Về các nhóm con trong vành chia

TÓM TẮT Đề tài luận án nằm hướng nghiên cứu tính chất nhóm nhóm nhân vành chia Về mặt khái niệm, vành chia có tất tính chất trường, ngoại trừ việc không giao hoán Chính điều làm nên khác biệt đáng kể vành chia trường Nếu cấu trúc trường nghiên cứu kỹ đạt kết hoàn hảo đến nhiều điều cấu trúc vành chia chưa biết đến Thời gian gần có nhiều công trình nghiên cứu xoay quanh nhóm nhân chuẩn tắc nhóm nhân tối đại vành chia công bố ( [1]-[2]-[3]-[5]-[6]-[7]-[8]-[10]- ) Điều cho thấy tính thời vấn đề vừa nêu Mục tiêu luận án nhằm trình bày nghiên cứu nhóm nhân chuẩn tắc nhóm nhân tối đại vành chia Cho G nhóm Ta nói G hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) địa phương với tập hữu hạn S G, nhóm sinh S hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) Hiển nhiên G hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) G hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) địa phương Nếu với phần tử x G số phần tử liên hợp x G hữu hạn ta nói G F C−nhóm Một nhóm N G gọi chuẩn tắc (subnormal) G tồn dãy nhóm N0 = N, N1, , Nk = G cuûa G cho Ni chuẩn tắc Ni+1 với i ∈ 0, k − := {0, 1, 2, , k − 1} Cho D vành chia Ký hiệu D∗ nhóm nhân D Z(D) tâm D Trong luận án ta qui ước nói tới nhóm vành chia D ta hiểu nhóm nhóm nhân D∗ D Vành chia D gọi hữu hạn chiều tâm D không gian véc tơ hữu hạn chiều Z(D) D gọi hữu hạn chiều địa phương tâm với tập hữu hạn S D, vành chia sinh S Z(D) không gian véc tơ hữu hạn chiều Z(D) Nếu phần tử D∗ đại số Z(D) ta nói D vành chia đại số tâm Một phần tử x ∈ D∗ gọi tâm Z(D) tồn số nguyên dương n(x) phụ thuộc vào x cho xn(x) ∈ Z(D) Một tập hợp ∅ = S ⊆ D gọi tâm phần tử Z(D) Giả sử p1 < p2 < dãy số nguyên tố Ta biết với n tồn Q-đại số An số chiều p2n với Z(An ) = Q Khi đó, Dn = A1 Q Q An vành chia với tâm Q Xem Dn vành Dn+1 = Dn Q An+1 , ta có D = ∪n≥1 Dn vành chia với tâm Z(D) = Q rõ ràng D vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm D không gian vectơ vô hạn chiều tâm Điều cho thấy lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm thực rộng lớp vành chia hữu hạn chiều tâm Về phần mình, lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm lại thực nằm lớp vành chia đại số tâm Một số nghiên cứu cổ điển vành chia bắt nguồn từ định lý tiếng sau đây, Wedderburn chứng minh năm 1905: Định lý Wedderburn Mọi vành chia hữu hạn trường Các kết nhận có điểm chung tìm cách thay tính chất hữu hạn Định lý Wedderburn tính chất khác mà làm cho vành chia giao hoán Nói cách khác chúng tổng quát hóa khác Định lý Wedderburn Một hướng nghiên cứu thay tính chất hữu hạn tính chất giải nhóm nhân Chẳng hạn sử dụng tính chất dãy tâm tăng, không khó khăn chứng minh được: Nếu nhóm nhân vành chia nhóm lũy linh vành chia giao hoán L.K.Hua mở rộng kết cách thay tính lũy linh tính giải (xem [9]) định lý sau đây: Định lý A Nếu nhóm nhân vành chia D giải D trường Tuy nhiên chứng minh kết Hua việc dễ dàng Sau đó, cách hoàn toàn độc lập với nhau, H Cartan, R Brauer L.K Hua chứng