Về các nửa vành con c đơn của nửa vành q+

-1- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HUỲNH VĂN PHẤT VỀ CÁC NỬA VÀNH CON C – ĐƠN CỦA NỬA VÀNH  LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH – 2012 -2- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HUỲNH VĂN PHẤT VỀ CÁC NỬA VÀNH CON C – ĐƠN CỦA NỬA VÀNH  LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.01.04 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN Vinh – 2012 MỤC LỤC -3- Mở đầu …………………………………………………… …………… Chƣơng Kiến thức chuẩn bị ………………………………………… 1.1 Nửa vành : định nghĩa ví dụ ………………………………… 1.2 Nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính, nửa vành giản ước …………………………………………………………… Chƣơng Các nửa vành c – đơn nửa vành 2.1 Nửa vành c – đơn nửa vành   …………… 17 ………………………… 17 2.2 Nửa vành bão hòa c – đơn nửa vành  ………………… 24 Kết luận ………………………………………………………………… 36 Tài liệu tham khảo …………………………………………………… 37 -4MỞ ĐẦU Lý thuyết vành đời từ kỷ 19 đạt nhiều thành tựu rực rỡ vào cuối kỷ Bước sang kỷ 20, dựa thành tựu lý thuyết môđun, đặc trưng số lớp vành phát nghiên cứu cấu trúc môđun chúng Vào năm kỷ 20, nhu cầu nội toán học, lý thuyết nửa vành xuất thu hút nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Đặc biệt vào năm cuối kỷ 20 đầu kỷ 21, phát triển công nghệ thông tin, lý thuyết nửa vành tỏ có nhiều ưu việc áp dụng tốn học vào khoa học tính tốn Bản luận văn chúng tơi dựa báo Congruence – simple subsemiring of  hai tác giả V Kala M Korbelar đăng tạp chí Semigroup Forum số 81 năm 2010 (xem [10]) để tìm hiểu lớp rộng nửa vành nửa vành  , lớp nửa vành c – đơn Luận văn gồm hai chương : Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở nửa vành số lớp nửa vành đặc biệt nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính nửa vành giản ước để làm sở cho việc trình bày chương sau Chương Các nửa vành c – đơn nửa vành  Đây nội dung luận văn Trước hết chúng tơi trình bày khái niệm nửa vành c – đơn nửa vành  số đặc trưng lớp nửa vành Sau chúng tơi trình bày nửa vành bão hịa c – đơn nửa vành  tính chất chúng Phần cuối trình bày phân lớp phần tử tối đại tập hợp nửa vành c – đơn nửa nhóm  -5Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Lê Quốc Hán định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số – Trường Đại học Vinh động viên, giúp đỡ tác giả trình viết chỉnh sửa luận văn Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, bạn lớp Cao học 18 Đại số Lý thuyết số Trường Đại học Vinh cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng Quý thầy, cô đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 09 năm 2012 Tác giả -6CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 NỬA VÀNH CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ 1.1.1 Định nghĩa Một nửa nhóm (M,  ) bao gồm tập khơng rỗng M phép tốn liên kết  xác định Nếu M nửa nhóm mà tồn phần tử e thỏa mãn m  e = m = e  m tất m  M M gọi vị nhóm có phần tử đơn vị e Dễ dàng chứng tỏ phần tử đơn vị nhất, thường kí hiệu 1M Chú ý nửa nhóm (M,  ) khơng phải vị nhóm nhúng tắc váo vị nhóm M '  M  e , e phần tử khơng thuộc M phép tốn  mở rộng thành phép toán M ' cách định nghĩa m'  e  m'  e  m' tất m'  M ' Một phần tử m  M gọi lũy đẳng m  m  m Một nửa nhóm (M,  ) gọi giao hoán m  m'  m'  m tất m,m'  M Một nửa nhóm (M,  ) gọi thứ tự tồn quan hệ thứ tự phận  xác định M thỏa mãn điều kiện m  m ' kéo theo m  m''  m'  m'' m''  m  m''  m' tất phần tử m, m' m'' thuộc M Một nửa vành (Tương ứng nửa vành với đơn vị) tập khác rỗng R mà xác định hai phép toán cộng nhân cho điều kiện sau thỏa mãn: 1 R,   vị nhóm giao hốn với phần tử đơn vị 0;  2 R,. nửa nhóm (tương ứng vị nhóm với phần tử đơn vị 1R );  3 Phép nhân phân phối phép cộng hai phía,  4 0r   r0 tất r  R (Như quy ước, ta viết thay cho 1R không gây hiểu nhầm) -7Chú ý  r  r1  r0  phần tử r  R R  0 Để tránh trường hợp tầm thường này, giả thiết tất nủa vành không tầm thường, nghĩa là:  5  Chú ý phần tử R thỏa mãn điều kiện   : Nếu z phần tử thuộc R thỏa mãn zr  z  rz tất r  R  0z  z Một nửa vành R quy phần tử R quy nhân tính ( Nghĩa với r  R ta có s  R cho rsr  r ) Giả sử R nửa vành Kí hiệu I   R   r  R r  r  r I x  R   r  R r  r tương ứng tập hợp lũy đẳng cộng tính tập hợp lũy đẳng nhân tính R Khi đặt I (R)= I + (R)Ç I x (R) Chú ý a  I  R  0,a nửa vành chứa R, khơng phải nửa vành trừ a  Một nửa vành R lũy đẳng I  R  R Một nửa vành R gọi bất khả đối r  r ,  kéo theo r  r ,  Điều kiện phát biểu vị nhóm  R;   khó trở thành nhóm: khơng có phần tử khác khả nghịch Thật R vành  1   R, -1 khơng thiết khác Nếu R nửa vành bất khả đối, R ,  0  r  R rb  tất  b  R nửa vành R Một phần tử khác nửa vành R ước bên trái tồn phần tử khác không b  R cho ab  Nó ước bên phải tồn phần tử khác không b  R cho ba  Nó -8ước khơng ước không bên trái ước khơng bên phải Một nửa vành khơng có ước không miền nguyên Một phần tử a nửa vành R vô hạn a  r  a tất r  R Một phần tử cần phải a, a , phần tử vơ hạn R a  a  a ,  a ,  a  a , Chú ý khơng phải vơ hạn    Một nửa vành R đơn phần tử vô hạn, nghĩa  r  tất r  R Một cách tương đương, R đơn P  R   0,1 (chú ý nửa vành R, kí hiệu P  R   0  r  r  R Khi P  R  nửa vành R) Nếu R đơn   nên lũy đẳng cộng tính từ R lũy đẳng cộng tính Đảo lại, R lũy đẳng cộng tính a  R a   1 nửa vành R R đơn nửa vành thân R Điều kiện đối ngẫu với điều kiện 0r   r0 tất r  R , mà giả thiết tiên đề định nghĩa nửa vành Ngược lại với khái niệm đơn nửa vành phản đơn (antisimple semiring) : Một nửa vành R phản đơn R  P  R  Vành tùy ý phản đơn xét nửa vành Sự tồn nửa vành đơn có nhiều phần tử (như