KHẢO SÁT VÀ VÉ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN+ Tài liệu gồm 3 phần: Kiến thức ôn tập cơ bản nhất; Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm cơ bản; Các bài toán liên quan.+ Hệ thống lý thuyết và các dạng bài tập, phân loại đầy đủ để quý thầy cô và các em học sinh tham khảo.+ Đang bổ sung phần luyện tập và các đề thi ĐHCĐ, TN THPT QG...Gv: Phạm Văn Quang (DongDu_BMT)
Trang 1A – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1 Ôn Tập Giới Hạn Hàm Số.
a) Giới hạn dần tới vô cực.
VD 01 a)
2 3 x
2x x 10 lim
x 3x 3
→+∞
− +
x
lim
→−∞
− +
3 lim (x 1)
→−∞ − ;
x
3 lim (x 1)
2
xlim (x 3x 2)
xlim (x 3x 2)
VD 02 a) 44 32
x
lim
→−∞
− +
2 3 x
3x x 7 lim
2x 1
→−∞
− +
x x lim
→+∞ − + ;
d) 63
x
lim 3x 1
→+∞
+
6 3 x
lim 3x 1
→−∞
+
2 3 2 x
x 2x lim
8x x 3
→−∞
+
b) Giới hạn một bên.
VD 03 a)
x 2
1 lim
2 x
−
+
d)
x 5lim ( 5 x 2x)
−
x 3
1 lim
x 3
+
1 lim
x 3
−
g)
2
x 2
4 x lim
2 x
−
→
−
x 2 x lim
+
→
+
x 3 lim
x 1
±
→
+
x 3x 2 lim
+
→−
2 2 x
x 7x 12 lim
9 x
→−∞
2
x 2
lim
x 2
±
→−
− +
VD 04 a) 22
x 3
lim
x 2x
→
+ +
2x(x 1) lim
→
+
3 2
x 2
x lim
lim
→−
+
4 2
x 3
lim
→
−
4 2
x 2
x 16 lim
x 6x 8
→−
−
g)
x 2
| x 2 | lim
x 2
+
→
−
| x 2 | lim
x 2
−
→
−
| x 2 | lim
x 2
→
−
− (nếu có);
2
1 x 3x lim
2x x 3
→−
1 x x 1 lim
−
→
− + −
2
x 2
2 | x 1| 5 x 3 lim
2x 3
→−
2 Ôn tập đạo hàm và ứng dụng.
a) Các đạo hàm cơ bản.
VD 05 Tính đạo hàm các hàm số:
a) y 3x (2x 3)= 3 − ; b) y a= +5 5ax2−2x3; c) y (x x )= − 2 32;
d) y 25x 3
−
=
1 y
x x
1 x
+
=
g) y 4x 1 1
x 1
ax b y
a ' x b '
+
=
b) Ứng dụng đạo hàm tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
VD 06 Cho hàm số: y x 1
x
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1,5
Trang 2d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc k 3
2
c) Chứng minh biểu thức đạo hàm.
VD 07 Chứng minh:
a) 2y '2 = −(y 1)y" biết y x 3
x 4
−
= + ; b) y y" 1 03 + = biết y= 2x x− 2 .
B – KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I/ TẬP XÁC ĐỊNH.
II/ TIỆM CẬN của đồ thị hàm số y f (x)=
Tiệm cận đứng x x= o là tiệm cận đứng nếu thỏa một trong các điều kiện:
o
x xlim f (x)
+
→ = +∞;
o
x xlim f (x)
+
→ = −∞;
o
xlim f (x)x
−
→ = +∞;
o
xlim f (x)x
−
→ = −∞.
Tiệm cận ngang y y= o là tiệm cận ngang nếu thỏa một trong các điều kiện:
o
xlim f (x) y
xlim f (x) y
Phương pháp:
Cho đồ thị hàm số y P(x)
Q(x)
=
+ Nếu a là nghiệm của Q(x) = 0 thì x = a là một tiệm cận đứng
+ Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì y = 0 là một tiệm cận ngang
+ Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) thì n
n
a y b
= là một tiệm cận ngang.
+ Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) ta có thể làm như sau:
Nếu f(x) = ax + b + e(x) với xlim e(x) 0→±∞ = thì y = ax + b là một tiệm cận xiên.
