Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)

Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)

CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn dãy số 1.1 Định nghĩa:  Dãy số (un ) gọi l| có giới hạn n tiến dương vô cực với số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, số hạng dãy số , kể từ số hạng n|o trở đi, có gi{ tri tuyệt dối nhỏ số dương Kí hiệu: lim un  Hay l|: lim un  v| x  x 0 với   nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho: un  , n  n0  lim un  a  lim  un  a   , tức l|: Với   nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên x x n0 cho un  a   , n  n0 Dãy số (un) có giới hạn l| số thực gọi l| dãy số có giới hạn hữu hạn 1.2 Một số giới hạn đặc biệt  lim  với k  ¥ * nk  Nếu q  lim qn  n  Nếu un  c (với c l| số) lim un  lim c  c n n Chú ý: Ta viết lim un  a thay cho c{ch viết lim un  a n Một số định lí giới hạn Định lí Nếu dãy số (un) thỏa un  kể từ số hạng n|o trở v| lim  lim un  Định lí Cho lim un  a, lim  b Ta có:  lim(un  )  a  b  lim(un  )  a  b  lim(un )  a.b  lim un a  (b  0) b  Nếu un  n lim un  a Tổng CSN lùi vô hạn Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q  Khi tổng S  u1  u2   un  gọi l| tổng vô hạn CSN v| u1 (1  qn ) u S  lim Sn  lim  1 q 1 q Giới hạn vô cực 4.1 Định nghĩa:  lim un    với số dương tuỳ ý cho trước , số hạng dãy số , kể từ n số hạng n|o trở đi, lớn số dương  lim un    lim  un    n n 4.2 Một số kết đặc biệt  lim nk   với k   lim qn   với q  4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC Quy tắc 1: Nếu lim un   , lim   lim(un ) cho sau; lim un lim lim(un )             Quy tắc 2: Nếu lim un   , lim  l lim(un ) cho sau; lim un Dấu l lim(un )             Quy tắc 3: Nếu lim un  l , lim  v|   kể từ số hạng n|o dó trở lim un coi sau; Dấu l Dấu             lim un Vấn đề Tìm giới hạn định nghĩa Phƣơng pháp:  Để chứng minh lim un  ta chứng minh với số a  nhỏ tùy ý tồn số na cho un  a n  na  Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l)   Để chứng minh lim un   ta chứng minh với số M  lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM cho un  M n  nM  Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(un )    Một dãy số có giới hạn giới hạn l| Các ví dụ Ví dụ Chứng minh rằng: lim n2 1 n1 lim n2  1  n2   2n lim n2   2 Lời giải: 1 Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na   , ta có: a n2 1 1    a với n  na n1 n  na  Suy lim n2 n    lim  n1 n1 Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na   , ta có: a n2  1 3     a với n  na 2n  n  na  Suy lim n2  1 n2  1    lim  n2  2 n2  Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na   2n n2  2  Suy lim  n  n2  1  2n n2  n2      lim  , ta có: a2  2n  2(n  1) n2  1  2n n2   