Về các nửa nhóm ternary

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ LỆ THỦY VỀ CÁC NỬA NHÓM TERNARY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ LỆ THỦY VỀ CÁC NỬA NHÓM TERNARY CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An - 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ………………………………………………………… CHƢƠNG CÁC PHẦN TỬ ĐẶC BIỆT TRONG NỬA NHÓM 1.1.Phần tử khả nghịch nhóm tối đại ………………… 1.2 Phần tử quy Nửa nhóm quy………………… 1.3 Phần tử ngƣợc Nửa nhóm ngƣợc…… 1.4 Phần tử khơng Nhóm phải ………………………………… CHƢƠNG VỀ CÁC NỬA NHĨM TERNARY 2.1 Nửa nhóm ternary ………………………………………… 11 2.2 Nửa nhóm ternary quy ……………………………… 16 2.3 Cái phủ nửa nhóm nửa nhóm ternary…………… .18 KẾT LUẬN……………………………………………………………….25 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………26 LỜI NÓI ĐẦU Một nửa nhóm ternary tập hợp khác rỗng T với phép tốn ba ngơi T T T  T ,  a, b, c   abc  thỏa mãn luật kết hợp thứ   abc  uv    a bcu  v    ab cuv  , a, b, c T     Khái niệm nửa nhóm ternary đƣợc Banach nêu ơng xét số ví dụ nửa nhóm ternary khơng đƣa đƣợc nửa nhóm (với phép tốn hai ngơi) Năm 1955, J Los chứng minh đƣợc rằng: nửa nhóm nhúng đƣợc vào nửa nhóm Trƣớc đó, năm 1932, D H Lehmer khảo sát loạt hệ thống ba để nửa nhóm ternary trở thành nửa nhóm ternary giao hoán Năm 1965, F M Sioson nghiên cứu nửa nhóm ternary liên quan đặc biệt đến iđêan cách mở rộng khái niệm biết nhƣ iđêan nguyên sơ, iđêan nửa nguyên sơ Ơng định nghĩa nửa nhóm ternary quy Một số tính chất nửa nhóm quy khác đƣợc nghiên cứu tác giả M L Santiago S Svi Bala vào năm 1990 2000 Phép nhân ternary tƣơng thích với cấu trúc không gian vectơ đƣợc nghiên cứu cách sử dụng hai phƣơng pháp đại số giải tích hàm, chúng đƣợc trình bày cơng trình tác giả K Mayber (1972) V Ramaswmy (1981) Khái niệm khả nghịch phần tử hệ thống ba đƣợc xét đến, độc lập với khái niệm nhị phân phần tử đơn vị Khái niệm đƣa đến đặc trƣng tổng quát hóa khái niệm nhóm Luận văn chúng tơi dựa báo Ternary semigroups hai tác giả M I Santiago S Sri Bala đăng tạp chí Semigroup Forum số 81, năm 2010 để tìm hiểu điều kiện quy nửa nhóm ternary Đặc biệt quan tâm kết tƣơng tự lý thuyết nửa nhóm: nửa nhóm ternary nhúng đƣợc vào nửa nhóm Luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng Trong chƣơng trình bày kiến thức phần tử khả nghịch nhóm tối đại, phần tử quy - nửa nhóm quy, phần tử ngƣợc - nửa nhóm ngƣợc, phần tử khơng - nhóm phải Chƣơng nội dung luận văn Trong chƣơng chúng tơi trình bày nửa nhóm ternary, nửa nhóm ternary quy phủ nửa nhóm nửa nhóm ternary Luận văn đƣợc thực hoàn thành Trƣờng Đại học Vinh, tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Quốc Hán, ngƣời hƣớng dẫn tác giả hoàn thành Luận văn Tác giả cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, Phịng Đào tạo Sau đại học nhƣ thầy giáo, cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Trƣờng