GIỚI hạn giới hạn hàm số (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn dãy số 1.1 Định nghĩa: �Dãy số (un ) gọi có giới hạn n tiến dương vô cực với số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, số hạng dãy số , kể từ số hạng trở đi, có giá tri tuyệt dối nhỏ số dương Kí hiệu: lim un  Hay là: lim un  với   nhỏ tùy ý, tồn số x�� x�0 tự nhiên n0 cho: un   , n  n0 u  a � lim  un  a  , tức là: Với   nhỏ tùy ý, tồn số tự �xlim �� n x�� nhiên n0 cho un  a   , n  n0 Dãy số (un) có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn 1.2 Một số giới hạn đặc biệt � lim  với k��* nk qn  �Nếu q  nlim � � u  lim c  c �Nếu un  c (với c số) nlim �� n n�� u  a Chú ý: Ta viết lim un  a thay cho cách viết nlim � � n Một số định lí giới hạn Định lí Nếu dãy số (un) thỏa un  kể từ số hạng trở lim  lim un  Định lí Cho lim un  a, lim  b Ta có: �lim(un  )  a b � lim(un  )  a b � lim � lim(un )  ab un a  (b �0) b �Nếu un �0 n lim un  a Tổng CSN lùi vô hạn Cho CSN (un ) có cơng bội q thỏa q  Khi tổng S  u1  u2   un  gọi tổng vô hạn CSN S  limSn  lim u1(1 qn ) u  1 q 1 q http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP Giới hạn vô cực 4.1 Định nghĩa: �lim un  �� với số dương tuỳ ý cho trước , số hạng dãy số , n�� kể từ số hạng trở đi, lớn số dương �lim un  �� lim  un   � n�� n� � 4.2 Một số kết đặc biệt �lim nk  � với k  � lim qn  � với q 4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cựC Quy tắc 1: Nếu lim un  ��, lim  �� lim(un.vn ) cho sau; lim un lim � � � � � � � � lim(unvn ) � � � � Quy tắc 2: Nếu lim un  ��, lim  l lim(un ) cho sau; lim un Dấu l � � � �     lim(unvn ) � � � � Quy tắc 3: Nếu lim un  l , lim    kể từ số hạng dó trở lim un coi sau; Dấu l Dấu � � � �     lim un � � � � Vấn đề Tìm giới hạn định nghĩa Phương pháp: �Để chứng minh lim un  ta chứng minh với số a nhỏ tùy ý tồn số na cho un  a n  na http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP �Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l )  �Để chứng minh lim un  � ta chứng minh với số M  lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM cho un  M n  nM �Để chứng minh lim un  � ta chứng minh lim(un )  � �Một dãy số có giới hạn giới hạn Các ví dụ Ví dụ Chứng minh rằng: lim n 1 n lim n2  1  2n2  1 2n lim n2   2 Lời giải: Với a nhỏ tùy ý, ta chọn na   1, ta có: a n 1 1    a với n  na n n  na  Suy lim n n   � lim  n n  , ta có: a Với a nhỏ tùy ý, ta chọn na  n2  1 3     a với n  na 2n  n  na  Suy lim n2  1 n2  1   � lim  2n2  2n2   1, ta có: a2 Với a nhỏ tùy ý, ta chọn na  1 2n n 1 2  Suy lim 1 2n  n2  n 1 1 2n n 1  1 2n  2(n  1)   � lim n 1 1 2n n 1  n 1  n 1 a  a với n  n a  2 Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) : un  (1)n khơng có giới hạn Lời giải: