Về đồ thị cayley của các nhóm đơn hoàn toàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ THANH THỦY VỀ ĐỒ THỊ CAYLEY CỦA CÁC NỬA NHĨM ĐƠN HỒN TỒN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ THANH THỦY VỀ ĐỒ THỊ CAYLEY CỦA CÁC NỬA NHĨM ĐƠN HỒN TỒN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các quan hệ Grin nửa nhóm 1.2 Nửa nhóm đơn 1.3 Nửa nhóm đơn hồn toàn 1.4 Định lý Rixơ Chương Đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hồn tồn 2.1 Đồ thị Cayley nửa nhóm 12 12 2.2 Đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hồn tồn 14 2.3 Tính liên thơng mạnh đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hoàn toàn 19 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 MỞ ĐẦU Định nghĩa đồ thị Cayley Arthur Cayley đưa năm 1878 nhằm giải thích khái niệm nhóm trừu tượng mơ tả tập hợp phần tử sinh Sau đó, đồ thị Cayley nhà toán học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt để mơ tả tính chất đại số tổ hợp nhóm Giả sử S nửa nhóm A tập S Đồ thị Cayley Cay(S, A) S liên kết với A xác định đồ thị với đỉnh tập hợp S cạnh tập hợp E(Cay(S, A)) gồm cặp có thứ tự (x, y), x = y sx = y với s A Đồ thị Cayley Cay(S, A) nửa nhóm tổng quát hóa đồ thị Cayley nhóm Trong thời gian gần đây, kết đồ thị Cayley nửa nhóm xuất cơng trình nhiều tác giả Chẳng hạn, năm 2003, A V Kelarev C E Praeger đặc trưng cấu trúc đồ thị Cayley với đỉnh bắc cầu nửa nhóm tuần hồn Năm 2010, D Yang X Gao tìm số tính chất tổ hợp đồ thị Cayley nửa nhóm vơ hạn Năm 2007, S H Fan Y.S Zeng đưa mô tả đầy đủ đồ thị Cayley với đỉnh bắc cầu băng Năm 2006, S Panna, N Chiangmai, U Knaur Sr Arwon đặc trưng cấu trúc đồ thị Cayley nửa nhóm Cliffort Dựa cơng trình On the Cayley graphs of completely simple semigroups tác giả Y Luo, Y Hao and G.T Clarke đăng tạp chí Semigroup Forum (xem[5]), chúng tơi bước đầu tìm hiểu Đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hồn tồn Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày quan hệ Grin nửa nhóm, nửa nhóm tự đơn nửa nhóm đơn hồn tồn để làm sở cho việc trình bày chương Chương Đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hồn tồn Trong chương chúng tơi trình bày đồ thị Cayley nửa nhóm, điều kiện cần đủ đồ thị Cayley nửa nhóm để nửa nhóm nửa nhóm đơn hồn tồn, tính liên thơng mạnh đồ thị Cley nửa nhóm đơn hồn tồn Luận văn hoàn thành vào tháng năm 2017 Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người hướng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo nghiêm khắc suốt trình học nghiên cứu Cũng xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học, thầy giáo khoa Tốn tổ Đại số giúp đỡ suốt trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Quỳnh Lưu 2, đồng nghiệp tổ Toán, anh, chị bạn lớp Cao học 23 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số giúp đỡ động viên q trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng năm 2017 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các kết chương trình bày chi tiết [1] 1.1 Các quan hệ Grin nửa nhóm 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ L ,R ,F S sau: aL b S a = S b; aR b