Ngược lại: nếu y = ax + b là một tiệm cận xiên thì:
x
f (x)
a lim
x
→±∞
= và b=xlim [f (x) ax]→±∞ − .
Nếu f (x) ax b R(x)
Q(x)
= + + , bậc của R(x) nhỏ hơn Q(x) thì y = ax + b là một tiệm cận xiên
VD 08 Tìm tiệm cận của các hàm số:
a)
2 2
x 3x 1 y
3x 2x 1
=
3 3
(x 1) y
8x 1
+
=
2
x 4x 1 y
2x 1
=
d) y x 2
x 1
+
=
2
y
x 1
=
g)
3 2
3x 4 y
(x 1)(x 2)
+
=
III/ TÍNH BIẾN THIÊN (ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
1 Tính biến thiên của hàm số.
Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), khi đó:
+ f’(x) > 0, ∀x∈(a;b) ⇒ f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
+ f’(x) < 0, ∀x∈(a;b) ⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)
Ngược lại:
+ f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) ⇒ f’(x) ≥ 0, ∀x∈(a;b)
+ f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) ⇒ f’(x) ≤ 0, ∀x∈(a;b)
Khoảng (a;b) được gọi là khoảng đơn điệu của hàm số
* Bảng biến thiên: là bảng xét dấu của f’(x) và thể hiện chiều biến thiên của hàm số
VD 09 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số:
Trang 3a) y x= 4+8x3+5; b) y= x (x 3)− ; c) y 2x 2
−
=
d) y x= 3−6x2+9x; e) y 3x 2
x 1
−
=
2
x 5x 7 y
x 2
=
g) y= 2x x− 2 ; h) y 2x 1
+
=
2 Cực trị của hàm số.
f(x) xác định trên khoảng (a;b) và xo∈(a; b), h là lân cận của x Khi đó:o
f '(x) 0, x (x h; x )
f '(x) 0, x (x ; x h)
f '(x) 0, x (x h; x )
f '(x) 0, x (x ; x h)
Chúng ta thường thể hiện tính đơn điệu và cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên
Để xét cực trị chúng ta có thể dùng tính chất sau:
o
f '(x ) 0
f ''(x ) 0
=
⇒ x là cực tiểu của f(x).o
o
f '(x ) 0
f ''(x ) 0
=
⇒ x là cực đại của f(x).o
Hàm số chỉ có thể có cực trị tại những điểm có đạo hàm bằng 0 hoặc những điểm không có đạo hàm
VD 10 Tìm cực trị của các hàm số:
a) y x= 4−8x3+432; b) y 10 15x 6x= + + 2−x3 c)
2
2x x 1 y
x 1
+ +
=
d) y x 32
+
=
2
y | 2x= − −3x 5 |+ ; f) y= 3 sinx cosx x+ +
IV/ LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN.
Sử dụng đạo hàm cấp 2 (Đọc thêm)
V/ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
Các bước khảo sát hàm số:
+ TXĐ
+ Giới hạn Tiệm cận
+ Tính đơn điệu (y’)
+ Bảng biến thiên (kết luận)
+ Điểm uốn (y”)
+ Vẽ đồ thị hàm số
+ Nhận xét
Chúng ta khảo sát một số hàm cơ bản sau:
1 Hàm đa thức.
a) Hàm bậc 3: y ax= 3+bx2+cx d+
VD 11 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
b) Hàm trùng phương: y f (x) ax= = 4+bx2+c.
VD 12 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
= − − + ; b) y x= 4−4x3−2x2+12x 1−
2 Hàm phân thức hữu tỉ.
Trang 4a) Hàm nhất thức: y ax b
cx d
+
= +
VD 13 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y x
1 x
=
x 2 y
x 3
+
=
2x 1 y
x 1
−
=
b) Hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc một:
2
ax bx c y
dx e
=
+
VD 14 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y x2 3x 3
x 2
=
2
y
x 1
+ −
=
2
y 2x 4
− + +
=
BÀI TẬP
1 Tìm tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
2 2
x y
=
2 x y
−
=
2x 1 y
x 1
−
=
d) y x= + 4x2+2x 1+ ; e)
2
x 2 | x | 2 y
| x | 1
=
− ; f) y= 3 x (x 5)2 − .
