Loại 4: Giới hạn dạng vô ñịnh 0/0 của hàm lượng giác Phương pháp: Thực hiện các phép biến ñổi lượng giác ñể sử dụng các kết quả dưới ñây... Tính các giới hạn sau: 3..[r]
(1)CHUYÊN ðỀ: GIỚI HẠN HÀM SỐ Các dạng vô ñịnh thường gặp: ∞ , , ∞ − ∞,1∞ ∞ Dạng 1: Dạng vô ñịnh 0/0 f ( x) Loại 1: lim mà f(x), g(x) là các ña thức và f ( x0 ) = g ( x0 ) = x → x0 g ( x ) Phương pháp: phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử với nhân tử chung x − x0 ( x − x0 ) f1 ( x) f ( x) f ( x) f ( x) = lim = lim Nếu giới hạn lim còn dạng vô ñịnh , ta lặp lại lim x → x0 g ( x ) x → x0 ( x − x ) g ( x ) x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) 1 quá trình trên ñến không còn dạng vô ñịnh x2 − 5x + x→2 x + x − x − 3x + Ví dụ 2: L = lim x→2 x − x + x + x + x + + x n − n Ví dụ 3: L = lim x →1 x + x + x + + x m − m x − x3 + 3x + x − Ví dụ 4: L = lim x →1 3x − x3 + x − Ví dụ 1: L = lim ( m, n ∈ ℕ * ) BÀI TẬP Tính các giới hạn sau: x3 − 3x + (1 + x)(1 + x)(1 + x) − 1) lim 2) lim x →1 x − x + x →0 x 100 n +1 x − 2x +1 x − (n + 1) x + n 4) lim 3) lim 50 x →1 x x → ( x − 1) − 2x + f ( x) Loại 2: lim mà f(x), g(x) chứa các thức cùng bậc và f ( x0 ) = g ( x0 ) = x → x0 g ( x ) Phương pháp: Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp tương ứng biểu thức chứa ñể trục các nhân tử chung x-x0 khỏi căn, nhằm khử các thành phần có giới hạn 3x − − x Ví dụ 1: L = lim x→2 x2 − x + −1 Ví dụ 2: L = lim x →−1 x+5 −2 n Ví dụ 3: L = lim m x →1 x −1 ( m, n ∈ ℕ * ) x −1 2x − x + x −1 1) lim x →1 4) lim x →1 x − − x2 − x + x2 − BÀI TẬP x2 − 2) lim x →−2 + 3 x − n 5) lim x →0 + ax − x x −b − a −b x2 − a2 3) lim x →a n 6) lim x →0 a+x − n a x (2) f ( x) mà f(x), g(x) chứa các thức không cùng bậc và f ( x0 ) = g ( x0 ) = g ( x) Phương pháp: Thêm bớt ñối với f(x) ñể có thể nhân biểu thức liên hợp Chẳng hạn như: m u ( x ) − n v ( x) m u ( x) − c n v( x) − c [ m u ( x ) − c ] − [ n v ( x) − c ] f ( x) L = lim = lim = lim = lim − lim x → x0 g ( x ) x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) Loại 3: lim x → x0 x+3 − x+7 x →1 x − 3x + + x − + 3x Ví dụ 2: L = lim x →0 x2 Ví dụ 1: L = lim 1) lim x →0 1+ x − 1− x x 2) lim x →−2 x + − x2 + 4) lim sin x x→0 BÀI TẬP x + 11 − x + 43 x + 3x − x + − x + 20 5) lim x+9 −2 x→7 n 3) lim x →0 + ax − m + bx x + 4x − + 6x 6) lim x2 x→0 Loại 4: Giới hạn dạng vô ñịnh 0/0 hàm lượng giác Phương pháp: Thực các phép biến ñổi lượng giác ñể sử dụng các kết ñây sin x sin f ( x) 1) lim =1 2) lim =1 x →0 f ( x ) →0 x f ( x) + sin ax − cos ax Ví dụ 1: L = lim x → + sin bx − cos bx − cos ax Ví dụ 2: L = lim x →0 x2 + x sin x − cos x Ví dụ 3: L = lim