ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỲNH HOA MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC TH
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN QUỲNH HOA
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN
VÀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2010
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN QUỲNH HOA
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN
VÀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC
THÁI NGUYÊN - 2010
Trang 3MỤC LỤC
Lời nói đầu 1
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Một số khái niệm cơ bản 3
1.2 Họ các ánh xạ chuẩn tắc 5
Chương II: Họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic 11
2.1 Một số tính chất của họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic 11
2.2 Tổng quát hóa một số định lý cổ điển của giải tích phức đối với họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic 20
2.3 Một số ví dụ về các họ chuẩn tắc đều 26
Chương III: Họ chuẩn tắc đều trên các không gian phức và tổng quát hóa các định lý cổ điển của Schottky, Lappan, Bohr về các họ chuẩn tắc đều 29
3.1 Một số tính chất của họ chuẩn tắc đều trên không gian phức tùy ý 29
3.2 Tổng quát hóa một số định lý cổ điển của giải tích phức đối với họ chuẩn tắc đều trên các không gian phức tùy ý 32
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43
Trang 4LỜI NÓI ĐẦU
Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong cả trường hợp một biến và nhiều biến phức
Lý thuyết về họ chuẩn tắc đã có nhiều ứng dụng và có mối liên hệ mật thiết với Giải tích phức hyperbolic Mục đích của đề tài này là trình bày lại kết quả của J E Joseph và M H Kwach [19] về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức và ứng dụng trong việc mở rộng một số định lý cổ điển của giải tích phức lên trường hợp nhiều biến
Bố cục của luận văn được chia làm ba chương:
Chương I: Những kiến thức chuẩn bị
Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của Giải tích phức hyperbolic Đồng thời, trình bày một số khái niệm và một số tính chất của chọ chuẩn tắc, họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình Những kiến thức này sẽ là cơ sở cho việc nghiên cứu ở các chương sau
Chương II: Họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic
Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu một số tính chất quan trọng của họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình trên các đa tạp hyperbolic Những kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc tổng quát hóa một số định lý cổ điển của Brody Lohwater và Pommerenke, Lehto và Virtanen, Hahn, Zaidenberg Cuối chương, giới thiệu các khái niệm và một số kết quả về các ánh xạ chuẩn tắc và họ chuẩn tắc đều của các ánh xạ chỉnh hình của nhiều tác giả khác nhau
Chương III: Họ chuẩn tắc đều trên các không gian phức và tổng quát hóa các định lý cổ điển của Schottky, Lappan, Bohr về các họ chuẩn tắc đều
Trong chương này, một số kết quả trong chương II về các họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic đã được mở rộng đối với các họ chuẩn tắc đều
Trang 5trên các không gian phức tùy ý Ngoài ra, các tính chất này còn được sử dụng
để tổng quát hóa một số định lý cổ điển của Schottky, Hayman, bổ đề của Bohr và định lý 5 – điểm của Lappan cho trường hợp họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình trên các không gian phức tùy ý
Trong quá trình làm luận văn, chúng tôi đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Phạm Việt Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đồng thời tác giả cũng xin phép gửi tới các thầy cô giáo trong khoa Sau đại học và khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên lời cảm ơn chân thành vì đã quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt luận văn của mình