aS = bS ; aF b S aS = S bS S a, aS , S aS iđêan trái, iđêan phải iđêan S sinh a Thế L ,R ,F quan hệ tương đương S L ◦R = R◦L (Mệnh đề 4.1[2]) Do quan hệ H = L ∩ R(= R ∩ L ), D = L ◦ R = R ◦ L quan hệ tương đương S Các quan hệ L ,R ,F ,H ,D gọi quan hệ Grin S Với a ∈ S , L − lớp, R− lớp, F − lớp, H − lớp, D− lớp chứa a ký hiệu tương ứng La , Ra , Ja , Ha , Da 1.1.2 Chú ý Giả sử S nửa nhóm ε(S) dàn tương đương S Thế L , R, F , H , D thuộc ε(S), H = L ∧ R, D = L ∨ R D ⊆ F 1.1.3 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm i) Một phần tử e ∈ S gọi lũy đẳng e2 = e Tập hợp tất lũy đẳng S ký hiệu E(S), Es hay E ii) Một phần tử a ∈ S gọi phần tử quy có phần tử x ∈ S cho axa = a iii) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm quy phần tử S phần tử quy iv) Một D− lớp D S gọi D− lớp quy phần tử D phần tử quy 1.1.4 Định lý (Định lý 2.11) i) Nếu D− lớp D nửa nhóm S chứa phần tử quy phần tử thuộc D phần tử quy ii) Nếu D quy L − lớp R− lớp chứa D chứa lũy đẳng 1.1.5 Định lý Grin ( Định lý 2.16) Giả sử H H − lớp nửa nhóm S Thế khẳng định sau tương đương: i) H chứa lũy đẳng; ii) Tồn x, y ∈ H cho xy ∈ H ; iii) H nhóm S 1.1.6 Định lý Mile - Cliphớt (Định lý 2.17) Giả sử a, b hai phần tử nửa nhóm S ab ∈ Ra ∩ Lb và Rb ∩ La chứa lũy đẳng Khi aHb = Ha b = Ha Hb = Hab = Ra ∩ Lb 1.1.7 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm a ∈ S i) Phần tử b ∈ S gọi phần tử ngược a aba = a, bab = b ii) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm ngược phần tử S có phần tử ngược 6 1.1.8 Định lý (Định lý 2.18) Giả sử a phần tử nửa nhóm S i) Mỗi phần tử ngược với a nằm Da ii) H − lớp Hb chứa phần tử ngược với a hai H − lớp Ra ∩ Lb Rb ∩ La chứa lũy đẳng iii) Một H − lớp không chứa phần tử ngược với a 1.1.9 Hệ (Hệ 2.19) S nửa nhóm ngược L − lớp R− lớp S chứa lũy đẳng 1.1.10 Định lý (Định lý 2.20) Giả sử e, f lũy đẳng D− tương đương thuộc nửa nhóm ; a phần tử cố định thuộc Re ∩ Lf a phần tử ngược a ∈ Re ∩ Lf Khi ánh xạ x → a xa, y → aya đẳng cấu ngược từ He lên Hf từ Hf lên He 1.2 Nửa nhóm đơn 1.2.1.Định nghĩa i)Một nửa nhóm S khơng chứa phần tử khơng gọi nửa nhóm đơn S khơng chứa iđêan thực ii)Một nửa nhóm S chứa phần tử khơng gọi nửa nhóm 0− đơn thỏa mãn hai điều kiện: (1) S có hai iđêan {0} S ; (2) S = {0} 1.2.2 Nhận xét Từ định nghĩa trực tiếp suy S nửa nhóm đơn F = S × S , nửa nhóm S với phần tử khơng nửa nhóm 0− đơn S = {0} S có hai F − lớp {0} S|{0} 1.2.3 Định lý (Định lý 2.29) Giả sử S nửa nhóm với phần tử khơng cho S= Khi S nửa nhóm 0− đơn SaS = S a = thuộc S 1.2.4 Hệ Nửa nhóm S nửa nhóm đơn SaS = S a thuộc S 1.2.5 Định nghĩa Một nửa nhóm S chứa phần tử khơng gọi nửa nhóm 0− đơn trái (phải) thỏa mãn hai điều kiện: (1) S có hai iđêan trái (phải) {0} S ; (2) S = {0} 1.2.6 Định lý (Định lý 2.27) Giả sử S nửa nhóm 0− đơn trái (phải) Thế S − {0} nửa nhóm 0− đơn trái (phải) 1.2.7 Định nghĩa Giả sử nửa nhóm S chứa phần tử khơng Một iđêan hai phía (trái, phải) M S gọi iđêan hai phía (trái, phải) 0− tối tiểu thỏa mãn hai điều kiện: (1) M = {0}; (2) iđêan hai phía (trái, phải) S chứa thực M 1.2.8.