GIỚI hạn hàm số liên tục (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP Mục lục Mục lục .2 HÀM SỐ LIÊN TỤC HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa • Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng K x0 ∈ K f (x) = f (x0 ) 1) Hàm số y = f (x) liên tục x0 ⇔ lim x→ x0 2) Hàm số y = f (x) khơng liên tục x0 ta nói hàm số gián đoạn x0 http://dethithpt.com| http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP • y = f (x) liên tục khoảng kiên tục điểm khoảng • y = f (x) liên tục đoạn  a; b liên tục ( a; b) lim+ f (x) = f (a) , lim− f (x) = f (b) x→ a x→b Các định lý Định lý : a) Hàm số đa thức liên tục tập R b) Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Định lý Các hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục x0 Khi tổng, hiệu, tích f (x) liên tục tai x0, thương y = liên tục g(x0 ) ≠ g(x) Định lý Cho hàm số f liên tục đoạn  a; b Nếu f (a) ≠ f (b) M số nằm f (a) , f (b) tồn số c∈ ( a; b) cho f (c) = M Hệ : Cho hàm số f liên tục đoạn  a; b Nếu f (a) f (b) < tồn số c∈ ( a; b) cho f (c) = Chú ý : Ta phát biểu hệ theo cách khác sau : Cho hàm số f liên tục đoạn  a; b Nếu f (a) f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm thuộc (a; b) Vấn đề Xét tính liên tục hàm số điểm Phương pháp: • Tìm giới hạn hàm số y = f (x) x → x0 tính f (x0 ) f (x) ta so sánh lim f (x) với f (x ) • Nếu tồn lim x→ x0 x→ x0 Chú ý: Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm f (x) = l ⇔ lim+ f (x) = lim− f (x) = l lim x→ x0 x→ x x→ x 0  f (x) x ≠ x0 f (x) = k Hàm số y =  liên tục x = x0 ⇔ lim x→ x0 k x = x   f1(x) x ≥ x0 Hàm số f (x) =  liên tục điểm x = x0  f2(x) x < x0 lim+ f1(x) = lim− f2(x) = f1(x0 ) x→ x0 x→ x0 http://dethithpt.com| http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP Chú ý:  f (x) x ≠ x0 • Hàm số y =  liên tục x = x0  k x = x0 lim f (x) = k x→ x0  f (x) x > x0 • Hàm số y =  liên tục x = x0  g(x) x ≤ x0 lim f (x) = lim− g(x) x→ x0+ x→ x0 Các ví dụ Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau x =  x3 − 27 x ≠  x − x − f ( x) =   10 x =   x− x <  f ( x) =  2x + −  x− ) x ≥ ( Lời giải: Hàm số xác định ¡ x3 − 27 (x − 3)(x2 + 3x + 9) 10 lim f ( x ) = lim = lim Ta có f (3) = x→3 x→ x2 − x − x→ (x − 3)(x + 2) x2 + 3x + 27 = ≠ f (3) x→ x+ Vậy hàm số không liên tục x = = lim f (x) = lim( x − 1)2 = ; Ta có f (3) = lim + + x→ x→ lim− f (x) = lim− x− = lim− 2x + + = ≠ lim+ f (x) x→ 2x + − x→3 Vậy hàm số gián đoạn x = x→ x→ Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau điểm  x2 − x −  x2 + x ≠  x ≠ −1 f (x) =  điểm x0 = f (x) =  x + x = 2 1 x = −1  Lời giải: f (x) = lim(x2 + 1) = = f (1) Ta có f (1) = 2và lim x→1 x→1 Vậy hàm số liên tục điểm x = Ta có f (−1) = http://dethithpt.com| CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP http://dethithpt.com lim+ f (x) = lim+ x→−1 x+ x→−1 lim− f (x) = lim− x→−1 (x + 1)(x − 2) x→−1 (x + 1)(x − 2) x→−1 = lim(2 − x) = + x+ = lim( x − 2) = −3 ≠ lim+ f (x) − x→−1 x→−1 Suy không tồn giới hạn hàm số y = f (x) x → −1 Vậy hàm số gián đoạn x = −1 Ví dụ Tìm a để hàm số sau liên tục x =  4x −  x ≠ f ( x) =  x − a x =   x4 − 5x2 + x <  f ( x) =  x3 −  ax2 + x + x ≥  Lời giải: Ta có f (2) = a lim f (x) = lim x→ x→ 4x − = lim = x→ x− (4x)2 + 23 4x + Hàm số liên tục điểm x = ⇔ lim f (x) = f (2) ⇔ a = x→ 2 Ta có : lim− f (x) = lim− x→ ( x→ ) x4 − 5x2 + (x2 − 1)(x + 2) = lim =1 x→ 2− x3 − x2 + 2x + lim+ f (x) = lim+ ax2 + x + = 4a+ = f (2) x→ x→ f (x) = lim− f (x) = f (2) Hàm số liên tục x = ⇔ lim x→ 2+ x→ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ⇔ 4a+ = ⇔ a = −  x−2 x ≠  x − f ( x ) = Bài Cho hàm số Khẳng định sau  1 x =  A Hàm số liên tục x = B Hàm số liên tục điểm tập xác định gián đoạn x = C Hàm số không liên tục x = D Tất sai Lời giải: x−2 1 = lim = = f (4) x→ x→ x − x→ x+2 Hàm số liên tục điểm x = Ta có : lim f (x) = lim http://dethithpt.com| http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP  x2 − 3x + + x >  Bài Cho hàm số f (x) =  Khẳng định sau x− 3x2 + x − x ≤  A Hàm số liên tục x = B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục x = D Tất sai Lời giải:  (x − 1)(x − 2)  lim+ f (x) = lim+  + 2 = x→1 x→1 x −   ( ) lim− f (x) = lim− 3x2 + x − = ≠ lim+ f (x) x→1 x→1 x→1 Hàm số không liên tục x =  πx x ≤  cos Bài Cho hàm số f ( x) =  Khẳng định sau  x − x >  A Hàm số liên tục tại x = 1và x = −1 B Hàm số liên tục x = 1, không liên tục điểm x = −1 C Hàm số không liên tục tại x = 1và x = −1 D Tất sai Lời giải: Hàm số liên tục x = 1, không liên tục điểm x = −1 2x + − liên tục điểm x = x(x + 1) Bài Chọn giá trị f (0) để hàm số f (x) = A.1 B.2 C.3 Lời giải: D.4 2x + − 2x f (x) = lim = lim =1 Ta có : lim x→0 x→ x → x(x + 1) x(x + 1) 2x + + ( ) Vậy ta chọn f (0) = Bài Chọn giá trị f (0) để hàm số f (x) = A.1 B.2 Lời giải: C 2x + − 3x + − liên tục điểm x = D http://dethithpt.com| http://dethithpt.com f (x) = lim Ta có : lim x→0 x→ Vậy ta chọn f (0) = CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP ( ( ) 3x + + ) 3 (2x + 8)2 + 2.3 2x + + =  x+ x+  x > −1 Bài Cho hàm số f (x) =  x + Khẳng định sau 2x + x ≤ −1  A Hàm số liên tục tại x0 = −1 B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục tại x0 = −1 D Tất sai Lời giải: f (x) = lim− ( 2x + 3) = Ta có: f (−1) = xlim →−1− x→−1 lim+ f (x) = lim+ x→−1 x→−1 x+ x+ x2 − x − = lim+ x→−1 (x + 1)(x − x + 2) x+ lim+ x→−1 x− x− x+ = f (x) ≠ lim− f (x) Suy xlim →−1+ x→−1 Vậy hàm số không liên tục x0 = −1  x + 1+ x −  x ≠ Bài Cho hàm số f (x) =  Khẳng định sau x 2 x =  A Hàm số liên tục x0 = B Hàm số liên tục điểm gián đoạn x0 = C Hàm số không liên tục x0 = D Tất sai Lời giải: Ta có: f (0) = lim f (x) = lim x→0 x→  