SKKN nâng cao kết quả học tập phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan bằng việc sửa chữa những sai lầm và nêu hướng kh

MC LC Ni dung Trang 2-3 1.t Gii quyt 4-6 2.1 C s lý lun ca 2.2 Thc trng ca 2.3 Cỏc bin phỏp ó tin hnh gii quyt 8-20 2.4 Hiu qu ca sỏng kin 21 22 Kt lun Ti liu tham kho: SGK Gii tớch 12 CB NXB Giỏo dc 2008 SGV Gii tớch 12 CB NXB Giỏo dc 2008 SBT Gii tớch 12 CB NXB Giỏo dc 2008 Chun kin thc k nng b mụn Toỏn NXB Giỏo dc nm 2009 Hng dn ụn thi TN THPT mụn Toỏn nm hc 2012-2013 NXB Giỏo dc nm 2013 Tham kho cỏc ti liu ca ng nghip: Bi bỏo trờn internet, Tp Toỏn hc tui tr, SKKN ca ng nghip Phn T VN I Lí DO CHN TI Trong chng trỡnh gii tớch 12, ni dung kho sỏt v v th ca hm s, cựng cỏc bi liờn quan bng ng dng o hm cú mt v trớ c bit quan trng, chim hu ht s tit cú chng trỡnh, s im cng khỏ cu trỳc im ca thi TN THPT hng nm L mt cụng c khỏ hu dng gii quyt hu ht nhng bi toỏn cỏc thi tt nghip Trung hc ph thụng cng nh cỏc thi tuyn sinh i hc, Cao ng u im ca phng phỏp ny l rt hiu qu v d s dng gii toỏn liờn quan n kho sỏt hm s Trong quỏ trỡnh ging dy tụi nhn thy cỏc em hc sinh lp 12 trng THPT s TP Lo Cai hay gp khú khn gii cỏc bi toỏn liờn quan n vic dng o hm kho sỏt v v th ca hm s Hc sinh thng mc nhng sai lm m cỏc em s khụng t mỡnh khc phc c nu khụng cú s hng dn ca thy cụ giỏo Chng hn, vi bi tp: Cho hm s y = x3 3mx2 + 3( 2m-1)x +1 Xỏc nh m hm s ng bin trờn xỏc nh Vi giỏ tr no ca tham s m, hm s cú mt cc i v mt cc tiu ? a s cỏc em ó s dng phng phỏp sai gii, s liu thng kờ qua bng sau õy: Lp S s 12A1 25 12A3 19 Khụng gii c S lng 05 10 T l 20% 53% Gii sai phng phỏp S lng T l 12 48% 06 31% Gii ỳng phng phỏp S lng T l 08 32% 03 16% Nhm giỳp hc sinh nm chc cỏc kin thc v o hm, cú k nng ng dng o hm gii cỏc bi toỏn liờn quan n kho sỏt hm s, tụi chn ti " Nõng cao kt qu hc phn kho sỏt v v th hm s, cỏc bi toỏn liờn quan bng vic sa cha nhng sai lm v nờu hng khc phc cho hc sinh." II Mc ớch nghiờn cu - Ch cho hc sinh thy nhng sai lm thng mc phi Qua ú, hc sinh hiu ỳng bn cht ca - Bi dng cho hc sinh v phng phỏp, k nng gii toỏn Qua ú, hc sinh nõng cao kh nng t duy, sỏng to III Nhim v nghiờn cu - ỏnh giỏ thc t quỏ trỡnh dng gii bi toỏn lờn quan n vic ng dng o hm kho sỏt v v th hm s, cỏc bi toỏn liờn quan (Chng trỡnh Gii tớch 12 Ban c bn) cú c bi gii toỏn hon chnh v chớnh xỏc IV i tng nghiờn cu Phm vi nghiờn cu - Cỏc bi toỏn liờn quan n o hm v ng dng ca o hm kho sỏt v v th hm s - Chng I, gii tớch lp 12 - Hc sinh 02 lp ph trỏch 12A1, 12A3 (tng s hc sinh 44) trng THPT s thnh ph Lo Cai, nm hc 2013 2014 v kinh nghim mt s nm hc trc V Phng phỏp nghiờn cu - Phng phỏp iu tra - Phng phỏp i chng - Phng phỏp nghiờn cu ti liu Phn GII QUYT VN CHNG I: C S L LUN CA TI I C s lý lun Ni dung chng trỡnh (Chng I - gii tớch 12 - Ban c bn) Hc sinh cn nm c mt s sau õy (liờn quan n ni dung v phm vi nghiờn cu ca ti) 1.1 nh ngha v tớnh n iu ca hm s: * Hm s y = f(x) ng bin ( tng ) trờn K nu vi mi cp x1, x2 thuc K, x1 < x2 f(x1) < f(x2) * Hm s y = f(x) nghch bin ( gim) trờn khong K nu vi mi cp x1, x2 thuc K, x1 < x2 f(x1) > f(x2) 1.2 Cụng thc tớnh o hm: Hm s hp y = u cú o hm y ' = .u 1.u ' (*) cụng thc (*) ch ỳng vi s m l hng s Nu khụng nguyờn thỡ cụng thc (*) ch ỳng u nhn giỏ tr dng 1.3 Quy tc xột tớnh n iu ca hm s ca hm s da trờn nh lớ: * nh lớ: Cho hm s y = f(x) cú o hm khong K Nu f ' ( x ) ( f ' ( x ) ) vi x K v f(x) =0 ch ti mt s hu hn im thỡ hm s f(x) ng bin ( nghch bin ) trờn K 1.4 Quy tc tỡm im cc tr ca hm s da trờn hai nh lớ sau: * nh lý (Quy tc I): Gi s hm s y = f(x) liờn tc trờn khong K = (x