Định lý (Định lý 2.29) Giả sử M iđêan hai phía (trái, phải) 0− tối tiểu nửa nhóm S chứa phần tử khơng Khi M = M nửa nhóm 0− đơn tiểu S 1.2.9 Định lý (Định lý 2.33) Giả sử S nửa nhóm với phần tử khơng M iđêan 0− tối tiểu chứa trái 0− tối tiểu S Khi M hợp tất iđêan 0− tối tiểu S chứa M 1.2.10 Định lý (Định lý 2.34) Giả sử M iđêan hai phía (trái, phải) 0− tối tiểu nửa nhóm S cho M = {0} Giả thiết M chứa trái 0− tối tiểu S Khi iđêan M iđêan trái S 1.3 Nửa nhóm đơn hồn tồn Trong mục 1.8[1] chứng minh kết sau: Giả sử S nửa nhóm E tập hợp lũy đẳng S Thế quan hệ ≤ E cho e ≤ f ⇔ ef =f e=e quan hệ thứ tự E ( gọi quan hệ thứ tự tự nhiên E ) Nếu S nửa nhóm với phần tử khơng 0∈E lũy đẳng nhỏ nhất S Do ta đưa vào khái niệm: lũy đẳng f ∈S gọi lũy đẳng nguyên thủy S f = từ e ≤ f kéo theo e = e = f 1.3.1 Định nghĩa i) Một nửa nhóm S chứa phần tử khơng gọi nửa nhóm 0− đơn hồn tồn S nửa nhóm 0− đơn S chứa lũy đẳng nguyên thủy ii) Một nửa nhóm S khơng chứa phần tử khơng gọi nửa nhóm đơn hồn tồn S nửa nhóm đơn S chứa lũy đẳng nguyên thủy Các kết nói nửa nhóm nửa nhóm 0− đơn hồn tồn từ suy kết tương ứng nửa nhóm đơn hồn tồn 1.3.2 Định lý (Định lý 2.48) Giả sử S nửa nhóm 0− đơn Khi S nửa nhóm 0− đơn hồn tồn S chứa một iđêan trái 0− tối tiểu iđêan phải 0− tối tiểu 1.3.3 Hệ (Hệ 2.49) Mỗi nửa nhóm 0− đơn tuần hồn hợp iđêan trái (phải) 0− tối tiểu 1.3.4 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi nửa nhóm song đơn gồm hai D− lớp {0} S − {0} 1.3.5 Định lý (Định lý 2.51) Một nửa nhóm 0− đơn hồn tồn 0− song đơn quy 1.3.6 Định lý (Định lý 2.52) Giả sử S nửa nhóm 0− đơn hoàn toàn 9 i) Nếu a ∈ S , a2 = a2 ∈ Ha Ha nhóm; ii) Nếu a, b ∈ S , ab = ab ∈ Ra ∩ Lb ; iii) Nếu a, b ∈ S Ha Hb = hoặc; hai trường hợp Ha Hb = Hab 1.3.7 Định lý (Định lý 2.53) Nửa nhóm bixiclic B = a, b|ab = nửa nhóm ngược song đơn chứa đơn vị e Các lũy đẳng phần tử en = bn an , n = 0, 1, , thỏa mãn điều kiện e = e0 e1 e2 Do B khơng chứa lũy đẳng ngun thủy nên khơng phải nửa nhóm hoàn toàn 1.3.8 Định lý ( Định lý 2.54) Nếu e lũy đẳng khác không tùy ý nửa nhóm 0− đơn S khơng phải nửa nhóm 0− đơn hồn tồn, S chứa nửa nhóm bixiclic nhận e làm đơn vị 1.3.9 Định lý ( Định lý 2.55) Một nửa nhóm 0− đơn S nửa nhóm 0− đơn hồn tồn lũy thừa phần tử thuộc S nằm nhóm S 1.3.10 Hệ ( Hệ 2.56) Một nửa nhóm 0− đơn tuần hồn nửa nhóm 0− hồn tồn Đặc biệt, nửa nhóm 0− đơn hữu hạn nửa nhóm 0− hồn tồn 1.3.11 Ví dụ Giả sử S = N × N Trên S xác định phép toán cho (m, n)(p, q) = (m, q) Khi S nửa nhóm đơn hồn toàn ( Chú ý trang 139[1]) 1.4 Định lý Rixơ 1.4.1 Nửa nhóm ma trận Rixơ Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị e I, Λ hai tập hợp khác rỗng Giả sử P = (Pλi ) I × Λ− ma trận Rixơ với thành phần nhóm với phần tử không G0 = G ∪ {0} ( xem mục 3.1[1]) Giả thiết P quy theo nghĩa khơng có hàng hay cột P gồm tồn phần tử 0, nghĩa là: (∀i ∈ I)(∃λ ∈ Λ) pλi = 10 (∀λ ∈ Λ)(∃i ∈ I)pλi = Giả sử S =(I × G × Λ) ∪ {0}, ta định nghĩa phép toán S cho (i, a, λ)(j, b, µ) = (i, apλj b, µ) pλj = (i, a, λ)(j, b, µ) = pλj = (i, a, λ)0 = 0(i, a, λ) = 00 = Thế S nửa nhóm 0− đơn hồn tồn Nửa nhóm S xây dựng gọi nửa nhóm I × Λ− ma trận Rixơ nhóm