x →0 sin x − cos x.cos x cos nx Ví dụ 4: L = lim x →0 x2 + x − cos x Ví dụ 5: L = lim x →0 x2 + sin x − − sin x tan x 2sin x + sin x − 4) lim x → 2sin − 3sin x + 1) lim x →0 BÀI TẬP (a + x) sin(a + x) − a sin a 2) lim x →0 x − cot x 5) limπ x → − cot x − cot x − cos x.cos x.cos x − cos x − cos x cos x cos x 6) lim x →0 − cos x 3) lim x →0 Loại 5: Giới hạn vô ñịnh dạng 0/0 hàm số mũ và hàm số logarit Phương pháp: Thực các phép biến ñổi và sử dụng các giới hạn sau: ex −1 ln(1 + x) 1) lim =1 2) lim =1 x →0 x → x x Ngoài cần ñưa thêm giới hạn sau: (3) a x −1 (eln a ) x − e x ln a − = lim = lim 1) lim ln a = ln a x →0 x →0 x → x ln a x x log a (1 + x) log a e.ln(1 + x) ln(1 + x) 2) lim = lim = lim = log a e → → x →0 x x x x x.ln a e ax − ebx Ví dụ 1: L = lim x →0 x esin x − esin x Ví dụ 2: L = lim x →0 sin x 2x − x2 Ví dụ 3: L = lim x→2 x − 2 + x − e −2 x Ví dụ 4: L = lim x →0 ln(1 + x ) ðể sử dụng các giới hạn bản, cách thêm bớt, học sinh cần biến ñổi giới hạn cần tìm các dạng: e f ( x) − a f ( x) − 1) lim 2) lim x→ x x→ x f ( x) f ( x) log a (1 + f ( x)) ln(1 + f ( x)) 4) lim , với lim f ( x) = 3) lim x→ x → x → x0 x x f ( x) f ( x) BÀI TẬP Tính các giới hạn sau: x − 5x 3x − cos x (1 − e x )(1 − cos x) 1) lim x x 2) lim 3) lim x→0 x→ − x →0 x2 x3 + 3x 1 esin x − esin x 1+ x 5) lim 4) lim ln x →0 x x → x + tan x − x ∞ Dạng 2: Giới hạn dạng vô ñịnh ∞ ∞ f ( x) Giới hạn dạng vô ñịnh có dạng lim , ñó lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ ( x → x0 , x → ±∞ ) x → x x → x0 x → x0 ∞ g ( x) Phương pháp: Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa bậc cao tử số và mẫu số x3 − 3x2 + Ví dụ 1: L = lim x →∞ x3 − 3x (2 x − 1)(3 x + x + 2) Ví dụ 2: L = lim − ? x →∞ x + x2 ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) Ví dụ 3: L = lim x →∞ (5 x − 1)5 x+3 Ví dụ 4: L = lim x →±∞ x2 + 0 0 Ví dụ 5: L = lim x →±∞ 9x2 + − x2 + 16 x + − x + BÀI TẬP Tính các giới hạn sau: (4) (2 x − 3) (4 x + 7) 1) lim x →±∞ (3 x + 1)(10 x + 9) 3) lim (2 x − 3) 20 (3 x + 2)30 2) lim x →±∞ (2 x + 1)50 ( x + 1)( x + 1) ( x n + 1) x →∞ [(nx) n + 1] 5) lim x →∞ 4) lim n +1 x →∞ x5 + − x + x + x + 3x x2 + − x + ln(1 + x + x ) x →+∞ ln(1 + x + x ) 6) lim x + − x3 + Dạng 3: Giới hạn dạng vô ñịnh ∞ − ∞ Dạng tổng quát giới hạn này: lim[ f ( x) − g ( x)] , ñó lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ x → x0 x → x0 Phương pháp: biến ñổi chúng dạng vô ñịnh x → x0 ∞ , cách ñổi biến, nhân liên hợp, thêm bớt… ∞ Ví dụ 1: L = lim ( x + x − x) x →+∞ Ví dụ 2: L = lim ( x + x − x ) x →+∞ Ví dụ 3: L = lim ( x − x + + x) x →±∞ Ví dụ 4: L = lim ( x + x − x − x ) x →+∞ n m Ví dụ 5: L = lim − ( m, n ∈ ℕ * ) n x →1 − x m 1− x BÀI TẬP 1) lim ( x + x + x − x ) 2) lim ( ( x + 1) − ( x − 1) ) 3) lim ( x + x + x − x − x − x ) 4) lim ( x + − x ) x →+∞ x →+∞ x →±∞ x →±∞ Dạng 4: Dạng vô ñịnh 0.