h; x + h) v cú o hm trờn K hoc trờn K \ { x } , vi h > a Nu f ' ( x ) > trờn khong (x h; x ) v f ' ( x ) < trờn khong (x ; x + h) thỡ x0 l mt im cc i ca hm s f(x) b Nu f ' ( x ) < trờn khong (x h; x ) v f ' ( x ) > trờn khong (x h; x ) thỡ x0 l mt im cc tiu ca hm s f(x) * nh lý (Quy tc II): Gi s hm s y = f(x) cú o hm cp hai khong (x h; x + h) , vi h > Khi ú: a Nu f '(x0) = 0, f ''(x0) > thỡ x0 l im cc tiu b Nu f '(x0) = 0, f ''(x0) < thỡ x0 l im cc i + Quy tc tỡm im cc tr ca hm s l iu kin ch khụng phi iu kin cn Do vy, iu ngc li núi chung khụng ỳng 1.5 Giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s trờn D: f (x) m , x D f (x) M , x D M = max f (x) , D x D : f (x ) = m x D : f (x ) = M m = f (x) D + Nu f (x) m , x D (hay f (x) M , x D ) nhng khụng x D : f (x ) = m (hay x D : f (x ) = M ) thỡ du "=" khụng xy Khi ú, khụng tn ti giỏ tr nh nht (hay giỏ tr ln nht) ca hm s f(x) trờn D + Khi tỡm giỏ tr nh nht (hay giỏ tr ln nht) ca hm s f(x) trờn D m chuyn sang xột giỏ tr nh nht (hay giỏ tr ln nht) ca hm s g(t) vi phộp t t = u(x) thỡ cn chuyn i iu kin c bi toỏn tng ng 1.6 V phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ca hm s y = f(x): * Tip tuyn ti im M0(x0;y0) (C) cú phng trỡnh: y = f '(x0).(x - x0) + y0 * Tip tuyn vi (C) cú h s gúc k, i qua im M 1(x1;y1) cú phng trỡnh: f (x) = k(x x1 ) + y1 y = k.(x - x1) + y1 Trong ú h s gúc k tha h: f '(x) = k (I) + Nu im M1(x1;y1) núi trờn thuc (C) thỡ h s gúc k tha h (I) Trong trng hp ny, s tip tuyn cú th nhiu hn tip tuyn Sai sút thng gp gii toỏn 2.1 Sai sút bi toỏn xột tớnh n iu ca hm s, khụng nm vng nh ngha v tớnh n iu ca hm s hay khụng chỳ ý ti cỏc im ti hn ca hm s 2.2 Sai sút bi toỏn chng minh bt ng thc, khụng nh chớnh xỏc tớnh n iu ca hm s dng hoc dng sai tớnh cht ca cỏc hm ng bin, nghch bin 2.3 Sai sút vic gii cỏc bi toỏn liờn quan ti o hm, dng sai cụng thc tớnh o hm hay hiu sai cụng thc ly tha vi s m thc 2.4 Sai sút vic gii cỏc bi toỏn liờn quan ti cc tr ca hm s, dng sai v iu kin hm s cú cc tr hay iu kin hm s n iu trờn khong (a;b) 2.5 Sai sút vic gii cỏc bi tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s trờn mt D, chuyn i bi toỏn khụng tng ng 2.6 Sai sút vic gii cỏc bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn i qua mt im M1(x1;y1) thuc th (C) ca hm s II C s phỏp lý - Da trờn nhng khỏi nim, nh ngha, nh lý ó hc chng I "ng dng o hm kho sỏt v v th ca hm s " - Da trờn nhng khỏi nim, nh ngha khỏc cú liờn quan ti quỏ trỡnh gii bi v ng dng ca o hm - Da trờn nhng kt qu ỳng n v nhng chõn lý hin nhiờn hay ó c chng minh, tha nhn CHNG II: THC TRNG CA TI Trong thc t, hc sinh hc chng I ng dng o hm kho sỏt v v th hm s thng gp phi nhng khú khn sau: - Khụng nm vng nh ngha v tớnh n iu ca hm s trờn mt khong, khụng hiu chớnh xỏc v nh ngha im ti hn ca hm s - Khụng nm vng iu kin hm s n iu trờn mt khong - Khụng nm vng iu kin hm s t cc tr ti mt im x0 - Khụng nm vng nh ngha v giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s trờn mt D - Khụng nm vng bn cht s khỏc gia tip tuyn ti mt im thuc th s vi tip tuyn k qua mt im bt k n th hm s ó cho CHNG III: BIN PHP THC HIN V KT QU NGHIấN CU CA TI I BIN PHP THC HIN khc phc nhng khú khn m hc sinh thng gp phi, nghiờn cu ti tụi ó a cỏc bin phỏp nh sau: B sung, h thng nhng kin thc c bn m hc sinh thiu ht - Phõn tớch, gii thớch rừ hn cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lý hc sinh nm c bn cht ca cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lý ú - a cỏc vớ d, phn vớ d minh cho cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lý - So sỏnh gia cỏc