Tác giả cũng xin chân thành cảm cảm ơn các thầy cô phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho luận văn
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2010
Tác giả
Nguyễn Quỳnh Hoa
Trang 6CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số khái niệm cơ bản
1.1.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
Giả sử X là không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý thuộc X;
,
H D X là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị tôpô
compact mở Xét dãy các điểm p0 x p, 1, ,p k y thuộc X, dãy các điểm
Tập hợp p0, ,p a k, , ,1 a f k, , ,1 f k thỏa mãn điều kiện trên được
gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X
1.1.2 Không gian phức hyperbolic
Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa
k x y x y x yX
Trang 71.1.3 Định nghĩa
là tập hợp tất cả các không gian con tuyến tính một chiều (hoặc là đường
thẳng đi qua gốc 0) trong E Ta định nghĩa ánh xạ :E\ 0 P E như sau: Với xE\ 0 thì x là đường thẳng đi qua 0 và x
Ta gọi P E là không gian xạ ảnh đối ngẫu của P E , và do đó
n
P
Lấy H1, ,H q là các siêu phẳng trong P E , gọi y1, ,y q là các điểm
Định nghĩa này không phụ thuộc vào cách chọn L1, ,L q với L j y j
Cho H1, ,H q là các siêu phẳng trong n
P Ta nói rằng H1, ,H q
là ở vị trí tổng quát nếu họ các điểm y1, ,y q của P E tương ứng với
1, , q
Trang 8Hay nói cách khác, cho H1, ,H q là các siêu phẳng trong n
1.2.1 Metric vi phân Kobayashi
Giả sử M là đa tạp hyperbolic Khi đó, ta định nghĩa K M là metric vi
Giả sử X, Y là các không gian phức và F C X Y , Khi đó, ta định
chứa điểm q trong Y thì tồn tại các tập mở V, W trong X, Y chứa p, q tương
ứng sao cho f F f p: Wf F f V: U
Trang 9Nếu F là liên tục đồng đều với mỗi pX đến mỗi qY thì ta nói
rằng F liên tục đồng đều từ X vào Y
Khi đó, kết quả sau được coi như là cách phát biểu khác của định lý Arzela – Ascoli đối với họ liên tục đồng đều
b) F x f x f F là compact tương đối trong Y với mỗi xX
Cho X, Y là các không gian phức Ta ký hiệu:
+) Y Y là compact hóa một điểm Alexandroff của không gian
tôpô Y và Y Y nếu Y là compact
+) Nếu F C Y Z , và GC X Y , thì ta viết
F G f g f F gG
1.2.5 Định nghĩa
Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X tới không gian
với tôpô compact – mở
1.2.6 Định nghĩa
là chuẩn tắc đều nếu F H M X , là compact tương đối trong C M Y ,
với mỗi đa tạp phức M Ta nói rằng f H X Y , là một ánh xạ chuẩn tắc nếu f là chuẩn tắc đều
Trang 10Từ định nghĩa trên ta thấy mỗi phần tử của một họ chuẩn tắc đều là một ánh xạ chuẩn tắc Nhưng ngược lại, một họ các ánh xạ chuẩn tắc có thể không
là chuẩn tắc đều Thật vậy, ta có ví dụ:
n
f z
n nz
Khi đó, f n là chuẩn tắc với mỗi n1,2, nhưng F
không là chuẩn tắc đều
trên D nên f n là một ánh xạ chuẩn tắc
theo Lehto-Virtanen Định nghĩa ánh xạ nA D được xác định bởi
Trang 11(3) F H D X , là compact tương đối trong C D Y , .
(4) Bao đóng của F trong H X Y , là chuẩn tắc đều
Trong khi đó, f n n p n không hội tụ về q
Từ mệnh đề 1.2.4 ta có F H D X , không là compact tương đối trong
Trang 12Thật vậy, lấy g F H X Y , ,H M X , Khi đó, có dãy f n F
thỏa mãn f n g Do đó f ng Vậy mệnh đề được chứng minh
1.2.10 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian con phức của một không gian phức Y
p qX pq thì luôn tồn tại các lân cận mở V, W trong Y lần lượt chứa p
và q sao cho k XV X W, X0, trong đó k X là giả khoảng cách Kobayashi trên X
Từ mệnh đề 1.2.9, ta có thể chỉ ra một số lớp quan trọng của các không gian phức được xác định bởi các họ chuẩn tắc đều Cụ thể, năm 1973, Kierman [21] đã chứng minh được kết quả sau:
