GIOI HAN Gioi han ham so Ly thuyet Bai tap van dung File word

Định nghĩa:  Dãy số un được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều[r]

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn dãy số 1.1 Định nghĩa:  Dãy số (un ) gọi có giới hạn n tiến dương vô cực với số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, số hạng dãy số , kể từ số hạng trở đi, lim un 0 lim un 0 có giá tri tuyệt dối nhỏ số dương Kí hiệu: x  Hay là: x u   , n  n0 với   nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho: n  lim un a  lim  un  a  0 x   x   , tức là: Với   nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho un  a   , n  n0 Dãy số (un) có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn 1.2 Một số giới hạn đặc biệt  lim 0 nk với k   * lim q n 0  Nếu q  n  lim u  lim c c  Nếu un c (với c số) n  n n  lim un a Chú ý: Ta viết lim un a thay cho cách viết n  Một số định lí giới hạn Định lí Nếu dãy số (un) thỏa lim un 0 un  kể từ số hạng trở lim 0 Định lí Cho lim un a , lim b Ta có:  lim(un  ) a  b lim(un  ) a  b  lim  lim(un ) a.b  un a  (b 0) b  Nếu un 0 n lim un  a Tổng CSN lùi vô hạn q 1 Cho CSN (un ) có cơng bội q thỏa Khi tổng S u1  u2   un  gọi tổng vô hạn CSN u1 (1  q n ) u S lim Sn lim  1 q 1 q Giới hạn vô cực 4.1 Định nghĩa: lim un    n    n  với số dương tuỳ ý cho trước , số hạng dãy số , kể từ số hạng trở đi, lớn số dương lim un    lim   un   n   4.2 Một số kết đặc biệt k  lim n  với k  n  lim q  với q  4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cựC Quy tắc 1: Nếu lim un  , lim  lim(un ) cho sau; lim un lim lim(un )             Quy tắc 2: Nếu lim un  , lim l lim(un ) cho sau; lim un lim(un ) Dấu l             Quy tắc 3: Nếu lim un l , lim 0   kể từ số hạng dó trở u lim n coi sau; u Dấu l Dấu lim n Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại  Để chứng minh lim un  ta chứng minh với số M  lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM cho un  M n  nM  Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(  un )   Một dãy số có giới hạn giới hạn Các ví dụ Ví dụ Chứng minh rằng: lim n2 1 n 1 lim n2  1  n2   2n lim n2   Lời giải: na   a Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn , ta có: n2 1 1  a n 1 n  na  lim Suy với n  na n2 n2  0  lim 1 n 1 n 1 Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn n2  1 3    a 2n  n  na  lim Suy n2  2  lim Suy 1 a , ta có: với n  na n2  1 n2  1    lim  n2  2n2  Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn  2n na   n  n2  1  2n n2  n2  na    0  lim 1 a2 , ta có:  2n  2(n  1) n2  1  2n Ví dụ Chứng minh dãy số n2   3  n2  a a n 1 với n  na  (un ) : un (  1)n khơng có giới hạn Lời giải: Ta có: u2 n 1  lim u2 n 1; u2 n1   lim u2 n1  Vì giới hạn dãy số có nên ta suy dãy (un) khơng có giới hạn Ví dụ Chứng minh giới hạn sau: lim n2   n lim Lời giải: Với số thực dương M lớn tùy ý, ta có: 2 n n   n2  M  M2   M  n2  Mn    n  n  M  M2   n2  n0    M , n  n0   Ta chọn ta có: n Do đó: lim n2   n Với M  lớn tùy ý, ta có: Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại D Lời giải: 1 1   a n  na na   lim 0 n  n  a a n 1 Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn ta có nên có Bài Giá trị lim A nk ( k  *) bằng: B.2 C.4 D Lời giải: Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn Bài Giá trị A lim na  k 1 1  k  a n  na lim k 0 k n n a ta có a n nên có sin n n  bằng: B.3 C.5 D Lời giải: sin n 1    a n  na na   n  n  na  a  a Với nhỏ tùy ý, ta chọn ta có nên có sin n lim 0 n2 Bài Giá trị lim(2n  1) bằng: A  B   C.0 Lời giải: Với số dương M lớn tùy ý ta chọn nM  M D Ta có: 2n   2nM   M n  nM  lim(2n  1)  Bài Giá trị A  lim  n2 n bằng: B   C.0 D Lời giải: Với số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa  nM  nM 1 M nM M  M2  n2  n2   M n  nM  lim  n Ta có: n Vậy lim  n2   n Bài Giá trị A  lim n  bằng: B   C.0 D Lời giải: 2 na   a Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn  1   2  a n  na  lim 0 n 1 Suy n  Bài Giá trị A  lim cos n  sin n n2  bằng: B   C.0 D Lời giải: cos n  sin n Ta có n  Bài Giá trị A  cos n  sin n lim 0  lim 0 n mà n n2  lim n 1 n2 B   bằng: C.0 Lời giải:   na   1  a  Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 n 1   a n  na  lim 0 n  n  n  Ta có: D Bài Giá trị A  lim 3n3  n n2 bằng: B   C.0 D Lời giải:  M nM     3 Với M  lớn tùy ý, ta chọn 3n  n 3n   M n  nM n Ta có: n Vậy lim 3n  n  n2 lim 2 n n 1 Bài 10 Giá trị A  bằng: B   C.0 D Lời giải: 1  nM      a  Với M  lớn tùy ý , ta chọn n Ta có: 1n lim Suy  n1  2 n n 1 n 1   n   M n  nM   Bài 11 Giá trị A  2n  n  bằng: B   A lim C.2 D Lời giải: Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn na  2  a 2n  5 2   a n  na n n  na  Ta có: Vậy A 2 Bài 12 Giá trị A  B lim 2n  n2  bằng: B   C.0 Lời giải: Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa  na   a  4a  13 a 2na  a na2  D 2n   a n  na  B 0 Ta có: n  n2  C lim n 1 Bài 13 Giá trị bằng: A  B   C.0 D Lời giải: na   a Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn n2  n2 1 1  a n  na n 1 n 1 na  Ta có: Vậy C 1 Bài 14 Giá trị A  A lim n n 2n bằng: C B   D Lời giải: A Bài 15 Giá trị A  B lim n sin n  3n2 n2 bằng: C  B   D Lời giải: B  C lim Bài 16 Giá trị A  n 2 n 7 B   bằng: C.0 D Lời giải: C 0 D lim Bài 17 Giá trị A  4n  n  3n  B   bằng: C.0 D Lời giải: D 4 an lim 0 n! Bài 18 Giá trị bằng: A  B   C.0 Lời giải: m 1  a Gọi m số tự nhiên thỏa: Khi với n  m  D m a  a  an a a a a a 0     n ! m m  n m !  m   Ta có:  a  lim    m 1    Mà n m n m 0 Từ suy ra: lim an 0 n! n Bài 19 Giá trị lim a với a  bằng: A  B   D C.0 Lời giải: Nếu a 1 ta có đpcm a     Giả sử a  Khi đó: Suy ra:  n a  1   n a    n  n  n a  a 0 n n nên lim a 1 1   lim n 1  lim n a 1 a  Với  a  a n Tóm lại ta ln có: lim a 1 với a  Vấn đề Tìm giới hạn dãy số dựa vào định lý giới hạn Phương pháp: Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn lim  Khi tìm tử mẫu f ( n) g(n) ta thường chia tử mẫu cho nk , k bậc lớn lim  k f ( n)  m g( n)    lim f ( n) lim g( n)  ta thường tách sử  Khi tìm dụng phương pháp nhân lượng liên Các ví dụ Ví dụ Tìm giới hạn sau : A lim n     (2n  1) 2n  B lim Lời giải: Ta có:     2n  n n2 A lim lim 2n  Suy 2 n2     n  n  2   n2  2n Ta có:    n  n(n  1) ; 12  2   n2  n( n  1)(2n  1)  1 n2    n n(n  1)  n n 2 B lim lim  n ( n  1)(2 n  1)     3  2n n3       n n     2n Suy : 1 2 Ví dụ Tìm giới hạn sau :   1   C lim               n    1 1  D lim      n(n  1)   1.2 2.3 3.4 Lời giải: Ta có: 1 ( k  1)( k  1)  k2 k2 nên suy   1   1.3 2.4 (n  1)(n  1) n             2n    n  n2  Do C lim n 1  2n 1 1 1 1       1  n(n  1) n 1 Ta có k( k  1) k k  nên suy 1.2 2.3 3.4   D lim   1 n    Vậy Ví dụ Tìm giới hạn sau : 4n1  5n 1 A lim n  5n 4.3n2  2.7 n B lim n  n1 Lời giải: n  4 4   5 A lim  n  n  4  4 lim   0   1 n    5 Chia tử mẫu cho ta có: ( ) n  4 36    7 B lim  n  49  4   7   Ta có:   1   C lim               n   Ví dụ Tìm giới hạn sau : Lời giải: Ta có: 1 ( k  1)( k  1)  k2 k2 nên suy   1   1.3 2.4 (n  1)(n  1) n             2n    n  n2  Do C lim n 1  2n CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Giá trị A  A lim 2n2  3n  3n2  n  bằng: C B   D Lời giải: 2  n n 2 A lim 3  n n Ta có: n2  n B lim Bài Giá trị 3n2  bằng: n A  B   C.0 D  Lời giải: n2  n 1 n  n B lim lim 1 n  3n  1  n n Ta có: Bài Giá trị A   2n C lim B   1   n  2 n17  bằng: C.16 Lời giải: 2 ) n (1  )9 (2  )4 (1  )9 n lim n n n 1 n17 (1  17 )  17 n n n8 (2  C lim Ta có: Suy C 16 D ... 0   kể từ số hạng dó trở u lim n coi sau; u Dấu l Dấu lim n Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ So? ??n tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại  Để chứng... chọn ta có: n Do đó: lim n2   n Với M  lớn tùy ý, ta có: Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ So? ??n tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại D Lời