với phần tử khơng G0 ký hiệu µ0 [G; I, Λ; P ] (xem mục 3.1[1] hay mục 3.2[4]) Thật ta có: 1.4.2 Định lý Rixơ (Định lý 3.2.3[4]) Giả sử G0 = G ∪ {0} nhóm với phần tử khơng I, Λ hai tập hợp khác rỗng, P = (pλi ) I × Λ− ma trận Rixơ với thành phần G0 Giả thiết P quy Giả sử S = (I × G × Λ) ∪ {0} định nghĩa phép nhân S Thế S nửa nhóm 0− đơn hồn tồn Đảo lại, nửa nhóm 0− đơn hồn tồn Đẳng cấu với nửa nhóm xây dựng 1.4.3 Chú ý Từ kết ta thu kết tương ứng nửa nhóm đơn hồn tồn Giả sử S nửa nhóm khơng chứa phần tử khơng, E tập hợp lũy đẳng S ≤ thứ tự phận tự nhiên E xác định e ≤ f ⇔ ef = f e = e Lũy đẳng e ∈ E gọi lũy đẳng nguyên thủy f ≤ e ⇒ f = e f ∈ E Nửa nhóm S gọi nửa nhóm đơn hồn tồn S nửa nhóm đơn S chứa lũy đẳng nguyên thủy Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị e I, Λ hai tập hợp khác 11 rỗng Giả sử P = (pλi ) I × Λ− ma trận Rixơ với thành phần G Thế nửa nhóm ma trận Rixơ µ[G; I, Λ; P ] G với ma trận đệm P bao gồm ba (i, a, λ) i ∈ I , λ ∈ Λ, a ∈ G phép tốn nhân µ[G; I, Λ; P ] cho (i, a, λ)(j, b, µ) = (i, apλi b, µ) Từ định lý Rixơ suy nửa nhóm ma trận Rixơ nhóm nửa nhóm đơn hồn tồn nửa nhóm đơn hồn tồn đẳng cấu với nửa nhóm ma trận Rixơ µ[G; I, Λ; P ] nhóm G thích hợp 1.4.4 Ký hiệu Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] ,i ∈ I λ ∈ Λ Ta đặt S∗λ = {(i, g, λ)|g ∈ G, i ∈ I}, Si∗ = {(i, g, λ)|g ∈ G, λ ∈ Λ} S∗λ = {(i, g, λ)|g ∈ G, i ∈ I} Khi S∗λ , Si∗ S∗λ tương ứng L − lớp, R− lớp H − lớp S Theo [4] ta có 1.4.5 Bổ đề Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] nửa nhóm đơn hồn tồn E(S) tập hợp lũy đẳng S Thế E(S) = {(i, p−1 µi , µ) ∈ S|i ∈ I, µ ∈ Λ} 1.4.6 Bổ đề Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] nửa nhóm đơn hồn tồn u, v ∈ S Nếu vu = u v ∈ E(S) Chứng minh Giả sử u = (i, g, λ), v = (j, h, µ) Thế vu = (j, h, µ)(i, g, λ) = (j, hpµi g, λ) = u −1 Từ i = j, h = p−1 µi Suy v = (i, pµi , µ) lũy đẳng S theo Bổ đề 1.4.5.✷ 12 CHƯƠNG ĐỒ THỊ CAYLEY CỦA CÁC NỬA NHĨM ĐƠN HỒN TỒN 2.1 Đồ thị Cayley nửa nhóm 2.1.1 Đồ thị Một đồ thị tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi đỉnh, với tập hợp cặp đỉnh không định hướng gọi cạnh Giả sử Γ đồ thị, tập hợp tất đỉnh Γ ký hiệu V (Γ) Nếu hai đỉnh v1 , v2 tạo thành cạnh đồ thị Γ ta nói chúng hai đỉnh kề Một đồ thị Γ gọi đồ thị Γ tất đỉnh tất cạnh Γ đỉnh cạnh Γ Một đỉnh Γ gọi đầu mút thuộc thuộc cạnh Một đường Γ dãy (y0 , y1 , , yn ) đỉnh yj , j = 0, 1, 2, , n Γ cho yi−1 , yi hai đỉnh kề với i = 0, 1, , n − Đường (y0 , y1 , , yn ) có độ dài n, gọi (y0 , yn )− đường Một quỹ đạo đường mà tất đỉnh phân biệt Một đồ thị gọi liên thông cặp đỉnh nối liền cạnh Một (α, α)− đường gọi đóng Một xích đường đóng với đỉnh phân biệt có ba đỉnh 2.1.2 Cây Một đồ thị liên thơng khơng có xích 13 Trong T , hai đỉnh α, β ∈ V (T ) tồn quỹ đạo (α, β) ký hiệu Π(α, β) Một với đỉnh đôi phân biệt gọi có gốc Ta nói đường W trương đồ thị Γ tất đỉnh Γ xuất số đỉnh W 2.1.3 Đồ thị định hướng Cho đồ thị Γ Một cạnh với hai đỉnh α, β ∈ Γ gọi định hướng xét cạnh với cặp đỉnh (α, β) cặp đỉnh có định hướng, nghĩa phân biệt thứ tự hai đỉnh chúng Trong trường hợp này, ta viết α → β