Chuyên đề này bao gồm các bài tập cơ bản và nâng cao vô cùng hay và sát với các đề kiểm tra giúp các em có được sự nhận biết và thông hiểu về các dạng bài tập của chuyên đề này. Lưu ý rằng chuyên đề hàm số luôn luôn là một dạng hot trong đề thi THPT quốc gia sắp tới. Chúc các em thành công
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) Trường hợp : ( ) ( ) ( )
u x
f x
v x
→ = → với u(x) và v(x) không chứa căn thức
Cách tính như sau :
B1: Kiểm tra giới hạn đã cho có là dạng vô định hay không ?
B2: Phân tích : u(x) và v(x) thành tích của hai hay nhiều nhân tử
B2 : Giản ước thừa số chung của tử số và mẫu số
B4 Áp dụng công thức tìm giới hạn
x x f x f x
Chú ý :
Để phân tích tử số và mẫu số thành tích ta sử dụng phương pháp tìm nghiệm của một đa thức theo sơ đồ
Hooc-ne
n
- Ta làm như sau :
Với : a0 =b0 , b1= +b0 a1 b2 = +b1 a2 b3= +b2 a3 b n−1=b n−2+a n−1 b n =b n−1+a n =0
n
f x x α b x − b x − b x − b
−
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm các giới hạn sau
a)
→
−
2
2
lim
2
x
x b)
→
−
2 2 2
2 lim
x
c)
→
3
4
1
lim
x
→
2 1
1 lim
x
Lời giải:
2
x
2
2
2 3
( )( ) ( )( )
+
2
2
1
2
x
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm giới hạn các hàm số sau :
a.
2
3
72 lim
x
x x
→
− −
3
lim
x
Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 11)
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (P2)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
Trang 2c
2 1
lim
1
x
x
→
lim
x a
x a
x a
→
−
−
Lời giải:
2
2
c
1
x
−
x a x ax a x a
x a
x ax a x a a
2) Trường hợp : ( ) ( ) ( )
u x
f x
v x
→ = → với : u(x) và v(x) chứa căn thức cùng chỉ số : Chúng ta thường gặp một số trường hợp sau :
- u(x) chứa một căn còn v(x) không chứa căn và ngược lại u(x) không chứa căn còn v(x) chứa một căn
- u(x) chứa hai căn còn v(x) không chứa căn và ngược lại v(x) chứa hai căn còn u(x) không chứa căn
- u(x) chứa một căn và v(x) chứa một căn
Khi đó chúng ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp Cụ thể như sau :
• Nếu chứa căn bậc hai ta có các trường hợp sau :
• Nếu chứa căn bậc ba thì ta cũng có các trường hợp sau :
- Nếu 3 a+b thì nhân liên hợp 3 a2 −b a3 +b2(3 a+b) (3 a2 −b a3 +b2)= +a b3
- Nếu 3 a−b thì nhân liên hợp 3a2 +b a3 +b2 (3 a+b) (3 a2 +b a3 +b2)= −a b3
- Nếu 3 a+3b thì nhân liên hợp 3a2 −3b.3a+3b2 (3 a+3b) (3 a2 −3b.3 a+3b2)= +a b
- Nếu 3 a−3b thì nhân liên hợp 3a2 +3b.3 a+3b2 (3 a−3b) (3 a2 +3b.3a+3b2)= −a b
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giới hạn các hàm số sau
7
3 2
lim
49
→
− −
−
x
x
2
lim
→
− +
x
x
→
+ −
1
lim
x
x
Lời giải:
2
x 3 2
− − =
56
Trang 3b) ( )( )
2
x
15
x
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm giới hạn các hàm số sau
a)
→
− + −
2 2
1
lim
x
x
2
lim
4
→
+ −
−
x
x
→
− 3 2
2 lim
8 x
x
Lời giải:
2 2
2
2
x
3
16
Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm giới hạn các hàm số sau
a)
→−
+
3
2
1
1 lim
x
x
x x b)
→
+
3 2 0
lim 2 x
x
c)
3
2
2
lim
2
→−
+
x
4
1
1 lim
2
→
− + −
x
x
x x
Lời giải:
3 2
3
2
x
2
3
2
6 2
x
3
2
6
4
1
x
12
Trang 4BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
3
3
lim
9
→−
+
−
x
x
2 3
lim
3
→
−
x
2 2 2
6 lim
4
→
+ −
−
x
x
Bài 2: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
2
2
4
16
lim
20
→
−
+ −
x
x
2 3 2
4 lim
8
→−
− +
x
x
2 2 2
lim
→−
+ + + +
x
Bài 3: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
2
2
5
30 lim
→
+ −
x
x x
2 2 1 2
lim
→
−
x
2 2 1
lim
→−
x
Bài 4: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a.
