Giới hạn hàm số liên tục

Chuyên đề: Giới hạn Hàm số liên tục: + Tài liệu gồm 2 phần: Giới hạn và Hàm số liên tục + Nêu rõ lí thuyết, phân chia dạng bài tập ứng với phương pháp cụ thể để quý thầy cô và các em học sinh tham khảo Gv: Phạm Văn Quang (DongDu_BMT)

A – GIỚI HẠN DÃY SỐ I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN Các định nghĩa Sau số khái niệm Định nghĩa giới hạn: Xét dãy số (U n ) với U n = n U n lớn n nhỏ dần tới ta nói: n → +∞ U n → Kí hiệu: lim U n = hay lim U n = n →+∞ VD 01: =0 n Định nghĩa giới hạn hữu hạn: a) lim =0 n lim(U n − L) = ⇒ lim U n = L ∈ ¡ b) lim c) lim = n Được gọi giới hạn hữu hạn dãy số (U n ) VD 02: 1  a) lim  + 1÷ = n  Các định lý giới hạn Định lý 1:   − ÷ = −2 b) lim   n  lim v n =   | u n |≤ v n ⇒ lim u n = ii) 0 lim q n =   +∞ | q |< q > n 1 b) lim  ÷ = 2 cos n n Định lý 2: =0 n +1 i) VD 03 Tính giới hạn: (−1) n a) lim n+5 d) lim c) lim e) lim n i) n  −2  c) lim  ÷ =    (−1) n  + 1÷ f) lim   n  Nếu lim u n = L thì: + lim | u n |=| L | + lim u n = L + lim u n = L với u n ≥ 0∀n, L ≥ ii) VD 04 Tính giới hạn sau: n −1 a) lim n Nếu lim u n = L, lim v n = M, c = const thì: + lim(u n ± v n ) = L ± M + lim(c.u n ) = c.L + lim(u n v n ) = L.M un L = ,M ≠ + lim M  (−1) n  b) lim  + ÷ n+2   c) lim n2 n+2 3n + 4n − lim e) f) lim n3 n +1 n2 2n − 4n + 3n + n − 3n + lim g) lim h) i) lim n(n + 1) n − 5n + 2n − 2 n −n+3 −2n + n + 2n − n j) lim k) lim l) lim n + 2n 3n + − 3n II/ GIỚI HẠN VÔ CỰC Một số giới hạn vô cực i) lim n = +∞, lim n = +∞, lim n = +∞ lim u n = +∞ ⇔ lim(− u n ) = −∞ ii) 1 =0 =0 iii) lim | u n |= +∞ ⇒ lim hay lim u n = ±∞ ⇒ lim un un Các quy tắc tính giới hạn vô cực Quy tắc 1: lim u n lim v n lim(u n v n ) +∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ VD 05 Tính giới hạn sau: a) lim n b) lim n c) lim n k , k ∈ ¢ + Quy tắc 2: lim u n lim v n = L , dấu L lim(u n v n ) +∞ + −∞ + +∞ – −∞ – VD 06 Tính giới hạn sau: a) lim(2n + 3) b) lim(3n − 100n − 50) c) lim(−2n − 3) −5 −2n + n d) lim e) lim f) lim 3n + 5n − 7n 3n − 100n − 50 3n + HD: Tử tách bậc cao tử, mẫu tách bậc cao mẫu Quy tắc 3: lim u n = L ≠ lim v n = , dấu v n lim(u n v n ) + + – + + – – – VD 07 Tính giới hạn sau: −2n + n −2n + 3n − n + n − 3n − a) lim b) lim c) lim 3n + 3n − n + 6n + HD: Chia tử mẫu cho bậc cao VD 08 Tính giới hạn sau: 3n + 2n − n − 7n − 5n + lim( − 2n + 3n + 5) a) lim b) c) lim 2n − n n + 12 d) lim