2 Biện luận số tiệm cận của các đồ thị hàm số:
a) y 2 x 2
+
=
2 2
mx 1 y
x 3x 2
−
=
2
y
x m
=
d) y mx2 6x 2
x 2
=
+
3 Xác định hàm số y ax b
cx d
+
= + , (c 0)≠ , biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1;7)− và có giao điểm hai
tiệm cận là I( 2;3)− .
4 Xác định a để đồ thị hàm số y x2 x a
x a
− + +
=
+ có tiệm cận xiên đi qua A(2;0)
5 Cho hàm số:
2
2x (m 1)x 3 y
x m
=
a) Khảo sát hàm số với m = 1
b) Xác định m để đồ thị hàm số có giao điểm 2 tiệm cận nằm trên (P): y x= 2
6 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
a) y x2 3x 3
x 1
=
x 1 y
+
=
3
d) y x 1
x
+
g) y cosx 1 x
2
7 Tùy theo m, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số: y 4x= 3+(m 3)x+ 2+mx
8 Tìm tập xác định và xét dấu y’ của hàm số:
a) y 2x 1
+
=
9 Cho hàm số: y 2x2 3x m
x 2
=
a) Khảo sát hàm số khi m = –2
b) Định m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
10 Tìm cực trị của các hàm số:
Trang 5a) y= −2x3+3x2+1; b) y x= 4−2x2+6; c) y x2 2x 2
x 1
=
d)
2 2
y
=
2x 3
y 3 sinx cosx
2
+
g) y cosx 1cos2x
2
= + ; h) y | 2x= − 2+3x 5 |+ ; i) y x 32
+
=
j) y 2x2 4x 2
2x 3
=
2
y | 2x= − −3x 5 |+ ; l) y= 3 sinx cosx x+ +
11 Định a, b để hàm số
4 2
x
2
= − + đạt cực trị bằng –2 tại xo =1.
12 Cho hàm số: y x2 (m 2)x m
x 1
=
+ Với giá trị nào của m thì hàm số có 2 cực trị.
13 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
a) y 1x2 4x 3
2
d) y (3 x) x= − 2 ; e) y= − +x3 3x2; f) y x= 3−3x2+3x 2− ;
g) y (x 1)= − 2+2; h) 1 4 2
2
= + + ; i) y x= 4+4x3+2x2−12x 5+ ;
4
2 x
+
=
2
x 4x 3 y
4x 3
=
14 Cho hàm số:
2
x 2x y
x 1
+
=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A 1;3
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C0) khi m = 0
b) Với giá trị nào của m thì hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó?
C – CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ.
I/ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ
1 Điểm thuộc đồ thị.
VD 15 Cho hàm số y 2x2 (6 m)x 4
mx 2
=
+
a) Với giá trị nào của m, đò thị hàm số đi qua điểm ( 1;1)− ?
b) Khảo sát hàm số với m = 1
VD 16 Cho hàm số y 2x= 2+2mx m 1+ −
a) Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số đi qua góc tọa độ?
b) Khảo sát hàm số với giá trị m vừa tìm được
VD 17 Cho hàm số y= − +x4 2mx2−2m 1+
a) Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số đi qua điểm ( 0; 9)− ?
b) Khảo sát hàm số với giá trị m vừa tìm được
2 Tọa độ nguyên (hàm phân thức hữu tỉ).
VD 18 Cho hàm số y x2 3x
x 1
−
=
Trang 6a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ nguyên
VD 19 Cho hàm sô y 3x 2
x 2
+
=
a) Khảo sát hàm số
b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ nguyên
3 Điểm cố định.