khỏi nim, cỏc quy tc hc sinh thy c s ging v khỏc gia chỳng - Ch cỏc sai lm m hc sinh d mc phi Rốn luyn cho hc sinh v mt t duy, k nng, phng phỏp - Thao tỏc t duy: phõn tớch, so sỏnh, - K nng: lp lun , chn phng ỏn phự hp gii quyt - Phng phỏp: phng phỏp gii toỏn i mi phng phỏp dy hc (ly hc sinh lm trung tõm) - S dng phng phỏp dy hc phự hp vi hon cnh thc t - To hng thỳ, am mờ, yờu thớch mụn hc cho hc sinh - S dng phng tin dy hc, thit b dy hc nhm lm cho bi ging sinh ng hn, bt khụ khan v hc sinh khụng cm thy nhm chỏn Chng hn s dng bng ph, phiu hc tp, nu cú iu kin thỡ s dng giỏo ỏn in t kt hp vi vic trỡnh chiu th hm s, cỏc hỡnh v, hỡnh ng liờn quan trc tip ti bi ging i mi vic kim tra, ỏnh giỏ - Kt hp gia t lun v trc nghim khỏch quan vi cỏc mc nhn thc: nhn bit - thụng hiu - dng dng mc cao - Giỏo viờn ỏnh giỏ hc sinh - Hc sinh ỏnh giỏ hc sinh Giỏo viờn cú i mi phng phỏp dy hc, hỡnh thc dy hc cho phự hp vi tng loi i tng hc sinh, ch cho hc sinh nhng sai lm thng mc phi gii cỏc bi toỏn v ng dng o hm kho sỏt v v th hm s, mt s bi toỏn liờn quan Hng dn cho hc sinh t hc, t lm bi Phõn loi bi v phng phỏp gii - H thng kin thc c bn Phõn dng bi v phng phỏp gii - a cỏc bi tng t, bi nõng cao - Sau mi li gii cn cú nhn xột, cng c v phỏt trin bi toỏn, suy kt qu mi, bi toỏn mi Nh vy hc sinh s cú t linh hot v sỏng to II NGHIấN CU THC T, PHN TCH NHNG SAI SểT THễNG QUA MT S V D Sai sút xột tớnh n iu ca hm s * Cỏc em thng mc phi sai lm khụng nm vng nh ngha v tớnh n iu ca hm s Vớ d 1: Xột tớnh n iu ca hm s: y = f (x) = x x Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Tp xỏc nh: D = Ă \ { 1} Ta cú: y ' = (x 1)2 > 0, x D Bng bin thiờn: x Y' - Ơ +Ơ + + +Ơ y 1 - Ơ Suy ra: Hm s ng bin trờn (- Ơ ;1) ẩ (1; + Ơ ) Phõn tớch: Li gii trờn cú v ỳng, nu ta khụng chỳ ý n kt lun ca bi toỏn Chỳ ý rng: nu hm s y = f(x) ng bin trờn D thỡ vi mi x1, x2 thuc D, x1 < x2 f(x1) < f(x2) Trong kt lun ca bi toỏn, nu ta ly x1 = - 1ẻ D v x = ẻ D thỡ x1 < x2 nhng f(x1) = > - = f(x2) Li gii ỳng: Tp xỏc nh: D = Ă \ { - 1} Ta cú: y ' = (x + 1)2 > 0, x D Bng bin thiờn: x y' - Ơ +Ơ -1 + + +Ơ y 1 - Ơ Suy ra: Hm s ng bin trờn cỏc khong (- Ơ ;- 1) v (- 1; + Ơ ) * Nhiu cỏc em khụng chỳ ý n cỏc im ti hn ca hm s, vỡ vy vic xột du ca o hm y' s b sai Vớ d 2: Xột tớnh n iu ca hm s: y = f (x) = x + x Hc sinh trỡnh by nh sau: Tp xỏc nh: D = [ - 2; 2] Ta cú: y ' = y ' = x x2 , x = = x2 = x x2 = x2 x2 x = x Trờn tng khong gia hai im ti hn liờn tip nhau, f '(x) luụn gi nguyờn mt du, vỡ f '(0) > nờn ta cú bng bin thiờn nh sau: x y' Y -2 - - -3 2 + - 2- -1 Suy ra: hm s ng bin trờn khong (- 2; 2) v nghch bin trờn cỏc khong (- 2; - 2) v ( 2; 2) Phõn tớch: Nu ý bng bin thiờn ta thy mt iu vụ lý l trờn on ộ- 2; 2ự ỳ ỷ giỏ tr ca hm s gim t xung Thc õy - phi l im ti hn ca hm s Li gii ỳng: Tp xỏc nh: D = [ - 2; 2] Ta cú: y ' = x x2 khụng y ' = x = x2 = x 2 x2 x = x x x= Trờn tng khong gia hai im ti hn liờn tip nhau, f '(x) luụn gi nguyờn mt du, vỡ f '(0) > nờn ta cú bng bin thiờn nh sau: x y' -2 Y 2 + - 2- -3 Suy ra: hm s ng bin trờn khong (- 2; 2) v nghch bin trờn khong ( 2; 2) Sai sút chng minh bt ng thc *Khi s dng tớnh n iu ca hm s chng minh bt ng thc, hc sinh thng mc phi sai lm l khụng nh chớnh xỏc nh ngha tớnh n iu ca hm s dng Vớ d 3: (Bi 5, trang 10, SGK Gii tớch 12 CB) Chng minh rng: tanx > x, vi " x ẻ ổ pử ỗ 0; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: ổ pử ữ ữ Xột hm s f(x) = tanx - x, vi x ẻ ỗỗỗố0; ứ 2ữ Ta cú: f '(x) = trờn khong - = tan x > , " x ẻ cos x ổ pử ỗ 0; ữ ữ ỗ ữ, suy hm s f(x) ng bin ỗ ố 2ứ ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ ỗ ữ ố 2ứ T x > ị f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - hay tanx > x, vi " x ẻ ổ pử ỗ 0; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ Phõn tớch: Li gii trờn cú v ỳng, nhng sai lm õy khỏ khú phỏt hin s khụng cht ch Sau kt lun f(x) ng bin trờn khong t x > ị f(x) > f(0) 10 ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ ỗ ữ thỡ vỡ ố 2ứ ổ pử 0; ữ Sai lm õy l ẽ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ố 2ứ Nh rng: nu f(x) ng bin trờn on [ a; b ] (tc l f(x) liờn tc trờn [ a; b ] v f '(x)> vi " x ẻ ( a; b) ) thỡ vi " x1 , x ẻ [ a; b ] , x1 > x ị f (x1 ) > f (x ) Li gii ỳng: ộ pử 0; ữ Xột hm s f(x) = tanx - x, vi x ẻ ữ ứ 2ữ Ta cú: f '(x) = ộ pử - = tan x , " x ẻ ờ0; ữ ữ ữ, du "=" xy ch ti x = 0, suy cos x 2ứ ộ pử 0; ữ hm s f(x) ng bin trờn na khong ữ ữ ứ T x > ị f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - hay tanx > x, vi " x ẻ ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ ỗ ữ ố 2ứ * Cỏc em cng hay mc nhng sai lm dng sai tớnh cht ca cỏc hm ng bin, nghch bin Vớ d 4: Chng minh rng nu vi " x ẻ Ă , x > - thỡ x.e x > - e Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Xột cỏc hm s f(x) = x, g(x) = e x l cỏc hm ng bin trờn Ă Suy hm s h(x) = x.ex l tớch ca hai hm ng bin nờn cng ng bin trờn Ă Suy ra, t x > - ị f(x) > f(-1) hay x.e x > - e Phõn tớch: Li gii trờn sai lm ch: tớch ca hai hm ng bin l mt hm ng bin ch ỳng hai hm ú dng (!) Li gii ỳng: Xột hm s f(x) = x.ex, ta cú f '(x)= ex(x+1) , " x - , du "=" xy ch ti x= -1 Suy ra, hm s ng bin trờn na khong [ - 1; + Ơ ) T x > - ị f(x) > f(-1) hay x.e x > - e Sai sút gii cỏc bi toỏn liờn quan ti o hm 11 * Sai lm tớnh o hm ca hm s ti mt im a a- Cỏc em hay mc phi sai lm dng ny l ỏp dng cụng thc ( u ) ' = a.u u ' , a ẻ Ă , nhng quờn rng nu nh a khụng nguyờn thỡ cụng thc ny ch ỳng u nhn giỏ tr dng Vớ d 6: Cho hm s y = x cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im cú honh x = - Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Vi x = - ta cú y = (- 1) = 2 - Ta cú y = x suy y ' = x 3 2 2 ộ ự- 16 - 16 (- 1) ỳ y '(-1) = (- 1) = (- 1) = ỷ = = 3 3ở 3 Vy phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y = (x + 1) + hay y = x + Phõn tớch: Sai sút õy l cỏc em khụng chỳ ý n iu kin ly tha vi s m khụng nguyờn thỡ c s phi dng Vỡ vy, vit (- 1)- l khụng ỳng (!) Li gii ỳng: Vi x = - ta cú y = (- 1) = 2x Ta cú y3 = x2 ị (y3)'= (x2)' ị 3.y2 y ' = 2x ị y ' = 3y = 3 x ị y '(-1) = - Vy phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y = - 2 (x + 1) + hay y = - x + 3 Sai sút gii cỏc bi toỏn liờn quan ti tớnh n iu, cc tr ca hm s Khi s dng quy tc I xột tớnh n iu ca hm s hc sinh quờn rng ú l iu kin ch khụng phi l iu kin cn Quy tc: y ' > , " x ẻ (a; b) ị hm s ng bin trờn khong (a;b) y ' < , " x ẻ (a; b) ị hm s nghch bin trờn khong (a;b) 12 iu ngc li núi chung l khụng ỳng Vớ d 7: Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s y = x - mx + x - ng bin trờn Ă Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Tp xỏc nh: D = Ă ỡù a > y ' = 3x2 - 2mx + Hm s ng bin trờn Ă y ' > , " x ẻ Ă ùớù ùợ D ' < ỡù >0 ùớ ùùợ m - < - 3< m< Phõn tớch: Chng hn, hm s y = x3 ng bin trờn Ă , nhng y ' = 3x 0, " x ẻ Ă , du "=" xy ch ti x= Nh rng: nu hm s y = f(x) xỏc nh trờn khong (a;b), f '(x) , " x ẻ (a; b) v du "=" xy ch ti hu hn im thuc khong (a;b) thỡ hm s y = f(x) ng bin trờn khong (a;b) Li gii ỳng: ỡù a > Hm s ng bin trờn Ă y ' , " x ẻ Ă ùớù ùợ D ' Ê ỡù >0 ùớ ùùợ m - Ê - 3Ê mÊ * Khi s dng quy tc II xỏc nh cc tr ca hm s, nhiu hc sinh cng quờn rng ú ch l iu kin ch khụng phi l iu kin cn Quy tc: ỡù f '(x ) = ị x l im cc tiu + ùớù ùợ f ''(x ) > ùỡ f '(x ) = ị x l im cc i + ùớù ùợ f ''(x ) < iu ngc li núi chung l khụng ỳng Do vy tỡm c im x , cn th li Vớ d 8: Cho hm s y = f(x) = mx Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s t cc i ti x = ? Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2 13 ỡù f '(0) = iu kin hm s t cc i ti x = l: ùớù ùợ f ''(0) < ỡùù 4m.0 = ùùợ 12m.0 < h vụ nghim Vy khụng tn ti giỏ tr no ca m hm s t cc i ti x = Phõn tớch: Ta thy, vi m = - 1, hm s y = - x4 cú y ' = - 4x3 , y ' = x = Bng bin thiờn: x y' - Ơ +Ơ + - y - Ơ - Ơ Suy hm s t cc i ti x = Li gii trờn sai õu? ỡùù f '(x ) = ị x l im cc i ca hm s, cũn iu Nh rng, nu x0 tha ớù ùợ f ''(x ) < ngc li thỡ cha chc ỳng Vỡ nu x l im cc i thỡ cú th f ''(x 0) = Lý l iu kin f ''(x0) < ch l iu kin hm s g(x) = f '(x) nghch bin lõn cn (x0 - h; x0 + h) (vi h > 0), ú: ỡùù f '(x) > f '(x ) = 0, " x ẻ (x - h; x ) ị x l im cc i ca hm s ùùợ f '(x) < f '(x ) = 0, " x ẻ (x ; x + h) Li gii ỳng: Cỏch 1: Ta cú y ' = 4mx3 hm s t cc i ti x = thỡ y '(x) > 0, " x ẻ (- h;0) , vi h ỡù 4mx > ị > Tc l: ùớù h < x < ùợ m < Th li, ta thy vi m < l iu kin cn tỡm Cỏch 2: xột trng hp (m = 0, m > 0, m < 0) + m = 0: Ta cú y = f(x) = l hm hng nờn hm s khụng cú cc tr + m > 0: Ta cú y ' = 4mx , y ' = x = Lp bng bin thiờn ta thy x l im cc tiu ca hm s 14 + m < 0: Ta cú y ' = 4mx , y ' = x = Lp bng bin thiờn ta thy x l im cc i ca hm s Kt lun: Hm s t cc i ti x = v ch m < Vớ d 9: Cho hm s y = f(x) = x4 + mx3+ Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s t cc tiu ti x = ? Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx ỡù 4.03 +3m.02 = ùỡù f '(0) = ùớ iu kin hm s t cc tiu ti x = l: ớù ùù 12m.02 + 6m.0 > f ''(0) > ùợ ợ h vụ nghim m Vy khụng tn ti giỏ tr no ca m hm s t cc tiu ti x = Phõn tớch: Ta thy, vi m = 0, hm s y = x4 + y ' = 4x3 , y ' = x = Bng bin thiờn: +Ơ x y' - +Ơ + +Ơ +Ơ y Suy hm s t cc tiu ti x = Li gii ỳng: Cỏch 1: ùỡ f '(x) < 0, " x ẻ (- h;0) (1) hm s t cc tiu ti x = thỡ ùớù (vi h > 0) ùợ f '(x) > 0, " x ẻ ( ; h) (2) ỡù " x ẻ (- h;0) (1) ùớù ùợ 4x + 3mx < ùớỡù " x ẻ (- h;0) ùùợ 4x + 3m < ỡù " x ẻ (0; h) (2) ùớù ùợ 4x + 3mx > ùớùỡ " x ẻ (0; h) ùùợ 4x + 3m > ùỡù " x ẻ (- h;0) 3m ùớ m Ê (1') 3m ùù x < ùợ ỡù " x ẻ (0; h) ù 3m ùớ Ê m (2') 3m ùù x > ùợ T (1') v (2') suy m = Vy vi m = thỡ hm s ó cho t cc tiu ti x = Cỏch 2: xột trng hp (m = 0, m > 0, m < 0) + m = 0: Ta cú y = x4 + cú y ' = 4x3 , y ' = x = 15 Bng bin thiờn: x y' - Ơ +Ơ 0 - + +Ơ +Ơ Y Suy hm s t cc tiu ti x = + m > 0: Ta cú y ' = x 2(4x + 3m) , y ' = x = hoc x = - 3m Lp bng bin thiờn ta thy y ' khụng i du qua x = (nghim bi bc chn) Do ú hm s khụng cú cc tr ti x = + m < 0: Ta cú y ' = x 2(4x + 3m), y ' = x = hoc x = - 3m Lp bng bin thiờn ta thy y ' khụng i du qua x = (nghim bi bc chn) Do ú hm s khụng cú cc tr ti x = Kt lun: vi m = thỡ hm s ó cho t cc tiu ti x = Sai sút gii bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s * Cỏc em thng mc sai lm khụng nm vng nh ngha giỏ tr ln nht (GTLN) v giỏ tr nh nht (GTNN) ca hm s trờn mt D Vớ d 10: Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s y = f(x) = cos x + + cos x ổ ữ 2ỗ cosx + ữ ỗ ữ- ỗ ố cosx ứ Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: t t = cosx + 1 ị cos x + = t2 - 2 cosx cos x Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - = (t+1)2 - - 4, " t ẻ Ă Vy f (x) =- , t = - Phõn tớch: Sai lm õy l chuyn bi toỏn khụng tng ng Giỏ tr nh nht ca hm f(x) khụng trựng vi giỏ tr nh nht ca hm g(t), " t ẻ Ă Cú th thy t = - thỡ khụng tn ti giỏ tr ca x cosx + f(x) m , x D f(x) Nh rng, s m = D x D : f(x ) = m Li gii ỳng: 16 = - cosx t t = cosx + ị t = cosx + ùỡ p ùỹ , vi x ẻ D = Ă \ ớù + kp , k ẻ Â ý ùùỵ cosx ợù 1 = cosx + Du "=" xy v ch cosx = cosx cosx Khi ú: cos x + = t - 2 cos x Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - Lp bng bin thiờn hm s g(t) (vi t ): t - Ơ g '(t) -2 - - -1 +Ơ + + +Ơ +Ơ G(t) -3 g(t) = f(x) = Da vo bng bin thiờn, ta suy ra: m = t D t c t = - cosx + =- cosx =- x = p + k2p , k ẻ Â cosx Sai sút vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s Vớ d 11: Cho hm s y = f(x) = - x + 3x2, cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn ú i qua im A(-1;4) Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: f '(x) = - 3x2 + 6x Ta cú im A(-1;4) ẻ th (C) suy phng trỡnh tip tuyn l: y = f '(-1).(x+1)+4 y = - 9(x + 1) + y = - 9x - Phõn tớch: Phng trỡnh tip tuyn y = - 9x - l tip tuyn ti A (nhn A lm tip im) tt nhiờn l k t A Nhng cú th cú tip tuyn ca th (C) i qua A m khụng nhn A lm tip im Li gii ỳng: Phng trỡnh ng thng (d) i qua im A(-1;4) 17 v cú h s gúc k l: y = k(x + 1) + iu kin ng thng (d) l tip tuyn ca th (C) l h sau cú nghim: ỡù - x + 3x = k(x + 1) + ùớ (I) ùù k = - 3x + 6x ợ ỡù x - 3x - = ộx = 2, k = H (I) ùớù ởx = - 1, k = - ùợ k = - 3x + 6x T ú ta cú hai tip tuyn cú phng trỡnh: y = 4, y = - 9x - Bi tng t Bi 1: Xột tớnh n iu ca cỏc hm s sau: a y = 5x + x+1 b y = x - 2x 1- x Bi 2: Xỏc nh m hm s sau khụng cú cc tr: y= x + 2mx - x- m Bi 3: Tỡm cc tr ca cỏc hm s sau: a y = (7 - x) x + b y = cosx - sinx c y = sin2x Bi 4: Xỏc nh m hm s sau t cc tiu ti x = 2: y = x - 3mx + ( m - 1) x + Bi 5: Xỏc nh m hm s sau luụn ng bin trờn ( 1; + Ơ ): y= mx + 6x - x+ Bi 6: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca cỏc hm s sau: ộ 3p ự ỳ ỳ ỷ 0; b y = 2sinx + sin2x trờn on ờ c y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + Bi 7: Cho hm s y = (x + 1)2 (2 - x) , cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit tip tuyn ú i qua im M(2;0) Bi 8: Chng minh cỏc bt ng thc sau: x2 a e > + x + , " x>0 x 18 x3 < s inx vi x > x+ Bi 9: Cho hm s y = x- b x - Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s Gi (d): 2x y +m =0 CMR (d) luụn ct th hm s ti im phõn bit A, B trờn nhỏnh ca th hm s Bi 10: Vi cỏc giỏ tr no ca tham s m thỡ phng trỡnh: x - x = m( x - 1) cú nghim thc phõn bit ? III Kt qu nghiờn cu Qua nghiờn cu, ng dng ti vo thc tin ging dy tụi nhn thy kt qu t c cú kh quan hn C th qua mt s kt qu thu hoch c kim tra kh nng gii bi ca hc sinh lp 12A1 v 12A3 nh sau: S liu thng kờ qua bng sau : - Khi cha ỏp dng ti: Lp S Khụng gii c s S lng T l 12A1 25 05 20% 12A3 19 10 52,6% Gii sai phng phỏp S lng T l 12 48% 06 31,6% Sau ỏp dng ti : Lp S Khụng gii c s S lng T l 12A1 25 0% 12A3 19 02 10,5% Gii sai phng phỏp S lng T l 03 12% 03 15,8% Gii ỳng phng phỏp S lng T l 08 32% 03 15,8% Gii ỳng S lng 22 14 T l 88% 73,7% Nh vy, bc u ti ó khc phc c c bn nhng sai lm ca hc sinh thng mc phi gii cỏc bi toỏn liờn quan n vic ng dng o hm kho sỏt v v th hm s, cỏc bi toỏn liờn quan; ti ó gúp phn nõng cao cht lng hc ca hc sinh ( c yu kộm v hc sinh khỏ) v em li hiu qu rừ rt, hc sinh hng thỳ vi ni dung bi hc Trong thi gian ti, ti ny s tip tc c ỏp dng vo thc tin ging dy nh trng 19 v mong rng s t c hiu qu tt p nh ó tng t c quỏ trỡnh thc nghim PHN 3: KT LUN - KIN NGH I Kt lun Thụng qua nhng sai sút v cỏch hiu sai cỏc nh ngha, khỏi nim, nh lý ca hc sinh, nu giỏo viờn phỏt hin ra, tỡm nguyờn nhõn, kp thi un nn v sa cha cỏc sai sút ú thỡ s giỳp hc sinh ghi nh lõu hn, hiu ỳng bn cht toỏn hc ca tri thc ó c hc, ng thi s