LUYỆN TẬP (Các dạng tập) Giới hạn dãy số dạng hữu tỉ a) Bậc tử < bậc mẫu (giới hạn = 0): Tách bậc cao VD 09 Tính giới hạn sau: n + 4n − 4n + 6n + b) lim 3n + n + n + n − 3n − b) Bậc tử = bậc mẫu (giới hạn = a/b): Tách bậc cao VD 10 Tính giới hạn sau: n2 + 2n + 3n − a) lim b) lim 2n − n + 2n − n + c) Bậc tử > bậc mẫu (giới hạn = ±∞ ): VD 11 Tính giới hạn sau: n − 3n − 3n + n + a) lim b) lim 4n + 6n + n + 4n − d) lim 2n − n + n + e) Giới hạn dãy số chứa thức  Dạng liên hợp: (a − b)(a + b) = a − b (a − b)(a + ab + b ) = a − b (a + b)(a − ab + b ) = a + b3  Dạng vô định: ∞ Tách bậc cao ∞ ∞–∞ Nhân lượng liên hợp tách bậc cao VD 12 Tính giới hạn sau: a) lim 3n + 5n − 7n b) lim + 2n − n a) lim d) lim n2 +1 − n +1 3n + g) lim( + 2n − n + n) e) lim n − 7n − 5n + n + 12 h) lim  n( n + − n )  c) c) c) lim(3n − 7n + 11) f) c) lim( n + n + − n + 1) f) lim n + − n +1 i) lim 4n + 3n − 2n n − n+2 Giới hạn dãy số chứa hàm lượng giác lim v n = ⇒ lim u n = Áp dụng định lí:   | u n |≤ v n VD 13 Tính giới hạn sau: sin n =0 a) lim n cos 2n d) lim n +1 cos n g) lim n (−1) cos n j) lim n2 +1 m) lim(n.sin n − 2n ) cos 3n n sin n e) lim n cos n h) lim n b) lim k) lim + n) lim(2n + cos n) q) n.sin n − 2n Giới hạn dãy số chứa hàm số mũ | q |< 0 n Áp dụng định lí: lim q =  q >  +∞ p) lim cos 2n n sin n n+5 sin n f) lim n cos n i) lim n c) lim sin 3n −1 4n 1  o) lim  n − 3.sin 2n + ÷ 2  l) lim r) VD 14 Tính giới hạn sau: (−2) n (−1) n a) lim n b) lim n c) lim n +1 n n +1 3n − 2.5n d) lim n e) lim n f) lim −1 2.3 + 4n + 3.5n nπ cos g) h) lim(2n − 3n ) i) lim 3n lim n Một số giới hạn khác VD 15 Tính giới hạn sau: + + + + n + + + + (2n − 1) 13 + 23 + 33 + + n lim a) lim b) c) lim n2 2n + n4 +    1  1 + + + + + + + + d) lim  e) lim  ÷ ÷ n(n + 1)  (2n − 1)(2n + 1)   1.2 2.3 3.4  1.3 3.5 5.7 Tổng cấp số nhân lui vô hạn Định nghĩa: u S = u1 + u1q + u1q + u1q + = 1− q với u1 số hạng q công bội (|q| −2 ( − x + 2x) d) xlim → 5− Tìm giới hạn f (x)  x − 2x + f (x) = b) Cho   4x − Tìm giới hạn f (x) VD 22 Tính giới hạn sau: x2 + x +1 a) lim x →3 x + 2x d) lim x →2 x →3 x − x + 3x + i) lim+ x →−1 x5 + x e) lim+ f) lim− x → −2 − , x → −2 + va x → −2 (nếu có) x ≤ x > x3 x2 − x → 2+ , x → 2− va x → (nếu có) | x2 − | b) xlim → e) lim x →− c) lim x →3 2x(x + 1) x2 − x − 27x x →3 2x − 3x − x3 + 2 x2 − f) lim III/ Quy tắc tìm giới hạn vô cực Giới hạn bản: =0 x → x f (x) lim | f (x) |= +∞ ⇒ lim x →x0 Các quy tắc tính giới hạn vô cực Quy tắc 1: lim f (x) lim ( f (x).g(x) ) lim g(x) = L ≠ x →xo x →xo x →xo Dấu L + + – – +∞ −∞ +∞ −∞ VD 23 Tính giới hạn sau: (2x − x + 3x − 5) a) xlim →−∞ b) lim x − 2x d) xlim →+∞ e) Quy tắc 2: x →−∞ 2x − x + 3x − lim f (x) = L ≠ x →xo Dấu L + – + – VD 24 Tính giới hạn sau: 2x + a) xlim →−2 (x + 2) 1  d) lim  − 2÷ x →0 x x   IV/ Một vài giới hạn khác sin x lim =1 x →0 x 3x − 5x c) xlim →−∞ f) lim g(x) = x →xo Dấu g(x) + + – – x2 + x − b) lim+ x →2 x −2 (3x − 5x + 7) e) xlim →−∞ tan x =1 x →0 x lim f (x) x → x o g(x) lim x2 + x − c) lim− x →2 x−2 2x − 5x + f) lim x →−∞ x2 − x +1 n sin u = lim u = x →0 x →0 u  1 lim 1 + ÷ = e  n VD 25 Tính giới hạn sau: − cos 2x a) lim x →0 x2 lim sin x − cos x b) limπ − tan x x→ c) lim x →0 LUYỆN TẬP (Các dạng vô định) ∞ Dạng ; : Tách nhân tử chung (hoặc nhân liên hợp tách nhân tử) ∞ VD 26 Tính giới hạn sau: x − 16 x − 2x − a) lim b) lim x →−2 x + 2x x →1 x − 12x + 11 x3 − x − 3x d) lim e) lim x →2 x − x →+∞ 2x + 2x + 5x − x3 + −1 g) lim− h) lim x →−3 x →0 (x + 3) x2 + x 2x − 7x + 12 | x | −17 j) lim x →−∞ Dạng 0.∞ : Chuyển dạng VD 27 Tính giới hạn sau: x a) lim+ (x − 2) x →2 x −4 ∞ − ∞ Dạng : Nhân liên hợp VD 28 Tính giới hạn sau: k) BÀI TẬP (Bài tập tự rèn luyện) Tính giới hạn sau: g) lim x →1 5−x x −3 x →9 9x − x x x x →+∞ x − x + m) lim x + 2x x →−∞ 8x − x + Tính giới hạn sau: x − 16 g) lim x →−2 x + 6x + | x −2| j) lim− x →2 x−2 p) lim x − 3x x →−∞ 2x + 2x + 5x − lim f) x →−3+ (x + 3) c) lim 2x + x − 10 x →+∞ − 3x i) lim l) ∞ ; ∞ ( 1+ x − x ) a) xlim →+∞ j) lim − cos 3x − cos 5x b) lim+ (x + 1) x →−1 x x −1 ( x + − x) b) xlim →+∞  1 x 1 − ÷ h) lim x →0  x c) lim (x + 2) x →+∞ c) lim x →1 2x − x − x2 − x x − x3 x →1 (2x − 1)(x − 3) i) lim 3x − x + x →−∞ 2x − k) lim x + 3x − 2x − l) lim n) lim x6 + 3x − o) lim x →2 x →+∞ q) h) xlim →−∞ x −1 x3 + x x →−∞ x6 + 3x − r) | x | +3 x + x +5 | x−2| k) lim (nếu có) x →2 x − 2 i) lim+ | x −2| x−2 l) lim − x − 3x 2x + x − x →2 x →−2 m) lim− x →1 1− x + x −1 x − x3 x x →+∞ 2x + x + 3.Tính giới hạn sau: p) lim (x + 1) 2x − 3x + g) xlim →+∞ 2x + x →2 x −  2x +  m) lim  ÷ x →1 (x − 1) 2x −   j) lim− 2x + x − (2x − 1)(x + x) o) lim | x + 1| −5 x − x →−2 2x + r) lim n) lim x →+∞ q) lim   − h) lim−  ÷ x →2  x − x −4 x3 − k) lim x →+∞ x + n) lim x →1 (x − 1)(x − 3x + 2) x →−∞ x →−∞ i) lim+ x →2 l) lim x →−∞ o) x + x + 2x 2x + x − 7x + 12 + x2 2x + x−2 x4 − x − 2x C – HÀM SỐ LIÊN TỤC f (x) = f (x o ) f (x) liên tục điểm xo, ngược lại gọi gián đoạn xo ĐN: Nếu xlim →xo f (x) liên tục điểm thuộc tập J liên tục J f (x) liên tục [a; b] ⇔ f (x) liên tục (a; b) lim+ f (x) = f (a), lim− f (x) = f (b) x →a x →b  x + x ≠ −1  VD: Xét tính liên tục hàm f (x) =  điểm x = −1 x = −1   2 Cm f (x) = x liên tục R Xét tính liên tục hàm số f (x) = − x tren ˆ [ −1;1] ˆ tuc tren ˆ [ −1; +∞) Cm f (x) = x +1 lien &  Chú ý: i) Tổng, hiệu, tích, thương (giá trị mẫu x o phải khác 0) hàm liên tục điểm x o hàm liên tục xo ii) f (x) liên tục xo, g(y) liên tục yo = f (x o ) hàm g ( f (x) ) liên tục xo f (x) iii) Hàm đa thức f (x), g(x) liên tục tập xác định chúng g(x) iv) Đồ thị hàm liên tục đường liền nét VD: Xét tính liên tục hàm f (x) =| x | tai x = &  x + x ≤ Xét tính liên tục hàm f (x) =   x − x > Theo dõi hình để thấy tính liên tục hàm số:  Định lí (về giá trị trung gian hàm số liên tục): f liên tục [a; b] f (a).f (b) < tồn điểm c ∈ (a; b) cho f (c) = VD: Cm x + x − = có nghiệm nhỏ 1 − 2x − 3 x ≥  f (x) = VD: Xét tính liên tục hàm số  2−x điểm x o =  x =   x + x > Xét tính liên tục hàm số f (x) =  x ≤  x Chứng minh x + 2x − = có nghiệm thuộc (0;1)  x − 16 x ≠  Tìm a để f (x) =  x − liên tục x =  a x =   x2 −1 x ≠  Tìm a để f (x) =  x − liên tục R  a x =  Chứng minh x + x − = có nghiệm D – LUYỆN TẬP Đây tập tự làm, thầy hướng dẫn giải số cho em, yêu cầu em phải tự làm hoàn thành để thầy kiểm tra sau dạy xong phần giới hạn Không nhiều thời gian nữa, kì thi đến gần, tương lai em phụ thuộc vào nỗ lực thân em Nếu em không chăm thầy đành pó tay thui! Hãy cố gắng lên Tìm giới hạn sau: 2n + n2 +1 7n − 3n 2n + lim lim lim lim n +3 n+2 n +2 n − 3n + 3 3 n +1 2n − 11n + n +n lim lim lim lim 4n − 3n + n −2 n +1 n+2 n + 3n − 5n − 3n + n − n +1 lim lim(3n − 4n + 10) lim lim 2n − n + 2n − n + 2n + 3n + n − 4n + n + 2 Tìm giới hạn sau: lim lim lim( n + n − n + 2) lim n + − n2 + lim lim n( n + − n − 2) 1  1 lim 1 + + + + + n ÷   3 lim 3n + 5n + 2n + n lim 3n + − 3n − n 3n 3.4n + 5n +1 lim 2.3n + 5n lim lim lim( 4n + 2n − 2n) lim lim( 3n + − n − 1) n 5n n3 − n + (3n − 1)(4n + 3) lim lim( n + − n) n + 2n − n n2 + − n2 + Tìm giới hạn sau: n lim n 32n + lim + 5.23n Tìm giới hạn sau: n n −1 2n + n3 + n + n − n + n +3 lim n (n − n + 1) lim 5n − 3n 2.5n + 4n lim(3n + 2n ) lim 12 + 