đây) chứng tỏ phần tử vô hạn a nửa vành R không thiết thỏa mãn ar  a tất  r  R gọi vô hạn mạnh (Strongly infinite) Các vành rõ ràng nửa vành, có nhiều ví dụ khác nửa vành, sau số ví dụ 1.1.2 Ví dụ Tập hợp số ngun khơng âm với phép tốn cộng nhân số nguyên thông thường nửa vành ngun, giao hốn, bất khả đối khơng lũy đằng cộng tính Cùng cấu trúc nửa vành số hữu tỉ không âm, nửa vành   tất số thực khơng âm, nói chung  S S  -9trong S vành tùy ý Cho trước số vô hạn c cố định tập tất số d  c có cấu trúc nửa vành Nửa vành phản đơn Các nửa vành nằm số cấu trúc toán học mà gặp mặt tình cờ Rõ ràng, nửa vành    Chú ý 0,1,2,3  q q   mà khơng có dạng S  vành S Nếu S nửa vành thỏa mãn r  , q  4 ví dụ nửa vành ,  hay   , r phần tử S  a  S a  r  0 nửa vành S nửa vành Nếu  r  1 , a  nửa vành nửa vành a  r  0,1 1.1.3 Xây dựng nửa vành từ nửa vành biết Bây khảo sát xem nửa vành xây dựng từ nửa vành cũ : Các cấu trúc hữu ích chương sau, cung cấp nhiều ví dụ cho số áp dụng quan trọng 1 Nếu Ri i  họ nửa vành tích trực tiếp R  X i Ri có cấu trúc nửa vành với phép toán cộng nhân theo thành phần Nửa vành cộng tính lũy đẳng – cộng tính (tương ứng : bất khả đối, đơn) Ri lũy đẳng - cộng tính (tương ứng : bất khả đối, đơn) Nó khơng phải nửa vành nguyên nên  có cấp lớn   Nói riêng, ý A   R nửa vành R A nửa vành, gọi nửa vành tập R - giá trị A Tên gọi xuất phát từ thực tế, tập B A xác định hàm đặc trưng CB  B A cho CB  a   a  B CB  a   a  A \ B Như - 10 vậy, B đồng tắc với nửa vành sup  A tất tập A A  3 Nếu A tập vô hạn R nửa vành  f R A f f có giá trị hữu hạ n khơng phải nửa vành (của R A ) mà nửa vành R A khơng chứa đơn vị phép nhân Nếu R bất khả đối nguyên, 0   f  R A\ sup p  f  hữu hạ n nửa vành RA 1.2 NỬA VÀNH ĐƠN, NỬA VÀNH LŨY ĐẲNG – CỘNG TÍNH, NỬA VÀNH GIẢN ƢỚC ĐƢỢC Chúng ta thường xét nửa vành mà chúng điều kiện cộng tính phải tuân theo Nói riêng, trước hết xét nửa vành lũy đẳng-cộng tính điều kiện mạnh nửa vành đơn Thế xét số mơ yếu điều kiện phần tử khả nghịch phép cộng hay phép nhân Cuối cùng, tiếp tục điều kiện mà đảm bảo tồn “khá đủ” đơn vị nhân Hơn nữa, trước hết phải phát biểu số quy ước ký hiệu tiêu chuẩn: n số nguyên dương a phần tử nửa vành R tổng a   a n copy a ký hiệu na tích a a n copy a ký hiệu a n Chúng ta đặt a0  phần tử a thuộc R Một phần tử a  R gọi lũy linh tồn n nguyên dương cho a n  Số nguyên dương nhỏ n gọi số lũy linh a n Nếu a,b thuộc R m,n số ngun khơng âm ta định nghĩa a b quy nạp sau: 1) a b  bm tất m  ; m 2) a b  a n tất n  ; n 3) a n1 b m1   a b n m1 a  a n 1 b m b m - 25 2.1.15 Mệnh đề Giả sử m số tự nhiên, n1, n2 , , nm số nguyên giả sử p1, p2 , , pm x   số nguyên tố đôi  Vpi  x   ni ,1  i  m tập trù mật Chứng minh Giả sử r,s   khác  Khi với r < s Hãy tìm p0 P \  p1 , p2 , , pm  cho m a   pin1 