minh định lý tiếng mà ta quen gọi Định lý Cartan-Brauer- Hua: Định lý Cartan-Brauer-Hua Cho K vành chia thực vành chia không giao hoán D Nếu K ∗ chuẩn tắc D∗ K nằm Z(D) Điều cho thấy mối liên hệ tính chuẩn tắc tính giao hoán nhóm vành chia Từ kết này, cách tự nhiên ta đặt câu hỏi: Nếu nhóm nhân vành chia thỏa tính chất A làm cho vành chia giao hoán nhóm chuẩn tắc vành chia thỏa tính chất A có nằêm tâm vành chia hay không? Trong hướng nghiên cứu xin nhắc đến kết Stuth: Định lý B (Stuth) Trong vành chia D, nhóm chuẩn tắc giải D∗ nằm Z(D) Tiếp tục hướng nghiên cứu này, luận án chứng minh được: Định lý Trong vành chia D, nhóm chuẩn tắc lũy linh địa phương D∗ nằm Z(D) Khi thêm giả thiết D vành chia đại số tâm nhận kết sau: Định lý Trong vành chia D đại số tâm, nhóm chuẩn tắc giải địa phương D∗ nằm Z(D)" Việc khảo sát tính chất vành chia nghiên cứu nhiều Ví dụ, nêu kết sau Kaplansky: Định lý C (Kaplansky) ([[9], Định lý 15.5]) Nếu D vành chia tâm D giao hoán Theo định nghóa vành chia D tâm D∗ /Z(D )∗ nhóm xoắn Như Định lý Kaplansky tổng quát hóa hay Định lý Wedderburn Tiếp theo, hướng nghiên cứu xin nhắc đến giả thuyết L.N.Herstein [5] nêu từ năm 1978: Giả thuyết (Herstein) Nếu G nhóm chuẩn tắc D∗ G Z(D) G nằm Z(D) Cũng [5] Herstein chứng minh giả thuyết G nhóm hữu hạn chuẩn tắc D∗ Tuy nhiên chưa có câu trả lời cho trường hợp tổng quát Năm 2004, [3], B.X Hải L.K Huỳnh dựa vào tính hữu hạn tâm vành chia D để xét D∗ nhóm tuyến tính trường Z(D) sử dụng phương pháp nghiên cứu nhóm tuyến tính trường chứng minh giả thuyết Herstein lớp vành chia hữu hạn chiều tâm Định lý D Cho D vành chia hữu hạn chiều tâm giả sử G nhóm chuẩn tắc D∗ Nếu G tâm Z(D) D G nằm Z(D) Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chứng minh Giả thuyết Herstein lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm Định lý Cho D vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm giả sử G nhóm chuẩn tắc D∗ Nếu G tâm Z(D) D G nằm Z(D) Ngoài ra, khảo sát Giả thuyết Herstein tìm kết sau: Định lý Cho D vành chia với tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc D∗ F Khi với phần tử a ∈ N, nhóm Galois mở rộng F (a)/F tầm thường Sử dụng Định lý chứng minh số kết sau: Hệ Cho D vành chia với tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc D∗ F Nếu a phần tử xoắn N a nằm F Hệ Cho D vành chia N nhóm chuẩn tắc D Nếu N đại số trường hữu hạn F D N nằm tâm D Hệ Cho D vành chia tâm F Giả sử N nhóm chuẩn tắc D∗ F a, b−1ab hai phần tử nằm N Nếu a giao hoán với b−1 ab a giao hoán với b Hệ Cho D vành chia với tâm F, N nhóm chuẩn tắc D∗ a phần tử nằm N Khi đó, a2 ∈ F a ∈ F Như thấy Hệ tổng quát hoá kết cổ điển sau Jacobson: Định lý E (Jacobson)([9]) Nếu vành chia D đại số trường hữu hạn D giao hoán Đối với vành chia có đặc trưng p > 0, chứng minh được: Định lý Cho D vành chia có đặc trưng p > Nếu a phần tử nằm nhóm chuẩn tắc tâm n vành chia D mà ap ∈ Z(D) a ∈ Z(D) Định lý có hệ sau đây: Hệ Cho D vành chia đặc trưng p > với tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc D∗ F Nếu a ∈ N k số nguyên dương nhỏ cho ak ∈ F p không ước k Hệ Cho D vành chia với tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc D∗ F Khi phần tử N tách F Ngoài ra, dùng khái niệm chuẩn phần tử đại số tâm mô tả đa thức tối tiểu phần tử a ∈ D nằm nhóm chuẩn tắc Z(D) có dạng xt − NF (a)/F (a) Định lý Cho D vành chia tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc F D∗ Khi đó, với a ∈ N , đa thức tối tiểu a F có dạng xt − NF (a)/F (a) Dựa vào Định lý chứng minh được: Định lý Cho D vành chia tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc F D∗ Nếu a ∈ N thỏa a3 ∈ F a ∈ F Nối kết kết trên, có kết sau: Hệ Cho D vành chia tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc F D∗ Nếu a ∈ N mà a2 n 3k ∈ F (n, k ∈ N) a ∈ F Một hướng nghiên cứu khác vành chia việc tổng quát hóa Định lý Wedderburn hình thức nhóm chuẩn tắc cách khai thác tính chất hữu hạn MahdaviHezavehi, M.G Madmudi S.Yasamin tìm kết quả: Định lý F Cho D vành chia không giao hoán hữu hạn chiều tâm F giả sử N nhóm hữu hạn sinh chuẩn tắc D∗ không nằm F P trường nguyên tố F Khi F hữu hạn sinh P Với tính chất với việc sử dụng tính chất ma trận phụ hợp (Adjoint matrix), Mahdavi-Hezavehi, M.G Madmudi S.Yasamin chứng minh được: Định lý G Cho D vành chia hữu hạn chiều tâm F N nhóm chuẩn tắc D∗ Nếu N nhóm hữu hạn sinh N nằm F Tiếp tục với hướng nghiên cứu này, tổng quát hóa Định lý Wedderburn qua kết quả: Định lý Nếu G nhóm chuẩn tắc D∗ G hữu hạn địa phương G nằm Z(D).( Định lý Nếu G nhóm chuẩn tắc D∗ G F C−nhóm G nằm Z(D) Việc nghiên cứu nhóm tối đại vành chia vấn đề thời lý thuyết nhóm tuyến tính vành chia nhiều nhà toán học giới quan tâm (có thể tham khảo số công trình 10 năm trở lại [1]-[2]-[7]-[4]-[10] để thấy điều ) Mặc dù có nhiều nghiên cứu nhóm tối đại vành chia câu hỏi tồn nhóm tối đại vành chia tổng quát chưa tìm câu trả lời Trong trường câu trả lời phủ định Chẳng hạn trường số phức C không tồn nhóm tối đại Về vai trò nhóm tối đại vành chia, tồn chúng ảnh hưởng tới tính chất toàn vành chia Chẳng hạn, [1], tác giả chứng minh được: Định lý H Nếu vành chia không giao hoán D, thỏa mãn điều kiện ∞ > [D : Z(D)] = p2 , p CharD D không chứa nhóm tối đại tâm Cũng [1], tác giả nêu lên giả thuyết sau: Giả thuyết Nếu vành chia D không giao hoán D không chứa nhóm tối đại giải Giả thuyết Nếu vành chia D không giao hoán D không chứa nhóm tối đại lũy linh Giả thuyết Nếu vành chia D không giao hoán D không chứa nhóm tối đại aben Trong [2], tác giả đưa ví dụ một vành chia không giao hoán hữu hạn chiều tâm chứa nhóm tối đại giải Điều phủ định Giả thuyết 2, giả thuyết bỏ ngỏ Trên sở nghiên cứu giả thuyết này, câu hỏi nảy sinh là: Những nhóm tối đại xuất nhóm nhân trường tối đại Trong [1], tác giả chứng minh được: Định lý I Nếu M nhóm tối đại lũy linh vành chia D không giao hoán chứa phần tử đại số tâm M nhóm nhân trường tối đại D Tiếp tục nghiên cứu vấn đề này, đạt kết quả: Định lý 10 Nếu M nhóm tối đại lũy linh địa phương vành chia