Ta có: u2n  1� lim u2n  1; u2n1  1� lim u2n1  1 Vì giới hạn dãy số có nên ta suy dãy (un) khơng có giới hạn http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP http://dethithpt.com Ví dụ Chứng minh giới hạn sau: lim n2   � n lim 2 n n  � Lời giải: Với số thực dương M lớn tùy ý, ta có: n2  M  M24  M � n  Mn   � n  n �M  M  � n2  �thì ta có: Ta chọn n0  �  M , n  n0 n � � � � n2   � n Với M  lớn tùy ý, ta có: Do đó: lim �M  M  � �  M � n M n  2 0� n  � � � n � � n 2 � �M  M  �� n  M , n  n0 � ��thì ta có: Ta chọn n0  � � � �� n � �� � 2 n  � n CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Do đó: lim bằng: n B.1 Bài Giá trị lim A Với a nhỏ tùy ý, ta chọn na  lim C.2 Lời giải: D 1   a n  na nên có  ta có n  na  a  n 1 (k��*) bằng: nk B.2 C.4 Lời giải: Bài Giá trị lim A Với a nhỏ tùy ý, ta chọn na  k D 1 1 ta có k  k  a n  na nên có lim k  n na n a http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP http://dethithpt.com sin2 n n B.3 Bài Giá trị lim A bằng: C.5 Lời giải: D sin2 n 1    a n  na nên có Với a nhỏ tùy ý, ta chọn na   ta có n  n  na  a sin2 n  n Bài Giá trị lim(2n 1) A � B � lim bằng: C.0 Lời giải: Với số dương M lớn tùy ý ta chọn nM  D M 1 Ta có: 2n  1 2nM  1 M n  nM � lim(2n  1)  � 1 n2 Bài Giá trị lim bằng: n A � B � C.0 Lời giải: D nM2  M Với số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa nM � nM  Ta có: M  M24 n2  n2   M n  nM � lim  � n n Vậy lim 1 n2  � n bằng: n B � Bài Giá trị lim A � C.0 Lời giải: D � � Với a nhỏ tùy ý, ta chọn na  �  1� �a � 2  a n  na � lim  n n cosn  sin n Bài Giá trị lim bằng: n2  A � B � C.0 Suy D http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP http://dethithpt.com Lời giải: Ta có cos n  sin n n  cosn  sin n 0 mà lim  � lim n n2  n n n B � Bài Giá trị lim A � bằng: C.0 Lời giải: D �1 � Với số thực a nhỏ tùy ý, ta chọn na  �2  1� a � � Ta có: n 1 n   a n  na � lim  n n n 3n3  n n2 B � Bài Giá trị lim A � bằng: C.0 Lời giải: D �M � Với M  lớn tùy ý, ta chọn nM  � � �3 � 3n3  n Ta có:  3n   M n  nM n n 3n3  n Vậy lim  � n2 Bài 10 Giá trị lim 2 n n B � A � bằng: C.0 Lời giải: D �1 � Với M  lớn tùy ý , ta chọn nM  �  3� �a � Ta có: n 1 n Suy lim  n  1 2 n n n  1 n   M n  nM  � 2n  n B � Bài 11 Giá trị A  lim A � bằng: C.2 Lời giải: D http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP Với số thực a nhỏ tùy ý, ta chọn na  Ta có:  2 a 2n  5 2    a n  na n n  na  Vậy A  2n  n2  B � Bài 12 Giá trị B  lim A � bằng: C.0 Lời giải: Với số thực a nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa D 2na  a na2  1 a2  4a 13 � na  a 2n   a n  na � B  Ta có: n 1 Bài 13 Giá trị C  lim n  n � A � B bằng: C.0 Lời giải: D 1 Với số thực a nhỏ tùy ý, ta chọn na   a n2  n 1  1   a n  na n n na  Ta có: Vậy C  Bài 14 Giá trị A  lim A � A n n 2n B � bằng: Lời giải: C D 1 nsin n  3n2 Bài 15 Giá trị B  lim bằng: n2 A � B � C 3 Lời giải: B  3 D http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Bài 16 Giá trị C  lim bằng: n2  n  B � A � C.0 Lời giải: D C0 Bài 17 Giá trị D  lim 4n  B � A � bằng: n  3n  2 C.0 Lời giải: D D4 an 0 n! B � Bài 18 Giá trị lim A � bằng: C.0 Lời giải: D Gọi m số tự nhiên thỏa: m  a Khi với n  m n m m an a a a a a a �a � Ta có:    � � � n! m m n m! � �m 1� n m �a � an Mà lim � Từ suy ra:  lim  � �m 1� n ! � � Bài 19 Giá trị lim n a với a bằng: A � B � C.0 Lời giải: Nếu a ta có đpcm �Giả sử a Khi đó: a  � 1 � Suy ra:  n a  1  n  n a � � n  n D  a a � nên lim n a  n �Với  a   1� lim n  1� lim n a  a a Tóm lại ta ln có: lim n a  với a Vấn đề Tìm giới hạn dãy số dựa vào định lý giới hạn Phương pháp: Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP f (n) ta thường chia tử mẫu cho nk , k bậc lớn g(n) tử mẫu �Khi tìm lim �Khi tìm lim �k f (n)  m g(n) �trong lim f (n)  lim g(n)  � ta thường tách � � sử dụng phương pháp nhân lượng liên Các ví dụ Ví dụ Tìm giới hạn sau : A  lim n 1 3 5  (2n  1) 2n2  B  lim 1   n  n 12  22   n2  2n Lời giải: Ta có: 1  5  2n   n2 Suy A  lim n2  lim 2n2  1 2 n2  n(n  1) ; n(n  1)(2n  1) 12  22   n2  Ta có: 1 2  n  � 1� n2 � 1 � n� n(n  1) � n n 2  lim  Suy : B  lim n ( n  1)(2 n  1) � � � � 3  2n n � 1 � 2 � � � n� � n � 2n 1 2 Ví dụ Tìm giới hạn sau : � � � 1� � 1�� 1� 1 � 1 � � 1 � C  lim � � � � � � � �� n � � � �1 1 �    D  lim �  1.2 2.3 3.4 n(n  1) � � � Lời giải: Ta có: 1 (k  1)(k  1)  nên suy k2 k2 � 1� � � � � 1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1 � 1 � � 1 �  � � 2n n2 � � � �� n � Do C  lim n 1  2n http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP http://dethithpt.com � 1� x� 1 � 1 x x � x�  lim   lim Ta có: C  xlim x�� � � 1 1 4x2  x   2x x�� 4   x 4   2x x x x x  Bài 20 Tìm giới hạn D  xlim ��  x3  x2   x2  x  B � A � C  : D Lời giải: Ta có:  D  lim  x3  x2   x  lim x��  x��  x2  x   x  M  N x2  M  lim x�� (x  x  1)  x x  x   x x N  lim x�� x  x  1 x Do đó: B  3 1  lim x�� x 1  1 x x2  1 1    Bài 21 Tìm giới hạn A  xlim �� Ta có:       Lời giải: C   x  x  1 x  x  x  x2  x   x2  x  x B � A �  : D x2  x   x  4(x2  x) x2  x   x2  x  x 2x x2  x   1 5x  2x2 x2  x   x2  x  x 2x   x2  x   x  x2  x   x2  x  x 2x(x  1)  x2  x   x2  x  x  1 5x x2  x   x2  x  x 1 5x x  x   x2  x  x  x2  x   x  http://dethithpt.com 56 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 2 x  Do đó: A  xlim �� � � � 1 � 1 1   1  1� 1   1� � � � � � x x x � x x � � � � 5 x  lim    x�� 4 1 1   1  x x x x( x2  2x  x2  x  x) : Bài 22 Tìm giới hạn B  xlim �� B � A � C  D Lời giải: Ta có: x2  2x  x2  x  x  2x2  