Đại học Vinh tạo điều kiện giúp đỡ hƣớng dẫn tác giả trình học tập hoàn thành Luận văn Mặc dù cố gắng, song Luận văn tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đƣợc đóng góp q báu thầy giáo, giáo bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả CHƯƠNG CÁC PHẦN TỬ ĐẶC BIỆT TRONG NỬA NHÓM 1.1 PHẦN TỬ KHẢ NGHỊCH VÀ NHÓM CON TỐI ĐẠI Đối với nửa nhóm S tùy ý, ta xét vị nhóm S1 cách bổ sung đơn vị cho S, S không chứa đơn vị : S mơt vi nhóm khi S làSmột vị nhóm S khơng vi nhóm S khơng phảiphai vịlànhóm  S  1 khikhi S   trƣờng hợp thứ hai, phần tử đơn vị mới, 1 S 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S vị nhóm với đơn vị Nếu x y phần tử thuộc S cho xy = x gọi nghịch đảo bên trái y, y đƣợc gọi nghịch đảo bên phải x Phần tử khả nghịch bên phải (trái) S đƣợc định nghĩa phần tử có nghịch đảo bên phải (trái) thuộc S Phần tử khả nghịch thuộc S phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải 1.1.2 Mệnh đề [1, trang 44] Giả sử S nửa nhóm với phần tử đơn vị Khi đó: (i) Tập P (hay Q) tất phần tử khả nghịch bên trái (hay bên phải) S nửa nhóm với luật giản ước bên phải (tương ứng, bên trái) chứa (ii) Tập U tất phần tử khả nghịch thuộc S nhóm S U = P Q Mỗi phần tử nghịch đảo hai phía thuộc U khơng có nghịch đảo bên trái hay bên phải thuộc tập (iii) Mỗi nhóm S chứa chứa U 1.1.3 Định nghĩa Phần tử e  S đƣợc gọi lũy đẳng e = e Tập hợp tất lũy đẳng nửa nhóm S đƣợc ký hiệu E(S), ES hay đơn giản E Phần tử đơn vị nửa nhóm lũy đẳng nhƣng ngƣợc lại khơng 1.1.4 Nhận xét Một nửa nhóm tùy ý khơng phải chứa nhóm Chẳng hạn, nhóm xyclic vơ hạn khơng chứa nhóm Hơn S chứa nhóm S chứa lũy đẳng Nếu e lũy đẳng S, eS gồm tất phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị trái, nghĩa ea = a a  eS Tƣơng tự Se gồm tất phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị phải, nghĩa ae=a, a  Se, eSe = eS  Se tập hợp tất phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị hai phía Vì eSe có đơn vị hai phía e nên eSe có nhóm phần tử khả nghịch mà ta ký hiệu H e 1.1.5 Mệnh đề [1, trang 45] Giả sử e lũy đẳng tùy ý nửa nhóm S H e nhóm phần tử khả nghịch nửa nhóm eSe Thế H e chứa nhóm G S mà G giao với H e 1.1.6 Định nghĩa Nhóm G nửa nhóm S đƣợc gọi nhóm tối đại S, G khơng thực đƣợc chứa nhóm khác S Giả sử G nhóm tối đại nửa nhóm S e đơn vị G, e  G  H e , G = H e tính chất tối đại G Đảo lại, e lũy đẳng S từ Mệnh đề 1.1.6 suy H e nhóm tối đại nửa nhóm S Từ Mệnh đề 1.1.6 suy e f lũy đẳng khác S H e H f không giao 1.1.7 Chú ý Giả sử X tập hợp tùy ý khác rỗng Ký hiệu T X tập hợp tất ánh xạ từ X vào Thế T X với phép nhân ánh xạ nửa nhóm, phép nhân ánh xạ thỏa mãn luật kết hợp Hơn T X vị nhóm với đơn vị ánh xạ đồng đƣợc ký hiệu 1X Vị nhóm T X đƣợc gọi nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ tập X 1.1.8 Mệnh đề [1, trang 46] Giả sử T X nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ tập X Khi : (i) Nửa nhóm phần tử khả nghịch bên trái T X gồm tất ánh xạ - từ X vào X; (ii) Nửa nhóm phần tử khả nghịch bên phải TX gồm tất ánh xạ - từ X vào X; (iii) Nhóm G X tất phần tử khả nghịch TX gồm tất song ánh từ X lên Nếu X tập hợp hữu hạn, X  n TX vị nhóm hữu hạn TX  n n ; G X nhóm hữu hạn với cấp n! Trong trƣờng hợp này, G X thƣờng đƣợc gọi nhóm phép bậc n đƣợc ký hiệu Sn 1.1.9 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm X tập hợp khác rỗng tùy ý Một đồng cấu  : S  TX đƣợc gọi biểu diễn nửa nhóm S Biểu diễn  : S  TX đƣợc gọi biểu diễn trung thành  đơn ánh 1.1.10 Định lý Cayley Mỗi nửa nhóm có biểu diễn trung thành 1.2 PHẦN TỬ CHÍNH QUY NỬA NHĨM CHÍNH QUY 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm (i) Phần tử a  S đƣợc gọi phần tử quy tồn x  S cho axa  a ; (ii) Nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nhóm quy phần tử thuộc S phần tử quy 1.2.2 Chú ý Giả sử S nửa nhóm a  S Ký hiệu W  a   a  S axa  a Thế S nửa nhóm quy W  a    với a  S Hơn nữa, x  S ax xa phần tử lũy đẳng S Do S quy E(S) ≠  Nói chung E(S) khơng phải nửa nhóm S Nếu S nửa nhóm quy E(S) nửa nhóm S S đƣợc gọi nửa nhóm orthodox 1.2.3 Mệnh đề [1, trang 53] Phần tử a thuộc nửa nhóm S quy iđêan phải (trái) S sinh lũy đẳng 1.2.4 Định nghĩa (i) Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ L, R,J S nhƣ sau : aLb  S 1a = S 1b aRb  aS1 = bS1 aJ b  S 1a S1 = S1bS1 H=RL D = LoR (= RoL) Khi quan hệ L, R, J , H, D đƣợc gọi quan hệ Grin S (ii) Một D-lớp đƣợc gọi quy chứa phần tử quy 1.2.5 Mệnh đề [1, trang 103] (i) Nếu D-lớp D chứa phần tử quy D D-lớp quy (ii) Nếu D D-lớp quy L-lớp R-lớp chứa D chứa lũy đẳng (iii) Mỗi D-lớp quy chứa lũy đẳng 10 1.2.6 Bổ đề Lallement Giả sử  tương đẳng nửa nhóm quy S Khi : (i) S/ nửa nhóm quy (ii) Với lũy đẳng x E(S/) tồn lũy đẳng e  E(S) cho e  x 1.2.7 Mệnh đề [1, trang 63] Giả sử X tập hợp khác rỗng tùy ý Khi nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ T X nửa nhóm quy 1.3 PHẦN TỬ NGƯỢC NỬA NHĨM NGƯỢC 1.3.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm (i) Hai phần tử a,b  S đƣợc gọi ngược aba = a bab = b (ii) Nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nhóm ngược phần tử S có phần tử ngƣợc 1.3.2 Chú ý (i) Giả sử S nửa nhóm a  S Ký hiệu V  a  tập hợp tất phần tử ngƣợc a S Thế S nửa nhóm quy V  a  ≠  với a  S Hơn S nửa nhóm ngƣợc V  a   , a  S (ii) Giả sử S nửa nhóm ngƣợc a  S Khi phần tử ngƣợc a S đƣợc ký hiệu a 1 Thế aa1  E  S  a1a  E  S  Hơn nữa, a, b  S ta có  a 1   a  ab   b1a 1 1 1 1.3.3 Mệnh đề [1, trang 54] Ba điều kiện sau nửa nhóm S tương đương: (i) S quy hai lũy đẳng S giao hoán với nhau; 15 2.1.3 Định nghĩa Một nửa nhóm heap (semiheap) T tập hợp khác rỗng T với phép toán tam phân (a, b, c)  abc  thỏa mãn luật kết hợp thứ hai :   abc  uv    