không giao hoán đại số tâm M nhóm nhân trường tối đại D Để chứng minh kết sử dụng số kỹ thuật chứng minh Định lý I lợi dụng tính lũy linh địa phương để tạo thành nhóm hữu hạn địa phương, xét hai trường hợp riêng biệt đặc trưng vành chia đặc trưng vành chia số nguyên tố Cả hai 10 49 dễ thấy A đóng với phép cộng Nếu xi xj phần tử đại diện lớp ghép F ∗ M xi xj ∈ M = n k=1 F ∗xk Suy tồn k cho xi xj = fk xk (fk ∈ F ) Vậy A đóng với phép nhân Suy A vành Theo Bổ đề 2.4.2, A vành chia Từ định nghóa A, ta có A hữu hạn chiều F Suy A = D Hiển nhiên M nằm A Bởi tính tối đại M, ta có M = A∗ Suy A∗ lũy linh địa phương Theo Hệ 2.2.4, A∗ giao hoán điều vô lý Vậy M = ND∗ (F (N1)∗ ) Trong trường hợp F (N1)∗ nằm M Do phần ta chứng minh M nhóm giải nên F (N1)∗ nhóm giải được, theo Định lý 2.2.1 F (N1) trường Hơn [M : F (N1)∗ ] ≤ [M : N1 ] < ∞ Theo Bổ đề 3.1.5 ta có [D : F ] < ∞ Áp dụng Bổ đề 2.3.4, M giao hoán điều mâu thuẫn Tất mâu thuẫn cho ta M giao hoán từ Bổ đề 3.1.6, định lý chứng minh Kết mở rộng cách thay tính lũy linh địa phương tính giải Để thấy điều này, ta xét ví dụ sau [5] Ví dụ: Xét H vành chia Quaternion thực Đặt G = C∗ , + j Trước tiên ta nhận xét rằng: ω, z ∈ C thỏa mãn |ω| = |z| z + j ∈ G ω + j ∈ G Thật vậy, z = nhận xét hiển nhiên Giả sử z = Từ |ω| = |z| , tồn phần tử t ∈ C cho ωz −1 = t(t)−1 với t phần tử liên hợp t C Khi (z + j)t = t(ω + j) ∈ G Suy (ω + j) ∈ G Với r > 0, đặt ur = 1−r + r+1 1− 1−r 1+r i Khi |ur | = Ta có + j ∈ G Theo nhận xét ur + j ∈ G Suy (ur ) + (ur + 1)j = ur − + ur j + j = ur − + jur + j = (1 + j)(ur + j) ∈ G Suy (ur + 1)(ur ) + j ∈ G 50 Mặt khác |(ur )(ur + 1)| = √ r với r > 0, ta suy với a ∈ C , a + j ∈ G Bây giờ, phần tử H có dạng x = z1 + z2j (z1, z2 ∈ C∗) Neáu z2 = x ∈ C ⊆ G ∗ Nếu z2 = theo x = z2−1 (z1, z2−1 + j) ∈ G Vaäy H∗ = G = C∗ , + j Lấy z0 ∈ C, đặt G0 = C∗ , z0 + j Dùng cách lập luận cách chứng minh H∗ = C∗, + j , với z0 + j ∈ G0 ta có √ r0 i + j √ r0 + j naèm G0 ro = |z0|2 Suy √ r0 + j √ √ √ r0 i + j = (r0 j − 1) + ( r0 − r0 i)j ∈ G0 Đặt z1 = √ r0 i − √ r0 − r0 i Khi r1 = |z1 |2 = r02 + ≥1 2r0 vaø |z1|2 = r1 vaø z1 + j ∈ G0 √ √ Tương tự ( r1 + j)( r1 i + j) ∈ G Tiếp tục trình ta tạo thành hai dãy số {rn } {zn } có tính chất rn = rn−1 +1 rn−1 i − ; zn + j ∈ G0 vaø |zn |2 = rn ≥ 1; zn = √ √ 2rn−1 rn−1 − rn−1 i Neáu a ≥ −a2 + a2 + −a = ≤ 2a 2a Suy {rn } laø dãy số giảm bị chặn Do đó, {rn } hội tụ Đặt α = lim rn = lim rn−1 ≥ n→∞ n→∞ Suy α2 + =⇒ α = 2α Vaäy rn → Suy tồn số nguyên dương m cho α= zm + j ∈ G0 ; |zm| = t vaø (t2 − 1)2 < t 4t Đặt u= (t2 − 1)2 + i t2 − 4t (t2 − 1)2 4t 51 Khi (t + j)(u + j) ∈ G Tương tự phần trên, ta có tu − tu − + j ∈ G0 vaø = t+u t+u Vì + j ∈ G0 Suy G0 ≤ H∗ = G = C∗ , + j ≤ G0 Vaäy H∗ = C, z + j với z ∈ C∗ Bây giờ, với M = C∗ ∪ C∗j kiểm tra đơn giản ta có M nhóm H∗ Hơn từ H∗ = C, z + j với z ∈ C∗ ta có M nhóm tối đại H∗ Mặt khác C∗ giao hoán [M : C∗ ] = 2, ta có M nhóm giải không giao hoán 52 3.2 Tính hữu hạn nhóm tối đại vành chia Tiết trình bày số định lý chúng