2x  2x x2  2x  4x2  4x  2x  Nên B  xlim � � x2  2x  x2  x  x x2  2x  x  x2  2x  x2  x  x 2x ( x2  2x  x2  x  x)( x2  2x  x  1) 2x2 ( x2  2x  x2  x  x)( x2  2x  x  1) 2  lim x�� ( 1 2  1  1)( 1  1 ) x x x x  a0xn   an1x  an , (a b �0) : Bài 23 Tìm giới hạn A  xlim �� b xm   b x  bm 0 m1 B � A � Lời giải: C D Đáp án khác a a a1   nn11  nn ) x x x Ta có: A  xlim � � b b b xm(b0    mm11  m ) x x xm xn (a0  http://dethithpt.com 57 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP a a a1   nn11  nn a x x x  �Nếu m n � B  lim x�� bm1 bm b0 b1 b0    m1  m x x x a0  a a a1   nn11  nn x x x �Nếu m n � B  lim 0 x�� b bm b m n m1 x (b0    m1  m ) x x x a0  ( Vì tử � a0 , mẫu � ) �Nếu m n , ta có: B  lim x�� a a a1   nn11  nn ) �� x x x   a0.b0  � bm1 bm b1 �khi a0b0  � b0    m1  m x x x xn m(a0  Bài 24 Tìm giới hạn B  lim 4x2  x  8x3  x  x�� Ta có: B  xlim �� x 4 C D 1 1 1  x.3 8  4  8  x x x x  lim x x 4 x�� 3 1 x 1 x x4 Bài 25 Tìm giới hạn C  lim 4x2   x3  x�� : x2   x B � A � : Lời giải: B � A � x4  C D Lời giải: Ta có: C  xlim ��  x 1  x x  lim x�� x 1  x x x 4 Bài 26 Tìm giới hạn D  lim x x2   2x  x�� A � B �  1 x x 3 � �  � 1  1� � � x � � 4 2x3  x   x Lời giải: C : D http://dethithpt.com 58 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP http://dethithpt.com � 1� x2 � 1   � � x x x � � � � Ta có: D  xlim � � � 1 1� x � 3 5  � � x x x x� � � Bài tốn 04: Dạng vơ định: � � 0.� Phương pháp: Những dạng vơ định ta tìm cách biến đổi đưa dạng � � Các ví dụ 3 x  3x2  x2  2x) Ví dụ Tìm giới hạn sau: A  xlim( � � Lời giải Ta có: x3  3x2  x2  2x  ( x3  3x2  x)  ( x2  2x  x)  � A  lim x�� 3x2 2 3 3 3 (1 )2  1 1 x x  lim x�� 2x  (x  3x )  x x  3x  x x  2x  x 2  1  x 0 x( x2  2x  x2  x  x) Ví dụ Tìm giới hạn sau: B  xlim �� Lời giải: x2  2x  x2  x  x  Ta có: x2  2x  x2  x  x x2  2x  x   2x  2x2  2x  2x x2  2x  4x2  4x x2  2x  x2  x  x 2x ( x  2x  x  x  x)( x2  2x  x  1) 2 � B  lim x�� 2x2 ( x2  2x  x2  x  x)( x2  2x  x  1) 2 B  lim x�� 2  1  1)( 1  1 ) x x x x CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP   : ( 1  Bài Tìm giới hạn A  xlim �� x2  x   x http://dethithpt.com 59 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP B � A � C  D Lời giải: Ta có: A  lim ( x2  x   x)( x2  x   x) x�� x2  x   x x2  x  1 x2  lim x�� x2  x   x  lim x�� x  1  x2  x   x   2x  4x2  x  Bài Tìm giới hạn B  xlim � � B � A � : Lời giải: C D x 1 (2x  4x2  x  1)(2x  4x2  x  1)  lim  x �  � x�� 2x  4x  x  2x  4x2  x  B  lim n (x  a )(x  a ) (x  a )  x] Bài Tìm giới hạn C  xlim[ : n �� B � A � C a1  a2   an n D a1  a2   an 2n Lời giải: Đặt y  n (x  a1)(x  a2 ) (x  an ) � yn  xn  (y  x)(yn1  yn1x   xn1) � y  x  yn  xn yn1  yn1x   xn1 yn  xn x�� yn1  yn 2x   xn1 � lim(y  x)  lim x�� yn  xn