Một số định lý về dãy nhóm con chuẩn tắc

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Bùi Văn Th-ơng Một số định lý dÃy nhóm chuẩn tắc luận văn thạc sĩ toán học Vinh, 2009 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Bùi Văn Th-ơng Một số định lý dÃy nhóm chuẩn tắc Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số mà số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Cán h-ớng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Quốc hán Vinh - 2009 Mục lục Trang Lời nói đầu Ch-ơng Các nhóm tác động vµ øng dơng 1.1 Các nhóm tác động 1.2 TÝch nöa trùc tiÕp Ch-ơng Một số định lý dÃy nhóm chuẩn tắc 2.1 Định lý mịn hoá Shreier 2.2 Một số tính chất đạo nhóm 17 2.3 Định lý Krull - Remark - Schmidt 21 KÕt luËn 33 Tµi liƯu tham kh¶o 34 Lời nói đầu Nhóm chuẩn tắc cấu trúc chúng nội dung đ-ợc nghiên cứu nhiều Lý thuyết nhóm Tuy nhiên vấn đề liên quan đến dÃy nhóm chuẩn tắc giáo trình Đại số bậc Đại học Cao học ch-a đ-ợc trình bày cách đầy đủ DÃy nhóm con:  G0  G1   Gn  G (1) G đ-ợc gọi dÃy chuẩn tắc nÕu Gi G , víi mäi i =1,2, ,n Mét mịn hoá dÃy (1) dÃy mà có chứa tất nhóm dÃy (1) Mục đích dựa vào tài liệu tham khảo để tìm hiểu nghiên cứu dÃy nhóm chuẩn tắc, mịn hoá, số tính chất đạo nhóm phân tích trực tiếp nhóm Luận văn đ-ợc trình bày thành ch-ơng: Ch-ơng Các nhóm tác động ứng dụng Trong ch-ơng trình bày số kiến thức sở nhóm nh- phép tác động, tích nửa trực tiếp Ch-ơng Một số định lý dÃy nhóm chuẩn tắc Ch-ơng nội dung luận văn Trong ch-ơng đà trình bày định nghĩa dÃy nhóm chuẩn tắc, định nghĩa mịn hoá Định lý tính mịn hoá Schreier ( Định lý 2.1.15), nhận đ-ợc định lý Jordan - Holder nh- hệ ( hệ 2.1.16) Chúng trình bày khái niệm - nhóm, chuỗi chứng minh chi tiết Định lý Krull - Remark - Schmidt điều kiện để - nhóm phân tích đ-ợc thành tích trực tiếp số hữu hạn nhân tử không phân tích đ-ợc ( định lý 2.3.11) Các kết đ-ợc trình bày luận văn đà có tài liệu tham khảo Chúng đà tìm đọc, xếp lại cách có hệ thống chứng minh số kết mà tài liệu tham khảo ch-a trình bày Luận văn đ-ợc thực hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh, d-ới h-ớng dẫn thầy giáo PGS TS Lê Quốc Hán ng-ời đà tận tình giúp đỡ th-ờng xuyên quan tâm, động viên trình làm luận văn Nhân dịp xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số, khoa Toán, khoa Sau đại học tr-ờng Đại học Vinh đà trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu tr-ờng THPT L-ơng Thế Vinh - Vụ Bản - Nam Định đà tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập nghiên cứu tr-ờng Đại học Vinh Mặc dù đà có nhiều cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đ-ợc góp ý quý báu từ thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Ch-ơng Các nhóm tác động ứng dụng 1.1 Các nhóm tác động Trong luận văn này, phép toán nhóm th-ờng đ-ợc ký hiệu theo lối nhân đơn vị nhóm đ-ợc ký hiệu 1.1.1 Định nghĩa Giả sử G H nhóm Nếu có đồng cấu từ G vào AutH nhóm tự đẳng cấu nhóm H , ta nói G tác động lên H qua G nhóm toán tử H ; đồng cấu đ-ợc gọi tác động G Tác động không cần thiết đẳng cấu Nói riêng, đồng cấu tầm th-ờng, nghĩa g 1, g G Qua tác động tầm th-ờng nhóm tuỳ ý tác động H Đối với g G, g tự đẳng cấu H ; ta ký hiệu  g h bëi h g , h  H Tác động H đ-ợc cho t-ơng ứng g : h h g đ-ợc xác định g G thoả mÃn bổ đề công thức sau u, v H x, y  G 1.1.2 Bỉ ®Ị Víi mäi u, v  H , x, y  G th× i) uv x  u x v