ký hiệu cạnh αβ Nếu α = β αβ = βα 2.1.4 Định nghĩa Cho hai đồ thị Γ Γ với tập đỉnh tương ứng V (T ) V (T ) Một đẳng cấu từ Γ lên Γ song ánh từ V (T ) lên V (T ) bảo tồn tính kề hướng cạnh Ký hiệu Γ ∼ =Γ 2.1.5 Đồ thị đầy đủ Một đồ thị G = (V, E) gọi đồ thị đầy đủ chứa tất cạnh nối tất cặp đỉnh phân biệt V , nghĩa E = {(x, y) ∈ V × V |x = y} Chú ý rằng, nói chung E ⊆ {(x, y)|x, y ∈ V } Một cạnh đồ thị gọi dán nhãn có ký hiệu liên kết với 2.1.6 Chú ý Từ sau, đồ thị xét đồ thị định hướng, khơng có nút (hai đỉnh trùng nhau) khơng có cạnh bội (các cạnh trùng nhau) Các đồ thị ký hiệu D tập hợp cạnh định hướng D ký hiệu E(D) Bây ta nêu lên đồ thị Cayley nửa nhóm 2.1.7 Đồ thị Cayley nửa nhóm Giả sử S nửa nhóm A tập S Đồ thị Cayley Cay(S,A) S liên kết với A xác định 14 đồ thị với đỉnh tập hợp S cạnh tập hợp E(Cay(S, A)) gồm cặp có thứ tự (x, y), x = y sx = y với s ∈ A 2.2 Đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hồn tồn Trong tiết này, khảo sát đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hồn tồn Chúng ta bắt đầu với kết sau: 2.2.1 Bổ đề Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] nửa nhóm đơn hoàn toàn với A tập khác rỗng S Giả sử (i, a, λ), (j, b, µ) hai phần tử phân biệt S Thế ((i, a, λ), (j, b, µ)) ∈ E(Cay(S, A)) λ = µ (j, ba−1 p−1 θi , θ) ∈ A với θ ∈ Λ Chứng minh Để cho ((i, a, λ), (j, b, µ)) ∈ E(Cay(S, A)), phải tồn (l, g, θ) ∈ A cho (i, a, λ)(j, b, µ) = (j, gpθi a, λ) = (j, b, µ) ⇔ λ = µ gpθi a = b, g = ba−1 p−1 θi ✷ Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] nửa nhóm đơn hồn tồn A tập khác rỗng S Theo Bổ đề 2.2.1, hai phần tử S liên kề đồ thị Cay(S, A) chúng L − tương đương Đối với λ ∈ Λ tùy ý, ký hiệu Tλ đồ thị đồ thị Cay(S, A) cảm sinh S∗λ , nói Tλ thành phần Cay(S, A) Rõ ràng hai phần tử phân biệt λ, µ ∈ Λ ta có V (Tλ ) ∩ V (Tµ ) = ∅ Kết sau mối quan hệ hai thành phần Cay(S, A) 2.2.2 Mệnh đề Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] nửa nhóm đơn hồn tồn A tập khác rỗng S Đối với λ, µ ∈ Λ ta có Tλ ∼ = Tµ ; λ = µ khơng tồn e ∈ E(Cay(S, A)) cho e có điểm mút Tλ Tµ Chứng minh Xác định ánh xạ ϕ : Tλ → Tµ cho ϕ((i, g, λ)) = (i.g.µ) (i, g, λ) ∈ V (Tλ ) tùy ý Thế ϕ song ánh Chúng ta chứng tỏ ϕ đồng cấu Giả sử ((i, g, λ), (j, h, λ)) ∈ E(Tλ ) Theo Bổ đề 2.2.1 ta có 15 (j, hg −1 p−1 θi , θ) ∈ A Cũng −1 −1 (j, hg −1 p−1 θi , θ)ϕ((i, g, λ)) = (j, hg pθi , θ)(i, g, µ) = (j, h, µ) = ϕ((j, h, λ)) nên (ϕ((i, g, λ)), ϕ((j, h, λ))) ∈ E(T µ) Bởi ϕ đồng cấu từ Tλ lên Tµ Lập luận tương tự ta chứng tỏ ϕ−1 đồng cấu từ Tµ lên Tλ Vậy ϕ đẳng cấu từ Tλ lên Tµ Phần lại mệnh đề suy trực tiếp từ Bổ đề 2.2.1.✷ Mệnh đề 2.2.2 chứng tỏ Tλ Tµ Điều chứng tỏ Cay(S, A) = Tλ, λ∈Λ nghĩa V (Cay(S, A)) = V (Tλ ) λ∈λ E(Tλ ) E(Cay(S, A)) = λ∈Λ Từ cần xét thành phần Tλ vơi λ ∈ Λ thay cho Cay(S, A) phần lại luận văn Trong Tλ , có tính chất sau liên quan đến đồ thị Tλ cảm sinh Sλi với i ∈ I tùy ý 2.2.3 Mệnh đề Giả sử S = µ[G; I; Λ; P ] nửa nhóm đơn hoàn toàn A tập khác rỗng S λ ∈ Λ Đối với i ∈ I tùy ý, giả sử Γiλ đồ thị Cay(S, A) cảm sinh Sλi Thế Γiλ ∼ = Cay(G, Ci ), Ci = {gpµi |(i, g, µ) ∈ A} Chứng minh Xác định ánh xạ ϕ: Siλ → G cho ϕ((i, g, λ)) = g (i, g, λ) ∈ V (Siλ ) tùy ý Thế ϕ song ánh Chúng ta chứng tỏ ϕ đồng cấu Theo Bổ đề 2.2.1 ta có ((i, gλ), (i, h, λ)) ∈ E(Γiλ ) ⇔ (i, hgp−1 µi , µ) ∈ A 16 với µ ∈ Λ −1 ∈ Ci ⇔ hg −1 p−1 µi pµi = hg ⇔ (g, h) ∈ E(Cay(G, Ci )) ⇔ (ϕ(i, g, λ), ϕ(i, h, λ)) ∈ E(Cay(G, Ci )) Từ suy ϕ ϕ−1 đồng cấu Do Γiλ ∼ = Cay(G, Ci ).