Sự phân tích dàn phân phối của các nửa vành lũy đẳng cộng tính

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ KIM DUNG SỰ PHÂN TÍCH DÀN PHÂN PHỐI CỦA CÁC NỬA VÀNH LŨY ĐẲNG CỘNG TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2011 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu…………………………………………………… … Chƣơng1 Sự phân tích nửa dàn nửa nhóm giao hốn…… ….…….4 1.1 Tương đẳng……………………………………………….…… … 1.2 Băng nửa dàn Băng nhóm………………………… 1.3 Phân tích nửa nhóm giao hoán thành nửa dàn với thành phần Archimede Nửa nhóm tách được……………… ……………….………….13 Chƣơng Sự phân tích dàn phân phối nửa vành luỹ đẳng cộng tính…………………………………….………….19 2.1 Nửa vành nửa nguyên tố………………………………… … 19 2.2 Tương đẳng dàn phân phối nhỏ nửa vành……….… 25 2.3 Dàn phân phối nửa vành k-Archimede…………….… … 30 Kết luận……………………………………………………………… … 36 Tài liệu tham khảo……………………………………………… …… …37 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1941, A.H Clifford lần định nghĩa phân tích nửa dàn nửa nhóm Như ý tưởng nghiên cứu nửa nhóm qua phân tích nửa dàn lớn đặt Ý tưởng bao gồm phân tích nửa nhóm S cho trước thành nửa nhóm thành phần có cấu trúc đơn giản quen thuộc hơn, qua tương đẳng  S cho S  ảnh đồng cấu nửa dàn lớn S  - lớp nửa nhóm thành phần A.H Clifford áp dụng ý tưởng vào nửa nhóm hợp nhóm Năm 1954, T Tamura N Kimura chứng tỏ nửa nhóm giao hốn nửa dàn nửa nhóm Archimede Kết tổng quát hoá M Petrich, M.S Putcha, F Kemet nhiều tác giả khác Gần đây, ý tưởng phân tích nửa nhóm thành nửa dàn nửa nhóm quen thuộc chuyển sang cho phân tích nửa vành Luận văn chúng tơi dựa báo Distributive lattice decomposition of semirings with a semilattice additive reduct đăng tạp chí Semigroup Forum năm 2010 để tìm hiểu đặc trưng tương đẳng dàn phân phối nhỏ nửa vành (S,+ , ) với (S, +) nửa dàn Luận văn gồm hai chương: Chương Sự phân tích nửa dàn nửa nhóm giao hốn Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở về: tương đẳng; băng nửa dàn; băng nhóm; phân tích nửa nhóm giao hốn thành phần Archimede nửa nhóm tách Chương Sự phân tích dàn phân phối nửa vành luỹ đẳng cộng tính Đây nội dung Luận văn Trong chương chúng tơi trình bày trình bày: nửa vành nửa nguyên tố; tương đẳng dàn phân phối nhỏ nửa vành luỹ dẳng cộng tính; dàn phân phối nửa vành k- Archimede Luận văn thực hướng dẫn PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy tận tình dẫn chúng tơi học tập tập dượt nghiên cứu khoa học Thầy đặt vấn đề trực tiếp hướng dẫn chúng tơi hồn thành Luận văn Tác giả xin chân thành cám ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Tổ Đại số Q Thầy, Cơ Khoa tốn Đại học Vinh nhiệt tình dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành Luận văn Mặc dù cố gắng song Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong đóng góp q báu từ thầy, cô giáo bạn lớp Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG SỰ PHÂN TÍCH NỬA DÀN CÁC NỬA NHĨM GIAO HOÁN 1.1.Tƣơng đẳng 1.1.1 Định nghĩa tƣơng đẳng Giả sử  quan hệ tương đương nửa nhóm S Khi đó: a/  gọi tương đẳng phải  ổn định bên phải, nghĩa với x, y, z  S , x y  xz  yz b/  gọi tương đẳng trái  ổn định bên trái, nghĩa với x, y, z  S , x y  zx zy c/  gọi tương đẳng vừa tương đẳng trái, vừa tương đẳng phải Chúng ta nhắc lại quan hệ tương đương  phân hoạch miền xác định S thành lớp tương đương x ( x  S ) Một lớp tương đương tương đẳng gọi lớp tương đẳng Nếu  tương đẳng bảo tồn tích S, nghĩa phần tử x1 , y2 x2 , y2 thuộc lớp tương đẳng ( x1  y1 , x2   y2  ) tích x1 x2 y1 y2 thuộc lớp tương đẳng 1.1.2 Bổ đề Một quan hệ tương đẳng  nửa nhóm S tương đẳng với x1, x2 , y1, y2 có: x1 y1, x2  y2  x1x2  y1 y2 Chứng minh Giả sử  tương đẳng Nếu x1 y1 x2  y2 theo định nghĩa x1x2  x1 y2 x1 y2  y1 y2 , tính chất bắc cầu  suy x1x2  y1 y2 Khẳng định ngược lại hiển nhiên 1.1.3 Định nghĩa Giả sử X tập nửa nhóm S Xác định quan hệ  x sau: ( x, y)  x  (u, v  S : uxv  X  uyv  X ) Khi  x tương đẳng S gọi tương đẳng cú pháp X S Chúng ta nói tương đẳng  bão hồ tập X nửa nhóm S X hợp lớp tương đẳng  1.1.4 Bổ đề Một tương đẳng  bão hoà X  S x X (2.1) xX x  Hơn Chứng minh Vì x  x nên X, luôn chứa xX x Khẳng định ngược lại hiển nhiên  bão hồ X, X  xX 1.1.5 Bổ đề Đối với tập X  S , quan hệ  x tương đẳng lớn bão hoà X Chứng minh Khẳng định  x tương đẳng S suy trực tiếp từ cách xác định  x Rõ ràng, X chứa hợp tất x x ( x  X ) Hơn nữa, y x x cách chọn u  v  định nghĩa  x , nhận x  X kéo theo y  X Từ x x  X với x  X X   x Suy xX  x bão hoà X Giả sử  tương đẳng bão hoà X Theo Bổ đề 1.1.4, có xp Vậy giả thiết x y u, v  S phần tử tuỳ ý Thế X xX uxuy uxvuyv Từ uxv  X uyv  X ,  bão hồ X Như ( x, y)  x    x Vậy  x tương đẳng lớn S bão hoà X 1.1.6 Định nghĩa Giả sử  tương đẳng S, giả sử S    x x  S  tập hợp tất lớp tương đẳng S Khi tương ứng ( x , y  ) xy  phép tốn hai ngơi S  , với phép tốn đó, S  trở thành nửa nhóm gọi nửa nhóm thương (của S modul  ) Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.6 hợp lý, ta cần chứng tỏ phép tốn hai ngơi xác định S  có tính chất kết hợp Thật với x, y, z  S , ta có x.