GIỚI hạn giới hạn hàm số (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.. Định nghĩa:  Dãy số u được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số n dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọ

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

GIỚI HẠN DÃY SỐ

1 Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1 Định nghĩa:

 Dãy số ( )u được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số n

dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều

có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó Kí hiệu: limx u n 0

3 Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN ( )u có công bội q thỏa n q  Khi đó tổng1

1 2 n

S u u  u  gọi là tổng vô hạn của CSN và

1(1 ) 1

n n

    với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một

số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

 lim n lim n

4.2 Một số kết quả đặc biệt

 limn  với mọi k k 0

 limq  với mọi n q  1

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.

Quy tắc 1: Nếu limu  , lim n v  thì lim( ) n u v được cho như sau; n n

limu n limv n lim(u v n n) 



   



  

 



    

Quy tắc 2: Nếu limu  , lim n v n thì lim( )l u v được cho như sau; n n

v được coi như sau;

lim n n

u v

Vấn đề 1 Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phương pháp:

 Để chứng minh limu  ta chứng minh với mọi số n 0 a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một

số n sao cho a u n a  n n a

 Để chứng minh limu n  ta chứng minh lim(l u n l) 0

 Để chứng minh limu  ta chứng minh với mọi số n M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại

số tự nhiên n sao cho M u n M  n n M

 Để chứng minh limu   ta chứng minh lim( n u n)

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

a

a n

Ví dụ 2 Chứng minh rằng dãy số ( ) :u n u   n ( 1)n không có giới hạn.

Lời giải :

Ta có: u2n 1 limu2n1; u2n1  1 limu2n1 1

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn

Ví dụ 3 Chứng minh các giới hạn sau:

42

82

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giá trị của lim 1

Lời giải :

Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn k 1

a

n a

n

M n





2 42

n

 bằng:

Suy ra lim 2

1

n n

n

a n

1

n C

 Với 0 a 1 thì 1 1 limn 1 1 limn a 1

Tóm lại ta luôn có: limn a  với 1 a 0

Vấn đề 2 Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản Phương pháp:

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản

n



CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giá trị của

2 2

2lim

B

n n

Ta có:

3

4 4

51

Ta có:

2 3

n C

2 3

n n A

!lim

2

n B



1 2

q q

n u

Ta chia làm các trường hợp sau

TH 1: n k , chia cả tử và mẫu cho n , ta được k

TH 3: k , chia cả tử và mẫu cho p p

1lim

1lim

3

n n

lim

n n

lim

11

I

a b

Từ công thức truy hồi ta có: x n1 x n,  n 1, 2,

Nên dãy ( )x là dãy số tăng n

Giả sử dãy ( )x là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim n x n x

Với x là nghiệm của phương trình : xx2 x x 0 x1 vô lí

Do đó dãy ( )x không bị chặn, hay lim n x  n

Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

Bài 69 Tìm limu biết n

dau can

2 2 2

n n

Bài 70 Gọi ( ) 0, g x    là dãy số xác định bởi x 2  Tìm lim ( ) lim2 2  2 4 3 3

1.1 Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x Ta nói rằng hàm số ( )0 f x xác định

trên K (có thể trừ điểm x ) có giới hạn là 0 L khi x dần tới x nếu với dãy số ( )0 x bất kì, n

1.3 Giới hạn tại vô cực

* Ta nói hàm số yf x( ) xác định trên ( ;a  có giới hạn là ) L khi x   nếu với mọi dãy số ( ) :x n x n  và a x   thì ( ) n f x n  L Kí hiệu: lim ( )x f x  L

* Ta nói hàm số yf x( ) xác định trên ( ; )b có giới hạn là L khi x    nếu với mọi dãy số ( ) :x n x n  và b x    thì ( ) n f x n  L Kí hiệu: lim ( )x  f x  L

* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực

* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x bởi 0   hoặc

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn Ta không

áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực

x x

Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số

Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa :

1 Alim(3x1 x2 x 1) 2

3 1

1lim

1

x

x B

2

x

x C

2 Với mọi dãy ( )x mà lim n x  và n 1 x n1  ta có:n

n n

Ta có: limx n limy n và lim ( ) 1; lim ( ) 00 f x n  f y n 

Nên hàm số không có giới hạn khi x  0

2

x

x x

Với mọi dãy ( ) : limx n x  ta có: n 1 lim 1 2

2

n n

x x

1

x

x x

n

x x

2

x

x x

x x

n

x x

x

x x

2

x

x x

3lim

x

x x

Lời giải :

Đáp số:

2 2

4lim

* Nếu ( )f x là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f x( )0

* Nếu ( )f x cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn

( Giới hạn trái bằng giới hạn phải)

3 2lim

khi 12

( )

khi 13

x x

f x

x x

1lim

Ta có:

3

3 0

4

x

x A

tan

x

x B

Bài 9 Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x  2

2 2

1 khi 2( )

1 khi 1( )

x x

f x A

Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:

Định lí: Nếu đa thức ( )f x có nghiệm xx0 thì ta có :

( )lim( )

x x

f x A

g x



0 thì ta tiếp tục quá trình như trên

Chú ý :Nếu tam thức bậc hai 2

* Nếu ( )f x và ( ) g x là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về

các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên

ax A

Lời giải :

Ta có:

3 2 2 1

1 1lim

x

x D

Bài 19 Tìm giới hạn      

 

3 1 1

lim

1

n n

1 1lim

x

x D

Bài 27 Tìm giới hạn

3 0

2 0

Lời giải :

Ta có:

2 3 3

2lim

Ta có:  

3 2

tt

tt

tt A

3

t

t t

Ta có:

   

3 2 1

x x

x C

x E

1 1

0 1

1 1

0 0 1

x

x C

x A

Bài 22 Tìm giới hạn Bxlim ( x x2 2x 2 x2x x ) :

x

x B

1 1

0 1

1 1

 Nếu m n , ta có:

1 1

0 0 1

Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng 

x

x B

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

n x

lim

21

x

x A

x x

ax A

0 0 0

3

2 sin2

x

x A

tan 2lim

x

x C

x

x D

x A

Nên theo nguyên lí kẹp A39  0

Bài 11 Tìm giới hạn Dxlim(sin  x 1 sin x) :

x C

sin 2limsin 3

x

x D

sin(tan )

x

x E

x x

Bài 18 Tìm giới hạn

2 0

ax M

x

x C





A. B.  C.96 D 0

Lời giải :

Ta có:

2 2

sin 2limsin 3

x

x D

sin(tan )

x

x E

sin(tan )tan

x

x x E

x x

2 2

sin2

2 sin

2

2

sin2sin

2sin2

Bài 25 Tìm giới hạn lim 3 sin 2 cos

2

12lim

x

x M

x x