✷ Kết sau nêu lên điều kiện cần đủ để thành phần Tλ đồ thị đầy đủ 2.2.4 Định lý Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] nửa nhóm đơn hồn tồn A tập khác rỗng S λ ∈ Λ Thế Tλ đồ thị đầy đủ i, j ∈ I g ∈ G cho i = j hay g = e, tồn cho (i, gp−1 µj , µ) ∈ A Chứng minh Điều kiện cần Giả thiết Tλ đồ thị đầy đủ Giả sử i, j ∈ I , g ∈ G Nếu i = j g = e ((j, e, λ), (i, g, λ)) ∈ E(Tλ ) Theo Bổ đề 2.2.1 suy (i, gp−1 µi , µ) ∈ A Điều kiện đủ Giả sử (j, a, λ), (i, b, λ) hai đỉnh phân biệt V (Tλ ) Đặt g = ba−1 Thế i = j g = e nên (i, gp−1 µj , µ) ∈ A với µ ∈ Λ Từ (i, gp−1 µj , µ)(j, a, λ) = (i, ga, λ) = (i, b, λ) Theo Bổ đề 2.2.1, có cạnh từ (j, a, λ) đến (i, b, λ) Do Tλ đồ thị đầy đủ.✷ Chú ý trường hợp I = {i} Tλ = Γiλ Định lý 2.2.4 nói Tλ đồ thị đầy đủ g ∈ G − {e} (i, gp−1 µj , µ) ∈ A với µ ∈ Λ Theo Mệnh đề 2.2.3, điều tương đương với điều kiện g ∈ Ci g = e Cũng cần ý đồ thị Cay(S, A) hợp rời đồ thị đầy đủ Tλ đồ thị đầy đủ Điều xảy Tλ hợp rời hai hay nhiều đồ thị đầy đủ Ví dụ sau minh họa điều 17 Ví dụ Giả sử G = {e, a, a2 , a3 : a4 = e},I = {i, j}, Λ = {e} P = (ee) Đặt A = {(i, e, λ), (i, b, λ), (j, e, λ), (j, b, λ)} b = a2 Thế Tλ = Cay(S, A) hợp rời đồ thị đầy đủ cảm sinh {(i, e, λ), (i, b, λ), (j, e, λ), (j, b, λ)} {(i, a, λ), (i, c, λ), (j, a, λ), (j, c, λ)} c = a3 Kết sau nêu lên điều kiện cần đủ để Cay(S, A) hợp rời đồ thị đầy đủ 2.2.5 Định lý Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] nửa nhóm đơn hoàn toàn, A tập khác rỗng S Giả sử π1 : I × G × Λ → I, (i, g, λ) → i, π2 : I × G × Λ → G, (i, g, λ) → g , π3 : I × G × Λ → Λ, (i, g, λ) → λ tương ứng phép chiếu Thế đồ thị Cay(S, A) hợp rời đồ thị đầy đủ hai điều kiên sau thỏa mãn: i) ∀s ∈ A, ∀i ∈ I, ∃t ∈ A ∩ Si∗ cho t phần tử ngược s; ii) ∀s, t ∈ A, ∀i ∈ I , nêu st phần tử lũy đẳng Si∗ tồn u ∈ A cho π1 (st) = u π2 (st)pπ3 (st)i = π2 (u)pπ3 (u)i Chứng minh Điều kiện cần Giả thiết Cay(S, A) hợp rời đồ thị đầy đủ Giả sử λ ∈ Λ Thế Tλ hợp rời đồ thị đầy đủ Giả sử s ∈ A, i ∈ I Nếu s lũy đẳng Si∗ cách đặt t = s điều kiện (i) thỏa mãn Nếu ngược lại, tồn x ∈ Siλ cho sx = x Đặt sx = y Thế Tλ tồn cạnh từ x đến y Do Tλ tồn cạnh từ y đến x Do A chứa phần t cho ty = x Thế tsx = ty = x, nên theo chứng minh Bổ đề 2.31 ta có ts = (i, p−1 µi , µ) với µ ∈ Λ Do π1 (t) = i, π3 (s) = µ, từ sts = s(ts) = s, tst = (ts)t = t, nghĩa t phần tử ngược s Giả sử s, t ∈ A, i ∈ I giả thiết st phần tử lũy đẳng Si∗ Thề tồn x ∈ Siλ cho stx = x Nếu tx = x stx = sx cách đặt u = s ta thấy điều kiện (ii) thỏa mãn Nếu tx = x 18 stx = tx cách đặt u = t ta thấy điều kiện (ii) thỏa mãn Nếu tx = x stx = tx tồn ba phần tử đôi phân biệt x, y = tx z = stx = sy Do Tλ có cạnh từ x đến y từ y đến z Vì A chứa phần tử u cho ux = z Cũng stx = z ta thấy điều kiện (ii) thỏa