CHỦ ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ( 9 tiết : từ 26/04 – 08/05 ) Các kiến thức cần nhớ : 1. Tính đơn điệu của hàm số, mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu của đạo hàm cấp một của nó 2. Điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số. Các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực trị 3. Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số 4. Đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang 5. Vẽ đồ thị hàm số Các dạng toán cần luyện tập 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình hoặc chứng minh bất đẳng thức 2. Tìm điểm cực trị của hàm số, tính giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số. Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng. Ứng dụng vào việc giải phương trình, bất phương trình. 3. Tìm đường cận đứng , tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số 3 2 4 2 ; ; ax b y ax bx cx d y ax bx c y cx d + = + + + = + + = + 5. Dùng đồ thị hàm số để biện luận theo m số nghiệm của phương trình 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( tại một điểm thuộc đồ thị hàm số , biết hệ số góc ) TIẾN TRÌNH ÔN TẬP Hoạt động 1 : Hệ thống lý thuyết Hoạt động 2 : Luyện tập các dạng toán Bài 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau : 3 2 . 6 9 4a y x x x= − + − b. 4 2 1 5 3 2 2 y x x= − + c. 2 1 1 x y x − = − Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại sơ đồ khảo sát hàm số và vẽ đồ thị của hàm số Giáo viên nhấn mạnh các dạng ( về cực trị , tiệm cận , hình dáng của đồ thị ) của từng loại hàm số để học sinh ghi nhớ Giáo viên nhận xét và phân Học sinh trả lời theo yêu cầu của giáo viên và ghi nhớ những nhận xét của giáo viên để lĩnh hội kiến thức vững chắc hơn Thực hiện các bài tập giáo viên đã đề ra Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau : 3 2 . 6 9 4a y x x x= − + − b. 4 2 1 5 3 2 2 y x x= − + c. 2 1 1 x y x − = − tích những sai sót thường gặp của học sinh để tránh mất điểm không đáng có Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số a. 3 3 2y x x= − + tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2 b. 4 2 2y x x= − tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8 c. 2 3 2 1 x y x + = − tại giao điểm của (C) với trục Oy Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Nêu các bước viết phương trình tiếp tuyến của (C) : ( )y f x= tại điểm M( 0 0 ; ( ))x f x trên (C) Giáo viên gọi 3 học sinh lên bảng thực hiện Giáo viên nhận xét và sửa sai cho học sinh + Tính '( )f x + Tính 0 '( )f x + Áp dụng công thức : 0 0 0 '( )( ) ( )y f x x x f x= − + Học sinh thực hiện Phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) y = ( )f x tại điểm M( 0 0 ; ( ))x f x trên (C) là: 0 0 0 '( )( ) ( )y f x x x f x= − + Kết quả : a. 9 14y x= − b. 24 40y x= − và 24 56y x= − + c. 8 3y x= − − Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số a. 3 3 2y x x= − + biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 b. 4 2 2y x x= − biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 24y x= c. 2 3 2 1 x y x + = − biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 2 y x= Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Nêu ý nghĩa hình học của đạo hàm Khi biết được hệ số góc của tiếp tuyến ta cần xác định được yếu tố nào để viết phương trình của tiếp tuyến Cho hai đường thẳng : (d) : y ax b= + và (d’): ' 'y a x b= + Hãy cho biết quan hệ của , 'a a khi : + (d) song song (d’) + (d) vuông góc (d’) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M( 