1+ x −  x + 1+ x − = lim  1+ ÷ ÷ x→  x x   http://dethithpt.com| http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP   = lim  1+ ÷ = = f (0) x→0 − x − + x −   Vậy hàm số liên tục x =  x −1 x ≠  x − Bài Cho hàm số f (x) =  Khẳng định sau 1 x =  A Hàm số liên tục x = B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục tại x = D Tất sai Lời giải: Ta có : lim f (x) = lim x→1 x→ x−1 1 = lim = = f (1) x → x− x + x+1 3 Hàm số liên tục điểm x =  x2 − x − + 2x x >  Bài Cho hàm số f (x) =  x −  x2 − x + x ≤  Khẳng định sau A Hàm số liên tục x0 = B Hàm số liên tục điẻm C Hàm số không liên tục x0 = D Tất sai Lời giải:  (x + 1)(x − 2)  + 2x = Ta có : lim+ f (x) = lim+  x→ x→ x−   ( ) lim− f (x) = lim− x2 − x + = ≠ lim+ f (x) x→ x→ x→ Hàm số không liên tục x0 =  x + 2a x < Bài 10 Tìm a để hàm số f ( x) =  liên tục x =  x + x + x ≥ A B C.0 D.1 Lời giải: http://dethithpt.com| CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP http://dethithpt.com f (x) = lim( x2 + x + 1) = Ta có : lim x→ 0+ x→ 0+ lim− f (x) = lim( x + 2a) = 2a − x→ x→ Suy hàm số liên tục x = ⇔ a =  4x + − x ≠  Bài 11 Tìm a để hàm số f (x) =  ax2 + (2a+ 1)x liên tục x = 3 x =  A B C − D.1 Lời giải: f (x) = lim Ta có : lim x→0 x→ 4x + − x( ax + 2a+ 1) = lim x→0 ( ax + 2a+ 1) ( Hàm số liên tục x = ⇔ ) 4x + + = 2a+ = ⇔ a= − 2a+  3x + − x >  x − Bài 12 Tìm a để hàm số f (x) =  liên tục x =  a(x − 2) x ≤  x − A B Ta có : lim f (x) = lim + + x→1 x→1 lim− f (x) = lim− x→1 x→1 4 Lời giải: C D.1 3x + − = x2 − a(x2 − 2) a = x− Suy hàm số liên tục x = ⇔ a 3 = ⇒ a= Vấn đề Xét tính liên tục hàm số tập Phương pháp:Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng Các ví dụ http://dethithpt.com| http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau tồn trục số: f (x) = tan2x + cos x f (x) = x − 1+ x − 3x + 2 Lời giải: π π  TXĐ: D = ¡ \  + k , k∈ ¢  4  Vậy hàm số liên tục D x >  x − 1≥ ⇔ Điều kiện xác định:   x − 3x + ≠  x ≠ Vậy hàm số liên tục ( 1;2) ∪ ( 2; +∞ )  a2 ( x − 2) x <  Ví dụ Xác định a để hàm số f ( x) =  x + − liên tục ¡  ( 1− a) x x ≥  Lời giải: Hàm số xác định ¡ Với x < ⇒ hàm số liên tục Với x > ⇒ hàm số liên tục f (x) = lim(1 − a)x = 2(1− a) = f (2) Với x = ta có lim x→ 2+ x→ 2+ lim− f (x) = lim− a2(x − 2) = lim− a2( x + + 2) = 4a2 x + − x→2 Hàm số liên tục ¡ ⇔ hàm số liên tục x = x→ x→ ⇔ lim− f (x) = lim+ f (x) ⇔ 4a2 = 2(1− a) ⇔ a = −1, a = x→ x→ giá trị cần tìm CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Vậy a = −1, a = x+ Khẳng định sau x − x− A Hàm số liên tục ¡ Bài Cho hàm số f (x) = B TXĐ : D = ¡ \ { 3; −2} Ta có hàm số liên tục x ∈ D hàm số gián đoạn x = −2, x = C Hàm số liên tục x = −2, x = D Tất sai Lời giải: http://dethithpt.com| 10 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP TXĐ : D = ¡ \ { 3; −2} Ta có hàm số liên tục x ∈ D hàm số gián