mãn Điều kiện đủ Giả sử (x, y) ∈ E(Tλ ) Thề tồn s ∈ A cho sx = y Đặt i = π1 (x) Thế điều kiện (i), tồn t ∈ A ∩ Si∗ cho t phần tử ngược s Do ts = (i, p−1 µi , µ) với µ ∈ Λ đó, từ suy ty=txs=x Vì có cạnh Tλ từ x đến y Giả sử (x, y), (y, z) ∈ E(Tλ ) cho x, z phân biệt Thế tồn s, t ∈ A cho tx = y, sy = z Đặt π1 (x) = i Thế stx = z = x, st khơng phải phần tử lũy đẳng Si∗ Do điều kiện (ii) tồn u ∈ A cho π1 (st) = u π2 (st)pπ3 (st)i = π2 (u)pπ3 (u)i Từ (st)x = z, ux = z Do tồn cạnh Tλ từ x đến z ✷ Điều kiện thứ Định lý 2.2.6 phát biểu phần tử thuộc A có phần tử ngược A từ R− lớp S Điều kiện thứ hai Định lý 2.2.6 phát biểu với hai phần tử s, t phần tử thuộc A, i ∈ I , st đơn vị trái Si∗ A chứa phần tử u cho (u, st) ∈ R S Hai phát biểu tương đương với phát biểu: Nếu st = (j, a, µ) u = (j, apµi p−1 θi , θ) với θ ∈ Λ Điều có nghĩa stx = ux x ∈ Si∗ 19 2.3 Tính liên thơng mạnh đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hồn tồn Các kết sau mô tả tất cặp (S, A) cho S nửa nhóm đơn hồn toàn, A ⊆ S Cay(S, A) đồ thị Cayley hai tầng liên thông mạnh Trước hết ta nhắc lại số khái niệm liên quan 2.3.1 Định nghĩa Đồ thị Γ = (V, E) gọi liên thông mạnh với cặp đỉnh v1 , v2 tồn quỹ đạo từ v1 đến v2 từ v2 đến v1 2.3.2 Định lý Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] nửa nhóm đơn hoàn toàn, A tập khác rỗng S Thế Tλ liên thơng mạnh tất i, j ∈ I tất g ∈ G tồn µ ∈ Λ cho (i, gp−1 µj , µ) ∈ A (trong A nửa nhóm S sinh A) Chứng minh Điều kiện cần Giả thiết Tλ liên thông mạnh Giả sử i, j ∈ I , g ∈ G Thế u = (j, e, λ), v = (i, g, λ) ∈ V (Tλ ), có quỹ đạo có hướng từ u đến v Suy (u, u1 ) = (u0 , u1 ), (u1 , u2 ), , (un−1,un ) = (un−1 , v) ∈ E(Tλ ) với n ∈ N Thế tồn a1 , a2 , , an ∈ A cho ui = aui−1 i = 1, , n Điều kéo theo v = au, a = an an−1 a1 Thế −1 a = (i, gp−1 µj , µ) với µ ∈ Λ Chú ý a ∈ A nên (i, gpµj , µ) ∈ A Điều kiện đủ Giả sử u = (j, e, λ), v = (i, g, λ) ∈ V (Tλ ) Thế tồn µ ∈ Λ cho a = (i, hgp−1 µj , µ) ∈ A , ta có au = v Vì a ∈ A nên tồn a1 , a2 , , an ∈ A cho a = an an−1 a1 Đặt u0 = u, u1 = a1 u0 , u2 = a2 u1 , , un = an un−1 un = au = v Đối với ≤ i ≤ n, ui−1 ui phân biệt tồn cạnh có hướng ui−1 ui Do Tλ tồn quỹ đạo có hướng từ u = u0 đến v = un ✷ 2.3.3 Đồ thị hai tầng Một đồ thị G = (V, E) gọi đồ thị hai tầng tập hợp đỉnh hợp rời hai tập cho cạnh nối 20 đỉnh thuộc tập đó; nghĩa V = V1 ∪ V2 , V1 ∩ V2 = ∅ E ⊆ (V1 × V2 ) ∪ (V2 × V1 ) Rõ ràng hợp đồ thị hai tầng đồ thị hai tầng 2.3.4 Bổ đề (xem[6]) Một đồ thị liên thông mạnh D đồ thị hai tầng D khơng có xích có hướng với độ dài lẻ Kết sau sử dụng chứng minh Định lý 2.3.6 2.3.5 Bổ đề Giả sử D đồ thị Thế qng đường có hướng đóng có độ dài lẻ D chứa xích có hướng với độ dài lẻ Chứng minh Chúng ta chứng minh quy nạp theo độ dài k quãng đường đóng W Khi k = 1, quãng đường có hướng độ dài lẻ nút, hiển nhiên xích có độ dài Giả thiết phát biểu mệnh đề với quãng đường có hướng với độ dài lẻ nhỏ k Chúng ta chứng minh k Nếu W không chứa đỉnh lặp, thân W tạo thành xích với độ dài lẻ Nếu W chứa đỉnh lặp v , xét W v chia W thành hai quãng đường Vì độ dài W số lẻ k , nên hai quãng đường W số lẻ bé k Theo giả thiết quy nạp, chứa xích có hướng với độ dài lẻ.