( y.z  )  x ( yz  )  ( x( yz))   (( xy) z)   ( xy) .z   ( x y ).z  1.1.7 Ví dụ a/ Xét nửa nhóm S  e, a, f , b với bảng e a  b nhân bên cạnh Khi e f luỹ đẳng, e e e a  b đơn vị S a a e b f   b  b b b  b  Giả sử  quan hệ S khác quan hệ đồng Thế có f b b f  tương đẳng S với lớp tương đẳng x  e , y  a z   f , b Bảng nhân nửa nhóm thương S  cho bảng thứ hai bên cạnh Tương tự, quan hệ đối xứng 1 (với is  1 ) cho e1a f 1b tương đẳng Nó có hai lớp tương đẳng e, a phần tử  f , b , nửa nhóm thương x y z x x y z y y x z z z z z S  nửa nhóm có hai Quan hệ đối xứng  cho a 2b khơng phải tương đẳng, a.a = e a.b = f S (e, f )  2 Trong trường hợp này,  khơng tương thích với tích S: (a,b)  2 (aa, ab) 2 b/ Nếu  tương đẳng S = ( ,+), n  m kéo theo (n + k)  (m + k), k  Giả thiết k số nguyên không âm nhỏ cho n  (n + k) với n thuộc Nói riêng,  k Ký hiệu m số dư lại m cho k:  m  m m = m (mod k) Khi m m Điều ngược lại đúng, tương đẳng ( ,+) thực chất tương đẳng xét Lý thuyết số,  mod k (k >0) Bây giờ, ta chứng minh tương đẳng nửa nhóm S đóng phép lấy giao 1.1.8 Mệnh đề i) Nếu   i i  I  họ tương đẳng S, i tương đẳng S i1 ii) Giả sử   S.S quan hệ S Thế thì:  c    tương đẳng S,     tương đẳng bé S chứa  Chứng minh i) Giả sử x y z  S Khi xi y, với i  I zxi zy , xz i yz với i  I , i tương đẳng, với i  I từ zx zy, xz  yz Do  tương đẳng S ii) Khẳng định thứ hai suy trực tiếp từ khẳng định thứ định nghĩa giao tập hợp 1.1.9 Định nghĩa Giả sử  tương đẳng S Khi ánh xạ  : S  S /  ,  ( x)  x toàn cấu gọi đồng cấu tự nhiên Vì  tồn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa hợp lý, ta cần chứng minh  đồng cấu Thật vậy, x, y  S có  ( xy)  xy   x y    ( x). ( y) 1.1.10 Định nghĩa Giả sử  : S  P đồng cấu nửa nhóm Khi quan hệ ( x, y)  S.S  ( x)   ( y) tương đẳng S, gọi hạt nhân  ký hiệu ker(  ) Người ta viết ker(  ) =  1 ,  1 ( y)   x  S  ( x)  y  1 hình dung tích quan hệ (thực từ trái qua phải) Sự kiện: ker(  ) tương đẳng suy trực tiếp từ định nghĩa đồng cấu nửa nhóm cách xác định ker(  ) Hơn nữa,  tương đẳng S,  = ker (  ) Thật vậy: x y  x  y   ( x)   ( y)  ( x, y)  ker(  ) Gộp kết ta nhận 1.1.11 Hệ Mỗi tương đẳng hạt nhân đồng cấu Bây chuyển sang chứng minh định lý đồng cấu đẳng cấu nửa nhóm 1.1.12 Định lý Giả sử  : S  P đồng cấu tuỳ ý Tồn phép nhúng  : S / ker( )  P cho biểu đồ sau giao hoán  P S  ker( )  S / ker( ) nghĩa    ker( ) 10 Chứng minh Giả sử  = ker(  )  : S  S  đồng cấu tự nhiên Tương ứng  : S /   P xác định  ( x )   ( x) với x  S ánh xạ Thật : x  y  ( x, y)  ker( )   ( x)   ( y)   ( x )   ( y ) Từ trực tiếp suy  đơn ánh Hơn  đồng cấu vì:  ( x y )   ( xy )   ( xy)   ( x). ( y)   ( x ). ( y ) Cuối cùng,   : S /   P phép nhúng thoả mãn      ( x)  y( x ), x  S nên  ( x )  y( x ), x  S /  Do    1.1.13 Định lý (Định lý đồng cấu nửa nhóm) Giả sử  :S  P đồng cấu nửa nhóm   ker( ) tương đẳng S Thế tồn đồng cấu  : S /   P cho     : S  S /  đồng cấu tự nhiên Chứng minh Chứng minh hoàn toàn tương tự chứng minh Định lý 1.1.12 Ở ý ánh xạ  cho  ( x )   ( x) hồn tồn xác định x  y  x y  ( x, y)    ( x, y)  ker( )   ( x)   ( y),   ker( ) Định lý đồng cấu Định lý đẳng cấu kết đại số phổ dụng tiêu biểu, nghĩa chúng thoả mãn tất cấu trúc đại số (nhóm, vành, đại số Boole….) 