22 + 32 + + n 5n + n + 1   1 lim 1 − + − + + (−1) n −1 n −1 ÷   2 2.12 + 3.22 + 4.32 + + (n + 1).n (12 + 13 ) + (22 + 23 ) + (32 + 33 ) + + (n + n ) lim n4 n4   1 1 lim  + + + + ÷ (n + 1) n + n n +   +1 + + Tính: 1    u1 =  u1 = , ∀n ∈ Ν * , ∀n ∈ Ν * lim u n với  lim u n với   u n +1 =  u n +1 = − un − un   lim 1 1 1 + + + − + − + 27 16 64 Trong hình vuông cạnh 1, người ta nối trung điểm cạnh liên tiếp để hình vuông, tiếp tục nối với hình vuông để hình vuông tiếp tục trình Tính tổng hình vuông tạo thành (hình vẽ) Biểu diễn số 0,2525252(25); 0,50111(1); 17,2354141(41) dạng phân số Tính tổng: Tổng CSN lùi vô hạn Tìm giới hạn sau: 3x + lim x →1 x + x − 4x + lim x →±∞ 3x − x − a4 lim x →a x − a lim ( x + 2x − x) x →±∞ 39 , tổng số hạng đầu Tìm số hạng đầu công bội CSN 25 lim x →1 x2 −1 x +1 −1 x 1− 1− x lim x →0 x (x + 1)(x + 1) lim x →±∞ (2x + x)(x + 1) lim x →0 x − 3x + x → x − 5x + x + 2x − 15 lim x →3 x −3 x − 3x + lim x → (x − 2) (2x + 1)(2x + x) lim x →±∞ (2x + x)(x + 1) x − 2x + x →±∞ 3x − 2x + x − x3 − x + x −1 lim x →1 x −1 5x + 4x − lim x →±∞ 2x − 7x + lim lim lim x →0 x +1 − x2 + x +1 x 10 Tính   x − lim f (x) biết f (x) =  x →1  −x   2x − x ≥  x lim f (x) biết f (x) =  x →1  x − x x <  x −  x − 3x + x >  lim f (x) biết f (x) =  x − x →1 x  − x ≤  x > x ≤  x2 + x − lim f (x) biết f (x) =  x − x →1  x2 + x +1  x > x <  1− x − 1+ x  x2 −1 − x <  x lim f (x) biết f (x) =  lim f (x) biết f (x) =  x − 4x + x > x →0 x →3 6x +   3− x − x ≥ x ≤   x +1 11 Tìm giới hạn sau: x + 2x − 15 x −1 − x2 +1 −1 lim ( x + x − x) lim lim lim x →+∞ x →3 x →5 x →0 x −3 x −5 x 5−x −2 x − 3x − x− x x +1 − x +1 lim lim lim lim x →1 x →2 x →1 x →0 − x −1 x2 − x2 −1 x x | x −4| x +1− x + lim lim lim x →0 x →2 x − x → x +1 − 1− x x2 −1 lim x →0 x + + x + 16 − x lim ( x − x + + x) x →−∞ lim x →−∞ x (x + 2) x2 − lim+ x →2 x − 4x + 4 − x2 lim x →−∞ 9x + − 4x − 2x x −5 x →5 x −1 − sin 2x lim x →0 x − cos 3x lim x →0 − cos x lim+ x − 3x + x →1 x − 5x + − cos 2x lim x →0 x2 − cos x lim x →0 tan x lim+ lim ( x − x + − x + x + 1) x →−∞ lim ( x + − x − 4x ) x →−∞ 12 Cho hàm số: f (x) =| x + | lim+ x + 4x − cos x lim x →0 x2 lim [ (π − 4x).tan 2x ] x →0 x→ π lim+ x + − 2x x2 −1 lim− − cos 4x sin x x →1 x →0  sin x x >  lim f (x) bieˆ ′t f (x) =  x x →0 cos x x ≤ Tính giới hạn hàm số -2  x −9 x ≠ −3  f (x) =  | x + |  x = −3  Tính giới hạn hàm số x → −3  x3 −1 x <  