y ; ii) u xy  u x  ; y iii) u u ; đơn vị G Thực tế (i) t-ơng đ-ơng với phát biểu x tự đồng cấu H , (ii) điều kiện đồng cấu cđa  §iỊu kiƯn (iii) nãi r»ng  1 , đảm bảo g tự đẳng cấu H g  G 1.1.3 VÝ dơ Gi¶ sư G H nhóm nhóm L cho G  N L H  PhÐp liên hợp phần tử g G cảm sinh tự đẳng cấu g H Hàm đồng cấu từ G vào H Nh- vậy, tác động G H g h h g với g h liên hợp h bëi phÇn tư g 1.1.4 VÝ dơ NÕu G nhóm AutH phép nhúng G vào AutH tác động G H Khi xét tác động nhóm nhóm khác, ta đà tách nhóm G H để tránh tổng quát Nh-ng dễ vận dụng tình đặc biệt ví dụ 1.1.3 hai nhóm đ-ợc chứa nhóm lớn tác động đ-ợc cảm sinh phép liên hợp Vì cách xây dựng sau nhóm lớn quan trọng 1.2 Tích nửa trực tiếp 1.2.1 Mệnh đề Giả sử tác động nhóm G nhóm H Giả sử L tích Đề tập hợp G H ; nghĩa tập hợp tất cặp g, h, g G, h H Xác định tích hai phần tử thuéc g, hg ' , h'  gg ' , g 'hh' L công thức L tạo thành nhóm với phép toán Ký hiệu 1G ,1H lần l-ợt đơn vị G H Định nghĩa g G, h H th×  g   g ,1H  , h 1G , h đặt G  g , g  G; H   h, h H đẳng cấu từ G lên G , đẳng cấu từ H lên H H L G H ,  G  H  , 1G ,1H đơn vị L Hơn công thức g h g    h g  ®óng ®èi víi mäi g  G, h  H Chøng minh.Tr-íc hết kiểm tra luật kết hợp Giả sử g , u, x  G vµ h, u, v  H thÕ th× g, hu, vx, y   gu, h u vx, y   gu x, h u vx y   g ux, h u x v x y   g ux, h ux v x y     g , h ux, v x y  g , hu, v x, y Theo định nghĩa 1G ,1H đơn vị; nghịch đảo g , h đ-ợc cho bëi g 1  ,   g 1  h1 Do L tạo thành nhóm với phép toán đ-ợc xác định Định nghĩa phép toán chứng tỏ gg '   g  g ' ,  hh'  h h' Do đồng cấu G G , H H nhóm Hơn theo định nghĩa ta có g , h  g  h ,  g 1 h g    h g  Tõ ®ã H L  G H Râ rµng, ta cã G  H 1.2.2 Định nghĩa Nhóm L đ-ợc xây dựng mệnh đề 1.2.1 đ-ợc gọi tích nửa trực tiếp G H với tác động Các nhóm G H đ-ợc đồng với G H qua đơn cấu t-ơng ứng xét G H nh- c¸c nhãm cđa tÝch nưa trùc tiÕp L cách sử dụng phép đồng G víi G vµ cđa H víi H Chó ý: Phép liên hợp phần tử g G cảm sinh tự đẳng cấu H mà trùng với tự đẳng cấu g đ-ợc cho tác động G lên H Khi nhóm toán tử G nhóm H đà đ-ợc cho, tập hợp phần tử H bất biÕn tr¸i theo mäi g  G : h h  H ,  g h  h, g  G lµ mét nhãm cđa H Nhãm t-ơng ứng với nhóm H C L G  tÝch trùc tiÕp, chóng ta sÏ ký hiƯu nã bëi C H G  b»ng c¸ch më réng nghÜa cđa ký hiƯu 1.2.3 Bỉ ®Ị CU S   U  CG S  Khi mét nhóm G nhóm toán tử G phức tạp, nhúng nhóm vào tích nửa trực tiếp sử dụng ký hiệu bổ đề 1.2.3 tÝch trùc tiÕp Trong vÝ dô 1.1.3 GH nhóm L Nh-ng cần ý GH không thiết đẳng cấu với tích nửa trực tiếp phù hợp với điều kiện G H không L Nh- vËy, quy -íc bỉ ®Ị 1.2.3 cã thĨ ®-a hai nghÜa cđa cïng ký hiƯu Nh-ng t¸c ®éng cđa mét phÇn tư g  G cã cïng ký hiệu ứng H L tích nửa trực tiếp Do đó, hai định nghĩa thoả thuận không xảy sai lầm 1.2.4 Định nghĩa Một nhóm G đ-ợc gọi tích nửa trực tiếp cđa hai nhãm H vµ K nÕu HG  HK , H  K  1 Định nghĩa không đối xứng H K ; định nghĩa trên, nhóm chuẩn tắc G quan trọng Tích nửa trực tiếp đà đ-ợc định nghĩa định nghĩa 1.2.2 tích nửa trực tiếp đ-ợc ®Þnh nghÜa ®Þnh nghÜa 1.2.4 Chóng ta sÏ chøng minh tích nửa trực tiếp tuỳ ý đẳng cÊu víi tÝch nưa trùc tiÕp phï hỵp víi mét tác động Vì lý đó, tính từ thường bị biến 1.2.5 Mệnh đề Giả sử G tích nửa trực tiếp nhóm H vµ K cho HG  HK , H  K  1 Gi¶ sư  u  đẳng cấu H đ-ợc cảm sinh phép liên hợp u K Thế u tác động K H , vµ tÝch nưa trùc tiÕp K vµ H theo  ®¼ng cÊu víi G Chøng