1.2 Băng nửa dàn 1.2.1 Định nghĩa Một quan hệ hai X gọi thứ tự phận phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Ta thường dùng ký hiệu ≤ để quan hệ thứ tự phận X Nếu a  b a  b ta viết a  b Quan hệ thứ tự phận ≤ X gọi quan hệ thứ tự toàn phần với a,b  X , có a  b b  a Tập hợp X gọi chuỗi X xác định quan hệ thứ tự toàn phần 1.2.2 Định nghĩa Giả sử ≤ quan hệ thứ tự X Y tập X i) Phần tử b  X gọi cận Y y  b với y  Y ii) Cận b Y gọi cận bé hay hợp Y , với cận c Y có b  c Nếu Y có hợp X rõ ràng hợp iii) Phần tử a  X gọi cận Y a  y với y  Y iv) Cận a Y gọi cận lớn hay giao Y , d  a với cận d Y Nếu Y có giao X rõ ràng giao -8- 1.2.3 Định nghĩa (i) Tập thứ tự phận ( X ,  ) gọi nửa dàn (hay nửa dàn dưới) tập gồm hai phần tử a, b X có hợp (tương ứng giao) X ; trường hợp tập hữu hạn X có hợp (tương ứng giao) X (ii) Một dàn tập hợp thứ tự phận, đồng thời nửa dàn nửa dàn (iii) Dàn X gọi dàn đầy đủ, tập X có hợp giao 1.2.4 Ví dụ 1) Giả sử X tập hợp tất nửa nhóm nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng Thế X thứ tự phận theo quan hệ bao hàm theo lý thuyết tập hợp Vì giao họ tùy ý nửa nhóm S rỗng, nửa nhóm S nên X dàn đầy đủ Giao tập Y X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp nửa nhóm thuộc Y , lúc hợp Y nửa nhóm sinh hợp theo lý thuyết tập hợp nửa nhóm thuộc Y Tất lý luận có hiệu lực ta thay cụm từ “ nửa nhóm hay tập rỗng S ” cụm từ “ tương đẳng nửa nhóm S ” 2) Giả sử S nửa nhóm A tập khác rỗng S Khi A gọi iđêan trái (phải) S SA  A ( tương ứng, AS  A) A gọi iđêan S A vừa iđêan trái vừa iđêan phải S Tập hợp tất iđêan trái ( phải, hai phía) nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng, đóng phép hợp phép giao nên dàn đầy đủ đại số Bun (Boole) tất tập S -20- Định lý sau nêu lên điều kiện để lớp nửa nhóm chuỗi phải nửa nhóm vành 2.1.4 Định lý Giả sử S nửa nhóm chuỗi phải thỏa mãn điều kiện aS  S với a  S Thế S nửa nhóm vành S nửa nhóm null với hai phần tử Chứng minh Điều kiện đủ kiểm tra trực tiếp Ta chứng minh điều kiện cần Giả sử (S , , ) vành với phép cộng bổ sung Trước hết ta chứng minh S nửa nhóm null Giả thiết phản chứng xy  với x, y S Vì S nửa nhóm chuỗi phải nên xS1  ( x  xy)S ( x  xy)S  xS , x  x  xy nên hai trường hợp suy x  xS Từ x  xs với s  S Đặt I : t  st đến t  S Nếu s  I s  t  st với t  S đó, dẫn x  xs  x(t  st )  xt  ( xs)t  xt  xt  : mâu thuẫn Như vậy, s  I I iđêan phải nửa nhóm chuỗi phải S nên I  sS Từ t  st  sS với t  S tùy ý, mà điều kéo theo S  sS : mâu thuẫn với giả thiết Như S nửa nhóm null Để hoàn thành phép chứng minh, chứng tỏ S nửa nhóm với hai phần tử Nếu S  0 sS  S với s  S mâu thuẫn với giả thiết Như S phải chứa phần tử khác không Giả thiết S chứa hai phần tử khác khác không a b Vì S nửa nhóm