a ucb  v    ab  cuv  , a, b, c, u, v T     2.1.4.Ví dụ (i) Nửa nhóm S với phép đối hợp a a (thỏa mãn ab = b a ) trở thành nửa nhóm heap theo cách tự nhiên cách định nghĩa tích tam phân    abc   ab c, a, b, c  S (ii) Tập hợp M p.q tất ma trận cỡ p  q trƣờng nửa nhóm heap với tích tam phân  ABC   ABt C , Bt ma trận chuyển vị B Thật vậy,  AB   Bt At nên phép chuyển phép đối hợp, từ luật kết hợp t thứ hai đƣợc thỏa mãn 2.1.5 Định nghĩa Một tập hợp khác rỗng A T đƣợc gọi : (i) Nửa nhóm ternary T A3   AAA  A (ii) Iđêan trái TTA  A (iii) Iđêan phải  ATT   A (iv) Iđêan TAT   A (v) Iđêan hai phía A vừa iđêan bên phải vừa iđêan bên trái (vi) Iđêan A vừa iđêan hai phía vừa iđêan 2.1.6 Định nghĩa Đối với tập hợp khác rỗng A tùy ý T: (i) Al  A  TTA iđêan trái sinh A (ii) Ar  A   ATT  iđêan phải sinh A 16 (iii) Am  A  TAT   TTATT  iđêan sinh A (iv) At  A  TTA   ATT   TTATT  iđêan hai phía sinh r A (v) A  A  TTA   ATT   TAT   TTATT  iđêan sinh A 2.1.7 Định nghĩa (i) Một phần tử e  T đƣợc gọi tự lũy linh (selfpotent) e3  e (ii) Nửa nhóm ternary đƣợc gọi ternary tự lũy linh, phần tử tự lũy linh (iii) Một phần tử eT đƣợc gọi song đơn vị (biunital) eex  x   xee, x T 2.1.8 Định nghĩa (i) Một phần tử a  T đƣợc gọi quy (regular) có tồn phần tử x  T cho  axa   a (ii) Nếu a b hai phần tử T cho  axa   a ; bxb   b chúng đƣợc gọi hai phần tử ngược (inverse) lẫn Từ Định nghĩa 2.1.8 trực tiếp suy 2.1.9 Bổ đề Mỗi phần tử quy có phần tử ngược 2.1.10 Định nghĩa (i) Một cặp  a, b  phần tử thuộc T đƣợc gọi cặp lũy đẳng (idempotent pair)  ab  abx    x    xab  ab  , x T (ii) Một cặp lũy đẳng  a, b  đƣợc gọi tự nhiên (natural) a b hai phần tử ngƣợc 17 Nếu a phần tử quy với b phần tử ngƣợc  a, b  cặp lũy đẳng Nếu  a, b  cặp lũy đẳng  aba  phần tử quy bab  phần tử ngƣợc 2.1.11 Định nghĩa Hai cặp lũy đẳng  a, b   c, d  T đƣợc gọi giao hoán (commute)  ab cdx    cd  abx    xab cd     xcd  ab   , x T     2.1.12 Định nghĩa Hai cặp lũy đẳng  a, b   c, d  đƣợc gọi tương đương (equivalent) - ký hiệu  a, b  ~  c, d  -  abx   cdx   xab    xcd  , x T Lớp tƣơng đƣơng chứa  a, b  đƣợc ký hiệu  a, b  Tập hợp tất lớp tƣơng đƣơng cặp lũy đẳng T đƣợc ký hiệu E T  2.1.13 Bổ đề Mỗi cặp tương đẳng tương đương với cặp tương đẳng tự nhiên Chứng minh Giả sử  a, b  cặp tƣơng đẳng Khi  aba  quy với   bab  phần tử ngƣợc Khi  aba  , bab  cặp tƣơng đẳng tự nhiên thỏa mãn  a, b  ~   aba  , bab   2.1.14 Mệnh đề ([5]) Giả sử T nửa nhóm ternary mà tất cặp lũy đẳng giao hoán với Thế E( T) nửa dàn với phép tốn hai ngơi ab cd    abc  , d    a, bcd   2.1.15 Định nghĩa Một nửa nhóm ternary T đƣợc gọi là: 18 (i) Giản ước trái  abx    aby  kéo theo x  y (ii) Giản ước phải  xab    yab  kéo theo x  y (iii) Giản ước  axb    ayb  kéo theo x  y (iv) Giản ước vừa giản ƣớc bên trái, vừa giản ƣớc bên phải đồng thời giản ƣớc 2.1.16 Bổ đề Các cặp lũy đẳng