p0  s  2 , P tập hợp số nguyên tố i 1 m Thế 2a  s  r a  p1 pmb  b , b   pini p0 Rõ ràng có số tự i 1 nhiên k cho  k  1 a  r  ka Đặt t  ka  b   kp1 pm  1 b , r  ka  t   k  1 a  a  b  r  a  b  r  2a  r   s  r   s Như r  t  s Hơn nữa, Vpi  t   Vpi  kp1 pm  1 b  Vpi  kp1 pm  1  Vpi b   Vpi b   ni với i 1,2, ,n  2.2 NỬA VÀNH CON BÃO HÒA C – ĐƠN CỦA NỬA VÀNH Trong tiết này, chúng tơi trình bày lớp nửa vành bảo hòa c – đơn  nửa vành CongSimp   , chúng không chứa tất phần tử tối đại  \   , mà xấp xỉ tốt CongSimp   theo thuật   ngữ dãy đặc trưng Trước hết, cần số kiến thức chuẩn bị 2.2.1 Ký hiệu Ký hiệu 0 tập hợp dãy r  cho rn   n lim rn  n 2.2.2 Bổ đề Giả sử r , r   p số nguyên tố Thế nửa vành V  p, r  - 26 Chứng minh Đặt V  V  p,r  Trước hết chứng tỏ V   Vì r   nên tồn n0  cho rn0   Theo Mệnh đề 2.1.14, tồn x   cho rn0  x Vp  x   n0 Từ x  V Bây chứng minh V đóng phép cộng phép nhân Giả sử a,b V Khơng tính tổng quát, giả sử rằng: Vp  a   minVp  a  ,Vp  b   Vp  a  b  Khi rVp  ab  rVp  a   a  a  b a  b  V Hơn rVp  ab  rVp  a   rVp b  rVp  a  rVp b  ab nên ab V Vậy V nửa vành  Chú ý với p P , có V0 1,0    Từ định nghĩa trực tiếp suy 2.2.3 Bổ đề Giả sử I tập hợp khác rỗng Giả sử p số nguyên tố r   I    Đặt r  supr   I  Khi  i  r  ; ii  I V  p, r   V  p, r  ;  iii  I V 0000 p, r   V0  p, r  I hữu hạn 2.2.4 Chú ý Chú ý giao hai nửa vành S1 S  khác rỗng, nửa vành Thật vậy, giả sử r1 s1  S1 r2 s2  S2 , r1 ,r2 ,s1 ,s2   r2 s1  r1 Thế s1   r1s2  r2 s2  S1  S2 Chúng ta trình bày số lớp nửa vành c – đơn  2.2.5 Mệnh đề Giả sử r1, , rn  p1 , , pn số nguyên tố Thế S  in1 V  pi , ri  nửa vành c – đơn  - 27 Hơn nữa, p1 , , pn đơi khác p P u  s, p   ri p  pi u  s, p   p  pi Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.2 Chú ý 2.2.4, S nửa vành Bây ta chứng minh S nửa vành Ácsimét cônic Giả sử m   cho k  max m  ri   Vpi  m  i  1,2, ,n Khi với l  l  k có l m k m   ri V pi  m   ri V pi  mVpi l    ri V pi Lấy k cho  l m Theo Mệnh đề 2.1.2, S nửa vành Ácsimét cônic Cuối ta chứng minh S nửa vành b - i - đơn Theo Mệnh đề 2.1.3, phải chứng tỏ a,b  S , tồn c  S cho a  bc  S  Giả sử a,b  S Đặt s  a   ri V lim  ri k  I nên tồn k0  k   pi a  i  1,2, ,n Khi S  Vì   cho t  max  ri k i  1,2, ,n  s  max Vpi  a   Vpi b  i  1,2, ,n  k0 Theo Mệnh đề 2.1.15, tồn c  cho  ri k  t  c  s b  b Vpi  c   k0 với i  1,2, ,n Từ c  S Khi Vpi c   k0  Vpi  a   Vpi b , Vpi  a   Vpi bc  Vpi  a bc     Vpi  a  ;Vpi  b   Vpi  a  i  1,2, ,n Từ a  bc  a  s   ri V   ri V pi  a bc  pi a a  bc  S Như ta chứng minh S nửa vành b-i-c- đơn Theo Mệnh đề 2.1.3, S nửa vành c – đơn Cuối cùng, giả thiết p1 , , pn đôi phân biệt Chọn i 1,2, ,n Vì S  V  pi ,ri  nên theo Mệnh đề 2.1.14 , ta nhận ri  u  S , pi  Giả sử m Vì rj 0 j nên tồn k0  cho  - 28 -  t  max  rj  j  1,2, ,n   