giỳp hc sinh trỏnh c nhng sai sút tng t; bi dng thờm v mt t Thụng qua bi vit ny, cung cp cho cỏc thy cụ giỏo v cỏc em hc sinh nh mt ti liu tham kho Vi lng kin thc nht nh v o hm v cỏc ng dng ca o hm, vi nhng kin thc liờn quan, hc sinh s cú cỏi nhỡn sõu sc hn v nhng sai lm thng mc phi gii toỏn ng thi, qua nhng sai lm y m rỳt cho mỡnh nhng kinh nghim v phng phỏp gii toỏn cho riờng mỡnh ; ngi hc cú th quay tr li kim chng nhng lý thuyt ó c trang b lm toỏn T ú thy c s lụgic ca toỏn hc núi chung v ca chng ng dng o hm núi riờng, thy c rng o hm l mt cụng c rt hu hiu gii quyt rt nhiu bi toỏn, hn na, nhng bi toỏn c gii bng cụng c o hm thỡ li gii cng t ngn gn hn, hiu i vi hc sinh thỡ nhng kin thc v o hm cng l tng i khú, nht l i vi nhng hc sinh cú lc hc trung bỡnh tr xung Hc sinh thng quen vi vic dng hn l hiu rừ bn cht ca cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lý cng nh nhng kin thc liờn quan ó c hc ú l cha k sỏch giỏo khoa hin ó gim ti nhiu ni dung khú, mang tớnh tru tng v thm mang tớnh hn lõm; nhng ni dung ny hc sinh s c tip cn thờm cú c hi hc sõu hn cp trng trung hc ph thụng , ti cú th ỏp dng ci thin phn no cht lng b mụn, chia s cựng ng nghip, cng c phng phỏp gii toỏn, gúp phn nõng cao cht lng dy v hc Giỳp 20 hc sinh hiu rừ hn bn cht ca cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lý cng nh nhng kin thc liờn quan ó c hc, giỳp hc sinh trỏnh lỳng tỳng trc mt bi toỏn t v khụng mc phi nhng sai lm thng gp Trong khuụn kh ca bi vit ny, tụi khụng cú tham vng s phõn tớch c ht nhng sai lm ca hc sinh v cng s khụng trỏnh nhng sai sút Vỡ vy, tụi rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca Hi ng khoa hc cp trng , ca Hi ng khoa hc S Giỏo dc v o to v ca quý thy cụ II Kin ngh o hm ca hm s cú rt nhiu ng dng, m mt cỏc ng dng ú l kho sỏt, v th hm s v gii cỏc bi toỏn liờn quan Ngoi ra, o hm cũn l cụng c sc bộn gii quyt nhiu dng toỏn khỏc nh gii phng trỡnh, h phng trỡnh, bt phng trỡnh v h bt phng trỡnh, chng minh bt ng thc Tụi hi vng ti s úng gúp mt phn vo vic gii cỏc dng toỏn ó nờu trờn ; Cỏc thy cụ cựng phỏt hin thờm nhng sai sút ca hc sinh quỏ trỡnh gii toỏn, un nn kp thi, to cho hc sinh c hi sa sai v thờm yờu thich b mụn Toỏn õy cng l nhng sai sút thng gp ca cỏc em hc sinh quỏ trỡnh hc toỏn, ụn thi tt nghip v thi vo cỏc trng i hc, Cao ng Ngi vit Hong Kim Anh 21 22 23 [...]... phn nõng cao cht lng dy v hc Giỳp 20 hc sinh hiu rừ hn bn cht ca cỏc kh i nim, nh ngha, nh lý cng nh nhng kin thc liờn quan ó c hc, giỳp hc sinh trỏnh khi lỳng tỳng trc mt bi toỏn t ra v kh ng mc phi nhng sai lm thng gp Trong khuụn kh ca bi vit ny, tụi kh ng cú tham vng s phõn tớch c ht nhng sai lm ca hc sinh v cng s kh ng trỏnh khi nhng sai sút Vỡ vy, tụi rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca Hi ng khoa hc... thy y ' kh ng i du qua x = 0 (nghim bi bc chn) Do ú hm s kh ng cú cc tr ti x = 0 + m < 0: Ta cú y ' = x 2(4x + 3m), y ' = 0 x = 0 hoc x = - 3m Lp bng 4 bin thiờn ta thy y ' kh ng i du qua x = 0 (nghim bi bc chn) Do ú hm s kh ng cú cc tr ti x = 0 Kt lun: vi m = 0 thỡ hm s ó cho t cc tiu ti x = 0 5 Sai sút khi gii bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s * Cỏc em thng mc sai lm khi kh ng nm... : - Khi cha ỏp dng ti: Lp S Kh ng gii c s S lng T l 12A1 25 05 20% 12A3 19 10 52,6% Gii sai phng phỏp S lng T l 12 48% 06 31,6% Sau khi ỏp dng ti : Lp S Kh ng gii c s S lng T l 12A1 25 0 0% 12A3 19 02 10,5% Gii sai phng phỏp S lng T l 03 12% 03 15,8% Gii ỳng phng phỏp S lng T l 08 32% 03 15,8% Gii ỳng S lng 22 14 T l 88% 73,7% Nh vy, bc u ti ó khc phc c c bn nhng