minh Trong vÝ dơ 1) ta đà chứng minh tác động K H Giả sử L tÝch nưa trùc tiÕp cđa K vµ H theo  Thế phần tử L cặp k, h phần tử k K h H Giả sử f hàm đ-ợc xác định k , h kh G Theo gi¶ thiÕt, G  HK  KH nên f toàn ánh Đối với k , u K h, v H , định nghĩa tÝch L cho ta k , hu, v  ku, u hv Mặt khác G có k , hu, v   kuh u v  V× h u  u 1hu   u h , hai công thức chứng tỏ f đồng cấu Nếu phần tử k, h nằm hạt nhân f kh hay k  h 1  K  H  1 Nh- vËy Ker  f   1 nªn f đẳng cấu Cấu trúc tích nửa trực tiếp không phụ thuộc vào nhóm H G , mà phụ thuộc vào tác động Nếu tác động tầm th-ờng, nghĩa g   1 víi mäi g  G , tích nửa trực tiếp phù hợp với tác động tầm th-ờng đ-ợc gọi đơn giản tích trực tiếp Tích trùc tiÕp cđa hai nhãm t ý lu«n lu«n tån tại, lớp đẳng cấu đ-ợc xác định nhÊt bëi G vµ H Mét tÝch nöa trùc tiÕp HG  HK , H  K  1 lµ mét tÝch trùc tiÕp nÕu vµ chØ nÕu KG ThËt vËy, nÕu G lµ mét tÝch trực tiếp, tác động K H tầm th-ờng Do H K giao hoán đ-ợc với theo phần tử Điều kéo theo K nhóm chuẩn tắc G Mặt khác, KG H K giao hoán đ-ợc với theo phần tử Do đó, G tích trực tiếp 1.2.6 Mệnh đề Giả sử mét nhãm lµ tÝch cđa hai nhãm H vµ K cho H K (chẳng hạn, giả thiết G tích nửa trực tiếp H K ) Thế phần tử g G đ-ợc viết d-ới dạng hk , h H , k  K mét c¸ch nhÊt NÕu G hữu hạn , G H K Chøng minh V× G  HK , g cã thể đ-ợc viết d-ới dạng g hk Nếu hk  h'k ' víi h, h' H vµ k , k ' K th× h' 1 h  k ' k Do h  h' vµ k  k ' NhvËy biểu diễn Khẳng định cuối rõ ràng 1.2.7 Bổ đề Nếu hai nhóm H K nhóm G thoả mÃn điều kiện H K 1, H N G K  , K  N G G , phần tử H giao hoán đ-ợc với phần tử K ) 1.2.8 Định lý Giả sử U V hai tập cđa nhãm G vµ L lµ nhãm cđa G Nếu U tập L UV  L  U V  L 1.2.9 Mệnh đề Giả sử G tích nửa trực tiếp nửa nhóm H K cho HG ThÕ th× N G K   H giao hoán đ-ợc phần tử với K , ta cã N G K   H  C H K  , N G K   KC H N Chứng minh Định lý đẳng cấu thø hai chøng minh r»ng N G K   H  N G K  V× H  K nên K N G K giao hoán đ-ợc với theo phần tử (Theo Bỉ ®Ị 1.2.7) Do ®ã N G K   H C H K áp dụng Định lý 1.2.8 cho N G K  cho ta: N G K   G  N G K   K H  N G K   Gi¶ sử tác động nhóm G lên nhóm H khác Một nhóm U H đ-ợc gọi G bất biến g U  U , víi mäi g  G 20 2.2.10 Định lý Giả sử D đạo nhóm G Thế nhóm th-ơng G H Aben NÕu thay nhãm th-¬ng G H bëi -íc chn H aben H chứa D Nhvậy , D -ớc chuẩn nhỏ có tính chất nhóm th-ơng aben Chứng minh Trong nhóm th-ơng G D luôn cã  x, y   Do ®ã x y giao hoán đ-ợc với Nếu G H aben , ta l¹i cã x, y   Điều nghĩa x, y H Vì D đ-ợc sinh tất hoán tử đ-ợc xác định G nên D H 2.2.11 Định lý Một nhóm G giải đ-ợc dÃy đạo nhóm đạt đ-ợc sau số hữu hạn b-ớc Do đó, G giải đ-ợc G n với số nguyên n Chứng minh Nếu G n với n đó, dÃy đạo nhóm dÃy pháp ảnh với th-ơng abel nên G nhóm giải đ-ợc Để chứng minh mệnh đề đảo ta cần đến bổ đề sau: 2.2.12 Bổ đề Nếu H nhóm G số nguyên d-ơng k tuỳ ý cã H k   G k  ) Chøng minh Vì H G nên tập hợp giao ho¸n tư cđa H 1 , hay nãi c¸ch kh¸c, tập giao hoán tử phần tử H phận tập hoán tử cđa G 1 ®ã H 1  G 1 Theo quy n¹p, cã H (k)  G (k) Bây ta chứng minh phần thứ hai định lí 2.2.11 Giả sử G giải đ-ợc Thế G có dÃy pháp ảnh Gi cho Gr tất th-ơng Gi Gi , ( i  1,2, , r ) abel Chóng ta chøng minh r»ng G i   Gi quy nạp theo i Tr-ờng hợp i hiển nhiên Giả sử i G i 1  Gi 1 V× Gi 1 G i abel nªn DGi 1   Gi theo định lí (2.2.6) Mặt khác, theo Bổ đề (2.2.8) G i 1  Gi 1 cã G i   DG i 1   DGi 1  Do ®ã G i   Gi , ®ã phép chứng minh theo quy nạp kết thúc Vì Gr  1 nªn G r  1  21 2.2.13 Hệ Nếu G nhóm giải đ-ợc có dÃy đặc tr-ng G0 G G1   Gs  1 cho c¸c nhãm th-ơng Gi Gi aben 2.2.14 Hệ Nếu nhóm không tầm th-ờng G giải đ-ợc, G chứa nhóm đặc tr-ng nhóm abel khác Chứng minh DÃy đạo nhóm dÃy đặc tr-ng thoả mÃn điều kiện hệ 2.2.12 Đối với hệ 2.2.13, ta lấy thành phần cuối dÃy đạo nhóm khác 2.3 Định lý Krull - Remark- Schmidt Tích trực tiếp hai nhóm H K đà đ-ợc đinh nghĩa nh- tích nửa trực tiếp với tác động tầm th-ờng Do đó, tích trực tiếp H K tích đề H K với phép toán: u, vx, y   ux, uy  2.3.1 Định nghĩa Giả sử H1 , H , , H n nhóm Tích trực tiếp nhóm tích đề H1 H   H n víi phÐp to¸n : x1 , x2 , , xn  y1 , y2 , , yn   x1 y1 , x2 y2 , , xn yn Khi nhóm H i đ-ợc gọi nhân tử trực tiếp Nếu 1i đơn vị H i 11 ,12 , ,1n đơn vị H1 H   H n ; t-¬ng tù x1 , x2 , , xn 1  x11 , x21 , , xn1 Dễ kiểm tra đ-ợc tích trùc tiÕp thùc sù lµ mét nhãm vµ H1  H H n đẳng cấu với ( H1  H   H n1 )  H n Nãi chung: H1  H   H n  H1  H   H m   H m1   H n  ; HK  KH Giả sử G tích trực tiếp nhãm H1 , H , , H n Giả sử K i tập hợp tất phần tử G cho tất j i , thành phần thứ j đơn vÞ j cđa H j : K i  11 ,12 , ,1i 1 , xi ,1i 1 , ,1n , xi  H i ThÕ th× K i lµ mét nhãm cđa G vµ ta cã mệnh đề sau đây: 2.3.2 Mệnh đề (i) Nhóm K i đẳng cấu với H i d-ới đẳng cấu 22 1, , xi , ,1n   xi ; (ii) Nhóm K i chuẩn tắc G ; (iii) NÕu K i  K j th× K i giao hoán theo phần tử với K j ; (iv) G  K1 K K n vµ phần tử thuộc G đ-ợc viết d-ới d¹ng x1 x2 xn víi xi  K i Chứng minh Từ định nghĩa tích G , dễ dàng kiểm tra (i), (ii) (iii) Phần tử G đ-ợc viết nh- tích phÇn tư thc K i : x1 , x2 , , xn   x1 ,1, ,11, x2 , ,1 1,1, , xn Sự phân tích nhÊt , bëi v× x1 , x2 , , xn    y1 , y2 , , yn  nÕu vµ nÕu x1  y1 , x2  y , , xn  y n chØ 2.3.3 Định lý Giả sử H1 , H , , H n nhóm chuẩn tắc cña mét nhãm G cho G  H1 H H n Thế điều kiện sau t-ơng đ-ơng: (i) Đối với i 1,2, , n cã H1 H H i 1 H i ; (ii) Mỗi phần tử G đ-ợc viết d-ới dạng x1 x2 xn ®ã xi  H i ®èi với tất i ; (iii) Tồn đẳng cÊu G  H1  H   H n cho nhãm H i cña G t-ơng ứng với nhóm K i (đ-ợc định nghĩa 2.3.1) cña tÝch trùc tiÕp Chøng minh : (i)  (ii) Theo gi¶ thiÕt G  H1 H H n , phần tử G đ-ợc viết d-ới dạng x1 x2 xn với xi H i , i  1,2, , n Gi¶ sö x1 x2 xm  y1 y y m víi xi , yi  H i , ®èi với i Đặt u y1 y y m1 ta cã y m xm1  u x1 x2 xm1 Vế trái phần tử thuộc H m , vế phải mét phÇn tư thc H1 / H H m1 V× H1 H H i 1  H i  1 nªn xm  y m Do ®ã x1 x2 xm1  y1 y y m1` Lặp lại lý luận ta kiểm tra đ-ợc tính phân tích Do ®ã ®iỊu kiƯn (i) kÐo theo ®iỊu kiƯn (ii) 23 (ii)  (iii) Tr-íc hÕt chóng ta h·y chøng tá r»ng , nÕu i  j , u  H i vµ v  H j lµ giao hoán đ-ợc với Theo (ii) tích vu đ-ợc viết nhtích phần tử thuộc H i phần tử khác thuộc H j Ta cã     vu  u u 1vu  vuv1 v V× H i G nên vuv1 H i u 1vu H j Bëi vËy, theo tÝnh nhÊt cña sù ph©n tÝch , cã v  v u hay uv vu Giả sử g phần tử thuộc G Theo (ii) g đ-ợc viÕt nhÊt d-íi d¹ng g  x1 x2 xn ®ã xi  H i ®èi víi mäi i Chúng ta định nghĩa hàm f từ g vào tÝch trùc tiÕp H1  H   H n theo c«ng thøc f g   x1 , x2 , , xn  Gi¶ sư h  y1 y y n , (yi  Hi) phân tích phần tử khác thuộc G Vì xi giao hoán với y i ®èi víi i  j , nªn gh  x1 y1 x2 y2  xn yn  (*) Nh- vËy, f gh  x1 y1 , x2 y2 , , xn yn   f g  f h Do f đồng cấu Dễ dàng kiểm tra lại điều kiện lại (iii) (iii)  (i) Chóng ta chØ cÇn