n2   na2   a với n  na  2 Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) : un  ( 1)n giới hạn Lời giải: Ta có: u2n   lim u2n  1; u2n1  1  lim u2 n1  1 Vì giới hạn dãy số có l| nên ta suy dãy (un) giới hạn Ví dụ Chứng minh c{c giới hạn sau: lim n2    n lim Lời giải: Với số thực dương M lớn tùy ý, ta có: n2  M  M2   M  n2  Mn    n  n 2n n    M  M2   n2  Ta chọn n0    M , n  n0  ta có: n   Do đó: lim n2    n Với M  lớn tùy ý, ta có:  M  M2     M  n M n 2   n     n   n2 Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn) XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU ĐỀ THI FILE WORD” RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI: 0969.912.851   n2 M  M2      ta có: Ta chọn n0    M , n  n0    n    Do đó: lim 2n n   CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Gi{ trị lim bằng: n1 A B.1 C.2 D Lời giải: 1 1   a n  na nên có lim Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na   ta có 0 n  na  n1 a Bài Gi{ trị lim A nk ( k  ¥ *) bằng: B.2 C.4 Lời giải: D Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na  Bài Gi{ trị lim A k 1 1 ta có k  k  a n  na nên có lim k  a n na n sin n bằng: n2 B.3 C.5 D Lời giải: sin n 1 Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na   ta có    a n  na nên có n  n  na  a lim sin n 0 n2 Bài Gi{ trị lim(2n  1) bằng: A  B  C.0 D Lời giải: Với số dương M lớn tùy ý ta chọn nM  M 1 Ta có: 2n   2nM   M n  nM  lim(2n  1)   Bài Gi{ trị lim A   n2 n bằng: B  C.0 D Lời giải: nM 1 M Với số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa nM  nM  Ta có: M  M2  n2  n2   M n  nM  lim   n n Vậy lim  n2   n Bài Gi{ trị lim A  bằng: n1 B  C.0 D Lời giải: 2  Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na    1  a  Suy 2  a n  na  lim  n1 n1 Bài Gi{ trị lim A  cos n  sin n bằng: n2  B  C.0 Lời giải: D cos n  sin n Ta có n  cos n  sin n m| lim   lim 0 n n n2  n1 bằng: n2 Bài Gi{ trị lim A  B  C.0 D Lời giải: 1  Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn na    1  a  Ta có: n1 n1   a n  na  lim 0 n2 n2 n1 Bài Gi{ trị lim A  3n3  n bằng: n2 B  C.0 D Lời giải: M Với M  lớn tùy ý, ta chọn nM     3 Ta có: 3n3  n  3n   M n  nM n n Vậy lim 3n3  n   n2 Bài 10 Gi{ trị lim A  2n n1 bằng: B  C.0 D Lời giải: 1  Với M  lớn tùy ý , ta chọn nM      a  Ta có: n2 1 n Suy lim  n1  2n n1 n1   Bài 11 Gi{ trị A  lim A    n   M n  nM 2n  bằng: n2 B  C.2 Lời giải: Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn na  Ta có: 22 a 2n  5 2    a n  na n2 n  na  D Vậy A  2n  bằng: n2  B  Bài 12 Gi{ trị B  lim A  C.0 D Lời giải: Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa  na  Ta có: 2na  a na2  1  a2  4a  13 a 2n   a n  na  B  n2  Bài 13 Gi{ trị C  lim A  n2  bằng: n1 B  C.0 D Lời