ri n Theo Mệnh đề 2.1.15,   ,  k0 tồn x0    cho  rj    ri m  x0   ri m   , Vpi  x0   m Vp j  x0   k0 k0 j, j  i Từ x0  S , suy ri  u  S , pi  i 1,2, ,n Như ta chứng minh ri  u  S , pi  i 1,2, ,n Giả sử p P , p  pi với i 1,2, ,n Đặt r0  Thế V0  p,r    Từ S '  S  V  p,r   S Suy  r  u  s , , p   u  s, p  Bây trình bày điều kiện cần để nửa vành thuộc CongSimp    Trước hết đưa vào ký hiệu  2.2.6 Ký hiệu Đối với nửa vành , ký hiệu Ks   p  P u  s, p   0 2.2.7 Mệnh đề Giả sử S nửa vành c – đơn nửa vành  Thế thì:  i  S  0,1  ;  ii  Vp  s   với p  P ;  iii  u  s, p  0 pP ;  iv  x  S  , p  P  ,uv  x  s, p   x  ; p  v  K s tập hợp hữu hạn Chứng minh i Lấy a  S Theo Mệnh đề 2.1.3, S b – i – đơn nên a  ac  d với c,d  S Thế c   ii  Giả sử p P Theo Mệnh đề 2.1.2 Mệnh đề 2.1.3, S nửa vành Ácsimét cơnic Do tồn m cho với k  S k  p  p   1 Từ V  s   Nếu g.c.d  k , p   Vp k p theo Bổ đề 2.1.10 - 29  iii  Giả sử p P Lấy x0  S  0,1 đặt n0  Vp  x0  Thế un0  s, p   x0  Theo  ii  Bổ đề 2.1.7, u  s, p  0  iv  Giả sử trái lại,  a  uV a  s, p  p a  S p P Vì u  s, p  0 nên u0  s, p   , theo Bổ đề 2.1.8 Theo Mệnh đề 2.1.3, S nửa vành b – i – đơn nên tồn c  S cho a  ac  S c  Do uVp  a   s, p   a  a  ac  uVp  aac  theo Mệnh đề 2.1.12  i  , Vp  a   Vp 1  c   V p a  ac   V p a  Từ Vp 1  c   nên Vp  c   Tóm lại, ta có c  uVp c   s, p   u0  s, p   Cuối cùng, c  từ suy  a  ac  S : mâu thuẫn x0  S  0,1 đặt K   p  P Vp  x0   0 Thế K hữu hạn Giả sử  v  Lấy p P \ K Khi u0  s, p   x0  u  s, p   theo Bổ đề 2.1.8 Mệnh đề 2.2.7  ii  Như K S tập hữu hạn  2.2.8 Định nghĩa Một nửa vành S nửa vành (trong  gọi bão hòa ) thỏa mãn điều kiện: a  p  P ,b  S ,b  a &V b   V  a   a  S  p p 2.2.9 Định lý Giả sử S nửa vành nửa vành  Khi điều kiện sau tương đương:  i  S nửa vành c – đơn bão hòa;  ii  Tồn số tự nhiên n, dãy r1 , , rn 0 số nguyên tố p1 , , pn cho S  in1 V  pi , ri  ;  iii  S nửa vành c – đơn tồn số tự nhiên n cho K S   p1, p2 , , pn   a    b , ,b  S  b  a &V b   V  a  ,i  1, ,n  a  S  n i pi i pi - 30 Chứng minh  i    ii  Theo Mệnh đề 2.2.7  v  , K S tập hữu hạn với m phần tử Đặt K S   p1 , , pm  n  m m  , trái lại đặt n  chọn p P tùy ý Theo Mệnh đề 2.2.7  iii  , ri  u  S , pi  0 với i  1, ,n Cuối cùng, đặt T  n V0  pi ,ri  i 1 Chúng ta chứng minh S  T Theo Mệnh đề 2.2.7  iv  , S  T Giả sử a T Giả sử p P Thế uVp  a   s, p   a p  K S uVp  a   s, p    a p  K S Theo tính chất dãy đặc trưng S, tồn b  S cho uVp  a   s, p   b  a Vp  b   Vp  a  Vì S bão hịa nên a  S  ii    iii  Không tổng quát, giả thiết p1 , , pm P số nguyên tố đôi khác r1 , ,rm 0 dãy đặc trưng khác không, S n i 1 V0  pi ,ri  Theo Mệnh đề 2.2.5, S nửa vành c – đơn K S   p1 , , pn  Khi giả sử a   b1 ,b2 , ,b n S cho bi  a Vpi bi   Vpi  a  i  1, ,n Thế Vpi  a   Vpi bi   bi  a i  1, ,n Từ a  S  iii   i  a  Giả sử K S   p1 , , pn  Chúng ta chứng tỏ S bão hòa Giả sử Giả thiết p P tồn b  S cho b  a Vp  a   Vp  b  Nói riêng, i  1, ,n tồn bi  S cho bi  a Vpi  a   Vpi  bi  Từ a  S S bão hịa Từ Định lý 2.2.9  ii  ta thấy vành bão hịa c – đơn  biểu diễn dạng giao hữu hạn nửa vành V  pi ,ri   Hơn nữa, từ Định nghĩa 2.2.8 ta thấy bão hòa S hiểu theo - 31 nghĩa : khơng có phần tử bổ sung vào nửa vành mà không làm thay đổi số dãy đặc trưng Sau cách hiểu nửa vành bão hịa theo tơpơ p – adic Trước hết ta nhắc lại khái niệm sau:  2.2.10 Định ngĩa Hàm x p : cho x p  p V p  x  x  p  gọi chuẩn p – adic Khi x p  0, x p  x  ; xy p  x p y p x  y p  x p  y p , x,y  Tôpô sinh chuẩn p – adic gọi tôpô p – adic 2.2.11 Chú ý Giả sử S nửa vành i Nếu S  0,1   S trù mật tôpô tiêu chuẩn (tôpô tự nhiên) Nói riêng, với S CongSimp   S trù mật   theo Mệnh đề 2.2.7 i Thật vậy, giả sử a  S cho a  Khi với x0  k  mật  ii  cho a k   n     tồn cho x0    na k  x0   Từ S trù Nếu S  S  S trù mật Nói riêng, S  CongSimp    theo tôpô p – adic với p P tùy ý  trù mật  theo tôpô p – adic theo Mệnh đề 2.1.3 Thật vậy, giả sử S  S  p P Khi với x0  a, b  S cho a  x0  b n cho n  Vp  b  ; Pn     tồn  Đặt x  a  P 1 P n n V p  b  - 32 -   b Thế x  S x  x0   Từ S trù mật  p P n V p  b  b P n V p  b  p p bp theo tôpô p – adic Kết chứng tỏ tập hợp nửa vành bão hòa xấp xỉ lớp   (xem Mệnh đề 2.2.12) theo nghĩa: Đối với nửa vành S  CongSimp   tồn nửa vành bão hòa T  CongSimp   chứa S CongSimp  + + S có dãy đặc trưng 2.2.12 Mệnh đề Giả sử S  CongSimp  TS  CongSimp  i  + +  Thế tồn nửa vành  cho: TS nửa vành bão hòa;  ii  u  s, p   u TS , p  với số nguyên tố p Hơn nữa, S  TS TS  pK S V  p, u  s , p   Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.7  iii  ,  v  , K S hữu hạn u  s, p  0 với p P Đặt TS  V0  p, u  s, p   Theo Mệnh đề 2.2.5 Định lý 2.2.9, TS nửa vành c – đơn, bão hòa u  s, p   u TS , p  , p P Theo Mệnh đề 2.2.7  iv  , S  TS Cuối cùng, cách sử dụng Định lý 2.2.9 Mệnh đề 2.2.5 ta thấy hai nửa vành c – đơn với dãy đặc trưng phải nhau, TS xác định Theo Mệnh đề 2.2.5 suy giao hữu hạn nửa vành bão hòa c -đơn lại nửa vành bão hòa c – đơn Một câu hỏi đặt tự nhiên khẳng định cịn với giao tùy ý Kết qủa chứng tỏ giao nửa vành c – đơn phải bão hịa (và theo Định lý 2.2.9 giao hữu hạn đó) - 33 2.2.13 Mệnh đề Giả sử I tập hợp khác rỗng Giả sử 0  r   I   0 họ dãy đặc trưng  p   I  họ số nguyên tố Giả thiết S  iI V  p , r  nửa vành c – đơn Đặt K   p  P    I  p  p  đặt sp  supr   I vaø p  p p  P Khi đó:  i  K hữu hạn;  ii  s p 0 với p  K ;  iii  S V  s, p  pK Chứng minh  i  Theo Mệnh đề 2.2.12, ta cần chứng minh K  K S Giả thiết   ngược lại , 0  I cho p0  K S S  V0 p0 ,r0 nên theo Mệnh đề 2.1.14,        r0  u V0 p0 , r0 , p0  u s, p0  : mâu thuẫn  ii  Giả sử p  K Đặt I p   I p  P Theo Bổ đề 2.2.3   ii  ,  S  V  p, r   V  p, s p  Từ s p  u V  p, s p  , p  u  s, p  0 theo Mệnh đề 2.1.14 2.2.7  iii  Như s p 0  iii  V0  p, r  với Đặt S p  I p S S p Từ T  pK pK p  K Khi V0  p, s p   S p V0  p, s p   S , theo Mệnh đề 2.2.5 Bổ đề 2.2.3  iii  , u  S , p   u T , p   s p p  K Do theo phép chứng minh  ii  u  S , p   s p p  K Cuối cùng, S  - 34 V  p, u  S , p    V0  p, s p  theo Mệnh đề 2.2.12 Chúng pK pK V  p, s p  ta kết luận S  pK Ví dụ sau chứng tỏ giao vơ hạn nửa vành c – đơn vành c – đơn 2.2.14 Ký hiệu Đối với số nguyên tố p a   0, 1 , ký hiệu  Tp  a   x   Vp  x  a  x 2.2.15 Ví dụ Giả sử p số nguyên tố a    0, 1 cho Vp  a   (phần tử a tồn theo Mệnh đề 2.1.15) Giả sử a1 , a2 ,   0, 1 dãy cho a1  a2  lim an  a Xét T  n  Tp  an  Thế T nửa n 1 vành nửa vành c – đơn, nửa vành Tp  an  nửa vành c – đơn Vp  x  Thật vậy, giả sử a  an  a a  , từ a T u1 T , p   a Hơn T  Tp  an  nên theo Mệnh đề 2.2.5, a  u1 Tp  an  , p   a  u1 T , p  Như uVp  a  T , p   u1 T , p   a T nửa a  vành c – đơn theo Mệnh đề 2.2.7  iv  Chúng ta nhắc lại kết biết [8]: 2.2.16 Mệnh đề Các nửa vành  W  p,a   x   Vp  x  a    x     x S p  x    Vp  x   ,   x p P a   0,1 nửa vành tối đại (thực sự)  Các nửa vành unita đơi phân biệt (từ khơng đẳng cấu với nhau) Mỗi nửa vành thực chứa nửa vành  - 35 Chúng ta chứng minh lớp CongSimp tất vành    có tính chất tương tự lớp  (so sánh với Mệnh đề 2.2.16)  2.2.17 Định lý Các nửa vành Tp  a   x  Vp  x   a   x p P a   0,1 phần tử tối đại tập hợp CongSimp   \  + + Các nửa vành bão hịa đơi phân biệt (và khơng đẳng cấu với nhau) Mỗi phần tử CongSimp   \  chứa nửa + + vành Tp  a  Chứng minh Rõ ràng Tp  a   CongSimp  +  theo Mệnh đề 2.2.5 bão hòa theo Định lý 2.2.9 Giả sử S  CongSimp  +   S Theo Mệnh đề 2.2.7  i  ,  ii  , S  S p p P Từ theo định lý 2.2.16, tồn p P a  0, 1 cho S  W  p, a  Như a n  un  W  p, a  , p   un  s, p  với n theo Mệnh đề 2.1.14 Cuối S  V0  p,u  s, p    Tp  a  theo Mệnh đề 2.2.12 Bây chứng tỏ Tp  a  tối đại CongSimp với pP a  0, 1 Giả sử W CongSimp   +   cho T  a   W  + p đối  Khi theo lập luận tồn p,  P a,  0, 1 cho Tp  a   W  T p, a ,    Từ theo Mệnh đề 2.2.5,  p,q a ,n  un  p ,  a ,  ,q  un   p  a  ,q    pq a n q  P n (trong ij ký hiệu Kronecker) Như nhận p  p, a  a, Từ Tp  a   W phần tử tối đại tập hợp CongSimp   + - 36 Bằng cách sử dụng lập luận ta nhận tất nửa vành Tp  a  đơi khác 2.2.18 Chú ý Giả sử SCongSimp  , S  +  Theo Định lý 2.2.17, tồn p P a  0, 1 cho S  Tp  a  Từ  u Tp  a  , p   u  s, p  K S   Hơn nữa,  a0  u0 Tp  a  , p   u0  s, p  Vp  x   0, x  S  0, 1 Tính chất gọi tính chất p – paradivisible (Xem Mệnh đề 5.7 [8]) - 37 - KẾT LUẬN Nội dung luận văn bao gồm vấn đề sau: Tóm tắt kiến thức liên quan đến nửa vành lớp nửa vành đặc