✷ Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] nửa nhóm đơn hoàn toàn, A tập khác rỗng S Ký hiệu Ak = {a1 a2 ak ∈ S|ai ∈ A, i = 1, 2, , k} kết sau nêu lên điều kiện để đồ thị liên thông mạnh đồ thị hai tầng 2.3.6 Định lý Giả sử S = µ[G; I, Λ; P ] nửa nhóm đơn hồn tồn, A tập khác rỗng S λ ∈ Λ Giả thiết đồ thị Tλ liên thơng mạnh Thế Tλ đồ thị hai tầng Ak không chứa lũy đẳng với k = 2n + 1, n ∈ Z tùy ý 21 Chứng minh Điều kiện cần Ta chứng minh phản chứng Giả thiết Ak chứa lũy đẳng e với k ∈ N lẻ Suy e = a1 a2 an với a1 , a2 , , an ∈ A Vì e = (i, p−1 µi , µ) theo Bổ đề 1.4.5 nên ta có u = eu = a1 a2 an u u = (i, g, λ) ∈ V (Tλ ) Suy tồn quãng đường có hướng với đồ dài k từ u đến Thế qng đường có hướng chứa xích có hướng với độ dài lẻ theo Bổ đề 2.3.5 Suy đồ thị liên thông mạnh Tλ đồ thị hai tầng theo Bổ đề 2.3.4.: mâu thuẫn giả thiết Do Ak khơng chứa lũy đẳng với k = 2n + 1, n ∈ Z tùy ý Điều kiện đủ Giả thiết Tλ khơng phải đồ thị hai tầng Thế theo Bổ để 2.3.4 tồn xích đóng ngắn với độ dài lẻ k , ta ký hiệu (u, u1 ) = (u0 , u1 ), (u1 , u2 ), , (uk−1 , uk ) = (uk−1 , v) ∈ E(Tλ ) Suy tồn a1 , a2 , , ak ∈ A cho ui = aui−1 i = 1, 2, , k , u = ak ak−1 a1 u Thế ak ak−1 a1 lũy đẳng theo Bổ đề 1.4.6 Từ Ak chứa lũy đẳng, mâu thuẫn với giả thiết Do Tλ đồ thị hai tầng.✷ 22 KẾT LUẬN Qua luận văn, chúng tơi trình bày vấn đề sau: Hệ thống lại kiến thức liên quan đến quan hệ Grin nửa nhóm, nửa nhóm đơn nửa nhóm đơn hồn tồn, Định lý Rixơ cấu trúc nửa nhóm đơn hồn tồn Các đặc trưng đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hồn tồn (Định lý 2.2.4, Định lý 2.2.6) Tính liên thông mạnh đồ thị thành phần nửa nhóm đơn hồn tồn (Định lý 2.3.2, Định lý 2.2.6) 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphơt, G B Pretơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm (Tập 1), dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh [3] Lê Thị Xuân Hương (2016), Đồ thị định hướng tính chất tổ hợp nửa nhóm quy hồn tồn, Luận văn Thạc sỹ, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [4] J M Howie(1995), Fundamamentals of Semigroup Theory, Clarendon, New York [5] Yanfeng Luo, Yifei Hao and Graham T Clarke (2010), On the Cayley graphs of completely simple semigroups, Semigroup Forum, Published online: 06 October 2010 [6] R.J.Wilson (1982), Introduction to Graph Theory, 3rd end Longman, New York  ... Đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hoàn toàn 2.1 Đồ thị Cayley nửa nhóm 12 12 2.2 Đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hồn toàn 14 2.3 Tính liên thơng mạnh đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hồn... nửa nhóm tự đơn nửa nhóm đơn hồn tồn để làm sở cho việc trình bày chương Chương Đồ thị Cayley nửa nhóm đơn hồn tồn Trong chương chúng tơi trình bày đồ thị Cayley nửa nhóm, điều kiện cần đủ đồ thị. .. CHƯƠNG ĐỒ THỊ CAYLEY CỦA CÁC NỬA NHĨM ĐƠN HỒN TỒN 2.1 Đồ thị Cayley nửa nhóm 2.1.1 Đồ thị Một đồ thị tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi đỉnh, với tập hợp cặp đỉnh không định hướng gọi cạnh Giả sử Γ đồ