giải: Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn na   a n2  n2 1  1   a n  na n1 n1 na  Ta có: Vậy C  Bài 14 Gi{ trị A  lim A  n2 n 2n bằng: B  C D Lời giải: A n sin n  3n2 n2 B  Bài 15 Gi{ trị B  lim A  bằng: C 3 D Lời giải: B  3 Bài 16 Gi{ trị C  lim A  n 2 n 7 B  bằng: C.0 D Lời giải: C0 Bài 17 Gi{ trị D  lim A  4n  n  3n  B  bằng: C.0 D Lời giải: D4 Bài 18 Gi{ trị lim A  an  bằng: n! B  C.0 D Lời giải: Gọi m l| số tự nhiên thỏa: m   a Khi với n  m  m a  a  an a a a a a Ta có:      n ! m m  n m !  m    a  M| lim    m1   n m  Từ suy ra: lim n m an 0 n! Bài 19 Gi{ trị lim n a với a  bằng: A  B  C.0 D Lời giải: Nếu a  ta có đpcm  Giả sử a  Khi đó: a  1    n  n a    n   n  a 1 Suy ra:  n a   a  nên lim n a  n  Với  a  1   lim n   lim n a  a a Tóm lại ta có: lim n a  với a  Vấn đề Tìm giới hạn dãy số dựa vào định lý giới hạn Phƣơng pháp: Sử dụng c{c định lí giới hạn, biến đổi đưa c{c giới hạn  Khi tìm lim f (n) ta thường chia tử v| mẫu cho nk , k l| bậc lớn g(n) tử v| mẫu  Khi tìm lim  k f (n)  m g(n)  lim f (n)  lim g(n)   ta thường t{ch v| sử   dụng phương ph{p nh}n lượng liên Các ví dụ Ví dụ Tìm c{c giới hạn sau : A  lim n     (2n  1) 2n2  B  lim Lời giải:    n  n 12  22   n2  2n Ta có:     2n   n2 n2 Suy A  lim  lim 2n  Ta có:    n  2 n2  n(n  1) ; 12  22   n2  n(n  1)(2n  1)  1 n2    n(n  1)  n n n 2 Suy : B  lim  lim  n ( n  1)(2 n  1)    3  2n n      n  n   2n 1 2 Ví dụ Tìm c{c giới hạn sau :   1   C  lim              n    1 1      D  lim  n(n  1)   1.2 2.3 3.4 Lời giải: Ta có:  ( k  1)( k  1) nên suy  k2 k2   1   1.3 2.4 (n  1)(n  1) n            2n n2     n  n1  2n 1 1 1 1      1   Ta có nên suy 1.2 2.3 3.4 n(n  1) n1 k( k  1) k k  Do C  lim   Vậy D  lim      n1 Ví dụ Tìm c{c giới hạn sau : A  lim n   5n  n  5n B  lim 4.3n  2.7 n1 n  n 1 Lời giải: n 4 4   n 5 4 n  Chia tử v| mẫu cho ta có: A  lim  5 ( lim    ) n 5 4   1   n 4 36    7 2 Ta có: B  lim  n  49 4  7     1   Ví dụ Tìm giới hạn sau : C  lim              n   Lời giải: Ta có:  ( k  1)( k  1) nên suy  k2 k2   1   1.3 2.4 (n  1)(n  1) n            2n n2     n  Do C  lim n1  2n Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn) XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU ĐỀ THI FILE WORD” RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI: 0969.912.851 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Gi{ trị A  lim A  2n2  3n  bằng: 3n2  n  B  C D Lời giải:  n n 2 Ta có: A  lim 3  n n 2 Bài Gi{ trị B  lim A  n2  2n n  3n2  B  bằng: C.0 Lời giải: D 1 x2   C  lim x   1 x 2 3 Bài 16 Tìm giới hạn D  lim x  A   x  x6  x3  x4 : B  C D 1 Lời giải: 1  1 x D  lim x  1 x  1  1  x x Bài 17 Tìm giới hạn A  lim x  A   x2  x   2x3  x  B  C : D Lời giải:  1 1  Ta có: A  lim  