nửa nhóm giản ước T (nếu chúng tồn tại) tương đương Chứng minh Nếu  a, b  cặp lũy đẳng,  ab  abx     abx  , theo luật giản ƣớc, có  abx   x, x T Giả sử  a, b   c, d  hai cặp lũy đẳng tùy ý Khi theo nhận xét trên, x T có  abx   x  cdx    xab   xcd  Từ  a, b  ~  c, d   2.1.17 Mệnh đề ([5]) Giả sử T nửa nhóm ternary Khi điều kiện sau tương đương : (i) T giản ước; (ii) T giản ước trái giản ước phải; (iii) T giản ước giữa; (iv) Với a  T, từ  axa    aya  kéo theo x  y Chú ý Một nửa nhóm (với phép tốn hai ngơi) S đƣợc gọi nửa dàn phần tử S phần tử lũy đẳng S giao hốn Khi quan hệ  cho a  b  ab  ba  a thứ tự phận S inf a, b  ab 19 2.2 NỬA NHĨM TERNARY CHÍNH QUY Ta nhắc lại phần tử a  T đƣợc gọi phần tử quy tồn x  T cho  axa   a Nửa nhóm ternary T đƣợc gọi nửa nhóm ternary quy phần tử T phần tử quy Phần hệ thống số kết liên quan đến nửa nhóm ternary (phần lớn đƣợc chứng minh [6]) Chú ý A tập nửa nhóm ternary Khi ký hiệu A  :   xyz  | x, y, z  A 2.2.1 Bổ đề Giả sử A iđêan nửa nhóm ternery quy,   A = A Nói riêng, T = T 3 Chứng minh Vì A iđêan nửa nhóm ternery quy T nên TTA  A,  ATT   A, TAT   A Nói riêng A    AAA  A Giả sử aA Vì T nửa nhóm quy nên a có phần tử ngƣợc a, T 3 3 Khi a,   a,aa,   A a   aa,a    AAA  A từ A  A Suy  A= A Vì T iđêan nửa nhóm ternary T nên từ kết suy T 3  T  2.2.2 Định lý Giả sử T nửa nhóm ternary Khi điều kiện sau tương đương : (i) T nửa nhóm ternery quy; (ii) Nếu R L tương ứng iđêan phải iđêan trái T R  L   RTL  ; (iii) Với a, b  T có  a r   b l   a r T  b l  ; (iv) Với a  T có  a r   a l   a r T  a l  20 Chứng minh (i)  (ii) Vì R L tƣơng ứng iđêan phải iđêan trái T nên  RTT   R  LTT   L Nói riêng,  RTL   R  LTR   L Từ  RTL   R  L (theo [6]) Đảo lại, a  R  L a  R a  L Vì T nửa nhóm ternary quy nên tồn a’T cho a   aa,a  Khi a   aa,a    RTL  nên R  L   RTL  Vậy R  L   RTL  (ii)  (iii)  (iv) hiển nhiên Ta chứng minh (iv)  (i) Thật vậy, a  T có a   a r   a l   a r T  a l    a   aTT  T  a  TTa      aTa  Do tồn x  T cho a   axa  , nên a phần tử quy Từ T nửa nhóm ternary quy Chú ý  a r iđêan phải sinh a nên theo Định nghĩa 2.1.6, có  a r   a    aTT   Tƣơng tự, al iđêan trái sinh a nên  a l   a   TTa    2.2.3 Định nghĩa Giả sử T nửa nhóm ternary quy T đƣợc gọi nửa nhóm ternary quy mạnh (strongly regular ternary semigroup) cặp lũy đẳng T giao hoán đƣợc với Chú ý Theo Định lý 2.1.14, tập hợp tất lớp tƣơng đẳng cặp lũy đẳng nửa nhóm quy mạnh nửa dàn 2.2.4 Định nghĩa (i) Một iđêan trái L (iđêan phải R) nửa nhóm ternary T đƣợc gọi có biểu diễn lũy đẳng (to have an idempotent representation) 21 tồn cặp lũy đẳng  a, b  T cho L  Tab  (tƣơng ứng, R   abT  ) (ii) Một iđêan trái L (phải R) T đƣợc gọi có biểu diễn lũy đẳng cặp lũy đẳng biểu diễn L (tƣơng ứng, R) tƣơng đƣơng Các kết sau đƣợc chứng minh [6] 2.2.5 Bổ đề Một phần tử a  T quy iđêan trái (phải) T sinh a có biểu diễn