chøng tá r»ng K1 K K i 1  K i  Điều hiển nhiên, thành phần thứ i phần tử thuộc giao 2.3.4 HƯ qu¶ Gi¶ sư H1 , H , , H n nhóm chuẩn tắc nhóm G cho H i nguyên tố cïng víi H j ®èi víi i  j Thế nhóm sinh nhóm chuẩn tắc H1 , H , , H n đẳng cÊu víi tÝch trùc tiÕp H1  H   H n Chøng minh: NÕu i  j , cÊp cña H i  H j chia hết cho H i H j Do ®ã H1  H  1 vµ H1 H  H1 H Theo quy n¹p, cã H H i = H H i vµ H1 H H i 1  H i Nh- vậy, điều kiện (i) định lý 2.3.3 đ-ợc thỏa mÃn, H1 H H n đẳng cấu với tích trực tiếp 2.3.5 Định nghĩa Một nhóm G đ-ợc gọi tích trực tiếp cđa c¸c -íc chn H1 , H , , H n nÕu G  H1 H H n ba điều kiện định lý 2.3.3 đ-ợc thoả mÃn Nhóm G đ-ợc gọi phân tích đ-ợc trực tiếp tích trực tiếp nhóm thực ; ng-ợc lại, G đựơc gọi 24 không phân tích đ-ợc Mét hä H i  c¸c -íc chn cđa G đ-ợc gọi độc lập thoả mÃn điều kiện 1) định lý 2.3.3 Theo định lý 2.3.3, họ H i nhóm chuẩn tắc độc lập, nhóm sinh chúng tÝch trùc tiÕp cña H1 , H , , H n Điều đảo lại không Giả sư H1 , H , , H n lµ nhóm K i nhóm H1 H H n nh- định nghĩa Theo (2.3.2), họ K i độc lËp, vµ H1  H   H n tích trực tiếp nhóm chuÈn t¾c H1 , H , , H n theo định lý 2.3.3, G đẳng cấu với tÝch trùc tiÕp H1  H   H n ánh xạ đẳng cấu H i lên nhãm K i cña tÝch trùc tiÕp Nh- vËy, ta cã thĨ ®ång nhÊt H i víi K i không quan tâm đến phân biệt tích trùc tiÕp vµ tÝch trùc tiÕp ngoµi chóng ta ký hiÖu G  H1  H  H n G tích trực tiếp cña H1 , H , , H n ; tr-ờng hợp gọi H i nhân tử trực tiếp Nh- vậy, hai H vµ K lµ  - nhãm, tÝch trùc tiÕp H  K trë thµnh mét    - nhóm theo định nghĩa tác động nh- sau: h, k   h , k  Dễ kiểm tra đ-ợc quy tắc xác định tác động từ lên H K ThÕ th×  - nhãm H  K đ-ợc gọi tích trực tiếp - nhãm H vµ K NÕu mét  - nhãm G tích trực tiếp -ớc chuẩn H1 , H , , H n vµ nÕu nhân tử H i - nhóm G - đẳng cấu với tÝch trùc tiÕp cđa c¸c  - nhãm H1 , H , , H n §Ĩ chøng minh khẳng định trên, ta cần kiểm tra đẳng cấu   f : G  H1  H H n thoả mÃn công thức f g    f g  ThËt vËy, nÕu g  x1 x2 xn ,  ( xi  H i ), thÕ th× f g   x1 , x2 , , xn Mặt khác, g   x1 , , xn , ®ã xi  H i Do ®ã ta cã f g    x1 , , xn  2.3.6 Mệnh đề Giả sử - nhóm tÝch trùc tiÕp cđa c¸c  nhãm H1 , H , , H m Gi¶ sư N i - nhóm chuẩn tắc H i i Thế thì: 25 (i) Mỗi N i - nhóm chuẩn tắc G ; (ii) Giả sử N N1 N N m Thế N tÝch trùc tiÕp cđa c¸c  - nhãm N1 , N , , N m ;  - nhóm G N - đẳng cấu với tích trùc tiÕp cđa c¸c  - nhãm H N , H N , , H m N m Chøng minh (i) NÕu i  j H i H j giao hoán theo phần tử Nhvậy N i giao hoán theo phần tử với H j i j , N G N i chứa tất H j Do N i G nên (i) (ii) Vì họ N i độc lập nên phần đầu (ii) đ-ợc suy từ định lý 2.3.3) Đối với phần tử xi H i giả sử xi ký hiệu ảnh xi đồng cấu tắc lên H i N Hàm đ-ợc định nghĩa g : x1 xm x1 , , xm - đẳng i cÊu tõ G lªn tÝch trùc tiÕp H N  H N   H m N Dễ thấy hạt nhân m lµ N  N1 N N m Do định lí T-ơng ứng chứng minh mệnh đề (ii) 2.3.7 Mệnh đề Giả sử G tích trực tiÕp cđa c¸c nhãm H1 , H , , H m ThÕ th×: (i) Z G   Z H1   Z H    Z H m  ; (ii) DG   DH1   DH    DH m  Chøng minh (i) Trong tÝch trùc tiếp quy tắc tích trực tiếp đ-ợc cho quy tắc (*) Do phần tử g nằm Z G thành phần xi  Z H i  víi mäi i VËy (i) ®-ỵc chøng minh (ii) Ta cã mét ®ång cÊu chun hoán tử thành hoán tử ảnh Do DH i đ-ợc chứa DG Giả sử D vế phải công thức (ii): D  DH1   DH    DH m  ThÕ th× D  DG Mặt khác, mệnh đề 2.3.6 cho ta G D   H1 DH    H DH     H m DH Vì H i