tôi, mô tả mối quan hệ tính hữu hạn tính giao hoán nhóm tối đại vành chia Định lý 3.2.1 Cho D vành chia không giao hoán giả sử M nhóm tối đại D∗ Nếu M hữu hạn địa phương M nhóm nhân trường tối đại D Chứng minh Giả sử M không giao hoán Nếu F ∗ không nằm M từ tính tối đại M, ta coù D∗ = F ∗M Suy D = (F ∗M) = M ≤ M Vậy D hữu hạn địa phương Theo Định lý 2.4.3, ta có D ⊆ Z(D)∗ Suy D nhóm lũy linh Theo Hệ 2.2.4, D trường Điều vô lý cho ta F ∗ ≤ M Neáu CharD = 0, ta coi Q trường nguyên tố D Nhöng (1 + 1) = ∈ Q∗ ⊆ F ∗ ⊆ M phần tử có cấp vô hạn điều mâu thuẫn với tính hữu hạn địa phương M Suy CharD = p > Lấy a, b hai phần tử M a, b nhóm hữu hạn Theo Mệnh đề 1.3.12, nhóm a.b nhóm cyclic Đặt biệt a giao hoán với b Suy M nhóm giao hoán Theo Bổ đề 3.1.6, ta có điều cần chứng minh Thay tính hữu hạn địa phương Định lý 3.2.1 tính F C-nhóm, ta có kết sau: Định lý 3.2.2 Cho D vành chia không giao hoán với tâm F giả sử M nhóm tối đại D∗ Nếu M FC-nhóm M nhóm nhân trường tối đại D Chứng minh Giả sử M không giao hoán F ∗ không nằm M, lý luận Định lý 3.2.1, ta có D nằm M Suy D F C−nhóm Theo Định lý 2.4.6, D nằm F , dẫn đến D nhóm lũy linh Theo Hệ 2.2.4, ta có D giao hoán Điều vô lý cho ta F ∗ nằm M F ∗ nằm Z(M) Giả sử F ∗ Lấy a ∈ Z(M) \ F, M ⊆ CD∗ (a) Từ tính tối đại M, ta có M = CD∗ (a) CD∗ (a) = D∗ Z(M) 53 Nhưng a ∈ / F neân CD∗ (a) = D∗ Vậy M = CD∗ (a) CD∗ (a) F C−nhóm.Theo Hệ 2.4.7, CD∗ (a) = M nhóm giao hoán, điều mâu thuẫn Suy F ∗ = Z(M) Laáy x ∈ M \ Z(M) Do M F C−nhóm nên [M : CM (x)] < ∞ Đặt y −1 CM (x)y H= y∈M Theo Định lý 1.1.8, ta có H chuẩn tắc M [M : H] < ∞ Đặt K = F (H), M chuẩn hóa K Suy M ≤ ND∗ (K ∗ ) từ tính tối đại M, ta có D∗ = ND∗ F (H)∗ M = ND∗ (F (H)∗) Ta xét hai trường hợp Trường hợp D∗ = ND∗ F (H)∗ Do F (H)∗ chuẩn tắc D∗ nên theo Định lý Cartan-Brauer-Hua ta có D = F (H) F (H) ⊆ F Giả sử D = F (H) Do H nằm CM (x) nên x giao hoán với phần tử F (H) = D Suy x ∈ F ∗ = Z(M), mâu thuẫn với cách chọn x Vậy ta có F (H) ⊆ F Suy H ⊆ F Do [M : F ∗] ≤ [M : H] < ∞ Goïi x1, x2, , xn tập hợp đầy đủ phần tử đại diện lớp ghép theo F ∗ M Đặt N = x1 , x2, , xn Khi M = NF ∗ Lấy x ∈ D∗ \ M, đặt N1 = N ∪ x Từ M = N.F ∗ N1F ∗ tính tối đại M, ta coù D∗ = N1 F ∗ Suy [D∗ , D∗ ] = [N1F ∗, N1 F ∗] = [N1, N1 ] Vậy N1 nhóm chuẩn tắc hữu hạn sinh D∗ Nếu [D : F ] < ∞ theo Định lý 2.4.1 , N1 nằm F Do D∗ = N1 F ∗ = F ∗ điều vô lý Suy [D : F ] = ∞ Ta coù M = x1 F ∗ ∪ x2 F ∗ ∪ ∪ x1 F ∗ Đặt A = n k=1 αk xk : αk ∈ F Với moïi i, j ∈ {1, 2, , n , tích xixj nằm M nên tồn số t cho xi xj = αt xt (αt ∈ F ) Suy A laø vaønh D 54 vành chia Bổ đề 2.4.2 Hiển nhiên M nằm A∗ Từ tính tối đại M ta có M = A∗ A∗ = D Từ định nghóa A, ta có [A : F ] < ∞ Vì A = D M ∪ {0} = A vành chia Theo Hệ 2.4.7, M nhóm giao hoán Điều vô lý lại cho ta M giao hoán trường hợp Trường hợp M = ND∗ (F (H)∗) Ta coù F (H)∗ nằm M Hơn [M : F (H)∗] < [M : H] < ∞ Theo Bổ đề 3.1.5, ta có [D : F ] < ∞ Lấy x ∈ M, từ giả thiết M F C−nhóm ta có [M : CM (x)] = n < ∞ Goïi x1, x2, , xn tập đầy đủ phần tử đại diện