x    x    x   x x x x    1 1   lim x          x   x x x x    Bài 18 Tìm giới hạn B  lim x  x  x  x  A  : B  C D Lời giải:  1 Ta có: B  lim  x  x   x   x x  Bài 19 Tìm giới hạn C  lim x  A    1   lim x     x  x x    x2  x   x B   : C      D Lời giải: Ta có: C  lim x   1 x1  1 x x1   x  lim   lim x  1 1 x  x   x x 4  2 x    2x x x x x Bài 20 Tìm giới hạn D  lim x   x3  x2   x2  x   : A  C  B  D Lời giải: Ta có:  D  lim x   x3  x2   x  lim x    x2  x   x  M  N x2  M  lim x  ( x  x  1)  x x  x   x x1 N  lim x  x  x1  x 1  lim x   1  x 1  1 x x2  Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn) XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU ĐỀ THI FILE WORD” RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI: 0969.912.851 Do đó: B  1   Bài 21 Tìm giới hạn A  lim x  A   x2  x   x2  x  x B  C  Lời giải: Ta có: x2  x   x2  x  x      x  x   x  4( x  x) x2  x   x2  x  x x x  x    5x  x x2  x   x2  x  x 2x  x2  x   x  x  x1  x  x  x 2   5x x  x   x2  x  x : D   x( x  1) x2  x   x2  x  x  Do đó: A  lim x   x2  x   x  5x x2  x   x2  x  x 2   x    1 1 1    1          x x x x x     5 x  lim    x  4 1 1   1 1 x x x Bài 22 Tìm giới hạn B  lim x( x2  2x  x2  x  x) : x  A  C  B  D Lời giải: Ta có: 2x2  2x  2x x2  2x  4x2  4x x2  2x  x2  x  x   2x  Nên B  lim x  x2  2x  x2  x  x x2  2x  x  x2  2x  x2  x  x 2 x ( x  x  x  x  x)( x  x  x  1) 2 2 x2 ( x2  x  x2  x  x)( x  x  x  1) 2  x  2 (     1)(    ) x x x x  lim a0 xn   an1 x  an , (a0 b0  0) : x  b x m   b x  b m 1 m Bài 23 Tìm giới hạn A  lim A  B  C Lời giải: a a a1   nn11  nn ) x x x Ta có: A  lim x  b b b x m (b0    mm11  mm ) x x x xn ( a0  D Đ{p {n kh{c a a a1   nn11  nn a x x x   Nếu m  n  B  lim x  bm1 bm b0 b1 b0    m1  m x x x a0  a a a1   nn11  nn x x x  Nếu m  n  B  lim 0 x  bm1 bm b1 mn x (b0    m1  m ) x x x a0  ( Vì tử  a0 , mẫu  )  Nếu m  n , ta có: B  lim x  a a a1   nn11  nn )  a b  0 x x x   bm1 bm b1  a b 0 0  b0    m1  m x x x xnm ( a0  Bài 24 Tìm giới hạn B  lim 4x2  x  8x3  x  x  A  x4  B  C : D Lời giải: Ta có: B  lim x 4 x  1 1 1  x   4  8  x x x x  lim x x 4 x  3 1 x 1 x x4 Bài 25 Tìm giới hạn C  lim x2   x3  x  A  : x 1  x B  C D Lời giải: Ta có: C  lim x   x 1  x x  lim x  x 1  x x x 4 Bài 26 Tìm giới hạn D  lim B      x x2   2x  x  A  4 2x3  x   x  1 x x 3  1   1  x  : C Lời giải: D   x2       x x  x  Ta có: D  lim   x   1 1 x  3 5    x x  x x  Bài toán 04: Dạng vô định:    0. Phƣơng pháp: Những dạng vô định n|y ta tìm c{ch biến đổi đưa dạng   Các ví dụ Ví dụ Tìm c{c giới hạn sau: A  lim( x3  3x2  x2  2x ) x  Lời giải Ta có: x3  3x2  x2  2x  ( x3  3x2  x)  ( x2  2x  x) 3x   A  lim x  ( x  3x )  x x  3x  x 3 2 3 3 (1  )2   1 x x  lim 2 x  x  2x  x 2 x   1 1 x  Ví dụ Tìm giới