1.1.14 Định lý (Định lý đẳng cấu nửa nhóm) Giả sử  : S  P đồng cấu Thế  (S ) S / ker( ) 29 tồn tương đẳng  S cho S  dàn phân phối  lớp nửa vành C Tương tự ta định nghĩa nửa vành luỹ đẳng C - nửa vành chuỗi C - nửa vành Một nửa vành S nửa vành luỹ đẳng hai thu gọn phép cộng hay phép nhân băng Trong chương này, nửa vành luỹ đẳng giả thiết xét phép cộng giao hoán Ta nhắc lại rằng: Lớp  đại số kiểu K gọi đa tạp đại số K  đóng kín phép lấy đại số con, ảnh đồng cấu tích trực tiếp Giả sử   là đa tạp nửa vành (S, +, ) mà (S, +) nửa dàn Giả sử S nửa vành đa tạp  Khi theo Nguyên tắc ảnh đồng cấu tối đại kiểu cho Tamura Kimura, tồn tương đẳng nhỏ  S cho S  dàn phân phối Trong phần chúng tơi trình bày cách xây dựng tương đẳng  2.2.4 Định nghĩa Giả sử S nửa vành + Ta xây dựng quan hệ hai  S sau với cặp a, b  S a  b  b  SaS   n  : bn  SaS Trước hết ta nhận xét với a  S, có a3  SaS  SaS nên a  a,  phản xạ Từ bao đóng bắc cầu     phản xạ bắc cầu nên quan hệ đối xứng      1 quan hệ tương đương S Ta chứng minh nửa nhóm S + tuỳ ý, quan hệ  tương đẳng dàn phân phối nhỏ S Trước hết, ta chứng minh số bổ đề 30 2.2.5 Bổ đề Giả sử S nửa vành + Với a,b,c  S n , ta có (1) Nếu (a + ab)  a : a  ab, a  ba, ab  bca (a + ab)  a, a  (a + ab) (2) Nếu a a2 a2  a a  a2 (3) Nếu ab ba ab  ba (4) Nếu ab bab bab  ab ab  bab (5) Nếu ab anbn an bn  ab ab  anbn (6) Nếu  bắc cầu a b  an + xbx = xbx bn + xax= xax với x  S n Chứng minh (1) Suy từ (ab)2  SaS, (ba)2  SaS, (bca)2  SabS, a3 + a(a + ab)a = a(a + ab)a, nghĩa a  S (a  ab)S (a + ab)3 + (a + a2 + a2b + ab + aba + abab + b + ba)a( a + a2 + a2b + ab + aba + abab + b + ba) = (a + a2 + a2b + ab + aba + abab + b + ba)a(a + a2 + a2b +ab + aba + abab + b + ba), nghĩa (a + ab)3  SaS (2) a4  Sa2S kéo theo (a2, a)     (a,a2)     suy từ (1) (3) Từ (ab)2  SbaS kéo theo (ba,ab)     (ab,ba)     suy đối ngẫu (4) (ab)3  SbaS chứng tỏ (b(ab),ab)     (ab,b(ab))    suy từ (1) (5) Chứng minh quy nạp theo n Vì với n = điều phải chứng minh rõ ràng a2b2  ab suy với tính chất bắc cầu  từ (1), (2), (3), (4) theo a2b2 = a(ab2)  (ab2)a  b2a  b(ab)  ab 31 Chúng ta xét n  Thế thì: an+1 bn+1 = a(an bn+1)  (an bn+1) a  anbn+1 = (anbn)b  b (b(anbn)  anbn tính bắc cầu  dẫn đến hệ thức thứ (5) Vì phát biểu đối xứng (3) (4)  