∞ Dạng tổng quát giới hạn này: lim [ f ( x).g ( x) ] , ñó lim f ( x) = 0, lim g ( x) = ±∞ x → x0 x → x0 x → x0 Phương pháp: ðể khử dạng này, ta chuyển chúng dạng giới hạn dễ tính dạng ∞ , ∞ Ví dụ 1: L = lim x( x + − x x →+∞ πx Ví dụ 2: L = lim(1 − x) tan x →1 BÀI TẬP 1) lim x( x + + x x →−∞ 3) lim x( x + − x3 − 1) x →±∞ π x 5) lim (a − x ) tan x→a 2a 2) lim x ( x + − x − 2) x →±∞ π 4) limπ tan x.tan − x x→ 4 − 1x 6) lim x (e + e x − x →±∞ (5) Dạng 5: Dạng vô ñịnh 1∞ Dạng tổng quát giới hạn này: lim[ f ( x)]g ( x ) , ñó lim f ( x) = 1, lim g ( x) = ±∞ x → x0 x → x0 x → x0 Hai giới hạn thường dùng ñể tính các giới hạn dạng này là: x 1 2) lim (1 + x ) x = e 1) lim 1 + = e x →∞ x →∞ x Trong quá trình vận dụng, ta biến ñổi dạng 1) lim 1 + x→ x f ( x) f (x) =e lim f ( x) = ±∞ x → x0 2) lim (1 + g ( x) ) g ( x ) = e x → x0 Ví dụ 1: L = lim(1 + sin x) lim g ( x) = x → x0 x x →0 x +1 Ví dụ 2: L = lim x →+∞ x + −3 x π Ví dụ 3: L = lim tan − y y →0 4 π tan 2 − y 4 BÀI TẬP 1) lim(1 + x )cot x x →0 x2 x2 + 3) lim x →±∞ x − x 1 6) lim sin + cos x →±∞ x x + tan x sin x 2) lim x → + sin x 4) lim(1 + sin π x)cot π x x →1 5) lim(cos x) x x →0 MỘT SỐ BÀI TRONG ðỀ THI ðẠI HỌC CÁC NĂM 2x −1 − x (HVNH-98) x →1 x −1 1+ x − − x 3) lim (ðHQG KA-97) x →0 x − cos 2 x (ðH ðN KD-97) 5) lim x →0 x sin x 1) lim 7) lim − cot x (ðHL-98) x → sin x π cos cos x 2 (ðHTN-KA-97) 9) lim x →0 x sin tan(a + x) tan(a − x) − tan a (ðHTN-98) 11) lim x →0 x2 x3 − 3x − (ðHQG-98) x →1 x −1 2x −1 + x − (ðHSP II KA-99) 4) lim x →1 x −1 − + sin x 6) lim (ðHQG KB 97) x →0 − cos x tan x − sin x (HVKTQS-97) 8) lim x →0 x3 − sin x − cos x 10) lim x → + sin x − cos x 2) lim 12) lim x →0 98 − cos x.cos x.cos x (ðHAN KA00) 83 sin x (6) − x + + sin x (ðHGTVT 98) x →0 3x + − − x 13) lim − cos x (ðHHH-97) x →0 − cos x esin x − esin x 17) lim (ðHHH 99) x →0 sin x 15) lim + x − cos x (ðHTM-99) x →0 x2 + tan x − + sin x (ðHHH 00) 16) lim x →0 x3 x3 + x2 − 18) lim (ðHQG KD-99) x →1 sin( x − 1) 14) lim e −2 x − + x (GTVT 01) 19) lim x →0 ln(1 + x ) − x − x2 + (TCKT-01) x →1 x2 − π 23) limπ tan x.tan − x (ðHSP II-00) x→ 4 21) lim 25) lim cos x − sin x − (ðHHH-01) x2 + − x6 − x + 27) lim (TK-02) x →1 ( x − 1)2 x →0 20) lim x + − x2 + (ðHQG-00) sin x 22) lim + x − + 3x (ðH Thủy Lợi -01) x2 x →0 x →0 3x − cos x 24) lim (ðHSP II-00) x→0 x2 26) lim x →0 x +1 + x −1 (TK-02) x − 2x2 + (ðHBK-01) x →0 − cos x 28) lim (7)