lũy đẳng 2.2.6 Mệnh đề Trong nửa nhóm ternary quy mạnh T iđêan trái (phải) T có biểu diễn lũy đẳng 2.2.7 Mệnh đề Giả sử T nửa nhóm ternary quy mạnh Khi 1 phần tử a  T có phần tử ngược a  T Hơn với a, b, c  T có  abc   c 1b 1a 1  1 2.3 CÁI PHỦ NỬA NHÓM CỦA MỘT NỬA NHÓM TERNARY Đối với nửa nhóm ternary T xây dựng nửa nhóm ST cho T nhúng đƣợc vào ST nhƣ nửa nhóm ternary Năm 1972, K Mayberg sử dụng toán tử tuyến tính nhân phải R  x, y  nhân trái L  x, y  hệ ba T đại số liên kết A đƣợc xây dựng mà T đƣợc nhúng vào nhƣ khơng gian cho tích tam phân  xyz  T tích nhị phân xyz A Chúng ta trình bày kỹ thuật nhƣ vậy, phép tốn khơng tuyến tính 2.3.1 Định nghĩa ký hiệu Ký hiệu toán tử nhân trái nhân phải L  x, y  R  x, y  T L  x, y  z   xyz  , R  x, y  z   zyx  , z T Do luật kết hợp, ta có 22 L  x, y  L  u, v   L  xyu  , v   L  x,  yuv  , R  x, y  R  u, v   R  x, vuy   R uyx  , v  Đặt m  x, y    L  x, y  , R  y, x   Định nghĩa tích tập hợp M  m  x,y  x,y T  m  x, y  m  u, v    L  x, y  L u, v  , R  v, u  R  y, x    L  xyu  , v  , R  v,  xyu   m  xyu  , v  Tƣơng tự, có m  x, y  m  u, v   m  x,  yuv  Luật kết hợp với phép tốn hai ngơi Nhƣ M trở thành nửa nhóm Xét tập hợp S T = TM Định nghĩa phép nhân ST  m  A, B    m  x, y  m  u, v  AB    m( x, y)b   xyb    am( x, y)   axy  A, B  T , A  m  x, y  , B  m  u, v   M , A  m  x, y   M , B  b  T , A = a  T , B = m  x, y   M 2.3.2 Định lý ST nửa nhóm T2 = M Nửa nhóm ternary T nhúng vào ST nửa nhóm ternary ST Chứng minh Kiểm tra trực tiếp chứng tỏ phép nhân kết hợp M M  T Nếu x, y, zT ST có  xy  z  m  x, y  z   xyz   x  zy  Từ T nửa nhóm ternary ST Từ Định lý 2.3.2 trực tiếp suy 2.3.3 Hệ Mỗi nửa nhóm ternary nhúng vào nửa nhóm 2.3.4 Định nghĩa Nửa nhóm ST đƣợc gọi phủ nửa nhóm T  23 2.3.5 Mệnh đề Giả sử T nửa nhóm ternary ST phủ nửa nhóm Nếu  :T  S đồng cấu nửa nhóm ternary T vào nửa nhóm giản ước S xét nửa nhóm ternary theo cách tự nhiên, tồn đồng cấu nửa nhóm  : ST  S cho   t     t  , t T Chứng minh Xác định  : ST  S   t     t  , t T   ab     m  a, b      a    b  , với m  a, b   M ,  a, b T  Thế  đồng cấu nửa nhóm Nếu  , : ST  S đồng cấu nửa nhóm cho  ,  t     t  , t T  ,  t     t     t  , t T Từ ,  ab   ,  a ,  b     a   b     ab  Nhƣ  ,    Khái niệm phủ nửa nhóm cơng cụ hữu ích để nghiên cứu tính chất nửa nhóm ternary 2.3.6 Bổ đề ([6]) Giả sử T nửa nhóm ternary ST phủ nửa nhóm T Khi đó: (i) Các lũy đẳng ST lũy đẳng M (ii) m  a, b  ST lũy đẳng  a, b  cặp lũy đẳng T (iii) Các lũy đẳng S T giao hoán với cặp lũy đẳng giao hoán với T (iv) m  e, e  lũy đẳng ST phần tử tự lũy linh e  T tùy ý (v) Các cặp lũy đẳng tương đương T nhận lũy đẳng ST (vi) Nếu e phần tử song đơn vị T, m  e, e  đơn vị ST 24 2.3.7 Bổ đề Có tương ứng song ánh tập hợp tất lớp tương đương cặp lũy đẳng T tập hợp tất lũy đẳng ST Nếu tất cặp lũy đẳng T giao hốn với ánh xạ song ánh