Chuyên đề này bao gồm các bài tập cơ bản và nâng cao vô cùng hay và sát với các đề kiểm tra giúp các em có được sự nhận biết và thông hiểu về các dạng bài tập của chuyên đề này. Lưu ý rằng chuyên đề hàm số luôn luôn là một dạng hot trong đề thi THPT quốc gia sắp tới. Chúc các em thành công
Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng CHUN ĐỀ : GIỚI HẠN Tài liệu giảng (Khóa Tốn 11) GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (P2) Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95 VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN 1) Trường hợp : lim f ( x ) = lim x → x0 x → x0 u ( x) v ( x) với u(x) v(x) không chứa thức Cách tính sau : B1: Kiểm tra giới hạn cho có dạng vơ định hay khơng ? B2: Phân tích : u(x) v(x) thành tích hai hay nhiều nhân tử B2 : Giản ước thừa số chung tử số mẫu số B4 Áp dụng cơng thức tìm giới hạn lim f ( x) = f ( x0 ) , ta có kết x → x0 Chú ý : Để phân tích tử số mẫu số thành tích ta sử dụng phương pháp tìm nghiệm đa thức theo sơ đồ Hooc-ne - Giả sử đa thức f ( x) = a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − + + an = có nghiệm x = α - Ta làm sau : Hệ số a0 a1 a2 a3 a n-1 an α b0 b1 b2 b3 bn −1 bn Với : a0 = b0 , b1 = b0 + a1 b2 = b1 + a2 b3 = b2 + a3 bn −1 = bn − + an −1 bn = bn −1 + an = Khi : f ( x) = ( x − α ) b0 x n −1 + b1 x n − + b2 x n −3 + + bn −1 Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giới hạn sau a) lim x→ x2 − x + x−2 x →1 x4 −2 x + x − x3 − x − x +1 x→2 x − 3x + c) lim x − 2x b) lim d) lim − 4x + x→1 − x + 3x − Lời giải: a lim x→ b lim ( x − 1)( x − ) = lim x − = x2 − x + = lim ( ) x→ x→ x−2 x−2 x ( x − 2) x − 2x x→2 −2 x + x − = lim x→2 ( −2 x − x + ) = lim x ( x − 2) x → −2 ( x − 1)( x − ) x = −1 x→2 −2 ( x − 1) = lim ( x − 1) ( x + ) = lim x + = = c lim = lim x → x − 4x + x → ( x − 1) ( x + x + 3) x→1 x + x + x − 3x + d lim x→1 x3 − x − x +1 − x + 3x − 2 ( x − 1) ( x + 1) = lim ( x − 1)( x + 1) = = lim x → − ( x − 1)( x + ) x→1 x+2 Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm giới hạn hàm số sau : x4 − x2 − 72 a lim x →3 x − x − MOON.VN – Học để khẳng định ! b lim x→3 x − 5x + 3x + x − 8x − Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng c lim CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN x − 5x2 + x6 (1 − x ) x →1 d lim x →a x4 − a x−a Lời giải: ( x − 3) x + 3x + 8x + 24 x4 − x2 − 72 x3 + 3x2 + x + 24 51 a lim = lim = lim = x →3 x − x − x→3 x→ x +1 ( x + 1)( x − 3) ( ) ( x − 3) ( x − x − ) x − 2x − = lim = lim =0 b lim x→3 x →3 x→3 x + x + x + x − 8x − ( x − 3) ( x + x + x + 3) ( x − 1) ( x + x + x + x − x ) x − 5x + x 4x + 4x + 4x + 4x = lim = lim c lim x − 5x + 3x + (1 − x ) x →1 (1 − x ) x →1 ( x − 1) x →1 −x =∞ ( x − a ) ( x3 + ax + a x + a ) x4 − a4 d lim = lim = lim ( x3 + ax + a x + a ) = 4a x →a x − a x →a x →a x−a 2) Trường hợp : lim f ( x ) = lim u ( x) với : u(x) v(x) chứa thức số : v ( x) Chúng ta thường gặp số trường hợp sau : - u(x) chứa v(x) không chứa ngược lại u(x) không chứa v(x) chứa - u(x) chứa hai v(x) khơng chứa ngược lại v(x) chứa hai u(x) khơng chứa - u(x) chứa v(x) chứa Khi sử dụng phương pháp nhân liên hợp Cụ thể sau : • Nếu chứa bậc hai ta có trường hợp sau : - Nếu a + b ta nhân lượng liên