đoạn x = −2, x = Bài Cho hàm số f (x) = 3x2 − Khẳng định sau A Hàm số liên tục ¡     ; +∞ ÷ B Hàm số liên tục điểm x ∈  −∞; − ÷∪  3      1  ; +∞ ÷ C TXĐ : D =  −∞; ∪ 2     1  ; D Hàm số liên tục điểm x ∈  − ÷ 3  Lời giải:   1  ; +∞ ÷ TXĐ : D =  −∞; − ∪ 3        ; +∞ ÷ Ta có hàm số liên tục điểm x ∈  −∞; − ÷∪  3      lim − f (x) = = f  − ÷⇒ hàm số liên tục trái x = −   3  x→ − ÷     lim + f (x) = = f  ÷⇒ hàm số liên tục phải x =  1  3 x→ ÷    1  ; Hàm số gián đoạn điểm x ∈  − ÷ 3  Bài Cho hàm số f (x) = 2sin x + 3tan2x Khẳng định sau A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số liên tục điểm π π  C TXĐ : D = ¡ \  + k , k∈ ¢  2  π π + k , k∈ ¢ Lời giải: D Hàm số gián đoạn điểm x = π π  TXĐ : D = ¡ \  + k , k∈ ¢  4  Ta có hàm số liên tục điểm thuộc D gián đoạn điểm http://dethithpt.com| 11 http://dethithpt.com x= CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP π π + k , k∈ ¢  x2 − 5x + x <  Bài Cho hàm số f ( x) =  2x3 − 16 Khẳng định sau  − x x ≥  A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục ( 2:+∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Lời giải: TXĐ : D = ¡ \ { 2} x2 − 5x + ⇒ hàm số liên tục 2x3 − 16 • Với x > ⇒ f (x) = − x ⇒ hàm số liên tục • Với x < ⇒ f (x) = • Tại x = ta có : f (2) = lim+ f (x) = lim+ ( − x) = ; x→ x→ lim− f (x) = lim− x→ x→ (x − 2)(x − 3) =− ≠ lim f (x) 24 x→2+ 2(x − 2)(x + 2x + 4) Hàm số không liên tục x =  x −1 x >   x −1 Bài Cho hàm số f (x) =  Khẳng định sau  1− x + x ≤  x + A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ C Hàm số không liên tục ( 1: +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Lời giải: Hàm số xác định với x thuộc ¡ • Với x < 1⇒ f (x) = 1− x + ⇒ hàm số liên tục x+ • Với x > 1⇒ f (x) = x−1 x−1 ⇒ hàm số liên tục http://dethithpt.com| 12 http://dethithpt.com • Tại x = ta có : f (1) = lim+ f (x) = lim+ x→1 x→1 x−1 x−1 = lim+ x→1 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP 2 (x − 1)( x + 1) (x − 1)( x + x + 1) 3 = ; 1− x + 2 = = lim+ f (x) = f (1) x+ x→1 Hàm số liên tục x = Vậy hàm số liên tục ¡ lim− f (x) = lim− x→ x→1  x2 − 3x + x ≠  x− Bài Cho hàm số f ( x) =  Khẳng định sau  a x =  A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ C Hàm số không liên tục ( 1: +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Lời giải: Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x =  2x + −  x ≠ Bài Cho hàm số f ( x) =  Khẳng định sau x  x =  A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ C Hàm số không liên tục ( 0;+∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Lời giải: Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = 2x + x ≤  Bài Cho hàm số f (x) = (x − 1) < x < Khẳng định sau   x − x ≥ A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ C Hàm số không liên tục ( 2;+∞ ) http://dethithpt.com| 13 