đẳng cấu nửa dàn Chứng minh Nếu  a, b  cặp lũy đẳng T, ánh xạ  :  a, b   m  a, b  song ánh cần tìm  2.3.8 Mệnh đề Giả sử ST phủ nửa nhóm nửa nhóm ternary T Khi đó: (i) ST giao hoán T giao hoán (ii) ST giản ước T giản ước Tiếp theo so sánh cấu trúc iđêan T S T 2.3.9 Mệnh đề ([6]) (i) Nếu P iđêan trái (phải) T TP (tương ứng, PT) iđêan trái (phải) M, P  TP (tương ứng, P  TP) iđêan trái (phải) ST (ii) Nếu P iđêan hai phía T PT TP iđêan M (iii) Nếu P iđêan T P  TP TP iđêan ST 2.3.10 Mệnh đề Khơng có iđêan ST chứa hồn tồn M Nói cách khác, K iđêan ST K  T ≠  Chứng minh Giả sử K iđêan ST cho K  M Giả sử k  m  a, b   K Thế với t  T tùy ý, kt  m  a, b  t  abt   KT Nhƣ KT ≠  Nhƣng KT  K  T  M  T   , mâu thuẫn  2.3.11 Mệnh đề ([6]) Nếu K iđêan (trái, phải) ST K  T iđêan (trái, phải) T Ta nhắc lại S nửa nhóm đơn S có iđêan S 25 2.3.12 Định lý Giả sử T nửa nhóm ternary ST phủ nửa nhóm T Thế ST nửa nhóm đơn T nửa nhóm đơn Chứng minh Giả sử T nửa nhóm đơn Nếu K iđêan S T K  T iđêan T Vì T đơn nên K  T = T Từ T  K M  T  K nên ST  K Hiển nhiên K  ST nên K = S T Vậy S T nửa nhóm đơn Đảo lại, giả thiết S T nửa nhóm đơn J iđêan T Khi iđêan S T sinh J  J   J  TJ  JT Vì ST đơn nên  J  = ST hay J TJ  JT  ST Từ  J   T  T Nhƣng  J   T  J nên T  J , T đơn  2.3.13 Mệnh đề Giả sử T nửa nhóm ternary với phần tử song đơn vị Giả thiết K iđêan trái (phải) ST J = K  T Thế J  TJ = K (tương ứng, J  JT = K) Chứng minh Giả sử e phần tử song đơn vị T Giả thiết K iđêan trái ST J = K  T Khi J  TJ  K Để chứng minh bao hàm thức ngƣợc lại, xét phần tử a K Nếu a  T a  K T  J Nếu a  M a  m  x, y  , với x, y  T Vì K iđêan trái ST nên za  zm  x, y    zxy   K T  J , z T Lấy z  e , ta nhận đƣợc a  m  x, y   m eex , y   m e , exy   e exy TJ Nhƣ vậy, aK, a  J TJ nên K  J TJ Tƣơng tự kết iđêan phải đƣợc chứng minh  2.3.14 Định lý Giả sử T nửa nhóm ternary ST phủ nửa nhóm (i) Nếu ST thỏa mãn điều kiện a.c.c (d.c.c) tập iđêan trái T thỏa mãn điều kiện a.c.c (tương ứng d.c.c) tập iđêan trái (ii) Nếu T chứa phần tử song đơn vị khẳng định ngược lại 26 Chứng minh Phép chứng minh (i) đƣợc suy trực tiếp Để chứng minh (ii), ta xét nửa nhóm ternary với phần tử song đơn vị Giả sử K1  K2   Kn  chuỗi iđêan trái S T Đặt J n  Kn T Thế J1  J2  …  Jn  chuỗi tăng iđêan trái T Vì T thỏa mãn a.c.c, nên tồn số nguyên dƣơng n cho J n  J n1  Theo Mệnh đề 2.3.13, Ji  JiT  Ki i Từ Kn  Kn1  Nhƣ S T thỏa mãn a.c.c Tƣơng tự ta chứng minh đƣợc khẳng định (ii) d.c.c  Kết tƣơng tự iđêan phải 2.3.15 Định lý Giả sử ST phủ nửa nhóm nửa nhóm ternary T Thế T nửa nhóm quy ST nửa nhóm quy Chứng minh Giả sử S T quy a  T x  S T phần tử ngƣợc a thỏa mãn axa = a Nếu x  M axa  M  T = : mâu thuẫn Vậy x  T T quy Đảo lại, giả thiết T quy Chỉ cần chứng minh M quy Giả sử m  a, b   M với b, phần tử ngƣợc b T Khi  abb,  T , tồn uT với   abb,  u  abb,     abb,  u abb  