lớp ghép theo CM (x) M Đặt N = CM (x1) ∩ CM (x2) ∩ ∩ CM (xn ) ∩ CM (x) [M : N ] < ∞ Theo Định lý 1.1.8, M : ∩x∈M x−1 Nx < ∞ Suy tồn số nguyên dương k cho ∀y ∈ M, y k ∈ x−1 Nx ≤ N x∈M Đặc biệt ta có xk ∈ N Lấy z ∈ M, tồn số j a ∈ CM (x) cho z = xj a Suy xk z = xk xj a = xj xk a = xj axk = zxk Tức xk ∈ Z(M) = F ∗ Điều cho thấy M F Theo Định lý 3.1.1, ta có CharD = p > [D : F ] = p2 Đặt M1 = D ∩ M Lấy x ∈ M1 , từ M F nên tồn số nguyên dương n(x) cho xn(x) = α ∈ F Tác động chuẩn rút gọn lên hai phía, nhận = NrdD/F (x)n(x) = NrdD/F (x)n(x) = NrdD/F (α) = αp Suy xpn(x) = Vậy M1 nhóm xoắn Bằng cách xét biểu diễn quy D∗ GLp2 (F ), ta coi M1 nhóm GLp2 (F ) Theo Định lý 1.2.6, M1 hữu hạn địa phương Lấy x y hai phần tử M, x, y nhóm hữu hạn suy nhóm cyclic Mệnh đề 1.3.12 Đặc biệt a, b giao hoán với dẫn tới M1 giao hoán Hiển nhiên [M, M ] ≤ M1 M nhóm giải Theo Định 55 lý 1.3.14 (Suprunenko), tồn trường K D cho K/F mở rộng Galois [M : K ∗ ] < ∞ Nếu K ⊆ F [M : K ∗ ] < ∞, lặp lại lý luận ta nhận vô lý Suy F∗ K ∗ ⊆ M Do M F nên K ∗ F Theo Mệnh đề 1.2.12, K mở rộng túy không tách F K đại số trường nguyên tố hữu hạn P Nhưng K mở rộng Galois F nên K mở rộng túy không tách Suy K đại số P kéo theo F đại số P Do [D : F ] < ∞ nên D đại số F D đại số P Vì D giao hoán Định lý 1.3.8 Điều vô lý cho ta M giao hoán Theo Bổ đề 3.1.6 ta có điều cần chứng minh 56 Kết luận luận án Dưới số kết nhận luận án Tất kết thành đạt trình nghiên cứu chung với người hướng dẫn khoa học A Một số nhóm nằm tâm vành chia: Nhóm chuẩn tắc lũy linh địa phương vành chia nằm tâm vành chia Điều mở rộng kết cổ điển nói ``nếu nhóm nhân vành chia nhóm lũy linh vành chia giao hoán." Đối với vành chia đại số tâm kết nhận dạng sau: Mọi nhóm chuẩn tắc giải địa phương vành chia đại số tâm nằm tâm vành chia Mọi nhóm chuẩn tắc tâm vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm nằm tâm vành chia Điều chứng tỏ Giả thuyết Herstein lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm Mọi nhóm chuẩn tắc đại số trường hữu hạn vành chia nằm tâm vành chia Điều tổng quát hóa định lý Jacobson nói ``nếu vành chia đại số trường hữu hạn giao hoán" Mọi nhóm chuẩn tắc hữu hạn địa phương vành chia nằm tâm vành chia Điều mở rộng Định lý Wedderburn nói ``mọi vành chia hữu hạn trường" Mọi nhóm chuẩn tắc thỏa mãn tính F C−nhóm vành chia nằm tâm vành chia Điều mở rộng khác Định lý Wedderburn nói 57 B Các kết nhóm tối đại: Mọi nhóm tối đại lũy linh địa phương vành chia không giao hoán đại số tâm nhóm nhân trường tối đại vành chia Mọi nhóm tối đại hữu hạn địa phương vành chia không giao hoán nhóm nhân trường tối đại vành chia Mọi nhóm tối đại thỏa mãn tính F C-nhóm vành chia không giao hoán nhóm nhân trường tối đại vành chia 58 Đề xuất luận án Luận án trình bày số kết tính chất nhóm nhân vành chia Những kết tổng quát hóa số kết trước tác giả khác Wedderburn, Herstein, Jacobson, Hua, Stuth, Các kết ứng dụng Lý thuyết vành Lý thuyết nhóm tuyến tính vành chia Một số kết có khả mở rộng cho lớp vành chia