2
2
2
2 lim
2 2
→
−
x
x
1
lim
→
x
2 3
2
lim
8
→ −
+ − +
x
x x x
Bài 5: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
4
2
2
16
lim
2
→−
−
+
x
x
3 2 1
1 lim
→
−
−
x
x
2 1
1 lim
→
x
Bài 6: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3
1
lim
1
→
− +
− − +
x
2 1
lim
→−
− + +
− −
x
3
lim
→−
+ + +
x
Bài 7: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3
4
1
lim
→
− +
x
b
2 3 2
lim
8
→
+ −
−
x
x x
2 3
72 lim
x
Bài 8: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
5
3
1
1
lim
1
→−
+
+
x
x
5 3 1
1 lim
1
→
−
−
x
x
3
lim
→
x
Bài 9: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
2
2
lim
2
→
− −
−
x
2 1
lim
1
→
−
x
2 2 2
2 lim
→−
+
x
x x
Bài 10: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
2
lim
→
+
lim
→
x
Bài 11: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1
lim
→
−
lim
→
−
lim
→−
+
x x x
Bài 12: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
0
lim
→
h
1 lim
→
− + −
−
n x
Bài 13: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
Trang 5a
0
lim
→
x
2
2 lim
→
+ − + −
x
4
lim
→
x
x x
Bài 14: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
2
1
lim
1
→
−
−
x
1
1 lim
3 2
→
− + −
x
x
2
2 lim
→
+ − + −
x
x
Bài 15: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
1
lim
→
+ −
− +
x
x
2 1
lim
1
+
→
− + −
−
x
2 0
lim
→
+ − + +
x
x
Bài 16: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
4
lim
4
→
+ − +
−
x
2
2 lim
→
+ −
x
x x
1
lim
→
x
x
Bài 17: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
4
lim
→
x
x
1
lim
→
+ −
x
x
1
lim
→−
+
x
x
Bài 18: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
4
5 3
lim
4
→
+ −
−
x
x
7
lim
49
→
−
x
x
2
lim
4
→
+ −
−
x
x x
Bài 19: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1
lim
→
+ + −
− +
x
3 2 1
lim
1
→
−
x
1
lim
1
→
+ + −
−
x
x
Bài 20: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
7
3 2
lim
49
→
− −
−
x
x
2
lim
→
− +
x
x
2
lim
4
→
+ −
−
x
x x
Bài 21: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1
lim
→
+ −
x
x
2 2 1
lim
→
− + −
x
x
2
2 lim
8
→
−
x
x x x
Bài 22: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3
2
4
4
lim
→
+ −
− +
x
3 2
lim
2
→
−
x
x x
3 2 2
lim
4
→
−
x
x
Bài 23: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3
2
2
lim
→
− +
x
3 2 3
lim
9
→−
−
x
3 3
lim
3
→
−
x
x
Bài 24: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3
0
lim
→
x
3 2 2
lim
2
→−
− + + + −
x
3 0
lim
→
+ + + −
x
x
Trang 6LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
3
3
lim
9
→−
+
−
x
x
2 3
lim
3
→
−
x
2 2 2
6 lim
4
→
+ −
−
x
x
Lời giải:
9
x
x x
→− + = →− = −
−
−
3
x x
−
2
2
4
x
−
Bài 2: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
2
2
4
16
lim
20
→
−
+ −
x
x
2 3 2
4 lim
8
→−
− +
x
x
2 2 2
lim
x
→−
+ + + −
Lời giải:
2
2
20
+ −
2
3
2
2
+ −
Bài 3: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
2
2
5
30 lim
→
+ −
x
x x
2 2 1 2
lim
→
−
x
2 2 1
lim
→−
x
Lời giải:
2
2
2
2
2
2
Bài 4: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a.