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP D Hàm số gián đoạn điểm x = Lời giải: Hàm số liên tục điểm x ≠ 2và gián đoạn x =  2x2 + x + x ≤ Bài Cho hàm số f (x) =  Khẳng định sau x >  3x − A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ C Hàm số không liên tục ( 2;+∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = ±1 Lời giải: Hàm số liên tục điểm x ≠ ±1và gián đoạn x = ±1  π  sin x x ≤ Bài 10 Xác định a, bđể hàm số f ( x) =  liên tục ¡  ax + b x > π   a = A  π b =  a = B  π b =  a = C  π b =  a = D  π b = Lời giải: π   a+ b = a = ¡ ⇔ ⇔ Hàm số liên tục π   − π a+ b = −1 b =   x3 − 3x2 + 2x x(x − 2) ≠  x ( x − 2)  x = Bài 11 Xác định a, bđể hàm số f (x) = a liên tục b x =   ¡  a = 10 A   b = −1  a = 11 B   b = −1 a = C   b = −1 Lời giải:  a = 12 D   b = −1 http://dethithpt.com| 14 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP http://dethithpt.com a = Hàm số liên tục ¡ ⇔   b = −1  x − + 2x −  x ≠ Bài 12 Tìm m để hàm số f (x) =  liên tục ¡ x− 3m− x =  A m= B m= C m= D m= Lời giải: x − + 2x − nên hàm số liên tục khoảng ¡ \ { 1} x− Do hàm số liên tục ¡ hàm số liên tục x = Ta có: f (1) = 3m− Với x ≠ ta có f (x) = lim f (x) = lim x→1 x→1 x − + 2x − x−  x3 + x −  = lim 1+ x→1 2 3  (x − 1) x − x x − + (x − 2) ( )       x2 + x + =2 = lim 1+ x→1  x2 − x3 x − + (x − 2)2  Nên hàm số liên tục x = ⇔ 3m− = ⇔ m= Vậy m= 4 giá trị cần tìm  x + 1− x >  Bài 13 Tìm m để hàm số f (x) =  liên tục ¡ x 2x2 + 3m+ x ≤  A m= B m= − C m= D m= Lời giải: • Với x > ta có f (x) = x + 1− nên hàm số liên tục ( 0;+∞ ) x • Với x < ta có f (x) = 2x2 + 3m+ nên hàm số liên tục (−∞;0) Do hàm số liên tục ¡ hàm số liên tục x = Ta có: f (0) = 3m+ http://dethithpt.com| 15 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP http://dethithpt.com lim+ f (x) = lim+ x→ x→ ( x + 1− 1 = lim+ = x→ x x + 1+ ) lim− f (x) = lim− 2x2 + 3m+ = 3m+ x→ x→ Do hàm số liên tục x = ⇔ 3m+ 1= Vậy m= − 1 ⇔ m= − hàm số liên tục ¡  2x − + x ≥  Bài 14 Tìm m để hàm số f (x) =  liên tục ¡ x+ x <   x − 2mx + 3m+ B m= − A m= 1 C m= D m= Lời giải: Với x > ta có hàm số liên tụC Để hàm số liên tục ¡ hàm số phải liên tục khoảng ( −∞;2) liên tục x = • Hàm số liên tục ( −∞;2) tam thức g(x) = x2 − 2mx + 3m+ ≠ 0, ∀x ≤  ∆ ' = m2 − 3m− ≤ 3− 17 3+ 17 ⇔ ≤ m≤ TH 1:  2  g(2) = −m+ ≠ m2 − 3m− >  ∆ ' = m2 − 3m− >  ⇔ m> TH 2:  ∆ ' < (m− 2)2  x1 = m− ∆ ' >   3+ 17 3+ 17 m> ⇔ < m< ⇔  m<  Nên 3− 17 ≤ m< (*) g(x) ≠ 0, ∀x ≤ 2 • lim+ f (x) = lim+ x→ x→ ( ) 2x − + = x+ = x − 2mx + 3m+ − m = ⇔ m= (thỏa (*)) Hàm số liên tục x = ⇔ 6− m Vậy m= giá trị cần tìm lim− f (x) = lim− x→ x→ 2 http://dethithpt.com| 16 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP Vấn đề Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp : • Để chứng minh phương trình f (x) = có nghiệm D, ta chứng minh hàm số y = f (x) liên tục D có hai số a, b∈ D cho f (a) f (b) < • Để chứng minh phương trình f (x) = có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số y = f (x) liên tục D tồn k khoảng rời (ai ; +1) (i=1,2,…,k) nằm D cho f (ai ) f (ai +1) < Các ví dụ Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm x5 + 3x + 1= x3 + 2x = + 3− 2x Lời giải: Xét hàm số f (x) = x + 3x + hàm liên tục ¡ Mặt khác: ff(−1) = −1, (0) = 1⇒ ff(−1) (0) = −1< Nên phương trình f (x) = có nghiệm thuộc ( −1;0) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ( ) 5 Khi đó: f (x1) − f (x2 ) = ⇔ x1 − x2 + 3( x1 − x2 ) = ( ) ⇔ ( x1 − x ) x14 + x13x2 + x12x22 + x1x23 + x24 + = (1) 4 4 44 4 4 43 A 2   1  Do A =  x12 + x1x2 ÷ +  x1x2 + x22 ÷ + x12x22 + >   4  Nên (1) ⇔ x1 = x2 Vậy phương trình ln có nghiệm Điều kiện: x ≤ Phương trình ⇔ x3 + 2x − 3− 2x − =  3 Xét hàm số f (x) = x3 + 2x − 3− 2x − liên tục  −∞;  2    19  3 ff(0) = −4 − 3 < 0,  ÷ = > ⇒ ff(0)  ÷ <  2  2 Nên phương trình f (x) = có nghiệm Giả sử phương trình f (x) = có hai nghiệm x1 , x2 Khi đó: f (x1) − f (x2 ) = http://dethithpt.com| 17 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP ( ( ) ⇔ x13 − x23 + 2( x1 − x2 ) − ) 3− 2x1 − 3− 2x2 =   ÷= ⇔ ( x1 − x2 )  x12 + x1x2 + x22 + 2+  ÷ − x + − x  1 4 4 4 44 4 41 4 4 43 B ⇔ x1 = x2  x  3x2 > 0) (Vì B =  x1 + ÷ + + + 2 3− 2x1 + 3− 2x2  Vậy phương trình ln có nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm : x7 + 3x5 − 1= x2 sin x + x cos x + = Lời giải: Ta có hàm số f (x) = x7 + 3x5 − liên tục R ff(0) (1) = −3 < Suy phương trinh f (x) = có nghiệm thuộc (0;1) Ta có hàm số f (x) = x2 sin x + x cos x + liên tục R ff(0) (π) = −π < Suy phương trinh f (x) = có nghiệm thuộc (0; π) Ví dụ x5 + 2x3 + 15x2 + 14x + = 3x2 + x + có nghiệm phân biệt Lời giải: Phương trình cho tương đương với ( ) x5 + 2x3 + 15x2 + 14x + = 3x2 + x + ⇔ x5 − 9x4 − 4x3 + 18x2 + 12x + 1= (1) Hàm số f (x) = x5 − 9x4 − 4x3 + 18x2 + 12x + liên tục ¡  1 19 0, f  − ÷ = − 32  2 ff(0) = > 0, (2) = −47 < 0, f (10) = 7921 > Do phương trình f (x) = có nghiệm thuộc khoảng  1    −1; − ÷,  − ;0÷, ( 0;2) , ( 2;10)     Mặt khác f (x) đa thức bậc nên có tối đa nghiệm ( −2; −1) , Vậy phương trình cho có nghiệm CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh phương trình sau có ba nghiệm phân biệt http://dethithpt.com| 18 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP x3 − 3x + 1= 2x + 63 1− x = Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị m, n m( x − 1) ( x + 2) + 2x + = m( x − a) ( x − c) + n( x − b) ( x − d) = 1 − =m cos x sin x ( a ≤ b ≤ c ≤ d ) Bài Cho m> a, b, c ba số thực thoả mãn a b c + + = Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ln có m+ m+ m nghiệm Bài Chứng minh phương trình : ( −1;1) x − 5x + 4x − = có năm nghiệm thuộc khoảng ( −2;3) a( x − b) ( x − c) + b( x − c) ( x − a) + c( x − a) ( x − b) = ; a,b,c > có hai nghiệm phân x4 + x3 − 3x2 + x + = 0có nghiệm thuộc khoảng biệt (1− m2 )x5 − 3x − = ln có nghiệm với m m2.