f (x) =  x − ax + x >  Tìm a để hàm số có giới hạn  x + − 2x x >  x − f (x) =  Tìm a để hàm số có giới hạn  x +a x ≤  x −  x −1 − 1+ x x <  x f (x) =  Tìm a để hàm số có giới hạn  a + 4−x x ≥  x +1 13 Chứng minh rằng:  2x + x < −1 f (x) =  Liên tục R  x + x ≥ −1  x3 −1 x ≠  f (x) =  x −  x =  Liên tục x =  − x −1 x ≠  f (x) =  Liên tục a = − đoạn [−1;1] x  a x =   x − x ≤ f (x) =  Liên tục a = R ax − x > 14 Cho hàm số:  x − 6x + x ≠  f (x) =  x − x Tìm a để hàm số liên tục  a + 5x x =   2x + − x + x ≠  f (x) =  Tìm a để hàm số liên tục x−4  a−2 x =   3x + − x >  f (x) =  x −  ax + x ≤   + x −1 x > a + x f (x) =   + 2x x <   x+3−2 x >  x −   f (x) =  x =   x2 −1 x <   x + 6x − Tìm a để hàm số liên tục Tìm a để hàm số liên tục Xét tính liên tục hàm số  x −2 ˆ′ x > neu  x + −  ˆ ′ x = Xét tính liên tục hàm số f (x) =  neu  x − 16  ˆ′ x < neu  x − 4x 15 Tìm điểm gián đoạn hàm số sau: x2 + | x | +x x − 1+ | x − 1| x2 − | x | f (x) = f (x) = f (x) = 2 x − | x | +3x x2 −1 x +x | x + |  ˆ ′ x ≠ −2 neu x ≠   f (x) =  x + f (x) = 1 − x   ˆ ′ x = −2 neu x =  − x −1  x + −1 ˆ′ x ≠ x ≠ neu   x x − f (x) =  f (x) =   −1  ˆ′ x = x = neu   16 Tìm m để phương trình sau có nghiệm m(x − 1)(x + 2) + 2x + = (m − 2m + 3)x + 3x − = 17 Chứng minh phương trình: có nghiệm x3 − x −1 = có nghiệm x − 3x + = (x − 1) + 2(x − 1) + = có nghiệm có nghiệm (−1;1) 4x + 2x − x − = có nghiệm với m x + 12x + m =  3π  sin x − x + = có nghiệm khoảng  0; ÷   có nghiệm khoảng (1; 2) x −x −3= có nghiệm khoảng (1; 2) x − x − 2x − = E – ÔN TẬP Biểu diễn số 0,565656(56); 0,571222(2) dạng phân số 4.Cho CSN với 243.u = 32.u , u ≠ a) Tìm công bội q b) Tổng CSN 35 , tìm u1 (số hạng CSN) [...]... =  khi x = 1 4   x2 −1 khi x < 1  2  x + 6x − 7 Tìm a để hàm số liên tục tại 2 Tìm a để hàm số liên tục tại 0 Xét tính liên tục của hàm số tại 0 và tại 1  x −2 ˆ′ x > 4 neu  x + 5 − 3  ˆ ′ x = 4 Xét tính liên tục của hàm số tại 0 và tại 4 f (x) =  2 neu  x 2 − 16  2 ˆ′ x < 4 neu  x − 4x 15 Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau: x2 + | x | +x x − 1+ | x − 1| x2 − | x | f (x) = f (x)...  