null, aS  0, a bS  0, b hai iđêan phải không so sánh S, mâu thuẫn với giả thiết S nửa nhóm chuỗi phải Từ S có hai phần tử □ -21- 2.1.5 Định nghĩa Nửa nhóm S với phần tử không gọi nửa nhóm 0- cyclic ( 0- cyclic semigroup ) thỏa mãn điều kiện S  0, s với s  S Rõ ràng nửa nhóm nhân trường hữu hạn ( F , , ) nửa nhóm vành 0- cyclic, nhóm nhân ( F , , ) nhóm cyclic Hơn nữa, có nhiều ví dụ nửa nhóm chuỗi phải nửa nhóm 0- cyclic Kết sau chứng tỏ trừ trường hợp ngoại lệ nửa nhóm tầm thường ( có phần tử phần tử 0) nửa nhóm null với hai phần tử, không kể sai khác đẳng cấu nửa nhóm vành 0- cyclic thực chất nửa nhóm nhân trường hữu hạn, nghĩa nửa nhóm nhân trường dạng pn , p số nguyên tố n số nguyên dương 2.1.6 Định lý Một nửa nhóm vành S 0- cyclic S  0 , S  0, s với s  0, s2  S  pn với p số nguyên tố n số nguyên dương Nói riêng, nửa nhóm vành 0- cyclic hữu hạn Chứng minh Giả thiết S nửa nhóm vành 0- cyclic khác không, nghĩa S  0   s n n   với s  S \ 0 Theo Định lý 2.1.4, cần xét trường hợp s k S  S với k số tự nhiên Khi s  s k x với x  S đó, mà điều kéo theo s  s m với m  Như S hữu hạn,  s m 1 đơn vị S, phần tử khác không S khả nghịch Vì S nửa nhóm vành giao hoán nên S đẳng cấu với nửa nhóm nhân trường hữu hạn -22- Rõ ràng, nửa nhóm 0, 0,s với s  vành 0- cyclic pn nửa nhóm □ 2.1.7 Định lý Giả sử S nửa nhóm cho eS = S với e  S đó, giả sử J   s  S sS  S Nếu S nửa nhóm vành, tập A tùy ý S với tính chất sau: “ x, y  A tùy ý tồn z  J cho xS  zS yS  zS ” (*), có card A  card (S \ A) card S  2.card (S \ A) Chứng minh Giả sử + phép cộng cho (S , , ) trở thành nửa vành giả sử x  A Nếu e  x  A , z  J có (e  x) S  zS xS  zS , mà điều dẫn đến S  eS  ((e  x)  x)S  (e  x)S  xS  zS  zS  zS  S : mâu thuẫn Từ đó, x  A tùy ý ta có e  x  S \ A , cách đặt  ( x)  e  x ta nhận đơn ánh  từ A vào S \ A , mà điều chứng minh card A  card (S \A ) Do card S  card A  card (S \ A)  2.card (S \ A) □ Chú ý điều kiện (*) với A  J thỏa mãn nửa nhóm chuỗi phải tùy ý ( xem [7], trang 37 ) Từ Định lý 2.1.4 2.1.7 nhận kết sau 2.1.8 Hệ Giả sử S nửa nhóm chuỗi phải cho x, y  S tùy ý, xS  yS kéo theo x  y Nếu S nửa nhóm vành card S  Chứng minh Đặt J   s  S sS  S  Nếu S  J theo Định lý 2.1.4 ta có card S  Nếu S  J x, y  S \ J , xS  S  yS nên từ giả -23- thiết suy x  y Như trường hợp thứ hai, S \ J chứa phần tử từ Định lý 2.1.7, cách lấy A  J ta nhận card S  □ 2.2 Nửa nhóm vành với nửa nhóm tạo thành chuỗi Năm 2009, G Oman đặc trưng nửa nhóm vành với nửa nhóm tạo thành chuỗi theo quan hệ thứ tự bao hàm Tuy nhiên, phép chứng minh đó, G Oman phải sử dụng kết không tầm thường khác, Định lý Mihailescu giả thuyết Catalan (xem [8]) Chú ý nửa nhóm với nửa nhóm tạo thành chuỗi nửa nhóm chuỗi phải Định lý 2.1.4 áp dụng