VD 20 Cho hàm số y mx2 (m 1)x 1 (C )m
mx 2
=
+ Xác định điểm cố định mà họ (C ) luôn đi qua.m
VD 21 Cho hàm số
2
m
2x m
− + −
=
+ Xác định điểm cố định mà họ (C ) luôn đi qua.m
VD 22 Cho hàm số y m x= 2 4−m(3m 1)x− 2−3mx 4m− 2+2m 1 (C )+ m Xác định điểm cố định
VD 23 Cho hàm số y x= 3+mx2−2x m 1 (C )− + m
Xác định những điểm mà họ (C ) không đi qua với mọi giá trị của m.m
4 Tâm đối xứng.
* Tính chẵn – lẻ của hàm số y = f(x) trong hệ trục tọa độ Oxy
Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số là hàm chẵn, khi đó hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng
Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số là hàm lẻ, khi đó hàm số nhận tâm O làm tâm đối xứng
* Phép tịnh tiến hệ tọa độ từ hệ tọa độ Oxy sang hệ tọa độ IXY với I(x ; y ) là phép tịnh tiến theo0 0 vectơ OIuur Công thức đổi trục:
o o
x X x
y Y y
= +
= +
Chú ý: + Hàm bậc 2 nhận đường thẳng x b
2a
−
=
làm trục đối xứng
+ Hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm
đối xứng
+ Hàm trùng phương nhận trục Oy làm
trục đối xứng (hàm chẵn)
+ Hàm hữu tỉ nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng
Bài toán 1 Chứng minh điểm I(x ; y ) là tâm đối xứng:o o
Cách 1: + Đổi hệ trục Oxy sang hệ IXY
+ Viết phương trình của (C) trong hệ IXY: Y = F(X)
+ Chứng minh: Y = F(X) là hàm lẻ
Cách 2: Ta chứng minh f (xo+ +x) f (xo− =x) 2yo
VD 24 Tìm tâm đối xứng của y x= 3+3x 2+
VD 25 Chứng minh hàm số y x 1
x 1
= +
+ có tâm đối xứng.
VD 26 Chứng minh x 1= là trục đối xứng của y x= 4−4x3+7x2−6x 4+
VD 27 Cho hàm số
3
2
x
m
= − + − ≠ (Cm) Xác định m để (Cm) nhận I(1;0) làm tâm đối xứng
Lưu ý: đối với hàm bậc 3, để I(x ; y ) làm tâm đối xứng khi o o o o
o
y f (x )
y ''(x ) 0
=
hayI(x ; y ) là điểm uốno o
VD 28 Cho y x2 mx m
x 1
=
− (C) Định m để A(1; 2) làm tâm đối xứng.
Trang 7VD 29 Cho y x 4
x 1
+
= + (C) Tìm trên (C) những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc O.
VD 30 Cho y x2 x 2
x 1
+ +
=
− (C) Tìm tên (C) những cặp điểm đối xứng nhau qua
5
I 0;
2
VD 31 Cho y x 4
x 2
+
=
− (C) Tìm cặp điểm thuộc (C) đối xứng nhau qua đường thẳng
1 (d) : y (x 6)
2
VD 32 Cho y x2 x 4
x 1
− +
=
− (C) Tìm cặp điểm trên (C) đối xứng nhau qua đường thẳng:
a) d : y 1x 5
b) d : y x 1= −
Bài toán 2 Đường thẳng ∆: x x= o là trục đối xứng của (C).