hạn sau: B  lim x( x2  2x  x2  x  x) x  Lời giải: x2  2x  x2  x  x  Ta có: x2  2x  x2  x  x x2  2x  x   2x  2x2  2x  2x x2  2x  4x2  4x x2  2x  x2  x  x 2 x ( x2  x  x  x  x)( x  x  x  1)  B  lim x  2 x2 ( x2  x  x2  x  x)( x2  x  x  1) 2  x  2 (     1)(    ) x x x x B  lim CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm giới hạn A  lim x  A   B  x2  x   x  : C  Lời giải: D Ta có: A  lim ( x2  x   x)( x2  x   x) x  x2  x   x  lim x  x2  x   x2 x2  x   x  lim x  x  1  x2  x   x  Bài Tìm giới hạn B  lim x  x2  x  x  A  : B  C D Lời giải: B  lim (2 x  x  x  1)(2 x  x  x  1) x  2x  4x2  x   lim x  x1 2x  4x2  x   Bài Tìm giới hạn C  lim [ n ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an )  x] : x  A  B  C a1  a2   an n D a1  a2   an 2n Lời giải: Đặt y  n ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an )  yn  xn  ( y  x)( y n1  y n1x   xn1 )  y  x  y n  xn y n1  y n1 x   xn1 y n  xn x  y n1  y n x   x n1  lim( y  x)  lim x  y n  xn x n 1  C  lim n1 n  x  y  y x   xn1 x n 1 b b b y n  xn  lim( a1  a2   an   32   nn1 ) n  x  x  x x x x M| lim  a1  a2   an y k xn1 k y n1  y n2 x   xn1 lim  k  0, , n   lim n x  x  x n 1 x n 1 Vậy C  a1  a2   an n Bài Tìm giới hạn A  lim( x  x   x) : x  A  B  C  Lời giải: A  lim x  x  x2  x   x  2 D Bài Tìm giới hạn B  lim x( x2   x) : x  A  B  C D Lời giải: B   Bài Tìm giới hạn C  lim( x2  x   x2  x  1) : x  A  B  C D Đ{p {n kh{c Lời giải:  lim  lim x  x   x  x    lim x2  x   x2  x   lim x2  x   2 x x  x  x   x2  x  2 x x  x2  x   x2  x  2  1  Bài Tìm giới hạn D  lim( 8x  2x  2x) : x  A  B  C D Lời giải: 2x D  lim x  (8 x3  x)2  x (8 x  x)  x 0 Bài Tìm giới hạn E  lim( 16 x4  3x   4x2  2) : x  A  E  lim x   B   16x4  3x   2x  lim x  C  D Lời giải:  4x2   2x  Bài Tìm giới hạn F  lim( x   x3 ) : x  A  B  C Lời giải: F   Bài toán 05: Dạng vô định hàm lƣợng giác Phƣơng pháp: Ta sử dụng c{c công thức lượng gi{c biến đổi c{c dạng sau: sin x x tan x x  lim  , từ đ}y suy lim  lim 1 x 0 x 0 sin x x 0 x 0 tan x x x sin u( x) tan u( x)  v| lim   Nếu lim u( x)   lim x  x0 x  x0 x  x0 u( x) u( x)  lim Các ví dụ D Ví dụ Tìm c{c giới hạn sau: cos x  cos x sin x A  lim x 0  x   3x B  lim  cos x x 0 Lời giải: cos x  x2  cos x x2  lim x2 sin x x0 x2 sin x Ta có: A  lim x 0 cos x  cos x  1  lim  2 x  x x cos x  M|: lim x 0 lim x 0  cos x  cos x 1  lim  2 x  x x cos x  cos x  1 Do đó: A      12  x   3x x2 Ta có: B  lim x 0  cos x x2  x   3x  x  (1  x) ( x  1)   3x  lim  lim x 0 x 0 x 0 x2 x2 x2 1 x3  lim  lim x 0 x 0  2x  x  ( x  1)2  ( x  1)  3x  1  3x  M|: lim 1   1 2 lim x 0  cos x  cos x  lim 1 2 x  x x  cos x Vậy B  Ví dụ Tìm c{c giới hạn sau: A  lim x3 sin x 0 x2 x  Lời giải: Ta có:  x sin  x3 x M| lim x3   lim x3 sin