DH aben nên theo    m  i   mệnh đề 2.2.3 G D aben D  DG  Nh- vËy D  DG  26 Giả sử G tích trực tiếp cđa c¸c nhãm H1 , H , , H n Thế phần tử g thuộc G đ-ợc viết d-ới dạng g x1 x2 xn , ( xi  H i ) quy tắc phép nhân (*) chứng tỏ hàm : g xi đồng câu từ G lên H i 2.3.8 Định nghĩa Giả sử G nhóm Một đồng cấu từ G vào đ-ợc gọi tự đồng cấu G Giả sử tự đồng cấu nhóm G Các tập G G nhóm G Nếu phần tử G giao hoán đ-ợc với phần tử G ( tr-ờng hợp này, chóng ta nãi r»ng G  giao ho¸n theo tõng phần tử với G ); Chúng ta định nghĩa tổng nh- sau: 2.3.9 Định nghĩa Giả sử tự đồng cấu nhóm G t-ơng ứng x x x đ-ợc xác định G Khi ®ã: xy   xy  xy   x  y  x  y   x  x  y  y   x y Do tự đồng cấu G Ta định nghĩa tổng lµ  vµ viÕt      Khi G G giao hoán theo phần tử, ta nói khả tổng Tổng tự đẳng cấu đ-ợc định nghÜa chóng kh¶ tỉng Tỉng cđa chóng cã tÝnh chất giao hoán kết hợp   ;        công thøc sau cịng ®óng:          ;       2.3.10 Mệnh đề Giả sử G tích trực tiếp nhóm H1 , H , , H n ThÕ th× tồn đồng cấu i G cho  ,  , ,  n - tự đồng cấu khả tổng chuẩn tắc thoả mÃn điều kiện:    n  ,  i2   i ,  i  j  ( i  j ) 27 Chøng minh V×  i G   H i nªn tõ mƯnh ®Ị 2.3.2 (iii) suy  i G  vµ j G giao hoán theo phần tử i j Do i j khả tổng ta kết luận đ-ợc r»ng  ,  , ,  n tự đẳng cấu khả tổng đôi NÕu g  x1 x2 xn , ( xi  H i ) thÕ th× ta cã xi   i g Do theo định nghĩa      n g    g   n g  vµ       n  T-¬ng tù ta cã  i  j g   xi vµ  i  j g   víi i  j nªn  i2   i vµ  i  j ( i j ) Đối với    , cã g   x1 , , xn Điều kéo theo i g xi Do i - tự đẳng cấu Nói riêng, ta có thĨ xÐt   Int G nh- mét miỊn toán tử Trong nhân tử - nhóm Do đó, tất i - - tự đồng cấu G Vậy i chuẩn tắc Chú ý: Các - tự đồng cấu mệnh đề 2.3.7 đ-ợc gọi phép chiếu lên nhân tử trực tiếp Định lý phân tích trực tiếp Định lý Krull- RemarkSchmidt sau: 2.3.11 Định lý (Krull- Remark- Schmidt) Gi¶ sư r»ng mét  - nhóm G có chuỗi - Thế G tích trực tiếp số hữu hạn nhân tử không phân tích đ-ợc Nếu G  H1  H   H n  K1  K   K m , tất H i K j không phân tích đ-ợc không tầm th-ờng Thế n m r nhân tử trực tiếp tuỳ ý H i , H i , , H i phân tích thứ đ-ợc thay thÕ bëi mét r tËp thÝch hỵp cđa r nh©n tư K j , K j , , K j phân tích thứ hai Chính xác r tồn - đẳng cấu chuẩn tắc cho H i K j , , H i  K j vµ 1 r r cho phần tử H i bất biến i  i1 , , ir 2.3.12 HƯ qu¶ Gi¶ sư G lµ mét  - nhãm cã mét d·y  - chÝnh NÕu G tho¶ m·n Ýt nhÊt mét ba điều kiện sau, có cách chủ yếu 28 để viết G d-ới dạng tích trực tiếp nhân tử không phân tích đ-ợc (bỏ qua xếp nhân tử): (i) Z G  1 ; (ii) DG   G ; (iii) Không có đồng cấu từ G vào Z G Chúng ta cần số mệnh đề tr-ớc chứng minh định lý 2.3.11 Chú ý r»ng chóng ta cã thĨ më réng miỊn to¸n tử Int G mà không ảnh h-ởng đến định lý Do giả thiết chứa Int G 2.3.13 Mệnh đề Giả thiÕt r»ng Int G   vµ  - nhãm G cã mét d·y  chÝnh NÕu mét  - tự đồng cấu đà cho tồn số nguyªn n cho  n G    n1 G  vµ G   n G   Ker n Chøng minh Gi¶ sư Int G , - đồng cấu tuỳ ý chuẩn tắc - nhóm tuỳ ý -ớc chuẩn Giả sử r độ dài dÃy - hợp thành G Thế d·y c¸c  - nhãm  i G  chứa nhiều r nhóm phân biệt; nên n G    n1 G  víi n r Đặt H n G Vì H - nhóm chuẩn tắc G nên H có dÃy - ( theo hệ 2.1.17) Theo định nghĩa H , chuyển H lên Do cảm sinh - đẳng cấu từ H H Ker lên H Bằng cách so sánh độ dài dÃy - hợp thành ta nhận đ-ợc H Ker 1, cảm sinh - tự đẳng cấu từ G K lên H Do đó, độ dài dÃy - hợp thành G K độ dài dÃy - hợp thành H Vì H K nên HK K - đẳng cấu với H Lại cách so sánh độ dài dÃy - hợp thành ta nhận đ-ợc HK G Vì Int G hai H K - nhóm con, nên chuẩn tắc G H K 2.3.14 HƯ qu¶ Gi¶ thiÕt r»ng mét  - nhãm G không phân tích đ-ợc Nếu Int G - tự đồng cấu tuỳ ý G luỹ linh, - tự đẳng cấu 29 Chứng minh Giả sử mét  - tù ®ång cÊu cđa G Theo giả thiết Mệnh đề 2.3.9 suy số nguyên n có n G    n1 G   G vµ Ker  n   1 hc G  Ker n Trong tr-ờng hợp sau luỹ linh Trong tr-êng hỵp tr-íc, Ker    1 Nếu x G , tồn  y  G cho  n x    n1  y  V× Ker  n  1, nªn x    y  Nh- toàn ánh, - - tự đẳng cấu G 2.3.15 Hệ Giả sử G - - nhóm không tầm th-ờng với dÃy - hợp thành Giả thiết Int G G không phân tích đ-ợc Nếu hai - tự đồng cấu khả tổng - tự đồng cấu - tự đẳng cấu G Chứng minh Giả sử     NÕu  - lµ mét - tự đẳng cấu nghịch đảo tồn Cả hai - tự đồng cấu G thoả mÃn V×        Nếu hệ 2.3.15 không đúng, - tự đẳng cấu Thế theo hệ 1, có n m với số nguyên d-ơng n m Vì giao hoán, nên theo Định lý nhị thức Newton cho ta:      n m   C i  i  n  m i i i n nmi i n , nên Điều mâu thuẫn G Chứng minh định lý 2.3.11 Vì Int G nên dÃy - hợp thành dÃy chính, - tự đồng cấu tuỳ ý chuẩn tắc Nếu G  H1  H   H n , thÕ th× G  H1  H   H n1   H1  H  H1  1 lµ mét d·y  - pháp ảnh G Vì đ-ợc mịn hoá tới dÃy - chính, nên số phần tử không v-ợt độ dài dÃy - hợp thành tuỳ ý Do đó, G đ-ợc biểu diễn thành tích trực tiếp số hữu hạn nhân tử không phân tích đ-ợc Chúng ta đánh số lại nhân tử cần giả sö r»ng i1  1, , ir  r Giả sử H H1 L H   H n Gi¶ sư K1 , K , , K m phép chiếu t-ơng 30 ứng với phân tích thứ hai G , giả sử phÐp chiÕu t-¬ng øng cđa G  H  L Theo mƯnh ®Ị 2.3.10, cã  K1  K K m   K1  K 2   K m Xét thu hẹp H ; thu hẹp ánh xạ đồng H Mỗi K i - tự đồng cấu H , H có d·y  - chÝnh V× Int G   , nên rõ ràng Int H Hệ 2.3.15 chøng tá r»ng K i lµ mét  - tự đẳng cấu H giá trị i Nếu K i - tự đẳng cấu, K i cảm sinh đơn ánh từ H tới K i , đẳng cấu từ K i H lên H Giả sử ta xét K i thu hẹp K i Thế - tự đồng cÊu cña K i cho  K i  K i H Vì toàn ánh từ Ri H lên H Ri đẳng cấu từ H lên Ri H , nên - tự đẳng cấu cđa  K i  Theo hƯ qu¶ 2.3.14 - tự đẳng cấu K i Nh- vËy, K i lµ mét  - đẳng cấu từ H lên K i - đẳng cấu từ K i lên H Điều chứng minh H K i Bây ta chứng minh Ri khả tổng Chóng ta chøng tá r»ng K i vµ L giao hoán đ-ợc theo phần tử Vì hai chuẩn tắc K i L chuẩn tắc nên cần chøng tá r»ng K i  L  1 (V× nÕu hai nhãm H vµ K cđa mét nhãm G thoả mÃn điều kiện H K 1, H  N G K  , K  N G G phần tử H giao hoán đ-ợc với phần tử K ) NÕu x  K i  L thÕ th× x K i x   K i  x   ®èi víi x  K i kÐo theo x  Điều chứng tỏ K i L Nh- vậy, K i giao hoán đ-ợc theo phần tử với L , Ri khả tổng Giả sử K i Thế - tự đồng cấu G Chúng ta khẳng định - tự đồng cấu cđa G NÕu  x   th× x   Ri x   V× Ri tự đẳng cấu H , nên  x   Do ®ã  x   kÐo theo  x   Vì theo mệnh đề 2.3.10 nªn x   x  x   31 Ker Theo mệnh ®Ị 2.3.13  lµ mét  - tù ®ång cÊu G Từ định nghĩa suy H K i giữ phần tử L bất biến Nh- vậy, ánh x¹ H1  H   H n lªn K i  H   H n T-ơng tự, tồn - tự đẳng cấu ánh xạ K i H  H n lªn K i  K j H H n giữ phÇn tư cđa K i  H  H n bất biến Bằng cách lặp lại trình chứng minh cuối n m khẳng định cuối định lý 2.3.11 Trong tr-ờng hợp tổng quát, nhóm chuỗi chính, định lý 2.3.11 không thiết 2.3.16 Định nghĩa Giả sử H họ - nhóm H đ-ợc đánh số tập Chúng ta xét tất hàm f đ-ợc xác định cho f    H  ®èi víi mäi   , định nghĩa