biệt : nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính nửa vành giản ước Trình bày khái niệm nửa vành c – đơn chứng minh số tính chất nửa vành c – đơn nửa vành  (Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.1.12) Trình bày khái niệm nửa vành bão hòa c – đơn chứng minh số tính chất nửa vành bão hòa c – đơn nửa vành  (Định lý 2.2.9, Mệnh đề 2.2.12) Trình bày phân lớp phần tử tối đại CongSimp tỏ phần tử CongSimp   chứng    \   chứa   phần tử tối đại (Định lý 2.2.17) Sau có hai vấn đề mở mà chúng tơi tiếp tục tìm hiểu:  i  Phải tất nửa vành c – đơn  ii  Giao hữu hạn nửa vành c – đơn c – đơn không ?  bão hịa ?  có phải nửa vành - 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Trần Giang Nam (2011), Tính đơn đặc trưng đồng điều nửa vành, Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Vinh [2] Võ Hồng Thắm (2012), Một số lớp nửa vành, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Vinh Tiếng anh [3] R E Bashir, J Hurt, A Jancarile, T Kapka (2012), Simple commutative Semiring, J Algebra, 236, 277 – 306 [4] K Glazele (2002), A guide to the literature on semirings and their applications in mathematics and information sciences, Kluwer Academic, Dordech [5] J S Golan (1999), Semirings and their applications, Kluwer Academic, Dordrech [6] J S Golan (2003), Semirings and affine equations over them : Theory and Applications, Kluwer Academic, Dordrech [7] U Hebisch, H J Weinert (1996), Semiring and Semifields, In : Hanbook of Algebra, Vol Elsevier, Ansterdam [8] U Hebish, H J Weinert (1998), Semiring : Algebraic theory and applications in computer science, World Scientific, Singapore [9] V Kala, T Kepka, M Korbelar, J D Phillips (2009), Various subsemirings of the fiel of rational number, Acta Univ Carolin Math Phys 50 (1), 29 – 59 [10] V Kala, M Korbela (2010), Congruence –simple subsemiring of  , Semigroup Forum, 81, 286 - 296 [11] S S Mitchell, P B Fenoglio (1988), Congruence – free commutative semirings, Semigroup Forum, 37, 79 – 91 - 39 [12] H S Vandiver (1934), Note on a simple type of algebra in wich the cancellation baw of addition does not hold, Bull Am Math Soe 40, 916 – 920 ... b  c  ii  Nửa vành R gọi nửa vành giản ư? ?c phần tử R giản ư? ?c 1.2.15 Ví dụ C? ?c nửa vành khơng phải vành) ,  ,  nửa vành giản ư? ?c (nhưng - 19 CHƢƠNG C? ?C NỬA VÀNH CON C – ĐƠN C? ??A NỬA VÀNH... A  iv  C? ?c trường  v  C? ?c vành với phép nhân khơng c? ? c? ??p số ngun tố  vi  C? ?c vành c – đơn nửa vành  Chỉ c? ? nửa vành nửa vành  chưa phân lớp (với sai kh? ?c đẳng c? ??u), chúng đ? ?c trưng (xem... đẳng c? ??ng tính, nửa vành giản ư? ?c …………………………………………………………… Chƣơng C? ?c nửa vành c – đơn nửa vành 2.1 Nửa vành c – đơn nửa vành   …………… 17 ………………………… 17 2.2 Nửa vành bão hòa c – đơn nửa vành 