cho nửa nhóm Sau trình bày chứng minh hoàn chỉnh sơ cấp kết Oman 2.2.1 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa nhóm với nửa nhóm tạo thành chuỗi thỏa mãn điều kiện: với hai nửa nhóm tùy ý A B S có A  B B  A Giả sử S nửa nhóm Sub (S ) tập hợp nửa nhóm S Khi Sub (S ) xác định quan hệ  cho A  B A  B với A, B Sub (S ) Thế Sub (S ) tập hợp thứ tự phận quan hệ  xác định Hơn nữa, ( Sub (S ),  ) thứ tự toàn phần S nửa nhóm với nửa nhóm tạo thành chuỗi 2.2.2 Định lý Một nửa nhóm S nửa nhóm vành với nửa nhóm tạo thành chuỗi điều kiện sau thỏa mãn: -24- (1) S  0 ; (2) S nửa nhóm null với hai phần tử; (3) S  p, p số nguyên tố p  2n  , với n số tự nhiên đó; (4) S  2n , n số nguyên dương cho 2n  số nguyên tố; (5) S  Chứng minh Kiểm tra trực tiếp nửa nhóm (1) – (5) thỏa mãn tính chất nửa nhóm chúng thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm Đảo lại, giả thiết S nửa nhóm vành với nửa nhóm tạo thành chuỗi Nếu S  0 S có dạng (1) Giả thiết S  0 Vì x, y  S \ 0 ta có 0, x  0, y 0, y  0, x x  y n y  xn với n số nguyên dương đó, mà điều kiện kéo theo xy  yx Như S nửa nhóm giao hoán Nếu sS  S với s  S tùy ý, với xS S có dạng (2) theo Định lý 2.1.4 Giả thiết sS  S s  S S  0 Thế s  se với e  S \ 0 Vì tùy ý, x  S  sS nên tồn y  S cho x  sy , từ ex  esy  sey  sy  x e phần tử đơn vị S 0,e nửa nhóm S Vì nửa nhóm S tạo thành chuỗi nên t  S \ 0 tùy ý có 0, e  0, t t n  e với n số tự nhiên đó, mà từ chứng tỏ S \ 0 nhóm Abel xoắn -25- Giả sử + phép cộng cho (S , , ) vành Từ kết suy (S , , ) trường với đặc số p Chúng ta khẳng định rằng: Vành hữu hạn tùy ý F (S , , ) thuộc họ (3), (4), (5) (**), nghĩa F đẳng cấu với trường tả (3), F đẳng cấu với F 2n p với p mô với n mô tả (4), Khi chứng minh điều đó, suy S hữu hạn (**), S thuộc họ (3), (4), (5) Thật vậy, nhóm nhân S \ 0 xoắn nên phần tử S thuộc trường hữu hạn S Từ đó, S vô hạn, S phải chứa vô hạn trường Nhưng, giả thiết (**), p 2,3 , trường hữu hạn S thể p, p  trường S có Chúng ta xét trường hợp p  Giả thiết 2m 2m hai trường khác S với  m1  m2 Vì trường S tạo thành chuỗi nên m2 2m   2m m1  Từ đó, giả thiết (**), m1  số nguyên tố cho m2  chia hết cho  Mâu thuẫn chứng tỏ p  S không chứa trường nhiều hai phần tử Để chứng minh (**), giả thiết F trường hữu hạn S Thế F pm với m số nguyên dương đó, nhóm nhân F \ 0 nhóm cyclic S \ 0 với cấp pm  Như a, b số nguyên dương đó, pm   ab nhóm F \ 0 chứa nhóm A, B cấp a, b tương ứng, nửa nhóm A  0 B  0 so sánh với nên A  B B  A , -26- pm   a chia hết cho b b chia hết cho a Do đó, pm   qk với q nguyên tố k số nguyên dương (***) Giả thiết p  Thế pm   , từ (***) với q  , m m nghĩa p   Nếu m chẵn,  ( p  1)( p  1) , từ m m k k m ( p  1)  ( p  1)  2 với  ,  số nguyên dương  m m Như  ( p  1)  ( p  1)  2  2 ,   p  m  Từ F  m 1 có dạng (5) Chúng ta xét trường hợp m lẻ Thế  ( p  1)  p Vì m p lẻ nên k i i 0 suy m  Từ F  p, m 1 p i 0 i lẻ, m 1 p i  1,  i 0 p  2k  số nguyên tố, F thuộc dạng (3) 2k   Bây giả thiết p  Nếu m  F  thuộc dạng (3) Giả thiết 2k   Thế từ (***) có 2m   qk với q số nguyên tố k số nguyên dương Nếu k chẵn, qk  (mod 4) , 2m  (mod 4) Từ m  q k  : mâu k 1 thuẫn Nếu k lẻ,  (1  q)  ( q ) Vì k q lẻ nên m i i 0 2m   q Từ F 2m k 1 ( q i )  i 0 lẻ , , m số nguyên dương 2m   q số nguyên tố, F thuộc dạng (4) □ -27- 2.3 Nửa nhóm khoảng bị chặn thừa nhận cấu trúc vành Trong [9] chứng tỏ nửa nhóm khoảng bị chặn đường thẳng thực với phép nhân thông thường có dạng tầm thường 0  0,0 , 1  1,1  dạng sau: (i) 0, b  0, b   b  1; (ii)  a, b   a, b   a, b  1  a  a2  b  ; (iii) a, b  1  a  a2  b  Trong [5], Kemprasit, Danpattanamongko Savettaseranee chứng minh nửa nhóm dạng (i), (ii), (iii) thừa nhận cấu trúc vành Trong phần áp dụng Định lý 2.2.1 lựa chọn số ý tưởng [5] để đưa chứng minh khác kết 2.3.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm s  S Khi s gọi phần tử trung tâm (central element) S xs  sx với x  S Phần tử s gọi phần tử giản ước trái (left cancellative element) S sx  sy kéo theo x  y x, y  S tùy ý 2.3.2 Định lý Giả sử S nửa nhóm s phần tử trung tâm, giản ước trái S Thế S nửa nhóm vành sS nửa nhóm vành Chứng minh Nếu S nửa nhóm vành, tồn phép cộng + cho (S , , ) vành Vì sS iđêan phải vành, nên sS nửa nhóm vành -28- Đảo lại, giả sử sS nửa nhóm vành Thế tồn phép cộng + cho (sS , , ) vành Ta định nghĩa phép toán  S sau Đối với x, y S tùy ý, sx  sy  sS , tồn t  S cho sx  sy  st Vì s phần tử giản ước trái nên t nhất, ta đặt x  y  t Nói cách khác, x  y phần tử thuộc S cho sx  sy  s( x  y) Rõ ràng x  y  y  x với x, y S Hơn nữa, với x, y, z  S ta có: s( x  ( y  z))  sx  s( y  z)  sx  ( sy  sz)  (sx  sy)  sz  s( x  y)  sz  s(( x  y)  z) mà điều kéo theo x  ( y  z)  ( x  y)  z , phép toán  S kết hợp Hơn nữa, x  S , tồn y  S với sx  sy  Từ s( x  y)  s0, x  y  chứng tỏ (S , ) nhóm Abel Để hoàn thành phép chứng minh, xét phần tử x, y, z  S Vì s phần tử trung tâm, nên s( x( y  z))  x(s( y  z)  x(sy  sz )  xsy  xsz  s( xy)  s( xz )  s( xy  xz ) , suy x ( y  z)  xy  xz Hơn s(( x  y) z)  (s( x  y)) z  (sx  sy) z  sxz  syz  s( xz  yz ) , chứng tỏ ( x  y) z  xz  yz Như vậy, (S ,  , ) vành Từ S nửa nhóm vành 2.3.3 Mệnh đề Giả sử b  □ cho  b  Thế nửa nhóm nhân 0, b 0, b  nửa nhóm vành -29- Chứng minh Dễ thấy 0,1 0,1 nửa nhóm chuỗi phải Từ theo Hệ 2.1.8, nửa nhóm nửa nhóm vành Chúng ta phải xét trường hợp b  Thế b  0,1 , 0, b  b 0,1 0, b   b 0,1 , nên theo Định lý 2.3.2, 0, b 0, b  nửa nhóm vành □ 2.3.4 Định lý Nếu 1  a  a2  b  , nửa nhóm nhân  a, b  nửa nhóm vành Chứng minh Trước hết chứng minh trường hợp đặc biệt b  Áp dụng Định lý 2.1.7 với A  ( a,1) Theo định lý đó, để chứng minh S   a,1 nửa nhóm vành cần chứng tỏ x, y   a,1  tùy ý tồn z  J  s S sS  S  với xS  zS yS  zS Chú ý J   a,1  a  1 J   a,1  a  1 Nói riêng A  J Trường hợp x  hay y  rõ ràng Giả thiết  x  y ( trường hợp x  y  x lý luận tương tự ) Khi x  y  y S y y đặt z  y trường hợp Nếu x  y  y  x  x S chúng x ta đặt z  x Còn phải xét trường hợp a  x   y  Thế xa  1, x x  y  , tồn z với max  xa , , y   z 1 a a   ( nói riêng zJ ) Vì za  x  xa  z za  ya  y  z nên x S  [ x, xa ]  [ z a, z ]  z S y S  [ ya, y ]  [ z a, z]  z S thỏa mãn yêu cầu đặt -30- Bây ta chứng minh trường hợp tổng quát Nếu a   b -1  a a < nên theo chứng minh  , 1 nửa nhóm vành b b  a Từ a, b  = b  , 1 nửa nhóm vành theo Định lý 3.3.2 Nếu b  a   b -1  b  b < nên  , 1 nửa nhóm vành Từ theo a a  b  Định lý 3.3.2, a  , 1 = [ ab, a ] = a [ a, b ] nửa nhóm vành, a  lại Định lý 3.3.2, a, b  nửa nhóm vành □ Bây ta xét nửa nhóm khoảng bị chặn khác 2.3.5 Mệnh đề (i) Nếu 1  a  a2  b  nửa nhóm nhân  a,b  a,b  nửa nhóm vành (ii) Nếu 1  a  a2  b  nửa nhóm nhân  a, b  nửa nhóm vành Chứng minh Các phần (i) (ii) suy lập luận Thật vậy, giả sử S nửa nhóm  a, b  ,  a, b  hay  a, b  Đối với số nguyên dương n tùy ý, đặt dn  b b + Thế 3n dn   a, b   ab b2  ab dn  S Hơn nữa,  ,   dn S   adn , bdn  Vì lim  adn   n   2 lim  bdn   n   ab b2  b2 nên  ,   * dn S Từ (S , , ) vành  2  n với phép cộng + bổ sung  ab b2   ,  iđêan vành,  2 -31-  ab b2   ,  nửa nhóm vành, mâu thuẫn với Mệnh đề 2.3.5  2 □ Từ Mệnh đề 2.3.3, 2.3.4 2.3.5 trực tiếp suy kết sau 2.3.6 Định lý Các nửa nhóm khoảng 0 1 nửa nhóm khoảng bị chặn với phép nhân thừa nhận cấu trúc vành -32- KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau - Hệ thống kiến thức liên quan đến nửa nhóm quan hệ thứ tự tập, băng nửa dàn, trường hữu hạn - Trình bày điều kiện để nửa nhóm chuỗi phải thừa nhận cấu trúc vành ( Định lý 2.1.4 ) - Trình bày chứng minh sơ cấp chi tiết cấu trúc lớp nửa nhóm với nửa nhóm tạo thành chuỗi thừa nhận cấu trúc vành ( Định lý 2.2.2 ) - Tìm hiểu nửa nhóm khoảng bị chặn đường thẳng thực với phép nhân thừa nhận cấu trúc vành ( Định lý 2.3.6 ) -33- TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A.H.Cliphớt G.B.Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm (tập 1), dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học, Hà nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh [3] S.Ten Hu (1974), Đại số đại Bản dịch tiếng Việt Tiếng Anh [4] M Ferreo, R Muzuek, A Sant’Ana (2005), On right chain semigroups, J Algebra 292, 574 - 584 [5] Y Kemprasit, Ng Danpattanamongkon, K Savettaseranee (2010), Some results