1.2.11 Mệnh đề
Một không gian con phức compact tương đối của một không gian phức
Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi H D X , là compact tương đối trong H D Y , ; hay nói cách khác, khi và chỉ khi H D X , là tập con chuẩn tắc đều của H D Y ,
Năm 1971, Royden [29] và Abate [3] năm 1993 đã chỉ ra
1.2.12 Mệnh đề
Một đa tạp phức M là hyperbolic khi và chỉ khi H D M , là liên tục đều Hơn nữa, ta có M là hyperbolic khi và chỉ khi H D M , là compact tương đối trong C D M , . Do đó, H D M , là họ chuẩn tắc đều khi và chỉ khi M là hyperbolic
Trang 13Năm 1994, Joseph và Kwack [18] đã chứng minh được
1.2.13 Mệnh đề
Một không gian con phức X của một không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi H D X , là compact tương đối trong
C D Y hay khi và chỉ khi H D X , là tập con chuẩn tắc đều của H D Y ,
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng họ các ánh xạ giảm khoảng cách giữa những
không gian metric X, Y là compact tương đối trong tập các ánh xạ chỉnh hình
từ không gian X vào không gian compact hóa một điểm Alexandroff của không gian Y
1.2.14 Mệnh đề
Giả sử Y, là một không gian metric compact địa phương, X là một không gian tôpô và cho là giả metric trên X, liên tục trên X X. Khi
đó, nếu với mỗi f F C X Y , là giảm khoảng cách tương ứng với ,
thì F là compact tương đối trong C X Y ,
Chứng minh Ta sẽ chỉ ra rằng họ F là liên tục đồng đều từ X vào Y
Thật vậy, ta giả sử ngược lại họ F không liên tục đồng đều từ X vào Y
Khi đó, tồn tại các điểm p X q s Y ; , và các dãy p X ; f Fsao cho p p s , q f , p s f , p q
+) Nếu qYthì với mỗi ta có:
f p ,q f p , f p f p q, p p, f p q,
Do đó, f p ,q0 và qs Suy ra mâu thuẫn
+) Nếu sYthì với mỗi ta có:
f p s, p p, f p , s
Do đó, f p s, 0 và qs Suy ra mâu thuẫn
Vậy F là liên tục đồngđều từ X vào Y
Trang 14CHƯƠNG II
HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU TRÊN CÁC ĐA TẠP HYPERBOLIC
Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu các tính chất của họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic Từ đó, chúng tôi áp dụng những tính chất này để tổng quát hóa một số định lý của Brody, của Hahn, và của Zaidenberg; đồng thời những tính chất này cũng được sử dụng để đưa ra một định lý tương
tự định lý của Aladro và Krantz Hơn nữa, với những tính chất này ta còn có được những kết quả quan trọng trong chương 3
2.1 Một số tính chất của họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic
Brody đã chứng minh được định lý sau (xem [25], trang 68)
gH Y thỏa mãn r n và g n g trên các tập con compact của
Nhận xét Trong định lý trên ta có thể giả sử rằng r n n
Thật vậy, trước hết ta giả sử r11 và r n1 r n 1 Nếu k là một số
nguyên dương và kr1 thì đặt f k g1; nếu r n k r n1 thì đặt f k g n1 Khi
đó, ta có f kH D X k, và f k g trên các tập con compact của
2.1.2 Định nghĩa
Cho X, Y là các không gian phức và F H X Y , . Khi đó:
(1) Một dãy Brody đối với F là một dãy f ng n, trong đó f nF và
,
Trang 15(2) Một ánh xạ hC,Y được gọi là một giới hạn Brody đối với F nếu tồn tại một dãy Brody h n đối với F sao cho h n h trên các tập con compact của .
Nhận xét Nếu Y là một không gian con phức compact tương đối của một
không gian phức Z, và X là một không gian phức thì các dãy Brody đối với
,
FH X Y sẽ đồng nhất với các đường cong chỉnh hình của Zaidenberg
và các giới hạn Brody đối với F sẽ đồng nhất với các ánh xạ F - giới hạn của
Chứng minh Cho p M v T M , p thỏa mãn KM p v , 1 và cho 0
Khi đó, tồn tại H D M , và r0 sao cho 0 p d, 0 ,rev và
Trang 16(1) F là chuẩn tắc đều
(2) Với mỗi đa tạp phức , F H , M là tập con liên tục đồng đều của H , Y
(3) F H D M , là tập con liên tục đồng đều của H D Y ,