sai lm ca hc sinh thng mc phi khi... gii trờn sai lm ch: tớch ca hai hm ng bin l mt hm ng bin ch ỳng khi hai hm ú dng (!) Li gii ỳng: Xột hm s f(x) = x.ex, ta cú f '(x)= ex(x+1) 0 , " x - 1 , du "=" xy ra ch ti x= -1 Suy ra, hm s ng bin trờn na khong [ - 1; + Ơ ) T x > - 1 ị f(x) > f(-1) hay x.e x > - 1 e 3 Sai sút khi gii cỏc bi toỏn liờn quan ti o hm 11 * Sai lm khi tớnh o hm ca hm s ti mt im a a- 1 Cỏc em hay mc phi sai lm dng... + Phõn tớch: Sai sút õy l cỏc em kh ng chỳ ý n iu kin ly tha vi s m 1 kh ng nguyờn thỡ c s phi dng Vỡ vy, vit (- 1)- 3 l kh ng ỳng (!) Li gii ỳng: Vi x = - 1 ta cú y = 3 (- 1) 2 = 1 2x 2 Ta cú y3 = x2 ị (y3)'= (x2)' ị 3.y2 y ' = 2x ị y ' = 3y 2 = 3 3 x ị y '(-1) = - 2 3 Vy phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y = - 2 2 1 (x + 1) + 1 hay y = - x + 3 3 3 4 Sai sút khi gii cỏc bi toỏn liờn quan ti tớnh n... + 1 1 ị cos 2 x + = t2 - 2 2 cosx cos x Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 - 4, " t ẻ Ă Vy min f (x) =- 4 , khi t = - 1 Phõn tớch: Sai lm õy l chuyn bi toỏn kh ng tng ng Giỏ tr nh nht ca hm f(x) kh ng trựng vi giỏ tr nh nht ca hm g(t), " t ẻ Ă Cú th thy ngay khi t = - 1 thỡ kh ng tn ti giỏ tr ca x cosx + f(x) m , x D f(x) Nh rng, s m = min D x 0 D : f(x 0 ) = m Li gii ỳng: 16 1 = -... liờn quan n vic ng dng o hm kho sỏt v v th hm s, cỏc bi toỏn liờn quan; ti ó gúp phn nõng cao cht lng hc tp ca hc sinh ( c yu kộm v hc sinh kh ) v em li hiu qu rừ rt, hc sinh hng thỳ vi ni dung bi hc Trong thi gian ti, ti ny s tip tc c ỏp dng vo thc tin ging dy trong nh trng 19 v mong rng s t c hiu qu tt p nh ó tng t c trong quỏ trỡnh thc nghim PHN 3: KT LUN - KIN NGH I Kt lun Thụng qua nhng sai. .. sinh thỡ nhng kin thc v o hm cng l tng i kh , nht l i vi nhng hc sinh cú lc hc trung bỡnh tr xung Hc sinh thng quen vi vic vn dng hn l hiu rừ bn cht ca cỏc kh i nim, nh ngha, nh lý cng nh nhng kin thc liờn quan ó c hc ú l cha k sỏch giỏo khoa hin nay ó gim ti nhiu ni dung kh , mang tớnh tru tng v thm chớ mang tớnh hn lõm; nhng ni dung ny hc sinh s c tip cn thờm khi cú c hi hc sõu hn cp trng trung hc... ợù 2 1 1 = cosx + 2 Du "=" xy ra khi v ch khi cosx = 1 cosx cosx Khi ú: cos 2 x + 1 = t 2 - 2 2 cos x Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3 Lp bng bin thiờn hm s g(t) (vi t 2 ): t - Ơ g '(t) -2 - - -1 0 2 +Ơ + + +Ơ +Ơ G(t) 5 -3 g(t) = 3 f(x) = min Da vo bng bin thiờn, ta suy ra: m = min t 2 D t c khi t = - 2 cosx + 1 =- 2 cosx =- 1 x = p + k2p , k ẻ Â cosx 6 Sai sút khi vit phng trỡnh tip tuyn ca th... x + 3 3 3 4 Sai sút khi gii cỏc bi toỏn liờn quan ti tớnh n iu, cc tr ca hm s Khi s dng quy tc I xột tớnh n iu ca hm s hc sinh quờn rng ú l iu kin ch kh ng phi l iu kin cn Quy tc: y ' > 0 , " x ẻ (a; b) ị hm s ng bin trờn khong (a;b) y ' < 0 , " x ẻ (a; b) ị hm s nghch bin trờn khong (a;b) 12 iu ngc li núi chung l kh ng ỳng Vớ d 7: Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s y = x 3 - mx 2 + x - 1 ng ... o hm gii cỏc bi toỏn liờn quan n kho sỏt hm s, tụi chn ti " Nõng cao kt qu hc phn kho sỏt v v th hm s, cỏc bi toỏn liờn quan bng vic sa cha nhng sai lm v nờu hng khc phc cho hc sinh." II Mc... chng I ng dng o hm kho sỏt v v th hm s thng gp phi nhng kh khn sau: - Kh ng nm vng nh ngha v tớnh n iu ca hm s trờn mt khong, kh ng hiu chớnh xỏc v nh ngha im ti hn ca hm s - Kh ng nm vng iu kin... thng gp Trong khuụn kh ca bi vit ny, tụi kh ng cú tham vng s phõn tớch c ht nhng sai lm ca hc sinh v cng s kh ng trỏnh nhng sai sút Vỡ vy, tụi rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca Hi ng khoa hc cp trng