on semigroups admitting ring structure, Science Asia 36, 85 - 88 [6] S R Kogalovski (1961), On multiplicative semigroups of rings, Dokl Akad Nauk SSSR, 140, 1005 - 1007 * [7] R Mazurek (2011), On semigroups admitting ring structure, Semigroup Forum 83, Published Online: 17 June 2011, 335 - 342 [8] G Oman (2009), Ring semigroups whoes subsemigroups form a chain, Semigroup Forum 78, 374 - 377 [9] K R Pearson (1966), Interval semigroups on R1 with ordinary multiplication, J Aust Math Soc 6, 273 - 288 -34- [10] R E Pinado (1970), On semigroups admitting ring structure, Semigroup Forum 1, 189 - 208 [11] M Satyanarayana (1971), On semigroups admitting ring structure, Semigroup Forum 3, 43 - 50 [...]... bày các vấn đề sau - Hệ thống các kiến thức liên quan đến nửa nhóm các quan hệ thứ tự trên một tập, băng và nửa dàn, trường hữu hạn - Trình bày điều kiện để một nửa nhóm chuỗi phải thừa nhận cấu trúc vành ( Định lý 2.1.4 ) - Trình bày một chứng minh sơ cấp và chi tiết về cấu trúc của lớp nửa nhóm với các nửa nhóm con tạo thành chuỗi thừa nhận cấu trúc vành ( Định lý 2.2.2 ) - Tìm hiểu các nửa nhóm. .. * là một nhóm nhân xyclic cấp K *  m  p n  1 □ -19- Chương 2 NỬA NHÓM THỪA NHẬN CẤU TRÚC VÀNH 2.1 Nửa nhóm chuỗi phải thừa nhận cấu trúc vành Trong chương này, các nửa nhóm và các nửa nhóm con đều được giả thiết là có phần tử không Phép toán của nửa nhóm được viết theo lối nhân, và các vành có tính chất kết hợp nhưng không nhất thiết có đơn vị 2.1.1 Định nghĩa Giả sử (S , ) là một nửa nhóm với... nửa nhóm với phần tử không Khi đó nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành nếu trên S thiết lập được một phép cộng sao cho (S , , ) là một vành Nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành cũng được gọi là nửa nhóm vành (ring semigroup) Giả sử S là một nửa nhóm và a  S , thế thì iđêan phải của S được ký hiệu bởi aS 1 nghĩa là aS 1  a   ax x  S  , và nửa nhóm con của S sinh bởi a được ký... vì nhóm nhân của ( F , , ) là nhóm cyclic Hơn nữa, có rất nhiều ví dụ về nửa nhóm chuỗi phải là nửa nhóm 0- cyclic Kết quả sau đây chứng tỏ rằng trừ các trường hợp ngoại lệ là nửa nhóm tầm thường ( chỉ có một phần tử là phần tử 0) hoặc nửa nhóm null với hai phần tử, và nếu không kể sự sai khác đẳng cấu thì các nửa nhóm vành 0- cyclic thực chất là nửa nhóm nhân của các trường hữu hạn, nghĩa là nửa nhóm. .. là một nửa nhóm và s là một phần tử trung tâm, giản ước trái của S Thế thì S là một nửa nhóm vành nếu và chỉ nếu sS là nửa nhóm vành Chứng minh Nếu S là nửa nhóm vành, thế thì tồn tại một phép cộng + sao cho (S , , ) là một vành Vì sS là một iđêan phải của vành, nên sS là một nửa nhóm vành -28- Đảo lại, giả sử sS là một nửa nhóm vành Thế thì tồn tại một phép cộng + sao cho (sS , , ) là một vành Ta... với các nửa nhóm con của nó tạo thành chuỗi là các nửa nhóm chuỗi phải và như vậy Định lý 2.1.4 được áp dụng cho nửa nhóm này Sau đây chúng tôi trình bày một chứng minh hoàn chỉnh và sơ cấp kết quả của Oman 2.2.1 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm với các nửa nhóm con tạo thành chuỗi nếu thỏa mãn điều kiện: với hai nửa nhóm con tùy ý A và B của S đều có A  B hoặc B  A Giả sử S là nửa nhóm. .. bằng cách lấy A  J ta nhận được card S  2 □ 2.2 Nửa nhóm vành với các nửa nhóm con tạo thành một chuỗi Năm 2009, G Oman đã đặc trưng được các nửa nhóm vành với các nửa nhóm con của nó tạo thành chuỗi theo quan hệ thứ tự bao hàm Tuy nhiên, trong phép chứng minh đó, G Oman đã phải sử dụng một kết quả không tầm thường khác, đó là Định lý Mihailescu về giả thuyết Catalan (xem [8]) Chú ý rằng nửa nhóm. .. không phải là nửa nhóm vành b b  a Từ đó a, b  = b  , 1 không phải là nửa nhóm vành theo Định lý 3.3.2 Nếu b  a   b thì -1  b  b < 0 nên  , 1 không phải là nửa nhóm vành Từ đó theo a a  b  Định lý 3.3.2, a 2  , 1 = [ ab, a 2 ] = a [ a, b ] không phải là nửa nhóm vành, và a  lại do Định lý 3.3.2, a, b  không phải là nửa nhóm vành □ Bây giờ ta xét các nửa nhóm khoảng bị... và mỗi phần tử khác không của S khả nghịch Vì S là một nửa nhóm vành giao hoán nên S đẳng cấu với một nửa nhóm nhân của một trường hữu hạn -22- Rõ ràng, các nửa nhóm 0, 0,s với s 2  0 và vành 0- cyclic pn là các nửa nhóm □ 2.1.7 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm sao cho eS = S với e  S nào đó, và giả sử J   s  S sS  S Nếu S là nửa nhóm vành, thế thì đối với một tập con A tùy ý của S với tính... nếu (S , , ) là một vành 2  2 2  n với phép cộng + bổ sung thì  ab b2   ,  là một iđêan của vành, và như vậy  2 2 -31-  ab b2   ,  là một nửa nhóm vành, mâu thuẫn với Mệnh đề 2.3.5  2 2 □ Từ các Mệnh đề 2.3.3, 2.3.4 và 2.3.5 trực tiếp suy ra kết quả sau 2.3.6 Định lý Các nửa nhóm khoảng 0 và 1 là các nửa nhóm khoảng bị chặn với phép nhân trên thừa nhận cấu trúc vành -32- KẾT LUẬN ... không Nửa nhóm S gọi nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành S xác định phép cộng cho (S , , ) vành Một nửa nhóm S thừa nhận cấu trúc vành gọi nửa nhóm vành Không phải nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành. .. thừa nhận cấu trúc vành, nửa nhóm null, nửa nhóm chuỗi phải điều kiện để nửa nhóm chuỗi phải thừa nhận cấu trúc vành Tiếp đến, trình bày cấu trúc nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành cho lớp nửa nhóm. .. tỏ m  K * K * nhóm nhân xyclic cấp K *  m  p n  □ -19- Chương NỬA NHÓM THỪA NHẬN CẤU TRÚC VÀNH 2.1 Nửa nhóm chuỗi phải thừa nhận cấu trúc vành Trong chương này, nửa nhóm nửa nhóm giả thiết