(4) Tồn tại một hàm độ dài E trên Y sao cho với mỗi f F ta có
Ta có với mỗi hàm độ dài E trên Y và tập compact QY, tồn tại c0
sao cho df p c trên 1
f Q với mỗi f F Thật vậy, ta giả sử ngược lại, nếu tồn tại một tập compact QY không
thỏa mãn điều kiện trong phát biểu trên đối với hàm độ dài E thì khi đó tồn tại
Trang 17Theo 3 , vì F H D M , là tập con liên tục đồng đều của H D Y , nên tồn tại một số 0 r 1 sao cho fn n Dr V
Mặt khác, có một dãy con là hạn chế của fn n trên D r mà ta vẫn ký hiệu
là fn n , là chuẩn tắc đều và do đó ta có dãy fn n là compact tương đối trong H D Y r,
Suy ra, tồn tại một dãy con của dãy fn n hội tụ tới h H D Y r, Điều này mâu thuẫn với df nn 0
Vậy 4 được chứng minh
Trang 18Khi đó, ta có tồn tại một dãy Brody gn và giới hạn Brody g đối với F thỏa
mãn g n g trên các tập con compact của và thỏa mãn:
Điều này mâu thuẫn với 6 Suy ra 4 đúng
Vậy định lý hoàn toàn được chứng minh
Nhận xét Ta có thể nói thêm rằng điều kiện 4 của định lý 2.1.4 là tổng quát hóa định lý của Lehto và Virtanen [26] vì mọi hàm độ dài trên các không gian phức compact là tương đương Hahn [11] đã tổng quát hóa định lý này
f H P trong đó là miền thuần nhất bị chặn trong n
Việc chứng minh 6 4 trong định lý trên có thể chứng minh bằng một cách khác với lập luận tương tự chứng minh khi tổng quát định lý cổ điển của Lohwater và Pommerenke [26] trong định lý 2.2.5 của chương này
Cho M là một đa tạp hyperbolic, FH M Y , là họ chuẩn tắc đều Khi đó:
(1) Mọi dãy Brody đối với F đều có một dãy con hội tụ tới một giới hạn Brody đối với F trên các tập con compact của
(2) Mọi giới hạn Brody đối với F đều là hằng
Chứng minh Trước hết, từ 4 trong định lý 2.1.4 suy ra tồn tại hàm độ dài
E trên Y thỏa mãn F làm giảm khoảng cách từ k M tới d E
Chứng minh 1
Nếu m là một số nguyên dương và gn là một dãy Brody đối với F thì với
mỗi g G gn: n m là ánh xạ giảm khoảng cách từ
m
D
k tới d E
Trang 19 Chứng minh 2
Giả sử gn là một dãy Brody đối với F và g là một giới hạn Brody đối với F
thỏa mãn g n g trên các tập con compact của Khi đó:
+) Nếu g p thì từ tính liên tục của g và tính liên thông của ta
có g q vì g Y có nhiều nhất là một điểm Hệ quả được chứng minh
Hệ quả sau là một tiêu chuẩn đối với họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic
2.1.7 Hệ quả
Giả sử M là một đa tạp hyperbolic, Y là một không gian phức và
,
FH M Y thỏa mãn F x là compact tương đối trong Y với mỗi x M
Khi đó, F là họ chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu mỗi giới hạn Brody đối với F là hằng
Chứng minh Trước hết, theo 2 của hệ quả 2.1.6 thì ta có nếu F là họ chuẩn tắc đều thì mỗi giới hạn Brody đối với F là hằng
Ngược lại, giả sử với mỗi giới hạn Brody đối với F là hằng nhưng F không là họ chuẩn tắc đều Khi đó, giới hạn Brody g được xây dựng trong
phần chứng minh 6 4 của định lý 2.1.4 không là hằng vì g 0 Y Hơn nữa, g n g mà E g n 0 ,dg n 0 1 nên E g 0 ,dg 0 1. Do đó, dg 0
Điều này mâu thuẫn với giả thiết Suy ra F là họ chuẩn tắc đều Vậy hệ quả
được chứng minh
Trang 20Trong trường hợp đối với mặt cầu Riemann 1
2.1.8 Hệ quả
Cho M là một đa tạp hyperbolic, FH M , Khi đó, các mệnh đề
sau tương đương:
(1) F là chuẩn tắc đều
H M P
(3) Nếu g là một giới hạn Brody đối với F và g H , thì g là hằng
Chứng minh Từ hệ quả 2.1.7 và bổ đề Hurwitz ta có ngay các kết luận của
hệ quả 2.1.8
Tiếp theo, từ những kết quả trên về giới hạn của các dãy Brody, chúng
ta có một số tính chất đặc trưng của không gian hyperbolic và không gian nhúng hyperbolic Nhưng trước hết, ta đưa ra khái niệm không gian phức hyperbolic Brody như sau:
là, nếu f H , Y và fn là một dãy thỏa mãn fn H D Y n, và f n f
trên các tập con compact của , thì f là hằng