0 0 ; ( ))x f x trên (C) là 0 '( )f x Ta đi tìm tọa độ tiếp điểm bằng cách giải phương trình 0 '( )f x k= + Khi (d) //(d’) : 'a a= + Khi (d) ( ')d⊥ : . ' 1a a = − Bài giải của bài tập 3 Bài 4 : Cho hàm số 3 3 2y x x= − + có đồ thị là (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Dùng đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình : 3 3 2 0x x k− − + = Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Giáo viên gọi 1 học sinh lên bảng thực hiện câu a Giáo viên gọi 1 học sinh trình bày cách dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình Gọi học sinh thể hiện bài giải Giáo viên điều chỉnh sai sót ( nếu có) Một học sinh thực hiện + Bước 1 : Biến đổi phương trình đã cho thành phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d có phương nằm ngang + Bước 2 : Lập luận Số giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình + Bước 3 : Dựa và đồ thị ( Chú ý đến hai giá trị cực trị của hàm số ) cho giá trị của tham số thay đổi theo giá trị của hai cực trị để nhận xét số giao điểm , suy ra số nghiệm của phương trình Học sinh thực hiên Một học sinh nhận xét a. x y B O A 1 b. Kết quả : + k < 0 : Pt có 1 nghiệm + k = 0 : pt có 2 nghiệm +0 < k < 4 : pt có 3 nghiệm + k = 4 : pt có 2 nghiệm + k > 4 : pt có 1 nghiệm Bài 5 : Cho hàm số 4 2 2 1y x x= − + a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 4 2 2x x m− = Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Giáo viên gọi 1 học sinh có học lực TB lên bảng thực hiện và các học sinh còn lại tự thực hiện Học sinh thực hiện Học sinh nhận xét x y B O A 1 b. Kết quả : + m < - 1 : pt vô nghiệm + m = - 1 : pt có 2 nghiệm + - 1 < m < 0 : pt có 4 nghiệm + m = 0 : Pt có 3 nghiệm + m > 0 : pt có 2 nghiệm Bài 6 : Cho hàm số 1 1 x y x + = − có đồ thị (C) và đường thẳng d : 1y mx= − . Biện luận theo m số giao điểm của (C) và d Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Bài toán đã nêu thuộc thể loại nào ? Và yêu cầu của bài toán là gì ? Nêu trình tự bài giải của thể loại này ? Gọi 1 học sinh thực hiện Giáo viên nhận xét bài giải và nhấn mạnh cách trình bày bài giải Bài toán thuộc thể loại : sự tương giao của hai đồ thị . Đề bài yêu cầu biện luận số giao điểm của 2 đồ thị +Nêu phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d + Biến đổi pt trên thành phương trình đã biết cách giải + Lập luận : Số nghiệm của phương trình HĐGĐ chính là số giao điểm của (C ) và d + Biện luận + Kết luận Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là : 1 1 ( 1) 1 x mx x x + = − ≠ − ( ) 2 ( 2) 0 2 0 mx m x x mx m ⇔ − + = ⇔ − − = + Nếu m = 0 hay m = - 2 : phương trình có 1 nghiệm 0x = + Nếu 0m ≠ và 2m ≠ − phương trình có hai nghiệm 0x = và 2 1 m x m + = ≠ Kết luận : + m = 0 hay m = -2 : có 1 gđ + 0m ≠ và 2m ≠ − : có 2 gđ Bài 7 : Cho đồ thị hàm số (C) : 3 3 1y x x= − + . Đường thẳng d đi qua A( - 1 ; 3) có hệ số góc k . Tìm k để (C) và d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Yêu cầu của bài toán là gì ? Bài toán được giải như thế nào ? Tìm k để (C) và d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt + Lập phương trình đường thẳng d + Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d + Lập luận : Để (C) và d cắt d : 3y kx k= + + Ta có pt hoành độ giao điểm của (C) và d : Em có nhận xét gì về vị trí của A đối với (C) Giáo viên nhận xét , chỉnh sửa những sai sót – Phát triển bài toán đối với học sinh khá, giỏi nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình trên phải có 3 nghiệm phân biệt + Ta có A thuộc đồ thi (C) , do