Cách 1: + Đổi hệ trục Oxy sang hệ IXY: x xo X
=
+ Viết phương trình của (C) trong IXY: Y = F(X)
+ Chứng minh Y = F(X) là hàm số chẵn Cách 2: Chứng minh f (xo+x) f (x= o −x)
VD 33 Cho hàm số y x= 4+4ax3−2x2−12ax (Ca) Xác định a để (Ca) có trục đối xứng song song Oy Chú ý: + Hàm số bậc 2 (y ax= 2+bx c+ ) nhận đường thẳng y b
2a
= − là trục đối xứng
+ Hàm số bậc 3 (y ax= 3+bx2+cx d+ ) nhận điểm uốn làm tâm đối đứng
+ Hàm trùng phương (y ax= 4+bx2+c) nhận trục tung Oy làm trục đối xứng
+ Hàm hữu tỉ nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng
5 Phép suy đồ thị
Cho hàm số y f (x)= (C) Phép suy đồ thị từ đồ thị (C) sang các đồ thị:
* y f (| x |)= (C1)
+ Giữ nguyên phần bên phải trục Oy (phần x 0≥ )
+ Bỏ phần bên trái trục Oy (phần x < 0)
+ Đối xứng phần bên phải trục Oy (phần x 0≥ ) qua trục Oy
Ta được đồ thị hàm số (C1)
* | y | f (x)= (C2)
+ Giữ nguyên phần phía trên trục Ox (phần y 0≥ )
+ Bỏ phần phía dưới trục Ox (phần y < 0)
+ Đối xứng phần phía trên trục Ox (phần y 0≥ ) qua trục Ox
Ta được đồ thị hàm số (C2)
* y | f (x) |= (C3)
+ Giữ nguyên phần phía trên trục Ox (phần y 0≥ )
+ Đối xứng phần dưới trục Ox (phần y 0< ) qua trục Ox
+ Bỏ phần phía dưới trục Ox (phần y < 0)
Ta được đồ thị hàm số (C3)
* y | u(x) | v(x)= (C4)
+ Giữ nguyên phần u(x) 0≥
+ Đối xứng phần u(x) 0< qua trục Ox
+ Bỏ phần u(x) 0< đã lấy làm đối xứng (không tính phần mới tạo thành khi đối xứng)
Ta được đồ thị hàm số (C4)
Trang 8VD 34 Cho hàm số y x2 x 2
x 2
+ −
=
a) Tìm các điểm có tọa độ nguyên của (C)
b) Tìm tâm đối xứng của (C)
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Từ (C) suy ra đồ thị hàm số
2
y
x 2
+ −
=
VD 35 Cho hàm số y x2 3x 3
x 2
=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Từ (C) suy ra đồ thị của các hàm số
2
x 3x 3
| y |
x 2
=
2
x 3 | x| 3 y
| x | 2
=
VD 36 Cho hàm số
2
y
x 1
− +
=
a) Tìm các điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2
3
x | x | 2
| x | 1
VD 37 Cho hàm số y x= 2−4x 3+ (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị hàm số y | x= 2−4 | x| 3 |+
c) Với giá trị nào của m thì phương trình | x2−4 | x| 3 | m 2+ = + có 8 nghiệm phân biệt
II/ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
1 Tiệm cận.
2 Tính biến thiên.
Định lý: + f '(x) 0, x (a; b)= ∀ ∈ thì f(x) là hàm hằng trên (a;b)
+ f '(x) 0, x (a; b)> ∀ ∈ thì f(x) tăng trên (a;b)
+ f '(x) 0, x (a; b)< ∀ ∈ thì f(x) giảm trên (a;b)
Đảo lại: + f '(x) 0= chỉ sảy ra tại một số điểm hữu hạn thuộc (a;b)
+ f (x) tăng trên (a;b) ⇔ f '(x) 0,≥ ∀∈(a; b)
+ f (x) giảm trên (a;b) ⇔ f '(x) 0,≤ ∀∈(a; b)
Bài toán Xác định m để hàm số y f (x, m)= tăng (giảm) trên D
+ Tìm tập xác định có chứa D
+ Định m để f '(x, m) 0≥ ( f '(x, m) 0≤ ) x D∀ ∈
VD 38 Cho hàm số y mx 4
x m
+
=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số tăng trên D
c) Tìm m để hàm số tăng trên (2;+∞)
d) Tìm m để hàm số giảm trên (−∞;1)
VD 39 Cho hàm số y mx 3
3m x
−
=
− , m 1≠ (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
b) Xác định m để hàm số tăng trên D
c) Xác định m để hàm số giảm trên (3;+∞)
d) Xác định m để hàm số giảm trên (0;6)
VD 40 Cho hàm số y x= 3−3(2m 1)x+ 2+(12m 5)x 2+ + (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
Trang 9b) Xác định m để hàm số tăng trên R.