x 0 x 0 1   lim x3 sin  x  x x Vậy A  Ta có: B  lim x   B  lim sin x  cos3 x sin x  cos x x1  x  x1  x  sin x  cos2 x M|:  x1  x  x1  x  x   Do đó: B  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm giới hạn A  lim x 0 A   cos ax : x2 B  C a D Lời giải: ax  ax  sin sin    a lim    a Ta có: A  lim x 0 x  2 x  ax    Bài Tìm giới hạn A  lim x 0 A   sin mx  cos mx :  sin nx  cos nx B  C m n D Lời giải:  sin mx  cos mx  Ta có:  sin nx  cos nx mx mx mx  sin cos 2 nx nx nx sin  sin cos 2 2 sin  m A  lim n x 0 m n mx nx mx mx sin  cos 2 mx nx nx nx sin sin  cos 2 2 sin mx nx mx mx sin  cos lim lim 2  m mx x0 nx x0 nx nx n sin sin  cos 2 2 sin  cos x.cos x.cos x : x2 B  C.3 Bài Tìm giới hạn B  lim x 0 A  D Lời giải: Ta có:  cos x.cos x.cos 3x  cos x  cos x cos x(1  cos 3x)  cos x(1  cos x)  x2 x2  cos x  cos 3x  cos x   cos x.cos x  cos x 2 x x x2  cos x  cos 3x  cos x B  lim  lim cos x.cos 2x  lim cos x 3 2 x 0 x 0 x 0 x x x2 Bài Tìm giới hạn A  lim x 0 A   cos x : 3x sin B  C.1 D Lời giải: Ta có: A  lim x 0 sin x sin x  lim x( ) lim x  3x x x 0 sin Bài Tìm giới hạn B  lim x 0 A  3x  3x sin cos x  cos x : x(sin 3x  sin x) B  C D Lời giải: 5x x 5x sin sin 2   lim( ).lim  B  lim x 0 x 0 x 0 7x x 5x 7x 2 x cos sin cos 2 2 sin Bài Tìm giới hạn C  lim x 0 A  tan 2 x  cos x B  : C.6 D Lời giải: C  lim x 0 tan 2 x  cos x  lim x 0 tan 2 x(1  cos x  cos 2 x )  cos x tan 2 x(1  cos x  cos 2 x )  lim x 0 sin x tan x x  lim( ) ( ) (1  cos x  cos 2 x ) x 0 2x sin x C  Bài Tìm giới hạn D  lim x 0 A  x2 :  x sin 3x  cos x B  C Lời giải: Ta có: D  lim x 0 M| : lim x 0 1  x sin 3x  cos x x2  x sin 3x  cos x  x sin 3x  1  cos x  lim  lim 2 x  x  x x x2 D  3lim( x 0 Vậy: D  sin 3x )2  3x  x sin 3x  sin( x m ) Bài Tìm giới hạn A  lim : x 1 sin( x n ) A  B  C n m D Lời giải: A  lim x 1 sin (1  xm ) sin (1  xm ) (1  xn )  xn  lim lim lim sin (1  xn ) x1 (1  xm ) x1 sin (1  xn ) x1  xm  xn (1  x)( xn1  xn2   1) n  lim  lim  x 1  x m x 1 (1  x)( x m 1  x m    1) m  Bài Tìm giới hạn B  lim(  x) tan x :  x A  B  C D Lời giải:  x  sin x  lim lim sin x  Ta có: B  lim(  x)    cos x x  x  x) x  2 sin( Bài 10 Tìm giới hạn C  lim x sin x 0 A  B  (  0) : x C D Lời giải: Ta có: | x sin | x M| lim x  x 0 x Nên theo nguyên lí kẹp  A39  Bài 11 Tìm giới hạn D  lim(sin x   sin x ) : x  A  B  C D Lời giải: Trước hết ta có: sin x  x x  Ta có: sin x   sin x  2sin M| lim x  x1  x x1  x x1  x  cos 2 x1  x  nên D  cos 3x  cos x : cos 5x  cos x Bài 12 Tìm giới hạn A  lim x 0 A  B  C 11 D Lời giải: 7x x sin 2  Ta có: A  lim x 0 11x x 11 sin sin 2 sin Bài 13 Tìm giới hạn B  lim x 0 A    sin x : sin 3x C  B  D Lời giải: Ta có B  lim x 0 2 sin x  sin 3x   sin x  (1  sin x)2 sin 2 x Bài 14 Tìm giới hạn C  