u   u Đối với xT tùy ý,   abb,  u  abb,  bx     abb,  bx  nên   abb,  u  abx     abx  Do                 R  b,   abb,  ua    R  b, a  Do m  a, b   m   abb,  ua, b  = L   abb,  ua  , b  L  a, b  Tƣơng tự,  x  abb,  u  abb,  b    x  abb,  b  Từ m  a, b  m  b, , u  m  a, b  M quy  2.3.16 Định lý Giả sử S T phủ nửa nhóm nửa nhóm ternary T Khi T nửa nhóm quy mạnh ST nửa nhóm ngược 27 Chứng minh Suy từ Định nghĩa 2.2.3, Định lý 2.3.15 Bổ đề 2.3.6 (iii)  2.3.17 Hệ Nếu T nửa nhóm quy giản ước phủ nửa nhóm ST nửa nhóm ngược 2.3.18 Định lý Giả sử S T phủ nửa nhóm nửa nhóm ternary T Thế thì: (i) ST nhóm T khơng chứa iđêan phía thực (ii) ST nhóm T nửa nhóm quy giản ước Chứng minh (i) Giả thiết T không chứa iđêan phía thực Giả sử K iđêan trái S T Thế K  T iđêan trái T Từ T  K nhƣ T  K Do ST = K nên S T đơn trái Tƣơng tự, ST đơn phải ST nhóm Đảo lại, giả thiết S T nhóm A iđêan trái T Thế A  TA iđêan trái ST A  TA = ST = T  M Từ A  T Tƣơng tự thấy T khơng chứa iđêan phải thực (ii) Suy từ Định lý 2.3.8 (ii) Định lý 2.3.15  28 KẾT LUẬN Nội dung luận văn gồm vấn đề sau : Hệ thống kiến thức liên quan đến phần tử đặc biệt nửa nhóm: phần tử đơn vị, phần tử lũy đẳng, phần tử khơng, phần tử quy phần tử ngƣợc Trình bày khái niệm liên quan đến nửa nhóm ternary Hệ thống kiến thức nửa nhóm ternary quy Trình bày cách xây dựng phủ S T nửa nhóm ternary T chứng minh kết nêu lên mối liên quan S T T (Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.12, Định lý 2.3.14, Định lý 2.3.15, Định lý 2.3.16, Định lý 2.3.18) 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphơt G B Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm, tập 1, dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trƣờng Đại học Vinh Tiếng Anh [4] K Mayber (1972), Lecture on Algebras and Triple System Lecture Notes Univ of Virginia, Charlottesville [5] V Ramaswamy (1981), Gelfand - Mazur theorem for quaternionic Banach triple systems Math Jpn 26 (4), 393 - 400 [6] M L Satiago (1990), Regular ternary semigroups Bull Calcutta Math Soc 82, 67 - 71 [7] M L Satiago and S Sri Bala (2010), Ternary semigroups, Semigroup Forum, 81, 380 - 388 [8] F M Sioson (1965) : Ideal theory in ternary semigroups Math Jpn 10, 63 - 84 ... Nhóm phải ………………………………… CHƢƠNG VỀ CÁC NỬA NHĨM TERNARY 2.1 Nửa nhóm ternary ………………………………………… 11 2.2 Nửa nhóm ternary quy ……………………………… 16 2.3 Cái phủ nửa nhóm nửa nhóm ternary? ??………… .18 KẾT LUẬN……………………………………………………………….25... nửa nhóm ternary ST Từ Định lý 2.3.2 trực tiếp suy 2.3.3 Hệ Mỗi nửa nhóm ternary nhúng vào nửa nhóm 2.3.4 Định nghĩa Nửa nhóm ST đƣợc gọi phủ nửa nhóm T  23 2.3.5 Mệnh đề Giả sử T nửa nhóm ternary. .. phần tử ngƣợc - nửa nhóm ngƣợc, phần tử khơng - nhóm phải Chƣơng nội dung luận văn Trong chƣơng chúng tơi trình bày nửa nhóm ternary, nửa nhóm ternary quy phủ nửa nhóm nửa nhóm ternary Luận văn