c) Xác định m để hàm số tăng trên (2;+∞)
3 Cực trị
f(x) xác định trên khoảng (a;b) và xo∈(a; b), h là lân cận của x Khi đó:o
f '(x) 0, x (x h; x )
f '(x) 0, x (x ; x h)
f '(x) 0, x (x h; x )
f '(x) 0, x (x ; x h)
Chúng ta thường thể hiện tính đơn điệu và cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên
Để xét cực trị chúng ta có thể dùng tính chất sau:
o
f '(x ) 0
f ''(x ) 0
=
⇒ x là cực tiểu của f(x).o
o
f '(x ) 0
f ''(x ) 0
=
⇒ x là cực đại của f(x).o
VD 41 Xác định m để hàm số 1 3 2
3
VD 42 Xác định m để hàm số y m x= 2 3+24mx2+36x 2+ đạt cực đại tại x = 2
VD 43 Cho hàm số y 1mx3 (m 1)x2 3(m 2)x 1
a) Xác định m để hàm số không có cực trị
b) Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực đại, cực tiểu thỏa x1+2x2 =1
4 GTLN – GTNN
VD 44 Tìm GTLN của hàm số y= −2x2+8x 1+ trên R
VD 45 Tìm GTNN của hàm số y 2x= 4+3x2−3 trên R
VD 46 Tìm GTNN của hàm số y x 2 1
x 2
= + +
− trên (0;+∞).
VD 47 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x= 3+6x2+9x 4+ trên [ 2;1]−
VD 48 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= x 2− + 4 x− trên TXĐ
VD 49 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= 2cos2x 4sinx+ trên 0;
2
π
VD 50 Chứng minh rằng: 1 2 3 3
x(1 x ) ≥ 2
− với 0 x 1< < .
BÀI TẬP
1 Tìm m để hàm số:
3
3
c) y x2 mx 5
3 x
=
− giảm trên TXĐ.
d) y x= 3+3x2+(m 1)x 4m+ + tăng với mọi x 0≥
2 Chứng minh rằng: hàm số y (m 1)x 2
x m
= + tăng trên TXĐ.
3 Xác định m để hàm số:
Trang 10a) y 1x3 2x2 mx 2
3
= − + − tăng trên R
b)
2
y
x m
=
+ giảm trên TXĐ.
c) y 1(m 6)x3 mx2 x 3
3
d)
2
y
x 2
=
+ giảm trên TXĐ.
e)
2
x 8x
y
8(x m)
−
=
+ tăng trên [1;+∞).
4 Xác định m để hàm số:
a) y 2x= 3+3(m 1)x− 2+6(m 2)x 1− − cĩ cực trị
b) y x2 mx 2m 4
x 2
=
+ cĩ cực đại, cực tiểu.
c)
2
y
x m
=
+ đạt cực trị tại x = 2.
d) y x= 3−(m 3)x+ 2+mx m 5+ + đạt cực tiểu tại x = –2
5 Tìm a, b để hàm số nhận A( 1; 4)− làm cực đại.
III/ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ
1 Vị trí tương đối
2 Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đị thị
3 Tiếp tuyến
Tiếp tuyênd tại điểm A(xo;yo) cĩ phương trình: y y− o =k(x x )− o , với k f '(x )= o
Tiếp tuyến với hệ số gĩc k
Cách 1: + Ta cĩ k f '(x )= o ⇒ xo vào yo
+ Viết pttt tại điểm (xo;yo) Cách 2: + Pt đt cĩ hệ số gĩc k: y kx b= + (∆)
+ Dùng điều kiện tiếp xúc “hệ f (x) kx b
f '(x) k
có nghiệm” để suy ra b
+ Thay b vào (∆) ta được pttt cần tìm Chú ý: Hai đt song song ⇔ k1 = k2, hai đt vuơng gĩc ⇔ k1.k2 = –1 (hay k1 = – 1/k2)
Tiếp tuyến đi qua điểm B(xB;yB)
Cách 1: + Pt đt qua điểm B(xB;yB) cĩ dạng: y y− B =k(x x )− B (d)
+ Nếu (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ f (x) k(x x ) yB B
f '(x) k
+ Giải hệ tìm xB ⇒ k rồi thay vào (d) ta được pttt cần tìm
Cách 2: + Gọi M(xo;yo) là tiếp điểm ⇒ pttt: y y− o =f '(x ).(x x )o − o (d’)
+ (d’) qua B nên yB−yo =f '(x ).(xo B−x )o ⇒ xo
+ Viết pttt tại xo ta được pttt cần tìm (hoặc thay vào (d’) )
Biện luận số tiếp tuyến với họ đường cong: Từ C(xC;yC) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến
+ Pt đt qua C(xC;yC): y y− C =k(x x )− C (∆’)