Tìm a để hàm số có giới hạn tại 1 2  x + 3 − 2x khi x > 1  2 x − 1 f (x) =  Tìm a để hàm số có giới hạn tại 1 2  x +a khi x ≤ 1  x − 2  x −1 − 1+ x khi x < 0  x f (x) =  Tìm a để hàm số có giới hạn tại 0  a + 4−x khi x ≥ 0  x +1 13 Chứng minh rằng:  2x + 5 khi x < −1 f (x) =  2 Liên tục trên R  x + 2 khi x ≥ −1  x3 −1 khi x ≠ 1  f (x) =  x − 1  3 khi x = 1  Liên tục tại x =... tục tại x = 1  1 − x −1 1 khi x ≠ 0  f (x) =  Liên tục khi a = − trên đoạn [−1;1] x 2  a khi x = 0   x − 1 khi x ≤ 1 f (x) =  2 Liên tục khi a = 2 trên R ax − 2 khi x > 1 14 Cho hàm số:  x 2 − 6x + 5 khi x ≠ 1  f (x) =  x 2 − x Tìm a để hàm số liên tục tại 2  a + 5x khi x = 1   2x + 1 − x + 5 khi x ≠ 4  f (x) =  Tìm a để hàm số liên tục tại 4 x−4  a−2 khi x = 4   3 3x + 2 − 2 khi... − x 2 − 4x ) x →−∞ 12 Cho hàm số: f (x) =| x + 2 | lim+ 4 x + 4x 1 − cos x lim x →0 x2 lim [ (π − 4x).tan 2x ] x →0 x→ 3 2 π 4 lim+ x + 3 − 2x x2 −1 lim− 1 − cos 4x sin x x →1 x →0  sin x khi x > 0  lim f (x) bieˆ ′t f (x) =  x x →0 cos x khi x ≤ 0 Tính giới hạn của hàm số tại -2 và tại 1  x −9 khi x ≠ −3  f (x) =  | x + 3 |  0 khi x = −3  Tính giới hạn của hàm số khi x → −3  x3 −1 khi x... cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp để được 1 hình vuông, tiếp tục nối như thế với hình vuông mới để được hình vuông tiếp theo và cứ tiếp tục quá trình trên mãi Tính tổng của các hình vuông được tạo thành (hình vẽ) 4 Biểu diễn số 0,2525252(25); 0,50111(1); 17,2354141(41) dưới dạng phân số 6 Tính tổng: 8 Tổng CSN lùi vô hạn là 9 Tìm các giới hạn sau: 3x + 2 lim x →1 x + 1 x 2 − 4x +... dạng phân số 6 Tính tổng: 8 Tổng CSN lùi vô hạn là 9 Tìm các giới hạn sau: 3x + 2 lim x →1 x + 1 x 2 − 4x + 1 lim x →±∞ 3x − 5 4 x − a4 lim x →a x − a lim ( x + 2x − x) x →±∞ 5 39 , tổng 3 số hạng đầu là Tìm số hạng đầu và công bội của CSN trên 3 25 lim x →1 1 x2 −1 x +1 −1 x 3 1− 1− x lim x →0 x (x 2 + 1)(x + 1) lim x →±∞ (2x 4 + x)(x + 1) 3 lim x →0 x 2 − 3x + 2 x → 2 x 2 − 5x + 6 x 2 + 2x − 15... 1 nghiệm trong khoảng (1; 2) x −x −3= 0 có đúng 1 nghiệm trong khoảng (1; 2) x 5 − x 2 − 2x − 1 = 0 E – ÔN TẬP 1 2 3 Biểu diễn số 0,565656(56); 0,571222(2) dưới dạng phân số 4.Cho CSN với 243.u 8 = 32.u 3 , u 3 ≠ 0 a) Tìm công bội q b) Tổng của CSN trên là 35 , tìm u1 (số hạng đầu tiên của CSN) 5 ... 1 khi x < 1  1− x − 1+ x  3 x2 −1 − 2 khi x < 0  x lim f (x) biết f (x) =  lim f (x) biết f (x) =  x 2 − 4x + 3 khi x > 3 x →0 x →3 6x + 1   3− x − khi x ≥ 0 khi x ≤ 3   x +1 11 Tìm các giới hạn sau: x 2 + 2x − 15 x −1 − 2 x2 +1 −1 lim ( x 2 + x − x) lim lim lim x →+∞ x →3 x →5 x →0 x −3 x −5 x 3 5−x −2 x − 3x − 2 x− x x +1 − 3 x +1 lim lim lim lim x →1 x →2 x →1 x →0 2 − x −1 x2 − 4 x2