n1 � C  lim n1 nx1 x�� y  y x   xn1 xn1 b b b yn  xn  lim(a1  a2   an   32   nn1 ) n  x�� x x�� x x x Mà lim  a1  a2   an ykxn1 k yn1  yn 2x   xn1   k  0, , n  � lim  n n n1 x�� x �  � x x lim Vậy C  a1  a2   an n http://dethithpt.com 60 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP http://dethithpt.com x2  x   x) : Bài Tìm giới hạn A  xlim( � � B � A � C  D Lời giải: x  A  lim x�� x  x  1 x  x( 4x2   x) : Bài Tìm giới hạn B  xlim �� Lời giải: B � A � C D B  � x2  x   x2  x  1) : Bài Tìm giới hạn C  xlim( ���  lim  lim x�� x�� Lời giải: B � A � C  x  x  1  lim x2  x   x2  x   lim x2  x   2x x�� x2  x   x2  x  2x x�� x2  x   x2  x  D Đáp án khác  1  8x3  2x  2x) : Bài Tìm giới hạn D  xlim( �� Lời giải: B � A � C 2x D  lim x�� (8x3  2x)2  2x3 (8x3  2x)  4x2 D 0 16x4  3x   4x2  2) : Bài Tìm giới hạn E  xlim( � � A � E  lim  x�� B �  16x4  3x   2x  lim Lời giải: C  x�� D  4x2   2x  x  1 x3 ) : Bài Tìm giới hạn F  xlim( � � A � B � C D http://dethithpt.com 61 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP Lời giải: F  � Bài tốn 05: Dạng vơ định hàm lượng giác Phương pháp: Ta sử dụng công thức lượng giác biến đổi dạng sau: sin x x tan x x  lim  , từ suy lim  lim  x�0 x�0 sin x x�0 x�0 tan x x x �lim sin u(x) tan u(x)  lim  x� x0 u(x) u(x) �Nếu lim u(x)  � lim x�x x�x Các ví dụ Ví dụ Tìm giới hạn sau: cos x  cos x A  lim x�0 sin2 x B  lim x�0 1 2x  1 3x 1 cos2x Lời giải: Ta có: A  lim x�0 Mà: lim x�0 cos x  x 1 cos x x2  lim x2 sin2 x x�0 x2 sin x cos x  cos x  1  lim  2 x�0 x x cos x  1 cos x 1 cos x 1  lim  2 x�0 x � x x cos x  cos x  lim 1 Do đó: A      12 1 2x  1 3x x2 Ta có: B  lim x�0 1 cos2x x2 1 2x  1 3x 1 2x  (1 x) (x  1)  1 3x  lim  lim x�0 x�0 x�0 x2 x2 x2 1 x  lim  lim x�0 1 2x  x  x�0 (x  1)2  (x  1) 1 3x   1 3x Mà: lim 1    1 2 lim x�0 1 cos2x 1 cos2x  lim 1 2 x � x x 1 cos2x http://dethithpt.com 62 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP http://dethithpt.com Vậy B  Ví dụ Tìm giới hạn sau: A  lim x3 sin x�0  x2  2sin x  cos3 x B  xlim �� x  1 x Lời giải: Ta có: �x sin �x3 x x3  � lim x3 sin Mà lim x�0 x�0 1  � lim x3 sin  x � x x Vậy A  Ta có: B  xlim �� 2sin x  cos3 x x  1 x 2sin x  cos2 x � � � x � � Mà: x  1 x x  1 x Do đó: B  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1 cos ax : x�0 x2 Bài Tìm giới hạn A  lim a Lời giải: B � A � C D ax � ax � 2sin sin � a  lim � � a Ta có: A  lim � x�0 x�0 � ax � x � � � � 1 sin mx  cos mx : x�0 1 sin nx  cos nx m B � C n Lời giải: Bài Tìm giới hạn A  lim A � 1 sin mx  cos mx  Ta có: 1 sin nx  cos nx D mx mx mx  2sin cos 2 nx nx nx 2sin2  2sin cos 2 2sin2 http://dethithpt.com 63  http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP mx nx mx mx sin  cos m 2  nx nx nx n mx sin sin  