đó phương trình trên có một nghiệm 1x = − + Ta phân tích phương trình trên thành phương trình tích số : ( 1)x + ( tam thức bậc hai ) = 0 + Yêu cầu bài toán ⇔ pt bậc hai có hai nghiệm phân biệt khác – 1 + Giải hệ bpt + Kết luận ( ) ( ) 3 2 2 3 1 3 ( 1)( 2) 0 1 1 ( ) 2 0 2 x x kx k x x x k x g x x x k − + = + + ⇔ + − − − = = − ⇔ = − − − = (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt (1)⇔ có 3 nghiệm phân biệt (2)⇔ có hai nghiệm phân biệt khác – 1 0 ( 1) 0g ∆ > ⇔ − ≠ 9 4 9 0 4 0 0 k k k k + > > − ⇔ ⇔ ≠ ≠ Vậy giá trị cần tìm là : 9 4 0 k k > − ≠ Bài 8 : Xác định m để hàm số : a. 3 2 2 1 ( 1) 1 3 y x mx m x m= + + − + − đạt cực tiểu tại 2x = b. 2 4x mx y x m − + = − đạt cực đại tại x = 1 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Yêu cầu của bài toán là gì ? Hãy trình bày cách giải của bài toán Gọi học sinh trình bày bài giải Tìm m để hàm số đạt cực tiểu của hàm số tại 2x = + Tính đạo hàm : '( ); ''( )y x y x + Lập luận : Hàm số đạt cực tiểu tại 2x = '(2) 0 ''(2) 0 y y = ⇔ > Học sinh thực hiên a. Ta có : D = R 2 2 ' 2 1 '' 2 2 y x mx m y x m = + + − = + Hàm số đạt cực tiểu tại 2x = '(2) 0 ''(2) 0 y y = ⇔ > Giáo viên có thể cho học sinh tìm cách giải khác ( đối với 12 C1 ) Khi giải câu b theo cách giải trên thì ta sẽ gặp khó khăn nào ? Để khắc phục ta phải thực hiện như thế nào ? Giáo viên có thể cho học sinh tìm cách giải khác ( đối với 12 C1 ) Bước tính ''y khó khăn hơn bài a + Ta tính '( )y x + Hàm số đạt cự đại tại 1x = '(1) 0y⇒ = (*) + Giải (*) tìm m + Thử lại + Kết luận 2 1 4 3 0 3 4 2 0 2 m m m m m m = − + + = ⇔ ⇔ = − + > > − 1m⇔ = − Vậy giá trị cần tìm là : m = -1 b. Ta có : { } \D m= ¡ ( ) 2 2 2 2 4 ' x mx m y x m − + − = − Hàm số đạt cực đại tại 1x = 1 '(1) 0 3 m y m = − ⇒ = ⇔ = Thử lại : Giá trị cần tìm là : m = 3 Bài 9 : Cho hàm số : 3 2 1 ( 1) 3( 1) 2 3 y mx m x m x= + − + − + a. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu b. Tìm m để hoành độ 1 2 ,x x của các điểm cực trị thỏa 1 2 2 1x x+ = ( Câu b dành cho học sinh lớp 12C1 ) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Yêu cầu của bài toán là gì ? Khi nào thì hàm số có cực đại và cực tiểu ? Nêu cách giải bài toán Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Hàm số có cực đại và cực tiểu khi 'y đổi dấu 2 lần Học sinh trình bày cách giải + Tính '( )y x + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi 'y đổi dấu 2 lần '( ) 0y x⇔ = có 2 nghiệm pb 0 0 m ≠ ⇔ ∆ > 2 0 2 1 0 m m m ≠ ⇔ − + + > a. Ta có : D = R + 2 '( ) 2( 1) 3( 1)y x mx m x m= + − + − + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi 'y đổi dấu 2 lần '( ) 0y x⇔ = có 2 nghiệm pb 0 0 m ≠ ⇔ ∆ > 2 0 2 1 0 m m m ≠ ⇔ − + + > 0 1 1 2 m m ≠ ⇔ − < < 0 1 1 2 m m ≠ ⇔ − < < b. kết quả : 1 2 m = Bài 10 :1. Cho hàm số 3 2 6 9y x x x m= − + + . Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số . Tìm m để đường thẳng đó đi qua A( 1 ; - 2) 2. Tìm m để hàm số sau có một cực đại và một cực tiểu . Khi đó tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 2 2 2 x x m y x − − = + ( Bài tập này dành cho lớp 12 C1) Bài 11 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : a. 4 2 2 1y x x= − − ( 0)x > b. 2 2 1 ( 1) 1 x x y x x − − = < − + c. 3 2 3 9 35y x x x= − − + trên đoạn [ ] 4;4− d. 2 4y x x= − + e. 2 4ln(1 )y x x= − − trên đoạn [ ] 2;0− Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Hãy nêu lại cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng ( ) ;a b và trên đoạn [ ] ;a b Học sinh trình bày cách giải bài toán 1) Cách tìm GTLN – GTNN của