nên ta nhận hệ thức thứ hai (5) (6) Nếu  =  * =   =    -1 Do a  b kéo theo an + yby = yby bm + zaz = zaz với y, z S n, m Chúng ta giả thiết  n  m Thế bn +bn-mzaz = bn-m zaz, với x = y + bn-m z + z ta nhận an + xbx = xbx bn + xax = xax Điều ngược lại rõ ràng Trong bổ đề sau ta chứng tỏ  tương thích với phép cộng phép nhân 2.2.6 Bổ đề Đối với nửa vành S + a, b, c  S có (1) a  b kéo theo ac  bc ca  cb; (2) a  b kéo theo (a + c)  (b + c), từ (a + c)  (b + c) Chứng minh (1) Tồn x  S n  cho bn +xax = xax Nếu n = cb + c xax = cxax từ (cb)2 + cb(cxa)x = cb(cxa)x, nghĩa cxa  cb Ngược lại ta nhận cnbn  cn1cxax  c n1cxax , nghĩa cxa  cnbn Vì ac  cxa theo Bổ đề 2.2.5 nên ta có ac  cxa  cn bn  cb  bc a  bc Tương tự ta nhận ca  cb (2) Tồn x  S n  cho bn + xax = xax Khi (b + c)n = bn + x , c + c k y’ +  xi cyi với x , y’, xi, yi  S Cộng hai vế với x c + c y’ + , , i 1 nhận (b + c)n + x’c + cy’+ k  x cy = b i 1 i i n k k  x cy i 1 i i ta + x’c + cy’+  xi cyi mà có i 1 32 thể viết dạng (b + c)n + sc + cs + scs = bn+ sc + cs + scs, k s  x  y   ( xi  yi ) Cộng xax vào hai vế nhận : , , i 1 (b + c)n + sc + cs + scs + xax = sc + cs + scs + xax Suy : (b + c)n + zc + cz + zcz + zaz = zc + cz + zcz + zaz Vì (S, +) nửa dàn, z = s + x Thế : (b + c)n +(b + c)zc (b + c) cz (b +c) + (b +c) zcz (b + c) + (b +c)zaz (b + c) = (b +c) zc (b + c) zc (b + c) + (b + c) cz (b + c) + (b + c) zaz (b + c) + (b + c) zaz (b + c) = (b + c) zc (b + c) + (b + c) cz (b + c) + (b + c) zcz (b + c) + (b + c)zaz (b + c)  (b + c) n+2 + w (a +c) w = w(a + c) w w = (b + c) z +z (b + c) + (b + c), từ suy (a +c)  (b + c) Bây chứng minh  tương đẳng dàn phân phối nhỏ S 2.2.7 Định lý Đối với nửa vành S tuỳ ý đa tạp +, quan hệ  tương đẳng dàn phân phối nhỏ S Chứng minh Bổ đề 2.2.6 chứng tỏ  - bao đóng bắc cầu  - tương thích với phép cộng phép nhân S,  tương thích với phép tốn Từ  tương đẳng S Hơn nữa, Bổ đề 2.2.5 (1), (2) (3) kéo theo  tương đẳng nửa dàn phân phối Bây giờ, giả sử  tương đẳng nửa dàn phân phối S Nếu a  b bn + xax = xax nên ax2  xa  (bn + xax)  (b + ax2) Từ a  (a + ax2)  (a + b + ax2)  (a + b) Do từ a  b b  c suy a  (a + b) b  (b + c), điều dẫn đến a  (a + b)  (a + b + c)  (a + c) Do a  b kéo theo a  (a 33 + b) theo tính chất bắc cầu Tương tự b  a kéo theo b  (b + a)  (a + b) Từ a  b kéo theo a  b, nghĩa    2.3 Dàn phân phối nửa vành k-Archimede Trong phần trình bày đặc trưng nửa vành dàn phân phối nửa vành k -Archimede Sự mô tả tương đẳng dàn phân phối nhỏ đưa đến định nghĩa sau 2.3.1 Định nghĩa Một nửa vành S + gọi nửa vành kArchimede với a,b  S có b  SaS , hay tương đương: S = SaS ,  a  S 2.3.2 Chú ý Theo Bổ đề 2.1.12, nửa vành S k-Archimede nếu với cặp phần tử a,b  S, tồn n  x S cho bn + xax = xax Trước hết, chúng tơi trình bày đặc trưng nửa vành S mà chúng  =  , nghĩa  bắc cầu Khi tương đẳng dàn phân phối nhỏ S cho  =    -1 2.3.3 Bổ đề Giả sử S nửa vành tuỳ ý b, c  S thoả mãn b + c = c Khi với n  có bn + cn = cn Chứng minh Quy nạp theo n Khi n = 1, kết luận theo theo giả thiết Giả sử có bn + cn = cn Khi bn+1+ cn b = cn b cách cộng hai vế vào đẳng thức cuối ta nhận bn+1 + cn (b + c) = cn (b + c) Thay b + c c vào, ta có bn + + cn +1 = cn +1 2.3.4 Bổ đề Đối với nửa vành S tuỳ ý + điều kiện sau tương đương: (1)  bắc cầu; (2) b  SaS kéo theo b  Sa S ,  a, b  S; 34 (3) ab, ba  Sa S ,  a, b  S; (4) SaS  SbS  SabS ,  a, b  S; (5) SaS  SbS = SabS ,  a, b  S; (6) A k – iđêan S k – iđêan A S; (7) SaS k – iđêan S a  S Chứng minh (1)  (4) Đối với c SaS  SbS có m,n  x,y  S cho cm + xax = xax cn + yby = yby Chúng ta giả thiết n  m tiến hành lập luận phép chứng minh Bổ đề 2.2.5 (6) để nhận z S cho cn + zaz = zaz cn + zbz = zbz Thế cn + zbz = zbz kéo theo c2n+ zbz cn = zbz cn từ c2n + zbz (cn + zaz)= zbz(zn + za) Điều chứng tỏ c2n + zbz2az = zbz2ac, nghĩa bz2a  c Vì ab  bz2a theo Bổ đề 2.2.5 nên c  SbS , suy từ tính chất bắc cầu S (4)  (5) Từ SabS  SaS  SaS nhận SabS  SaS Điều kéo theo SabS  SaS Tương tự, SabS  SbS nên (4) (5) tương đương (5)  (2) Điều suy từ SaS  SaS  Sa S ' (2)  (1) Nếu a  b b  c bm  SaS cn  SbS với m, n  k k 2 Như vậy, 2k  m ta có b  SaS từ Sb S  SaS SaS k- iđêan theo Bổ đề 2.2.6 (1) Hơn , cn  SbS kéo theo (cn)l = cnl  Sb S l  (2) Bằng cách lặp lại phép suy luận ta nhận j k cho cj  Sb S điều chứng tỏ c  SaS nghĩa a  c (1)  (6) Giả sử A k-iđêan S u, v A Thế tồn n  cho un +a = a +a = a với a  A đó, A iđêan S (S, +) nửa dàn Điều chứng tỏ un,  Ik(a) từ u, v 35  I k (a) = SaS ' , nghĩa a  u a  v Thế theo Bổ đề 2.2.6, có a = (a + a)  (a+v) ( a+v)  (u + v) Do tính bắc cầu  suy a  (u + v), nghĩa u + v  SaS  A Do ( A , +) nửa nhóm (S, +) Đối với s  S, có as  A A iđêan S Từ  =  *=  ta nhận as  us Bổ đề 2.2.6 Điều chứng tỏ us  S (as) S  A Đối ngẫu, su A nên A iđêan S Giả sử s  S u  A cho s + u = u Thế có c  A l l l l cho u l + c = c Thế j  n  n keo theo s + c = c, từ s  A Như l A k- iđêan S (6)  (7) Suy từ Bổ đề 2.2.6 (2) (7)  (3) Giả sử a  S Thế Sa S iđêan S a  Sa S kéo theo (3) (3)  (2) Nếu b  SaS b + xax = xax với x  S Do (3) ta có ax2  Sa S , nghĩa tồn y  S n  +1 cho (ax2)n + ya2y = ya2y Khi bn + (xax)n + = (xax)n + = x(ax2)ax kéo theo bn + + x ((ax2)n + ya2y)ax = x ((ax2)n + ya2y)ax = xy a2yx  Sa2S Điều chứng tỏ b Sa S Bây ta chứng minh định lý chương 2.3.5 