rộng Chẳng hạn, nói Giả thuyết Herstein, luận án dừng lại việc chứng minh giả thuyết cho lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm Trong tương lai cần chứng minh bác bỏ giả thuyết cho lớp vành chia rộng hơn, ví dụ cho lớp vành chia đại số tâm chẳng hạn Tương tự kết cổ điển Hua :``Nếu nhóm nhân vành chia nhóm giải vành chia giao hoán" Kết Stuth mở rộng sau: Mọi nhóm chuẩn tắc vành chia giải nằm tâm" Trong luận án chứng minh vành chia đại số tâm nhóm chuẩn tắc giải địa phương nằm tâm Nếu khẳng định vừa bỏ điều kiện ``đại số tâm" nhận kết tổng quát kết Stuth Ngoài vấn đề thực đáng quan tâm liệu có tồn vành chia không giao hoán không chứa nhóm tối đại hay không? Nhắc lại trường câu trả lời khẳng định ta dễ dàng chứng minh trường số phức không chứa nhóm tối đại Tuy nhiên vành chia không giao hoán người ta chưa tìm ví dụ 59 Danh mục công trình tác giả [1] Nguyễn Văn Thìn Bùi Xuân Hải, Về giả thuyết Herstein, Tạp chí Phát triển Khoa học công nghệ/ J of Science and Technology Development (đã nhận đăng) (Tạp chí Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, ISSN: 1859-0128) [2] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On subnormal and Maximal Subgroups in Division Rings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2008) 32: 931-937 [3] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On Locally Nilpotent Subgroups of GL1 (D), Communications in Algebra, Vol.37 712-718 (2009) 60 Các kết luận án báo cáo hội nghị khoa học seminar sau đây: The Second International Congress in Algebra and Combinatorics, 6-11 July 2007, Beijing, China Hội nghị Khoa học lần thứ trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, tháng 11/2008 Seminar Đại số, Khoa Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Bùi Xuân Hải (Chủ biên), Trịnh Thanh Đèo, Đại số đại, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, (2002) [2] Bùi Xuân Hải, Lý thuyết Trường Galois, Nhà xuất Đại Học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2007) [3] Nguyễn Văn Thìn Bùi Xuân Hải, Về giả thuyết Herstein, Tạp chí Phát triển Khoa học công nghệ/ J of Science and Technology Development (đã nhận đăng) (Tạp chí Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, ISSN: 1859-0128) Tiếng Anh [4] Akbari, S Mahdavi-Hezavehi, M., Madmudi, M.G., Maximal Subgroups of GL1 (D), J Algebra,Vol 217 (1999), 222-233 [5] Akbari, S., Ebrabimian, R., Momenaee Kermani, H and Salehi Golsefidy, A., Maximal Subgroups of GLn (D), J Algebra 259, no.1, (2003) 201-225 [6] Artin E., Galois Theory, Notre Dame Mathematical Lecture, No.2 (1940) [7] Bui Xuan Hai and Le Khac Huynh, On Subgroups of the Multiplicative Groups of a Division Ring Vietnam Journal of Mathematics 32 (2), (2004) 21-24 [8] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On Subnormal and Maximal Subgroups in Division Rings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2008) 32: 931-937 62 [9] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On Locally Nilpotent