(x − 2) + m(x − 1)3.(x − 2)4 + 3x − = có nghiệm với m Bài Cho số thực dương m,n,p thỏa mãn: n < m; mp < n2 a b c + + = m n p Chứng minh phương trình : f (x) = ax2 + bx + c = ln có nghiệm Bài Cho hàm số f : 0;1 →  0;1 liên tụC.Chứng minh tồn số thực c∈ 0;1 cho f ( c) = c Cho hàm số f :[0;+∞) → [0;+∞) liên tục lim x→+∞ tồn số c≥ cho f (c) = c f (x) = L < Chứng minh x Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ liên tục x = thỏa: f (3x) = f (x) Cho hàm số f :  0;1 → 0;1 liên tục 0;1 thỏa ff(0) = (1) Chứng minh với số tự nhiên n phương trình f (x) − f (x + ) = ln n có nghiệm thuộc đoạn 0;1 Bài Cho hàm số f liên tục đoạn [a ;b] n điểm x1; x2 ; ; xn ∈  a;b Chứng minh tồn điểm c∈  a; b cho nf (c) = f (x1) + f (x2 ) + + f (xn ) http://dethithpt.com| 19 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP 2 Chứng minh tồn số < α < β < cho cosα = α β tan β = Lời giải: Bài 1 Xét hàm số f (x) = x3 − 3x + 1, ta có hàm số liên tục R ff(−2) = −1 ; (0) = ; ff(1) = −1 ; (2) = ⇒ ff(−2) (0) = −1< 0, ff(0) (1) = −1< 0, ff(1) (2) = −3 < Suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−2;0),(0;1),(1;2) Mà f(x) đa thức bậc ba nên f(x) có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm Phương trình ⇔ 2x − = 63 x − ⇔ (2x − 3)3 − 216(x − 1) = Xét hàm số f (x) = (2x − 3)3 − 216(x − 1) , ta có hàm số liên tục R ff(−4) = −251, (0) = 189, ff(1) = −1, (7) = 35 Suy ⇒ ff(−4) (0) < 0, ff(0) (1) < 0, ff(1) (7) < Suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−4;0),(0;1),(1;7) Mà f(x) đa thức bậc ba nên f(x) có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm Bài Ta có hàm số f (x) = m( x − 1) ( x + 2) + 2x + liên tục R ff(1) (−2) = −5 < ⇒ phương trình có nghiệm thuộc (−2;1) π Điều kiện : x ≠ k , k∈ ¢  π Xét hàm số f (x) = sin x − cos x − msin x cos x ,liên tục 0;   2 π ff(0) ( ) = −1< phương trình f (x) = có nghiệm  π π x0 ∈  0; ÷⇒ x0 ≠ k  2 Do phương trình cho có nghiệm Hàm số f (x) = m( x − a) ( x − c) + n( x − b) ( x − d) liên tục R f (a) f (c) = n2 ( a− b) ( a− d) ( c − b) ( c − d) ≤ ⇒ phuowngt rình cho có nghiệm Bài Đặt f (x) = ax2 + bx + c http://dethithpt.com| 20 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP • c = ⇒ f (x) = có nghiệm x =  m+  −c = • c ≠ ta có f (0) = c; f  ÷  m+  m( m+ 2)  m+  −c2 ⇒ ff(0)  = < , suy phương trình f (x) = có ÷  m+  m( m+ 2) nghiệm Bài Gọi f (x) vế trái phương trình Ta có hàm số y = f (x) liên tục ¡ ff(1) (−1) = −3 < Nên phương trình có nghiệm thuộc (−1;1) ( 2) (− ) < 0; Ta có hàm số y = f (x) liên tục ¡ ff− 1 ff(− ) (−1) < 0; ff(−1) ( ) < 0; ff( ) (1) < 0; ff(1) (3) < 2 Nên ta có điều phải chứng minh Ta có hàm số y = f (x) liên tục ¡ f (a) f (b) f (c) = − abc (a− b)(b− c)(c − a) < Nên ta có điều phải chứng minh f (x) lim f (x) < Ta có hàm số y = f (x) liên tục ¡ xlim →−∞ x→+∞ Nên ta có điều phải chứng minh Ta có hàm số y = f (x) liên tục ¡ ff(1) (2) < Nên ta có điều phải chứng minh n n2 n Bài Ta xét f ( ) = a + b + c m m m Mặt khác từ : ⇔  a b c m  n2 n m + + = ⇒  a + b + c÷+ c( − ) = m n p m  p n n  m n2 − pm pm− n2 pm− n2 m n n f ( ) + c = ⇔ f ( ) = c = f (0) m pm pm n2 m pn2 * Xét c = Nếu a = ⇒ b = ⇒ f (x) đa thức không, f(x) có nghiệm (0;1) b n Nếu a≠ 0, từ giả thiết ⇒ − = < f (x) = x(ax + b) = a m b ⇔ x = − ∈ (0;1) a pm− n2  n n f (0) < ⇒ f (x) có nghiệm x ∈ (0; ) ⊂ (0;1) * Xét c ≠ , ta có: ff ÷ (0) = pm m  m http://dethithpt.com| 21 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP Bài Xét hàm số g( x) = f ( x) − x ,ta có y = g(x) liên tục 0;1 g(0)g(1) < nên tồn c∈ 0;1 : g(c) = ⇔ f (c) = c • Nếu f (0) = ta chọn c = • Nếu f (0) > Xét hàm số g(x) = f (x) − x , ta có hàm g liên tục [0; +∞) g(0) > Vì lim x→+∞ f (x) f (a) = L < nên tồn số a> cho < 1⇒ g(a) < x a ⇒ g(0).g(a) < nên tồn số thực c∈ ( 0; a) cho g(c) = Hay f (c) = c  x  x Ta có: f (x) = ff ÷ =  ÷ = =  3 3   x f n÷ 3  x → 0, ∀x 3n Suy ra: f (x) = f (0) = a, ∀x ∈ ¡ Cho n → ∞ ⇒ Vậy f hàm  1  n − 1 Xét hàm số g(x) = f  x + ÷− f (x) , ta có g hàm liên tục 0; n n     k  n−1   k + 1  k  g ∑  n ÷ = ∑  ff n ÷−  n ÷ = ff(1) − (0) = k=   k=0      n−1 Và i  j Suy tồn hai số i , j ∈ { 0,1, ,n − 1} cho : g ÷.g ÷ <  n  n Hay phương trình : g(x) = ⇔ f (x) − f (x + ) = có nghiệm 0;1 n Bài Xét hàm số : g(x) = nf (x) − f (x1) − f (x2 ) − − f (xn ) liên tục [a ;b] Vì f liên tục đoạn [a ;b] nên tồn giá trị lớn M, nhỏ m tồn α ,β ∈  a,b cho f (α) = m, f (β) = M ⇒ g(α).g(β) < Hàm số : f (x) = cos x − x2 liên tục ¡ ff(0) (1) = 1(cos1− 1) < Suy ∃α ∈ ( 0;1) : f (α) = hay cosα = α Mặt khác hàm số y = cos x hàm nghịch biến (0;1) , hàm y = x2 hàm đồng biến ( 0;1) nên α số http://dethithpt.com| 22 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN – TẬP Hàm số g(x) = x tan x − liên tục ( 0;1) ff(0) (1) = −1(tan1− 1) < , đồng thời hàm số g(x) đồng biến (0;1) nên tồn số thực β ∈ (0;1) cho β tan β − = Vì sin x < x ∀x > nên g(α) = sin α − 1< = f (β) ⇒ α < β α http://dethithpt.com| 23 ... GIỚI HẠN – TẬP ( ( ) 3x + + ) 3 (2x + 8)2 + 2.3 2x + + =  x+ x+  x > −1 Bài Cho hàm số f (x) =  x + Khẳng định sau 2x + x ≤ −1  A Hàm số liên tục tại x0 = −1 B Hàm số liên tục điểm C Hàm. .. không liên tục x =  x −1 x >   x −1 Bài Cho hàm số f (x) =  Khẳng định sau  1− x + x ≤  x + A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ C Hàm số không liên tục ( 1: + ) D Hàm số gián... 3x + x ≠  x− Bài Cho hàm số f ( x) =  Khẳng định sau  a x =  A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ C Hàm số không liên tục ( 1: + ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Lời giải: Hàm số liên