Định lý Giả sử S nửa vành đa tạp + Khi điều kiện sau tương đương: (1) S dàn phân phối nửa vành k – Archimede; (2) S nửa vành luỹ đẳng nửa vành k – Archimede; (3) S thoả mãn điều kiện Bổ đề 2.3.4 36 Chứng minh (1)  (2) Hiển nhiên (vì nửa dàn phân phối nửa vành luỹ đẳng) (2)  (3) Giả sử S nửa vành luỹ đẳng T = S  nửa vành k Archimede St, t  T Để chứng minh (2) Bổ đề 2.3.4 giả sử a, b  S thoả mãn b + xax = xax với x  S Vì  tương đẳng nửa vành luỹ đẳng S nên a  a2 xax  xa2x Từ tồn t T cho xax, xa2x  St, St nửa vành k – Archimede Do (xax)n + sxa2xs = sxa2xs với s St n  Từ b + xax = xax nhận bn + (xax)n = (xax)n bn + sxa2xs = sxa2xs  Sa2S Điều chứng tỏ b  Sa S (3)  (1) Giả sử  bắc cầu  =    -1 tương đẳng dàn phân phối nhỏ S Do T = S  dàn phân phối  - lớp St nửa vành S Để chứng minh St k- Archimede giả sử a,b  St Thế theo Bổ đề 2.2.5(6), an + xbx = xbx bn + xax=xax với x S n  Do an +2 + a2 xbx= a2 xbx, từ a  SaxS , nghĩa ax  a Vì a  ax theo Bổ đề 2.2.5(1) nên a ax Do ax St xa  St suy từ đối ngẫu ta lại có an + xbx = xbx kéo theo an + + axbxa = axbxa Như a  St bSt' từ St  St bSt' 2.3.6 Chú ý a/ Tập thứ tự phận (S,  ) gọi chuỗi  x,y  S, có x  y y  x 37 b/ Giả sử (D, +, ) dàn phân phối với thứ tự phận  xác định a  b a + b = b (a,b  D) Khi (D,  ) chuỗi ab = b ab = a a,b  D 2.3.7 Định lý Giả sử S nửa vành + Thế điều kiện sau tương đương: (1) S chuỗi nửa vành k – Archimede; (2) S nửa vành nửa nguyên tố; (3) A nguyên tố k-iđêan A S; (4) A k-iđêan nguyên tố S k-iđêan S Chứng minh (1)  (4) Giả sử S chuỗi T nửa vành k – Archimede St, t  T Vì S nửa dàn nửa vành k – Archimede nên theo Bổ đề 2.3.4 Định lý 2.3.5 suy b,c  S thoả mãn ab  A k-iđêan S, k-iđêan S Giả sử m bc Thế (ab)  A = A với m  Khi tồn  ,   T cho a  S b  S  Vì S chuỗi nên  =   = m m  Từ ab  S  ab  S  , từ (ab)  S (ab)  S  Hơn (ab)m  S kéo theo tồn x  S n  cho an + x(ab)nx = x(ab)nx  A, A k – Archimede Điều dẫn tới an  A = A, nghĩa a A Tương tự b  A (ab)m  S  Như A k-iđêan nguyên tố (4)  (3) Hiển nhiên 38 (3)  (2) Giả sử A k-iđêan S ab  A = A  A với a,b  S Thế a  A b  A A nguyên tố Như a  A = A b  A = n n A với n  đó, A nửa nguyên tố (2)  (1) Trước hết ta chứng minh Bổ đề 2.3.4 c SaS  SbS , ta có ( xem phần chứng minh thứ Bổ đề 2.3.4) cn + zaz = zaz cn + zbz = zbz với z  S n  Vì S k-iđêan S z2abz2  SabS  SabS nên tồn m  cho (z2a)m + xabx = xab Từ cn + zaz = zaz nhận (cn)m +1 + za(z2a)m = za(z2a)z Do : (cn)m +1 + za ((z2a)m + xabx)z = za ((z2a)m + xabx)z Điều dẫn tới (cn)m +1 + zaxabxz = zaxabxz từ c  SabS Tương tự, (bz2)m  SabS kéo theo c SabS Như (xem phần cuối phép chứng minh Định lý 2.3.5), S  nửa dàn phân phối  - lớp s  nửa vành k – Archimede Hơn nữa, a,b  S ta có abab  SaS  SbS nên ab  SaS  SbS Điều có nghĩa a  ab b  ab Vì ab  I k (ab) , (2) tồn k  cho ak  Ik(ab) bk  Ik(ab) Từ a  b I k (ab) = I k (ab) = SabS ' Như a  ab b ab S SabS '  chuỗi 39 KẾT LUẬN Dựa báo A.K Bhuniya T.K Mondal [4], Luận văn hoàn thành việc sau đây: Hệ thống kiến thức nửa nhóm, tương đẳng, băng nửa dàn, băng nhóm 40 Trình bày chứng minh Định lý phân tích nửa nhóm thành nửa dàn thành phần Archimede điều kiện để nửa nhóm giao hốn tách (Định lý 1.3.5, Định lý 1.3.11) Trình bày khái niệm nửa vành đặc trưng chúng (Mệnh đề 2.1.15, Mệnh đề 2.1.16) Trình bày mơ tả tương đẳng dàn phân phối nhỏ nửa vành luỹ đẳng cộng tính (Định lý 2.2.7) Trình bày chứng minh định lý đặc trưng nửa vành dàn phân phối nửa vành k- Archimede (Định lý 2.3.5 , Định lý 2.3.7) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A.H Cliphơt G.B Pretơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm, tập1, Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học Chuyên nghiệp, Hà Nội 41 [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, tập1, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [4] A.K Bhuniya, T.K Mondal (2010), “Distributive lattice decomposition of semirings with a semilattice additive reduct”, Semigroup Forum 80, 293301 [5] S Bogdanovie, M Cirie (1993), “Semilatittces of Archimedean semigroup and completely –regular semigroup I (a survey)”, Filomat 7, 1-40 [6] S Bogdanovie, M Cirie (1994), “Chains of Archimedean semigroup (semiprimary semigroups)”, Indian J Pure Appl Math 25(3), 229-235 [7] M Cirie, S Bogdanovie (1996), “Semilatittces decompositions of semigroups”, Semigroup Forum 52, 119-132 [8] U Hebisch, H.J Weinert (1998), Semirings: Algebraic theory and Applications in Computer Science, World Scientific, Singapore [9] M Mitrovie (2003), Semilatittces of Archimedean semigroup, University of Nil [10] T.Tamura (1972), “On Putcha’s theorem concerning semilattice of Archimedean semogroups”, Semigroup Forum 4, 83-66 42 43 ... dàn phân phối C - nửa vành 29 tồn tương đẳng  S cho S  dàn phân phối  lớp nửa vành C Tương tự ta định nghĩa nửa vành luỹ đẳng C - nửa vành chuỗi C - nửa vành Một nửa vành S nửa vành luỹ đẳng. .. nửa vành gọi nửa vành thương nửa nhóm S theo tương đẳng  2.2.2 Định nghĩa a/ Một tương đẳng  nửa vành S gọi tương đẳng dàn S  dàn b/ Tương đẳng  nửa vành S gọi tương đẳng dàn phân phối nửa. .. CHƢƠNG SỰ PHÂN TÍCH DÀN PHÂN PHỐI CỦA CÁC NỬA VÀNH LUỸ ĐẲNG CỘNG TÍNH 2.1 Nửa vành nửa nguyên tố Trước hết, ta nhắc lại số kiến thức sở nửa vành 2.1.1 Định nghĩa a/ Tập hợp khác rỗng S gọi nửa vành