tích hai hàm f g nh- theo công thức fg   f  g   ,   Tập hợp tất hàm nh- đ-ợc trang bị với phép toán đ-ợc xác định nh- đ-ợc gọi tích trực tiếp toàn phần cđa c¸c nhãm H      Tập hợp hàm cho f đơn vị H tất trừ số hữu hạn ' đ-ợc gọi tích trực tiếp (đ-ợc thu hẹp) nhóm H      Râ rµng tÝch trùc tiếp đầy đủ tạo thành nhóm từ phép toán đ-ợc xác định Nếu định nghĩa tác động công thức f    f    ®èi víi mäi    , thÕ th× tÝch trùc tiÕp cịng lµ mét  - nhãm; vµ tÝch trùc tiÕp thu hẹp nhóm đ-ợc sinh tất c¸c nhãm K  víi    2.3.17 Định nghĩa Giả sử G - nhóm, giả sử H họ - nhóm chuẩn tắc đ-ợc đánh số tập Họ H đ-ợc gọi độc lập tập H i , H i , , H i độc lập n 32 2.3.18 Mệnh đề Giả sử H họ - nhãm cña mét  nhãm G Khi điều kiện sau t-ơng đ-ơng: (i) Hä H   ®éc lËp; (ii) NÕu   H H giao hoán đ-ợc theo phần tử, quan hệ x1 xn , ®ã xi  H , i  1,2, , n vµ 1 , 2 , , n phần tử phân biệt thoả mÃn x i ; i (iii) Đối với phần tử khác đơn vÞ t ý g cđa H  ,   tìm đ-ợc tập hữu hạn , , , n phần tử phân biệt tập phần tử xi cho H i vµ g  x1 xn TËp 1 , , , n i phần tử xi đ-ợc xác định phần tử g ; (iv) Tồn đẳng cấu từ H  ,    vµo tÝch trùc tiÕp nhóm H cho nhóm H đ-ợc ánh xạ lên nhóm K Chóng ta nãi r»ng nhãm G lµ tÝch trùc tiÕp cđa c¸c nưa nhãm H  nÕu hä H thoả mÃn điều kiện mệnh đề 2.3.12, tr-ờng hợp này, viết G H 33 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: - Hệ thống khái niệm nh-: Các nhóm tác động, Tích nửa trực tiếp, Tích trực tiếp - Xây dựng khái niệm - nhóm chứng minh chi tiết Định lý mịn hoá Shreier ( Định lý 2.1.15) Định lý Jordan - Holder ( Hệ 2.1.16 ) - Xây dựng tích trực tiếp nhóm phân tích đ-ợc trực tiếp - nhóm Chứng minh chi tiết Định lý Krull- Remark- Schmidt điều kiện để - nhóm phân tích đ-ợc thành tích trực tiếp số hữu hạn nhân tử không phân tích đ-ợc ( Định lý 2.3.11 ) 34 Tài liệu tham khảo A Tiếng Việt: Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, Tập 1, NXB ĐHQG Hà Nội Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm Đại học Vinh Nguyễn Hữu Việt H-ng (1999), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục, Hà Nội A.H Clifford, G.B.Preston, The Algebraic Theory of Semigroup Amer Math Soc.1 (1961) & (1967) Bản dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1970 S.T.Hu (1968) Mordern Algebra, Holden- day Bản dịch tiếng Việt "Đại số đại ", 1974 6 S.Lang (1965), Algebra Addison - Wesley Publihing Company, Massachusetts Bản dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiÖp, 1974 B TiÕng Anh: 7 M.Hall Jr (1959), The theory of groups, Macmilan, New York 8 C.F Miller III (2002), Subrgroups of a direct product with a free group, Quatery Jourmal of Math 53, 503 - 506 9 C.F Miller III (2004), Combinatorial Group Theory, University of Melbourme 10 M Suzuki (1982), Group Theory, Springer - verlag Berin Heidelberg New York ... Các nhóm tác động øng dông 1.1 Các nhóm tác động 1.2 TÝch nöa trùc tiÕp Ch-ơng Một số định lý dÃy nhóm chuẩn tắc 2.1 Định lý mịn hoá Shreier 2.2 Một số tính... nhóm chuẩn tắc Ch-ơng nội dung luận văn Trong ch-ơng đà trình bày định nghĩa dÃy nhóm chuẩn tắc, định nghĩa mịn hoá Định lý tính mịn hoá Schreier ( Định lý 2.1.15), nhận đ-ợc định lý Jordan -... Lý thuyết nhóm Tuy nhiên vấn đề liên quan đến dÃy nhóm chuẩn tắc giáo trình Đại số bậc Đại học Cao học ch-a đ-ợc trình bày cách đầy đủ DÃy nhóm con:  G0  G1   Gn  G (1) G đ-ợc gọi dÃy chuẩn