Subgroups of GL1 (D), Communications in Algebra, Vol.37 712-718 (2009) [10] Berson Frad and R Keith Dennis, Noncommutative Algebra, Graduate Text in Mathematics: 144, Springer-Verlag (1991) [11] J Goncalves, Free group in subnormal subgroups and the residual nilpotence of the group units of group rings, Can Math Bull 27(1982), 365-370 [12] Jacobson, N., Structure of Rings, Coll, Pub., Vol 137, Amer Math Soc, Providence, R.I, (1956) [13] J.Tits, Free subgroups in Linear Groups, J Algebra 20, (1972) 250-272 [14] Kostrikin, A.I , Shafarevich, I.R., (Ed) Algebra IV, part II, (Linear Groups, by A.E Zalesskii) , Encyc of Math Science, Springer-Verlag (1993) [15] I.N.Herstein, Noncommutative Rings, The Carus Mathematical Monographs, Published by The Mathematical Association of America (1968) [16] I.N Herstein, Multiplicative commutators in division ring, Israel J Math 31, (1978) 180-188 [17] Louis-H.Rowen, Ring Theory, Vol.III, Cambrige University Press, (1986) [18] Mahdavi-Hezavehi, M.G Madmudi and S.Yasamin, Finitety generated subnormal subgroups of GLn (D) are central, J Algebra 225 (2000) 517-512 [19] Mahdavi-Hezavehi, Free subgroups in Maximal subgroup of GL1 (D), J Algebra 24, (2000) 720-730 [20] M.I Kargapolov and ju I Mezliakov, Fundamentals of the Theory of Groups, Springer-Verlag, New York (1974) [21] Patrik Morandi, Field and Galois Theory, Springer-Verlag (1996) [22] P.K.Draxl, Skew Fields, London Mathematical Society, Lecture Note series 81 (1993) [23] Robinson, Derek J.S, A course in the Theory of groups, Second Edition, SpringerVerlag, (1995) 63 [24] Roozbeh-Hazrat, On the central series of the multiplicative Groups, Proc Amer Math Soc (1997) [25] Shivani, M., and Wehrfritz, B.A.F, Skew Linear Groups, Cambridge University Press, (1986) [26] Suprunenko, D.A, Soluble Subgroups of the Multiplicative Group of a Field, English Transl., Amer Math Soc.Transl 46(2), (1995) 153-161 [27] T.Y Lam, The First Course in Noncommutative Rings, Gruaduate Text in Mathematics, Vol.13 , Springer-Verlag (1996) [28] Wehrfrit B.A.F, Infinite Linear groups, An account of the group- theoretic properties of infinite groups of matrices, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973 [29] Wehrfritz B.A.F, Crossed product criteria and skew linear groups, J Algebra, Vol 141 No 2, (1991) 321-353 [30] W.R Scott, Group Theory, Dover Publication, INC, (1987) ... số nhóm nằm tâm vành chia: Nhóm chuẩn tắc lũy linh địa phương vành chia nằm tâm vành chia Điều mở rộng kết cổ điển nói ``nếu nhóm nhân vành chia nhóm lũy linh vành chia giao hoán." Đối với vành. .. hoán nhóm vành chia Từ kết này, cách tự nhiên ta đặt câu hỏi: Nếu nhóm nhân vành chia thỏa tính chất A làm cho vành chia giao hoán nhóm chuẩn tắc vành chia thỏa tính chất A có nằêm tâm vành chia. .. hữu hạn địa phương vành chia không giao hoán nhóm nhân trường tối đại vành chia Mọi nhóm tối đại thỏa mãn tính F C -nhóm vành chia không giao hoán nhóm nhân trường tối đại vành chia II Một vài kết