hợp a − b a + b a − b = a − b2 x → x0 x → x0 ( a +b( - Nếu a − b ta nhân lượng liên hợp - Nếu a − b ta nhân lượng liên hợp a+ - Nếu a + b ta nhân lượng liên hợp a− )( ) a − b )( a + b ) = a − b b ( a − b )( a + b ) = a − b b ( a − b )( a + b ) = a − b • Nếu chứa bậc ba ta có trường hợp sau : )( a − b a + b)( a + b b ( a + b )( b ( a − b )( ( ( - Nếu a + b nhân liên hợp a2 − b a + b2 - Nếu a − b nhân liên hợp a2 + b a + b2 - Nếu a + b nhân liên hợp a2 − b.3 a + - Nếu a − b nhân liên hợp a2 + b.3 a + 3 a +b 3 3 ) a +b ) = a−b a + b = a + b3 ) b ) = a −b 3 a − b a + b2 = a + b 3 a2 + b.3 a + Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giới hạn hàm số sau a) lim x −3 −2 49 − x a) lim x −3 −2 = lim x →7 49 − x x →7 x →7 b) lim x →2 ( ( x −3 −2 ) )( 2− x+2 x − 3x + Lời giải: x −3 + ) x − + ( − x )( + x ) MOON.VN – Học để khẳng định ! = lim x →7 (7 + x ) ( c) lim 2x + − x →1 x3 x −3 +2 ) = − 4x + 56 Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng b) lim x →2 ( CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN )( ( ) ) 2− x+2 2+ x+2 2− x+2 −1 = lim = lim =− x → x → x − 3x + ( x − 1)( x − ) + x + ( x − 1) + x + 2x + − c) lim x→1 x − 4x + ( = lim 2x + − )( 2x + + ( x − 1) ( x − 3x − 3) ( x→1 ( ) 2x + + ) ) = lim x→1 (x 2 − 3x − )( 2x + + ) =− 15 Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm giới hạn hàm số sau − x2 + a) lim x→1 − x + x − 4x +1 − x2 − Lời giải: b) lim x →2 ( ( )( ) ) c) lim x→ x− x+2 x3 − − x2 + + x2 + x +1 − x2 + = lim = lim =− a) lim x→1 − x + x − x→1 x → − + x2 + ( x − 1)( x − ) + x2 + ( x − ) ( x →2 x→ ) ) 4x +1 − 4x +1 + 4x +1 − = lim = lim x→ x2 − ( x − )( x + ) x + + x→2 ( x + ) b) lim c) lim )( ( ) ( ( )( ) ( 4x + + = ) x− x+2 x+ x+2 x− x+2 x +1 lim = = lim = x→2 x −8 ( x − ) x2 + x + x + x + x→2 x2 + x + x + x + 16 ( )( ) )( ( ) Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm giới hạn hàm số sau x +1 x→−1 x + x + 1− 1− x x→ x + x2 x −1 d) lim x →1 x + x − Lời giải: b) lim a) lim c) lim x →−2 x + 12 + x x2 + 2x )( ( ) x + x2 − x + x +1 a) lim = lim = lim x→−1 x + x + x→−1 3 ( x + 1)( x + 3) x − x.1 + x→−1 ( x + 3) (1 − ( ) ) ( ) x − x + =1 − x + − x + (1 − x ) 1− 1− x 1 = lim b) lim = lim = x→ x + x x→ x→ x ( x + ) + − x + (1 − x ) ( x + ) 1 + − x + (1 − x) x + 12 + x ( x + 12 ) − x x + 12 + x x + 12 + x c) lim = lim x →−2 x →−2 x2 + 2x x ( x + ) ( x + 12 ) − x x + 12 + x 3 ( = lim x →−2 ) ( x + ) ( x − x + 12 ) x ( x + ) ( x + 12 ) − x x + 12 + x ( )( )( = lim x →−2 ) x − x + 12 2 ( x + 12 ) − x x + 12 + x x =− x −1 x +1 x +1 x −1 d) lim = lim x →1 x + x − x →1 ( x − 1) x + x + x + x + )( ( x − 1)( x + 1) = lim ( x − 1) ( x + x + ) ( x + 1)( x →1 ( MOON.VN – Học để khẳng định ! )( ) ) x +1 = lim x →1 (x + x+2 )( )( x +1 ) x +1 = 12 Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính giới hạn sau x+3 x →−3 x − a lim x2 − x + x →3 x−3 b lim c lim x→2 x2 + x − x2 − Bài 2: [ĐVH] Tính giới hạn sau x − 16 a lim x→4 x + x − 20 b lim − x2 x→−2 x3 + c lim x + 3x + x→−2 x + x+6 Bài 3: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x →5 x + x − 30 x2 − x − b lim x→ 2 x2 − 5x + x2 − x + 3x + x →−1 − x + x + c lim Bài 4: [ĐVH] Tính giới hạn sau x+ x −3 x2 − b lim x →1 x − x + x→ x − x + − Bài 5: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x − 16 x3 − b lim x →− x + x x →1 x − x Bài 6: [ĐVH] Tính giới hạn sau 2x2 + x − x→ −2 x3 + c lim x − x − x +1 a lim c lim x3 − 3x + x3 − x2 + 2x + a lim b lim x→1 x − x − x + x→−1 x2 − 3x − Bài 7: [ĐVH] Tính giới hạn sau x − x − 27 c lim x →−3 x + x + x + 3 a lim x − 3x + x − 4x + Bài 8: [ĐVH] Tính giới hạn sau x →1 x + x − 18 b lim x→2 x3 − x5 + x5 − b lim x →−1 x + x →1 x − Bài 9: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x3 − 3x + x − x − 3x − b lim x →1 x →2 x−2 x2 − Bài 10: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x →1 − x + 3x − x4 − x2 − 72 c lim x →3 x − x − c lim x →3 x3 − x + 3x + x4 − 8x2 − x2 + 2x x →−2 x + x + c lim x+2 x−4 1 + b lim + 2 x →1 x − x + 3( x − x + 2) x − 3x + x − 5x + Bài 11: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x→2 b lim − − x → x −1 x −1 1− x 1− x Bài 12: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x →1 c lim + x →−2 x + x −4 2( x + h)3 − x3 x n − nx + n − a lim b lim h→0 x →1 h ( x − 1)2 Bài 13: [ĐVH] Tính giới hạn sau MOON.VN – Học để khẳng định ! Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN x+2−x 1+ x − 1− x b lim x→2 x→0 x 4x +1 − Bài 14: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x2 − x x −1 b lim x →1 x → x −1 x+3 −2 Bài 15: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim 2x + − x2 − + x − b lim+ x →1 − x →1 x+3 x −1 Bài 16: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x + − 2x +1 x− x+2 b lim x →2 x→4 x−4 4x +1 − Bài 17: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim 3− 5+ x 2x + − b lim x →1 − x → 1− − x x+3 Bài 18: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x +5 −3 2− x −3 b lim x→ x → 4− x x − 49 Bài 19: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x3 − 3x − 2x + + x − lim b x →1 x →1 x3 − x + x2 −1 Bài 20: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x −3 −2 2− x+2 b lim 2 x →7 49 − x x →2 x − x + Bài 21: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim 2x + − a lim − 4x + Bài 22: [ĐVH] Tính giới hạn sau x →1 x − x2 + x →1 − x + x − b lim 10 − x − x + x+4− x b lim x →2 x →4 x − x + x−2 Bài 23: [ĐVH] Tính giới hạn sau 3− 5+ x x→4 − − x c lim c lim x+2−x 4x +1 − c lim x + − x2 + x + x x →2 x →0 3− 8+ x x →1 x − − x c lim c lim 2x + − x + 3x + c lim 4x +1 − x2 − c lim x + + x3 − 3x x −1 c lim 4x +1 − x2 − x →−1 x →2 x →1 x →2 x→2 c lim x+6 − x+2 x2 − c lim x +1 − x + x−3 a lim x + 11 − x + x + 10 + x − b lim x→2 x →−3 x2 − 3x + x2 − Bài 24: [ĐVH] Tính giới hạn sau x− x+2 x3 − c lim x →2 a lim a lim x →0 1+ x − 1− x x MOON.VN – Học để khẳng định ! b lim x→−2 x −6 + x +6 x2 + x − x →3 c lim x→0 x +1 + x + − x Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính giới hạn sau x+3 x2 − 4x + a lim b lim x →−3 x − x →3 x−3 Lời giải: x+3 1 = lim =− a) lim x →−3 x − x →−3 x − x − 4x + b) lim = lim ( x − 1) = x →3 x→3 x−3 ( x − )( x + 3) = lim x + = x + x−6 = lim c) lim x→2 x − x→2 ( x − )( x + ) x →2 x + Bài 2: [ĐVH] Tính giới hạn sau x − 16 − x2 a lim b lim x→4 x + x − 20 x→−2 x + Lời giải: ( x − )( x + ) = lim x + = x − 16 a) lim = lim x→4 x + x − 20 x →4 ( x − )( x + ) x→4 x + b) lim − x2 x→−2 c) lim x +8 x→−2 x x→2 c lim x2 + x − x2 − x + 3x + x→−2 x + x−6 ( − x )( + x ) = lim − x = x→−2 ( x + ) x − x + ( ) x→−2 x2 − x + = lim x + 3x + 2 c lim + x−6 ( x + 1)( x + ) = lim x + = x →−2 ( x + )( x − ) x →−2 x − = lim Bài 3: [ĐVH] Tính giới hạn sau x + x − 30 x2 − 5x + a lim b lim x →5 x − x − x2 − x→ 2 x + 3x + c lim x →−1 − x + x + Lời giải: ( x − )( x + ) x + x − 30 x+6 a) lim = lim = lim = x →5 x − x − x → ( x − )( x + 1) x →5 x + b) lim x→ ( x − 1)( x − ) = lim x − = − x2 − 5x + = lim 1 4x −1 x → ( x − 1)( x + 1) x→ 2x +1 2 ( x + 1)( x + 1) x + 3x + x + −1 = lim = lim = x →−1 − x + x + x →−1 ( x + 1)( − x ) x → −1 − x c) lim Bài 4: [ĐVH] Tính giới hạn sau x+ x −3 x2 − a lim b lim x →1 x − x + x→ x − x + − Lời giải: )( )( ) x− x+ x2 − x+ 2 = lim = lim = x→ 2 x − x+ −2 x − x + − x→ x + − 2 − a) lim x→ ( 2x2 + x − x→ −2 x3 + c lim ( MOON.VN – Học để khẳng định ! ) Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng b) lim x →1 x+ x −3 = lim x − x + x →1 ( ( )( x − 1)( CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN ) = lim x − 4) x −1 x +3 x →1 x + −4 = x −4 ( x + )( x − 3) = lim x − = − 2x2 + x − = lim x→ −2 x→ −2 x + x − x + x +8 ( )( ) x→ −2 x − x + 12 c) lim Bài 5: [ĐVH] Tính giới hạn sau x − 16 x3 − a lim b lim x →− x + x x →1 x − x c lim x − x − x +1 x →1 − x + 3x − Lời giải: x + ( x − )( x + ) ( x − 2) x2 + x − 16 = lim = lim = 16 a) lim x →− x + x x →− x →− x ( x + 2) x ( ) ( ( ) ) ( x − 1) x + x + x3 − x2 + x + b) lim = lim = lim = x →1 x − x x →1 x →1 x ( x − 1) x c) lim x →1 x − x − x +1 − x + 3x − ( x − 1) ( x − 1) x −1 = lim = lim = x → ( x − 1)( − x ) x →1 2− x Bài 6: [ĐVH] Tính giới hạn sau x3 − 3x + x3 − x2 + 2x + a lim b lim x→1 x − x − x + x→−1 x2 − 3x − Lời giải: x − x − 27 x→−3 x + x + x + c lim ( x − 1) ( x + ) = lim x + = x3 − 3x + a) lim = lim x→1 x − x − x + x→1 x − x + ( ) ( ) x→1 x + 2 ( ) ( x +1) x2 − 2x + x3 − x2 + 2x + x2 − 2x + b) lim = lim = lim =− x→−1 x − 3x − x→−1 x→−1 x−4 ( x +1)( x − 4) ( ( )( ) ) ( ) x2 + x2 − x + ( x − 3) x − x − 27 36 c) lim = lim = lim =− 2 x →−3 x + x + x + x →−3 x + ( x + ) x →−3 x +1 Bài 7: [ĐVH] Tính giới hạn sau x − 3x + x + x − 18 a lim b lim x→2 x → x − 4x + x3 − Lời giải: c lim x →3 x4 − x2 − 72 x2 − x − x − 1) ( x + ) ( x+2 a) lim = lim = lim = = 2 x → x − 4x + x →1 x − ( ) ( x + x + 3) x→1 x + x + ( x − )( x + ) = lim x + = 17 x + x − 18 b) lim = lim x→2 x→2 x − x −8 ( ) ( x + x + ) x → x + x + 12 ( x2 + 8) ( x − 3)( x + 3) = lim ( x2 + 8) ( x + 3) = 51 x − x − 72 c) lim = lim x →3 x − x − x →3 x →3 x +1 ( x + 1)( x − 3) x − 3x + Bài 8: [ĐVH] Tính giới hạn sau MOON.VN – Học để khẳng định ! Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng x5 + x →−1 x + a lim CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN b lim x →1 x5 − x3 − c lim x →3 x3 − x + 3x + x4 − 8x2 − Lời giải: ( x + 1) ( x − x + x − x + 1) x5 + x4 − x3 + x2 − x + = lim = lim = x →−1 x + x →−1 x →−1 x2 − x + ( x + 1) ( x − x + 1) a) lim ( ) ( x − 1) x + x3 + x + x + x5 − x + x3 + x + x + b) lim = lim = lim = x →1 x − x →1 x →1 x2 + x + ( x − 1) x + x + c) lim x→3 ( ) ( x − 3) ( x − x − 3) x3 − x + x + x2 − x − = lim = lim = x →3 x + x4 − 8x2 − ( ) ( x − 3)( x + 3) x→3 ( x + 1) ( x + 3) Bài 9: [ĐVH] Tính giới hạn sau