lim x 0 A  cos x  cos x B    : C 96 D Lời giải: sin 2 x x2  96 Ta có: C  lim x 0 cos x  1  cos x  x2 x2 Bài 15 Tìm giới hạn D  lim x 0 A  sin x : sin 3x B  C 16 81 D Lời giải: Ta có: D  16 81   sin( cos x) Bài 16 Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x) A  B  C Lời giải:    sin  cos x  2  tan x E  lim 0 x 0 sin(tan x) tan x D 3sin x  cos x Bài 17 Tìm giới hạn F  lim x1  x x  A  : B  C D Lời giải: Ta có:  3sin x  cos x x1  x  x1  x  x   Vậy F  m Bài 18 Tìm giới hạn H  lim x 0 A  cos ax  m cos bx : sin x B  C b a  2n m D Lời giải: cos ax  1  n cos bx  b a x x2 Ta có: H  lim   x 0 2n m sin x x m Bài 19 Tìm giới hạn M  lim x 0 A   n cos ax : x2 B  C a 2n D Lời giải: Ta có:  n cos ax   M  lim x 0  cos ax  cos ax  ( cos ax )2   ( n cos ax )n1 n n  cos ax lim n n x  x  cos ax  ( cos ax )2   ( n cos ax )n1 cos 3x  cos x : cos 5x  cos x Bài 20 Tìm giới hạn A  lim x 0 A  a a   n 2n B  C 11 D Lời giải: 7x x sin 2  Ta có: A  lim x 0 11x x 11 sin sin 2 sin Bài 21 Tìm giới hạn B  lim x 0 A    sin x : sin 3x B  C  Lời giải: D Ta có B  lim x 0 2 sin x  sin 3x   sin x  (1  sin x)2 sin 2 x Bài 22 Tìm giới hạn C  lim x 0 A  cos x  cos x   : C 96 B  D Lời giải: sin x x2  96 Ta có: C  lim x 0 cos x  1  cos x  x2 x2 Bài 23 Tìm giới hạn D  lim x 0 A  sin x : sin 3x B  C 16 81 D Lời giải:  sin x  Ta có: D  lim   x 0  2x  4  3x  16 16     sin 3x  81 81   sin( cos x) Bài 24 Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x) A  B  C.1 Lời giải:    sin  cos x  2  sin(tan x) tan x Ta có: E  lim M| lim  1; x 0 x 0 sin(tan x) tan x tan x      sin  cos x   cos  (1  cos x) 2   lim 2  lim x 0 x 0 tan x tan x  x  sin   2 sin       lim x 0 tan x  x  sin   2 sin    sin x    x x   lim x x x 0 tan x  sin ( )2 2 Do đó: E  D Bài 25 Tìm giới hạn F  lim 3sin x  cos x x1  x x  A  B  : C D Lời giải: Ta có:  3sin x  cos x x1  x  x1  x  x   Vậy F  Bài 26 Tìm giới hạn H  lim m x 0 A  cos ax  m cos bx : sin x B  C b a  2n m D Lời giải: cos ax  1  n cos bx  b a x x2 Ta có: H  lim   x 0 2n m sin x x m Bài 27 Tìm giới hạn M  lim x 0 A   3x   x :  cos x C  B  Lời giải: 3x   x  1  x   Ta có: M  lim x 0  cos x x D ... rn  n ab GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: 1.1 Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói h|m số f ( x) x{c định K (có thể trừ điểm x0 ) có giới hạn l| L x dần tới x0 với dãy số ( xn ) bất... minh dãy số (un ) : un  ( 1)n giới hạn Lời giải: Ta có: u2n   lim u2n  1; u2n1  1  lim u2 n1  1 Vì giới hạn dãy số có l| nên ta suy dãy (un) giới hạn Ví dụ Chứng minh c{c giới hạn sau:... Lời giải: Đ{p số: lim x 2 x1   x   3x định nghĩA x  x  B  C Bài 12 Tìm giới hạn h|m số lim A  D Lời giải: 3x  x  x  Đ{p số: lim   Bài 13 Tìm giới hạn h|m số lim x2  x