cos 2 2 sin mx nx mx mx sin sin  cos m lim lim 2  m A  lim nx x�0 nx nx n n x�0 mx x�0 sin sin  cos 2 2 1 cos x.cos2x.cos3x : x2 B � C.3 Lời giải: Bài Tìm giới hạn B  lim x�0 A � D Ta có: 1 cos x.cos2x.cos3x 1 cos x  cos x cos2x(1 cos3x)  cos x(1 cos2x)  x2 x2 1 cos x 1 cos3x 1 cos2x  cos x.cos2x  cos x 2 x x x2 1 cos x 1 cos3x 1 cos2x B  lim  limcos x.cos2x  limcos x 3 2 x�0 x � x � x x x2 1 cos2x A  lim x�0 Bài Tìm giới hạn 3x : 2sin A � B � C.1  D Lời giải: 3x sin x sin x   lim x( ) lim Ta có: A  lim x�0 x � x � 3x 3x x sin 2 sin Bài Tìm giới hạn B  lim x�0 A � B � cos2x  cos3x : x(sin3x  sin4x) Lời giải: C D 5x x 5x sin sin 2   lim( ).lim  B  lim x�0 x�0 x�0 7x x 5x 7x 2x cos sin cos 2 2 2sin http://dethithpt.com 64 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP Bài Tìm giới hạn C  lim x�0 x�0 1 cos2x B � A � C  lim tan2 2x tan2 2x 1 cos2x : C.6 Lời giải: D tan2 2x(1 cos2x  cos2 2x) x�0 1 cos2x  lim tan2 2x(1 cos2x  cos2 2x) x�0 2sin2 x tan2x x  2lim( ) ( ) (1 cos2x  cos2 2x) x�0 2x sin x � C   lim Bài Tìm giới hạn D  lim x�0 1 x sin 3x  cos2x D  lim x�0 : Lời giải: B � A � Ta có: x2 C D 1 xsin3x  cos2x x2 1 x sin 3x  cos2x 1 xsin 3x  1 cos2x  lim  lim 2 x�0 x�0 x�0 x x x2 sin3x  3lim( ) 2 x�0 3x 1 x sin3x  Mà : lim Vậy: D  Bài Tìm giới hạn A  lim x�1 A � B � sin(xm) : sin(xn ) n m Lời giải: C D sin (1 xm) sin (1 xm) (1 xn ) 1 xn  lim lim lim x�1 sin (1 xn ) x�1 (1 xm) x�1 sin (1 xn ) x�1 1 xm A  lim 1 xn (1 x)(xn1  xn   1) n  lim  lim  x�1 1 xm x�1 (1 x)(xm1  xm   1) m   x)tan x : Bài Tìm giới hạn B  lim(  x� http://dethithpt.com 65 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP http://dethithpt.com Lời giải: B � A � C D  x  sin x  x)  lim limsin x  Ta có: B  lim(    cosx x�  x� x� 2 sin(  x) 2 Bài 10 Tìm giới hạn C  lim x sin x�0 B � A � (  0) : x C Lời giải: D x  | x sin | x Mà lim Ta có: � x�0 x Nên theo nguyên lí kẹp � A 39  x   sin x) : Bài 11 Tìm giới hạn D  xlim(sin �� Trước hết ta có: sin x  x x  1 x C D x  Ta có: sin x   sin x  2sin Mà xlim �� Lời giải: B � A � x  1 x x  1 x  cos 2 x  1 x  nên D  cos3x  cos4x : x�0 cos5x  cos6x B � C 11 Lời giải: Bài 12 Tìm giới hạn A  lim A � D 7x x sin 2  Ta có: A  lim x�0 11x x 11 sin sin 2 sin 1 1 2sin 2x : x�0 sin3x Bài 13 Tìm giới hạn B  lim A � B � C  D http://dethithpt.com 66 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP http://dethithpt.com Lời giải: Ta có B  lim x�0  2sin 2x sin3x 1 1 2sin 2x  (1 2sin2x) Bài 14 Tìm giới hạn C  lim x�0 A � B �   sin2 2x : cos x  cos x C 96 Lời giải: D sin2 2x x2  96 Ta có: C  lim x�0 cos x  1 cos x  x2 x2 sin4 2x : x�0 sin4 3x Bài 15 Tìm giới hạn D  lim A � Ta có: D  16 81 Lời giải: B � C D 16 81  1 sin( cos x) Bài 16 Tìm giới hạn E  lim : x�0 sin(tan x) A � Lời giải: B � C D � � 1 sin � cos x� �2 � tan x E  lim 0 x�0 sin(tan x) tan x Bài 17 Tìm giới hạn F  xlim �� A � 3sin x  2cos x x  1 x Lời giải: B � 3sin x  2cos x  Ta có: � x  1 x Vậy F  : C x  1 x D � x � � http://dethithpt.com 67 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP Bài 18 Tìm giới hạn H  lim m x�0 B � A � cos ax  m cosbx : sin2 x b a  C 2n 2m Lời giải: D cos ax  1 n cos bx  b a x x2   Ta có: H  lim x�0 2n 2m sin x x m 1 n cos ax : x�0 x2 Bài 19 Tìm giới hạn M  lim n Ta có: 1 cos ax  � M  lim x�0 a 2n Lời giải: B � A � C D 1 cos ax 1 cos ax  ( cos ax)2   ( n cos ax)n1 n n 1 cos ax lim n n x � x 1 cos ax  ( cos ax)2   ( n cos ax)n1 cos3x  cos4x : cos5x  cos6x B � C 11 Lời giải: a a   n 2n Bài 20 Tìm giới hạn A  lim x�0 A � D 7x x sin 2  Ta có: A  lim x�0 11x x 11 sin sin 2 sin 1 1 2sin 2x : x�0 sin3x Bài 21 Tìm giới hạn B  lim B � A � C  D Lời giải: Ta có B  lim x�0  2sin 2x sin3x 1 1 2sin 2x  (1 2sin2x)2 Bài 22 Tìm giới hạn C  lim x�0 A � B �   sin2 2x : cos x  cos x C 96 D http://dethithpt.com 68 http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP Lời giải: sin 2x x2  96 Ta có: C  lim x�0 cos x  1 cos x  x2 x2 sin4 2x : x�0 sin4 3x Bài 23 Tìm giới hạn D  lim 16 81 Lời giải: B � A � C D �sin2x � � 3x � 16 16 Ta có: D  lim � �.� �  x�0 � 2x � �sin3x � 81 81  1 sin( cos x) Bài 24 Tìm giới hạn E  lim : x�0 sin(tan x) A � B � C.1 Lời giải: D � � 1 sin � cos x� �2 � sin(tan x)  1; Ta có: Mà lim tan x x � E  lim tan x x�0 sin(tan x) tan x � x�  sin2 � � 2� 2sin2 � � � �  � � � 1 sin � cos x� 1 cos � (1 cos x)� � � 2 � � � � � � lim  lim  lim x�0 x � x � tan x tan x tan x � x�  sin2 � � 2� sin2 � x � � sin2 � �  � � x x   lim x � x x tan x  sin2 ( )2 2 Do đó: E  Bài 25 Tìm giới hạn F  xlim �� 3sin x  2cos x x  1 x : http://dethithpt.com 69 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP http://dethithpt.com Lời giải: B � A � 3sin x  2cos x  Ta có: � x  1 x Vậy F  C x  1 x Bài 26 Tìm giới hạn H  lim m x�0 B � A � D � x � � cos ax  m cosbx : sin2 x b a  C 2n 2m Lời giải: D cos ax  1 n cos bx  b a x2 x2   Ta có: H  lim x�0 2n 2m sin x x m Bài 27 Tìm giới hạn M  lim x�0 B � A � 1 3x  1 2x : 1 cos2x C  Lời giải: D 3x   2x  1  x Ta có: M  lim  2 x�0 1 cos2x x http://dethithpt.com 70 ...http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn dãy số 1.1 Định nghĩa: �Dãy số (un ) gọi có giới hạn n tiến dương... Vấn đề Tìm giới hạn dãy số dựa vào định lý giới hạn Phương pháp: Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP f (n)... GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP x định nghĩA x�� x  B � C 2 Lời giải: Bài Tìm giới hạn hàm số lim A � lim x�� D.1 x 1 x 2x2  x  định nghĩA x�� x B � C 2 D.1 Lời giải: Bài Tìm giới hạn hàm