x3 − 3x + x − x − 3x − a lim b lim x→1 x→2 x−2 x2 − Lời giải: ( x − )( x + 1) = lim x + = x − 3x − a) lim = lim ( ) x→2 x→2 x→2 x−2 x−2 ( x2 + 2x x →−2 x + x + c lim ) ( x − 1) x − x + x3 − 3x + x − x2 − 2x + b) lim = lim = lim = x→1 x→1 x→1 x +1 x2 − ( x − 1)( x + 1) x ( x + 2) x2 + 2x x = lim = lim = −∞ 2 x →−2 x + x + x →−2 x + ( ) x→−2 x + c) lim Bài 10: [ĐVH] Tính giới hạn sau x+2 x−4 1 a lim b lim + + x→2 x − x + x →1 x − x + 3( x − x + 2) x − 5x + Lời giải: 1 1 2x − a) lim + = lim + = lim x→2 x − 3x + x − x + x → ( x − 1)( x − ) ( x − )( x − 3) x → ( x − 1)( x − )( x − 3) = lim = −2 x → ( x − 1)( x − ) x+2 x−4 x+2 x−4 4x2 − 8x + b) lim + = lim + = lim x →1 x − x + 3( x − x + 2) x →1 ( x − 1)( x − ) ( x − 1)( x − ) x→1 ( x − 1)( x − )( x − ) 4x − = lim = x →1 ( x − )( x − ) Bài 11: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim b lim c lim + − − x →1 x − x → x →−2 x + x −1 x −4 1− x 1− x Lời giải: − ( x + 1) 1− x −1 − = lim a) lim = lim = lim =− 1 x →1 x − x → x → x → x −1 x −1 x +1 x −1 MOON.VN – Học để khẳng định ! Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN (1 + x + x ) − ( x − 1)( x + ) x+2 = − lim b) lim − = lim = lim = −1 2 x→1 − x − x x→1 (1 − x ) + x + x x→1 (1 − x ) + x + x x →1 + x + x ( ) ( ) x−2+4 1 c) lim + = lim =− = xlim x →−2 x + x →− →− x −4 x−2 ( x − )( x + ) Bài 12: [ĐVH] Tính giới hạn sau 2( x + h)3 − x3 x n − nx + n − a lim b lim h→0 x →1 h ( x − 1)2 Lời giải: 3 2 2( x + h) − x x h + xh = lim = lim x + xh = x a) lim h→0 h → h→0 h h n −1 n−2 n x n − nx + n − x − − n ( x − 1) ( x − 1) x + x + + x + − n ( x − 1) x n −1 + x n− + + x + − n b) = = = 2 ( x − 1) x −1 ( x − 1) ( x − 1) ( ) ( ) x n −1 − + x n − − + + x − + x − = = x n − + x n −3 + + x + + x n −3 + x n − + + x + + + ( x + 1) + x −1 n−2 n −3 = x + x + + ( n − ) x + n − ( lim x →1 ) ( ) n ( n − 1) x n − nx + n − = lim x n − + x n −3 + + ( n − ) x + n − = + + + ( n − ) + ( n − 1) = x →1 ( x − 1) ( ) Bài 13: [ĐVH] Tính giới hạn sau x+2−x 3− 5+ x c lim x→2 x→4 − − x x→0 4x +1 − Lời giải: + x − (1 − x ) 1+ x − 1− x a) Ta có lim = lim = lim =1 x→0 x → x → x x 1+ x + 1− x 1+ x + 1− x a lim 1+ x − 1− x x b lim ( ( ) ) ( ( ) ( − x )( x + 1) x + + ( x + − x2 ) 4x + + x+2−x = lim = lim b) lim x→2 x→2 x + − x→2 x + + x ( x − 8) x + + x ( x − 2) ( ( ) ( x + 1) x + + = lim − x→2 x+2+ x ( ( ( ) ) ) ( ) = − ) ) ( ) ) − 1+ − x (4 − x) 1+ − x 3− 5+ x = lim = lim =− x →4 − − x x→4 ( x − ) + + x x→4 + + x c) lim ( Bài 14: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x2 − x x −1 a) lim t ( t − 1) ( t + t + 1) x2 − x t = x t4 − t = lim = lim = lim t ( t + t + 1) = t → t → t →1 − − t t x −1 x →1 b lim x →1 x −1 x+3 −2 c lim x →2 x+2−x 4x +1 − Lời giải: x →1 b) lim x →1 x −1 x −1 1 = lim = lim = x →1 x + − x →1 x − x +1 MOON.VN – Học để khẳng định ! Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng ( CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN ) ( ( − x )( x + 1) x + + ( x + − x2 ) 4x + + x+2−x = lim = lim c) lim x→2 x→2 x + − x→2 x + + x ( x − 8) x + + x ( x − 2) ( ( ) ( x + 1) x + + = lim − x→2 x+2+ x Bài 15: [ĐVH] Tính giới hạn sau ( a lim x →1 ) 2x + − a) lim x →1 = lim x →1 ( x →0 ) = lim −2 ( + x + ) = − (1 − x ) ( x + + 3) ( x + + 3) ( x − 1) + x + x →1 x2 − + x − x2 − x −1 = lim+ + lim+ = lim x + + lim+ x →1 x →1 x −1 x − x→1 x − x→1+ c) lim x + − x2 + x + = lim x →0 x x x →0 x + − x2 + x + x c lim b) lim+ x →1 ) x2 − + x − x −1 Lời giải: x →1 2x + − 2− x+3 ) = − b lim+ 2− x+3 ( ) ( − x2 x + + x2 + x + ) = lim x →0 ( ( x − 1) ( ) x +1 x −1 −x x + + x2 + x + = + lim+ x →1 ( x −1 ) x +1 = =0 ) Bài 16: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x + − 2x +1 x−4 a) lim x + − 2x + = lim x → ( x − 4) x−4 x→4 x→4 ( b lim x →2 )( x− x+2 4x +1 − Lời giải: 4− x ( x + + 2x +1 ) ) 3− 8+ x x →1 x − − x c lim = lim x→4 ( −1 x + + 2x +1 ( x2 − x − 4x +1 + ( x − )( x + 1) x + + x− x+2 b) lim = lim = lim x →2 x →2 x + − x→2 x + + x ( x − 2) x + + x ( x − 8) ( ) ( ( x + 1) x + + = lim x→2 x+2 +x ( ( ) ( ) ) ) ( = lim x →1 ) = ) ( ) (1 − x ) x + − x (1 − x ) x + − x 3− 8+ x = lim = lim x →1 x − − x x →1 x + x − + + x x →1 ( x − 1)( x + ) + + x c) lim =− )( ( ) − 2x + − x ( x + 5) ( + ) 8+ x ) =− ( ) 27 Bài 17: [ĐVH] Tính giới hạn sau 3− 5+ x x → 1− − x a lim b lim x →1 2x + − 2− x+3 Lời giải: c lim x →−1 2x + − x + 3x + − (5 + x ) + − x 3− 5+ x − x 1+ − x 1+ − x 1+1 = lim = lim = lim − =− =− x → 1− − x x →4 − ( − x ) + + x x→4 x − + + x x →4 3+3 5+ x +3 a) lim MOON.VN – Học để khẳng định ! Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng b) lim x →1 CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN 2x + − 2x + − + x + 2x − 2 + x + 2+ x+3 = lim = lim = lim − =− x →1 − x − 3 2− x+3 x + + x →1 − x x + + x →1 2x + + 2x + − x + 2x + − x − = lim = lim x →− 3x + ( 3x + 3) x + + x + x→−1 ( x + 1) c) lim ( x →−1 = lim x →−1 ) ( 2x + + x + = ) ( x +1 2x + + x + ) 1 = (1 + 1) Bài 18: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x +5 −3 4− x a) lim x+5 −3 x +5−9 x−4 1 = lim = lim = lim − =− =− x→4 4− x ( − x ) x + + x→4 ( − x ) x + + x→4 x + + 3 + x→4 2− x −3 x →7 x − 49 Lời giải: ( x→4 c lim b lim ) x→2 ( ) 2− x −3 4− x+3 = lim = lim − x →7 x →7 x − 49 ( x − )( x + ) + x − x→7 ( x + ) + x − b) lim ( ) ( ) = lim − x→7 ( x − 2) 4x +1 − 4x +1− = lim = lim x→2 x −4 ( x + )( x − ) x + + x→2 ( x − )( x + ) x + + c) lim ( x→2 = lim x→2 ( x + 2) ( ) 4x +1 + ) = 4x +1 − x2 − ( 1 =− 14 ( + ) 56 ) = ( + 3) Bài 19: [ĐVH] Tính giới hạn sau 2x + + x − x3 − x + a lim x →1 b lim x →1 x3 − 3x − x2 −1 Lời giải: c lim x →1 2x + − ( x − 4) 2x + + x − a) Ta có lim = lim x →1 x →1 x − 4x + ( x − x − x + 3) x + − x + x + + x3 − 3x x −1 ( = lim ( x − 1) ( x = lim (x x →1 x →1 b) lim x →1 − x + 10 x − − ( x + 1) ) ( 2x + − x + 9− x − ( x + 1) ) ( 2x + − x + ) = ) = lim x →1 ( x − 1) ( x ) ( x − 1)( − x ) − ( x + 1) ) ( x + − x + ) −1 =− (1 − 3.2 )( − + ) 15 x3 − 3x − x6 − 3x + x − − 3x + = lim = lim x →1 x2 −1 ( x2 − 1) x3 + 3x − x→1 ( x − 1)( x + 1) x3 + 3x − ( = lim x →1 (x ( ) ( x − 1) ( ( x3 + 1)( x + x + 1) − 3) = lim x − ) x →1 ( x − 1)( x + 1) ( x3 + x − ) + 1)( x3 − 1) − ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) ( x3 + (x = lim x →1 ) + 1)( x + x + 1) − ( x + 1) ( x + 3x − ) = (1 + 1)(1 + + 1) − = 2.3 − = 2.2 (1 + 1)(1 + 1) x + − ( x3 − 3x ) x + + x3 − 3x x2 + − x6 + x4 − x2 = lim = lim c) lim x →1 x →1 x −1 ( x − 1) x + − x3 + 3x x→1 ( x − 1) x + − x3 + 3x ( MOON.VN – Học để khẳng định ! ) ( ) Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng = lim x →1 = lim x →1 CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN − x6 + x4 − 8x2 + ( x − 1) ( (x x + − x3 + 3x − 1)( − x + x − ) ( x − 1) ( x + − x3 + 3x ) ) = lim − x6 + x + x − x + − 3x ( x − 1) ( x →1 x + − x3 + 3x ) ( x + 1) ( − x + x − 3) (1 + 1)( −1 + − 3) = lim = = ( x →1 x + − x3 + 3x ) −1 + Bài 20: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x −3 −2 49 − x a) lim x −3 − x −3− x−7 = lim = lim x→7 49 − x ( − x )( + x ) x − + x→7 ( − x )( + x ) x − + x →7 x →7 x →2 ( = lim − x →7 b) lim x→2 c) lim x→2 2− x+2 x − 3x + Lời giải: b lim (7 + x) ( x →2 ) x−3 +2 ) =− 4x +1 − x2 − c lim ( ( + )( + ) =− ) 56 1 2− x+2 4− x−2 = lim = lim = =− x → x → x − 3x + ( x − 1)( x − ) + x + (1 − x ) + x + ( − 1)( + ) ( ) ( ) ( x − 2) 4x +1 − 4x +1− = lim = lim x → x → x −4 ( x + )( x − ) x + + ( x − )( x + ) x + + ( = lim x→2 ) ( x + 2) ( 4x +1 + ) = ( ) = ( + 3) Bài 21: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim − x2 + b lim x →1 − x + x − 2x + − x →1 x − 4x + 2x + − = lim x → x − x2 + x →1 a) lim = lim x →1 ( ( ( x→2 x− x+2 x3 − Lời giải: )( x + + 3) = lim x + + ) ( x − x + 3) ( ( 2x + 7) − x + + ) ( x − 1) ( x − x − 3) 2x + − 3 ( x − 1) ) c lim ( x + + ( x − 1) x − x − ( ) = lim x →1 )( )( (x x →1 2 − 3x − ) ) )( 2x + + ) = ( (1 − − 3) ( ) − x2 + + x2 + − x2 + − x2 + b) lim = lim = lim x →1 − x + x − x →1 x →1 2 − x + 3x − 2 + x + (1 − x )( x − ) + x + ( (1 − x )(1 + x ) x →1 (1 − x )( x − ) + x + = lim ( ( ) = lim x →1 1+ x ( x − 2) )( (2 + ) x2 + ) = ( = lim x→ ( x − 2) ( x ( )( ( x − )( x + 1) )( + 2x + x + x + ) ) = lim x →2 (x )( ( x +1 )( ) 15 ) 1+1 =− (1 − )(1 + 3) x− x+2 x+ x+2 x− x+2 x2 − x − = lim = lim x→2 x →2 x →2 x − x + x + x3 − x3 − x + x + c) lim +3 =− + 2x + x + x + ) = ) +1 = ( + + )( + ) 16 Bài 22: [ĐVH] Tính giới hạn sau MOON.VN – Học để khẳng định ! Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng x+4− x a lim x →4 x − x + CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN 3 b lim x →2 x+4 − x a) lim = lim x →1 x − x + x →1 ( ) ( 10 − x − x + x−2 Lời giải: x+4 −2 + 2− x x − 5x + ) = lim c lim x →2 x+6 − x+2 x2 − x+4 −2 x −2 − lim x →1 x − x + x →1 x − x + ( x − 2)( x + ) ( x + 4) − − lim x→4 ( x2 − 5x + ) ( x + )2 + x + + x→4 ( x − 5x + ) ( x + ) = lim = lim x→ x−4 ( x − 1)( x − ) ( x + )2 + x + + = lim x→ ( x − 1) ( x + ) x→2 x →4 b) lim − lim + x + + − lim x →4 x−4 ( x − 1)( x − ) ( ( x − 1) ( x +2 ) = x +2 ) 1 − =− ( + + ) 3.4 18 3 10 − x − x + 10 − x − + − x + 10 − x − 2− x+2 = lim = lim + lim x →2 x →2 x →2 x−2 x−2 x−2 x−2 ( − x + )( + x + ) (10 − x ) − + lim x→ x →2 ( x − 2) ( + x + ) ( x − ) (10 − x )2 + 10 − x + = lim = lim x→ 2− x ( x − ) (10 − x )2 + 10 − x + x→ x →2 −1 = lim + lim (10 − x )2 + 10 − x + 4− x−2 ( x − 2) ( + x+2 ) −1 −1 −1 = + =− x →2 + x + 4+4+4 2+2 + lim 3 x+6 − x+2 x+6 −2+2− x+2 x+6 −2 2− x+2 = lim = lim + lim 2 x→2 x → x → x → 2 x −4 x −4 x −4 x2 − x + 6−8 4− x−2 = lim + lim x→ x →2 x − x + 2 + x + ( )( ) ( x − )( x + ) ( x + )2 + x + + −1 1 = lim + lim = − =− x→ x →2 x + 2 + x + 2 ( + + ) 4.4 24 ( ) ( x + ) ( x + ) + x + + Bài 23: [ĐVH] Tính giới hạn sau c) lim ( ( a lim x→2 a) lim x→2 x + 11 − x + x2 − 3x + b lim x →−3 x + 10 + x − x2 − Lời giải: ) ) c lim x →3 x +1 − x + x−3 3 x + 11 − x + x + 11 − + − x + x + 11 − 3− x + = lim = lim + lim 2 2 x →2 x →2 x − x + x →2 x − x + x − 3x + x − 3x + MOON.VN – Học để khẳng định ! Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN (3 − x + )(3 + (8 x + 11) − 27 + lim x→ ( x − 3x + ) (8x + 11)2 + 33 8x + 11 + x→2 ( x − 3x + 2) ( + = lim ( x − 2) = lim ( x − )( x − 1) ( x + 11) x→ + 3 x + 11 + = lim ( x − 1) (8 x + 11)2 + 3 x + 11 + x→ + lim x →2 + lim x →2 ) x +7) x+7 9− x−7 ( x − )( x − 1) ( + −1 ( x − 1) ( + x+7 ) = x+7 ) −1 + = ( + + ) ( + 3) 54 x + 10 + x − x + 10 − + + x − x + 10 − x−5 +2 = lim = lim + lim 2 x →−3 x →−3 x →−3 x →−3 x −9 x −9 x −9 x2 − x + 10 − x−5+8 = lim + lim x →−3 ( x + )( x − ) x →−3 ( x + 3)( x − 3) ( x − )2 − x − + 2 25 = lim + lim = + =− x →−3 x − x →−3 ( x − 3) ( x − 5) − x − + −3 − ( −3 − 3)( + + ) 72 b) lim x +1 − x + x +1 − + − x + x +1 − x+5 −2 = lim = lim − lim x →3 x →3 x →3 x−3 x −3 x −3 x−3 c) lim x →3 = lim ( x +1 − ( x − 3) ( x →3 = lim x →3 )( x +1 + x +1 + x +1− ( x − 3) ( x +1 + ) ) ) − lim x →3 x + 5−8 ( x − 3) ( x + 5)2 + x + + − lim x →3 x −3 ( x − 3) ( x + )2 + x + + 1 1 − lim = − = x + + x →3 ( x + ) + x + + + + + = lim x →3 Bài 24: [ĐVH] Tính giới hạn sau 1+ x − 1− x x a lim x →0 a) lim x →0 b lim x→−2 x −6 + x +6 x2 + x − Lời giải: + x −1 + lim (1 − )( 1− x 1+ 1− x ( x →0 x 1+ 1− x x (1 + x ) + + x + 1 1 −1 + x = lim + lim x→0 (1 + x )2 + + x + x→0 x + − x x→0 ( x→0 b) lim x →−2 x→0 x +1 + x + − x 3 1+ x − 1− x + x −1+ − − x + x −1 1− 1− x = lim = lim + lim x →0 x →0 x →0 x x x x = lim = lim c lim (1 + x ) + 1+ x +1 + lim x →0 + ) ) ) 1 = + = 1− x 1+1+1 1+1 3 x−6 + x+6 x−6 +2−2+ x+6 x−6 +2 x+6 −2 = lim = lim − lim 2 x →−2 x →−2 x + x − x →−2 x + x − x + x−2 x + x−2 MOON.VN – Học để khẳng định ! Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng = lim x →−2 CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN x −6+8 ( x + )( x − 1) ( x − )2 − x − + = lim x →−2 x →−2 ( x − 1) ( x − )2 − x − + ( x − 1) ( x − ) x→0 − lim x →−2 c) lim x →−2 = lim − lim − x − + − lim x →−2 ( )( ( x + )( x − 1) ( x + 1−1 x+6−4 ( x + )( x − 1) ( ( x − 1) ( x+6 +2 x+6 +2 + lim ( x+4 −2 ( )( x+4 +2 x→0 x x+4+2 x ( x + 1) + x + + 1 x+4−4 = lim + lim x→0 ( x + 1)2 + x + + x → x x + + x→0 ( x→0 x+6 +2 ) = ) 1 − =− −3 ( + + ) −3.4 3 x +1 + x + − x + −1 + x + − x +1 −1 x+4 −2 = lim = lim + lim x→0 x→0 x→0 x x x x = lim = lim ) x + + 2) x+6 −2 ( x + 1) + x +1 +1 + lim x→0 ) ) ) 1 = + = x + + + + + 12 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn MOON.VN – Học để khẳng định ! Học trực tuyến : www.moon.vn ... TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính giới hạn sau x+3 x →−3 x − a lim x2 − x + x →3 x−3 b lim c lim x→2 x2 + x − x2 − Bài 2: [ĐVH] Tính giới hạn. .. − x Học trực tuyến : www.moon.vn Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính giới hạn sau x+3 x2 − 4x + a lim b lim x →−3 x − x →3... +1 − Bài 17: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim 3− 5+ x 2x + − b lim x →1 − x → 1− − x x+3 Bài 18: [ĐVH] Tính giới hạn sau a lim x +5 −3 2− x −3 b lim x→ x → 4− x x − 49 Bài 19: [ĐVH] Tính giới hạn