2
2
2
2 lim
2 2
→
−
x
x
1
lim
→
x
2 3
2
lim
8
→ −
+ − +
x
x x x
Lời giải:
2
2
Trang 7b) ( )( )
3
2
Bài 5: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
4
2
2
16
lim
2
→−
−
+
x
x
3 2 1
1 lim
→
−
−
x
x
2 1
1 lim
→
x
Lời giải:
4
2
16
x
2
2
1
2
2
− + −
Bài 6: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3
1
lim
1
→
− +
− − +
x
2 1
lim
→−
− + +
− −
x
3
lim
→−
+ + +
x
Lời giải:
2 3
x
+
( )( )
2
2
x x
− −
5
Bài 7: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3
4
1
lim
→
x
2 3 2
lim
8
→
+ −
−
x
x x
→
2 3
72 lim
x
Lời giải:
2 3
2
2
x x
Bài 8: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
Trang 8a
5
3
1
1
lim
1
→−
+
+
x
x
5 3 1
1 lim
1
→
−
−
x
x
3
lim
→
x
Lời giải:
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
Bài 9: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
2
2
lim
2
→
− −
−
x
2 1
lim
1
→
−
x
2 2 2
2 lim
→−
+
x
x x
Lời giải:
x
2
2
1
x
−
2
2 2
2
+
+
x x
x
Bài 10: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
2
lim
→
+
1
lim
→
x
Lời giải:
a)
x
2
2
b)
2
1
x
x
→
Bài 11: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1
lim
→
−
1
lim
→
−
lim
→−
+
x x x
Lời giải:
− +
Trang 9b) ( )
2
c)
2
x
Bài 12: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
0
lim
→
h
1
1 lim
→
− + −
−
n x
Lời giải:
2
n
1
x
−
2
1 1
n
n n
x
−
− + −
−
Bài 13: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
0
lim
→
x
2
2 lim
→
+ − + −
x
4
lim
→
x
x x
Lời giải:
+ − −
2
2
2
lim
8
x
→
3
x
Bài 14: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
2
1
lim
1
→
−
−
x
1
1 lim
3 2
→
− + −
x
x
2
2 lim
→
+ − + −
x
x
Lời giải:
2
1
t x
x
=
− + +
−
b)
x
−
Trang 10c) ( ) ( )
2
2
2
lim
8
x
→
+ +
Bài 15: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
1
lim
→
+ −
− +
x
x
2 1
lim
1
+
→
− + −
−
x
2 0
lim
→
+ − + +
x
x
Lời giải:
3
x
1
x
x
−
1
1
x
x x
+
→
−
+ c)
Bài 16: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
4
lim
4
→
+ − +
−
x
2
2 lim
→
+ −
x
x x
1
lim
→
x
x
Lời giải:
a)
2
2
x x
2
lim
8
x
→
x
1
lim
27
x
→
Bài 17: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
4
lim
→
x
x
1
lim
→
+ −
x
x
1
lim
→−
+
x
x
Lời giải:
Trang 11b)
lim 2
3
→
+ +
x
x x
c)
1
lim
x
→−
+
Bài 18: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
4
5 3
lim
4
→
+ −
−
x
x
7
lim
49
→
−
x
x
2
lim
4
→
+ −
−
x
x x
Lời giải:
a)
lim
5 3
x→ x
+ + +
b)
2
lim
x→
+
c)
2
x
−
2
lim
+
Bài 19: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1
lim
→
+ + −
− +
x
3 2 1
lim
1
→
−
x
1
lim
1
→
+ + −
−
x
x
Lời giải:
2
+ − − + + − =
2
2
1
1 9
lim
x
x
→
b)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( )( ( ) )( ( ) ) )
( ) ( ) ( )( ( )( ) )
3 1
lim
x
→
2
Trang 12( ) ( ) ( ) ( )
− +
Bài 20: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
7
3 2
lim
49
→
− −
−
x
x
2
lim
→
− +
x
x
2
lim
4
→
+ −
−
x
x x
Lời giải:
a)
2
7
lim
b)
2
c)
2
x
−
2
lim
+
Bài 21: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1
lim
→
+ −
x
x
2 2 1
lim
→
− + −
x
x
2
2 lim
8
→
−
x
x x x
Lời giải:
x
15
x
−
( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )
2
2
x
( ) ( ) ( ) ( )
2
Trang 13a
3
2
4
4
lim
→
+ −
− +
x
3 2
lim
2
→
−
x
x x
3 2 2
lim
4
→
−
x
x
Lời giải:
+ − + −
( 2 ) ( )
x
+ −
+ +
2
x
x
− −
−
+ +
Bài 23: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3
2
2
lim
→
− +
x
3 2 3
lim
9
→−
−
x
3 3
lim
3
→
−
x
x
Lời giải:
Trang 14( )
2
1 9 9 9
x
+ +
+
x
2
Bài 24: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3
0
lim
→
x
3 2 2
lim
2
→−
− + + + −
x
3 0
lim
→
+ + + −
x
x
Lời giải:
2
2
1 1 1 1 1 6
x
x
x
+ −
− +
Trang 15( )( ) ( )
6 8
x
x
− +
+ −
− − − − +
2
2
1 1
4 2
4 2
1 1 1 2 2 12
4 2
x
x x
x
x x
x
+ −
+ −
+ +
+ +
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn