Nửa nhóm vành với các nửa nhóm con tạo thành một chuỗi

chuỗi.

Năm 2009, G. Oman đã đặc trưng được các nửa nhóm vành với các nửa nhóm con của nó tạo thành chuỗi theo quan hệ thứ tự bao hàm. Tuy nhiên, trong phép chứng minh đó, G. Oman đã phải sử dụng một kết quả không tầm thường khác, đó là Định lý Mihailescu về giả thuyết Catalan (xem [8]). Chú ý rằng nửa nhóm với các nửa nhóm con của nó tạo thành chuỗi là các nửa nhóm chuỗi phải và như vậy Định lý 2.1.4 được áp dụng cho nửa nhóm này. Sau đây chúng tôi trình bày một chứng minh hoàn chỉnh và sơ cấp kết quả của Oman.

2.2.1. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm với các nửa nhóm

con tạo thành chuỗi nếu thỏa mãn điều kiện: với hai nửa nhóm con tùy ý A và B của S đều có AB hoặc B A.

Giả sử S là nửa nhóm và Sub S( ) là tập hợp các nửa nhóm con của S. Khi đó trên Sub S( ) xác định quan hệ  cho bởi AB nếu và chỉ nếu



A B với ,A BSub S( ) . Thế thì Sub S( ) là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ  xác định như trên. Hơn nữa, (Sub S( ),)được sắp thứ tự toàn phần nếu và chỉ nếu S là nửa nhóm với các nửa nhóm con tạo thành chuỗi.

2.2.2. Định lý. Một nửa nhóm S là một nửa nhóm vành với các nửa nhóm con tạo thành chuỗi nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(1) S 0 ;

(2) S là một nửa nhóm null với hai phần tử;

(3) S  p, trong đó p là số nguyên tố và p 2n 1, với n là số tự nhiên nào đó;

(4)

2

 n

S , trong đó n là số nguyên dương sao cho 2n 1 là một số nguyên tố;

(5) S  9.

Chứng minh. Kiểm tra trực tiếp được rằng các nửa nhóm trong (1) – (5) đều thỏa mãn tính chất các nửa nhóm con của chúng được sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm.

Đảo lại, giả thiết rằng S là một nửa nhóm vành với các nửa nhóm con của nó tạo thành chuỗi. Nếu S 0 thì S có dạng (1). Giả thiết rằng

 0



S . Vì đối với x y, S\ 0  ta có 0,x  0,y hoặc 0,y  0,x do đó

 n

x y hoặc yxn với n là số nguyên dương nào đó, mà điều kiện đó kéo theo xy yx. Như vậy S là nửa nhóm giao hoán. Nếu sS S với sS

tùy ý, thế thì S có dạng (2) theo Định lý 2.1.4. Giả thiết rằng sS S với sS nào đó và S 0 . Thế thì sse với eS\ 0 . Vì đối với



x S tùy ý, x S sS nên tồn tại yS sao cho xsy, từ đó

   

ex esy sey sy x và như vậy e là phần tử đơn vị của S và  0,e là một nửa nhóm con của S. Vì các nửa nhóm con của S tạo thành một chuỗi nên đối với tS\ 0  tùy ý có  0,e  0,t và như vậy tne với n là số tự nhiên nào đó, mà từ đó chứng tỏ rằng S\ 0  là một nhóm Abel xoắn.

Giả sử + là một phép cộng sao cho ( , , )S  là một vành. Từ các kết quả trên suy ra ( , , )S  là một trường với đặc số p. Chúng ta khẳng định rằng:

Vành con hữu hạn tùy ý F của ( , , )S  thuộc một trong các họ (3),

(4), (5) (**), nghĩa là F đẳng cấu với một trường p với p được mô tả trong (3), hoặc F đẳng cấu với

2n với n được mô tả trong (4), hoặc

9



F . Khi đã chứng minh được điều đó, sẽ suy ra S hữu hạn và như vậy do (**), S thuộc một trong các họ (3), (4), hoặc (5).

Thật vậy, vì nhóm nhân S \ 0  xoắn nên mỗi phần tử của S thuộc một trường con hữu hạn của S. Từ đó, nếu S vô hạn, thế thì S phải chứa vô hạn các trường con. Nhưng, do giả thiết (**), nếu p 2,3 , thế thì trường con hữu hạn duy nhất của S là p, và nếu p3 thì các trường con của S chỉ có thể 3 và 9. Chúng ta xét trường hợp p2. Giả thiết rằng 2m1 và 2m2

là hai trường con khác nhau của S với 2m1m2. Vì các trường con của S

tạo thành một chuỗi nên 2m1  2m2. Từ đó, do giả thiết (**), 2m1 1 và

2

2m 1

là các số nguyên tố cùng nhau sao cho 2m1 1

chia hết cho 2m2 1 . Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng nếu p2 thì S không chứa trường con nào nhiều hơn hai phần tử.

Để chứng minh (**), giả thiết rằng F là một trường con hữu hạn của S. Thế thì F  pm với m là số nguyên dương nào đó, và nhóm nhân F\ 0  là một nhóm con cyclic của S\ 0  với cấp pm 1. Như vậy đối với a, b là các số nguyên dương nào đó, nếu pm 1 ab thì nhóm F \ 0 

chứa các nhóm con A, B cấp a, b tương ứng, và vì các nửa nhóm con

 0



vậy a chia hết cho b hoặc b chia hết cho a. Do đó, nếu pm 1 1 thì 1

 

m k

p q với q nguyên tố và k là số nguyên dương nào đó (***).

Giả thiết rằng p2. Thế thì pm 1 1, từ đó (***) đúng với q2, nghĩa là pm 1 2k. Nếu m chẵn, thế thì 2k (pm2 1)(pm2 1), từ đó

2

(pm  1) 2 và (pm2 1)2 với  , là các số nguyên dương nào đó. Như vậy 2 ( pm2 1) ( pm2 1)2 2, do đó  1 và như vậy p3 và m2. Từ đó F  9 có dạng (5). Chúng ta xét trường hợp m lẻ. Thế thì 1 0 2 ( 1)     m k i i p p . Vì m và p lẻ nên 1 0    m i i p cũng lẻ, như vậy 1 0 1     m i i p ,

suy ra m1. Từ đó F  p, trong đó p2k 1 là số nguyên tố, và như vậy

F thuộc dạng (3).

Bây giờ giả thiết rằng p2. Nếu 2k 1 1

thì m1 và F  2 thuộc dạng (3). Giả thiết rằng 2k 1 1

. Thế thì từ (***) có 2m 1qk với

q là số nguyên tố và k là số nguyên dương nào đó. Nếu k chẵn, thế thì 1 (mod 4)



k

q , như vậy 2m 2 (mod 4) . Từ đó m1 và như vậy qk 1: mâu thuẫn. Nếu k lẻ, thế thì 1 0 2 (1 ) ( )     k  m i i q q . Vì k và q lẻ nên 1 0 ( )     k i i q lẻ , do đó 2m  1 q. Từ đó 2  m

F , trong đó m là số nguyên dương và 2m1q là số nguyên tố, như vậy F thuộc dạng (4). □