Các hệ quả 2.1.10 – 2.1.12 là đặc trưng của không gian hyperbolic và không gian nhúng hyperbolic thông qua dãy Brody
2.1.10 Hệ quả
Một không gian phức Y là hyperbolic khi và chỉ khi tồn tại một hàm độ dài E trên Y sao cho E f 0 ,df 0,e 0 với mỗi dãy f thỏa mãn
Trang 21Ngược lại, giả sử H D Y , compact tương đối trong C D Y , nhưng
không là hyperbolic Khi đó, trong Y có hai điểm phân biệt x y0, 0 sao cho
0, 0 0
Y
k x y Lấy các lân cận compact tương đối U V, của x0 sao cho
V U và y0U Với mỗi n ta đều có f nH D Y n, sao cho
0
n
f V nhưng f D n 1/n U. Thật vậy, nếu có một số nguyên dương n
sao cho f n 0 V kéo theo f D n 1/n U với mỗi f H D Y , Khi đó, từ
định nghĩa k Y ta có k Yx y0, 0D0, 1/n0 Điều này mâu thuẫn với giả
thiết Từ đó, ta thấy rằng với mỗi số nguyên dương n đều có f nH D Y n,
và t nD1/n sao cho f n 0 V nhưng f t n n U
Vì H D Y , compact tương đối trong C D Y , nên f n có dãy con
f n k hội tụ tới f H D Y , Mặt khác, theo trên ta có f n k t n k không hội
tụ tới f 0 V Suy ra mâu thuẫn
Do đó, Y là hyperbolic khi và chỉ khi H D Y , compact tương đối
trong C D Y , Đặt F H D Y , Khi đó, Y là hyperbolic F H D Y , là
tập con chuẩn tắc đều của C D Y , Tồn tại hàm độ dài E trên Y sao cho
Trang 22Vậy Y là không gian hyperbolic khi và chỉ khi tồn tại hàm độ dài E
trên Y sao cho E f n 0 ,df n 0,e 0 với mỗi dãy Brody f n , trong đó
f g C Z trên các tập con compact của ; trong đó ánh xạ g là hằng
Chứng minh Ta có, Y là nhúng hyperbolic trong Z H D Y , compact tương đối trong H D Z , F H D Y , là tập con chuẩn tắc đều của
Chứng minh Ta có Y không là nhúng hyperbolic trong Z H D Y ,
không compact tương đối trong H D Z , F H D Y , không là tập con chuẩn tắc đều của H D Z ,
Vì Y là compact tương đối nên F x compact tương đối trong Y
Trang 23Do đó, theo hệ quả 2.1.7 thì F không là họ chuẩn tắc đều khi và chỉ khi có một giới hạn Brody đối với F không là hằng Vậy Y không là nhúng hyperbolic trong Z khi và chỉ khi tồn tại gn H D Y n, , g H , Z
2.2 Tổng quát hóa một số định lý cổ điển của giải tích phức đối với họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic
Trong phần này, ta sẽ áp dụng những tính chất của họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình trên các đa tạp hyperbolic để tổng quát hóa một số định lý
cổ điển trong giải tích phức
2.2.1 Định nghĩa
f : A D là chuẩn tắc theo nghĩa của Montel, tức là dãy f
chứa một dãy con hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compact hoặc là phân
kỳ compact, trong đó A D là nhóm các tự đẳng cấu bảo giác của D
Năm 1957, Lehto và Virtanen [26] đã chứng minh được kết quả cổ điển sau:
Trang 24Năm 1991, Aladro và Krantz [5] đã chứng minh được định lý sau
2.2.3 Định lý
Giả sử là một miền hyperbolic trong n và M là một đa tạp Hermit đầy đủ thì họ FH,M không là chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại tập compact Q và các dãy pn Q , fn F , n với n 0,n 0 và một dãy vn các véctơ đơn vị Ơclit trong n,
sao cho dãy gn H , M
xác định bởi g zn fn pn n nv z hội tụ đều trên các tập con compact của
đến một hàm nguyên g khác hằng
2.2.4 Hệ quả
Giả sử M là một đa tạp hyperbolic, Y là một không gian phức và
,
FH M Y Khi đó, F không là chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu với mỗi hàm
độ dài E trên Y, tồn tại một dãy Brody gn đối với F và một giới hạn Brody g đối với F sao cho g n g và limE g n 0 ,dg n 0,e 0
Ta chú ý rằng, nếu g Y thì g không là ánh xạ hằng
Từ hệ quả 2.2.4, ta có kết quả sau chính là sự tổng quát hóa định lý của Lohwater và Pommerenke [26] năm 1973 đối với họ các ánh xạ phân hình
chuẩn tắc cho trường hợp họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình từ miền D
vào một không gian phức tùy ý
n
r r
p