hàm số trên ( ) ;a b + Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( ) ;a b + Nếu hàm số có một cực trị duy nhất là cực đại ( cực tiểu ) thì giá trị cực đại ( cực tiểu ) là GTLN ( GTNN) của hàm số trên ( ) ;a b 2) Cách tìm GTLN – GTNN của hàm số trên [ ] ;a b + Tính đạo hàm '( )f x + Tìm các điểm 1 2 , , , n x x x trên ( ) ;a b mà tại đó '( ) 0f x = hoặc '( )f x không xác định + Tính 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b Nội dung bài giải của học sinh đã được chỉnh sửa Kết quả a. Không tồn tại GTLN ( ) 0; min ( ) 2f x +∞ = − tại 1x = b. Không tồn tại GTNN ( ) ; 1 max ( ) 9f x −∞ − = − tại 2x = − c. [ ] 4;4 max ( ) 40f x − = tại 1x = − [ ] 4;4 min ( ) 41f x − = − tại 4x = − d. [ ] 2;2 min ( ) 2f x − = − tại 2x = − [ ] 2;2 max ( ) 2 2f x − = tại 2x = + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên . Ta có : [ ] [ ] ; ; max ( ), min ( ) a b a b M f x m f x= = e. [ ] 2;0 min ( ) 1 4ln 2f x − = − tại 1x = − [ ] 2;0 ax ( ) 0m f x − = tại 0x = Bài tập rèn luyện 1. Hàm số bậc ba : Bài 1 :Cho hàm số 3 2 3 1y x x= − + , có đồ thị là (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 2 c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 3 1 0x x m− + + = Bài 2 : Cho hàm số 3 2 3 4y x x= − + − , có đồ thị là (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Viết phương trình tếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 9 7y x= − + c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành Bài 3 : Cho hàm số : 3 3y x x= + , có đồ thị là (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 4 c. Tìm m để đường thẳng d : 4y mx m= − + cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Bài 4 : Cho hàm số 3 2 3 3 2y x x x= − + − , có đồ tị là (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 1 2010 3 y x= − + 2. Hàm trùng phương Bài 1 : Cho hàm số 4 2 2y x x= − , có đồ thị là (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 2x = − c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành Bài 2 : Cho hàm số 4 2 2 3y x x= + − , có đồ thị là (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) với trục Ox Bài 3 : Cho hàm số 4 2 2 3y x x= − + + có đồ thị là (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : 4 2 2 0x x m− + = Bài 4 : Cho hàm số : 4 2 2 ( 9) 10y mx m x= + − + (1) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 b. Tìm m để hàm số (1) có ba cực trị 3. Hàm nhất biến Bài 1 : Cho hàm số 1 2 x y x − = + có đồ thị là (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung c. Tìm m để đường thẳng d : 2 1y x m= − + cắt (C) tại hai điểm phân biệt Bài 2 : Cho hàm số 3 2 1 x y x − = + có đồ thị là (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ nguyên c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 5 2010y x= + Bài 3 : Cho hàm số : 2 4 1 x y x + = + có đồ thị là (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1 2 y x= + c. Gọi d là đường thẳng đi qua A( - 3 ; 2 ) và có hệ số góc k. Biện luận theo k, số giao điểm của d và (C) 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : a. 2 3 3 2 x y x + = − trên đoạn [ ] 2;3 b. 2 .lny x x= trên đoạn 1 ;e e c. lny x x= − d. 2 2 5y x x= + + trên đoạn [ ] 3;0− e. 4 2 36 2y x x= − + trên đoạn [ ] 1;4− f. 2 cos cos 2y x x= − + g. 3 4 2sin sin 3 y x x= − trên đoạn [ ] 0; π 5. Cực trị của hàm số Bài 1 : Tìm m để hàm số 3 1y x mx= − + đạt cực tiểu tại 1x = Bài 2 : Xác định m để hàm số 3 3 2y x mx= + + có cực trị Bài 3 : Tìm m để hàm số 3 2 1 2 3 3 y x mx x m= − − + + đạt cực tiểu tại 2x = Bài 4 : Cho hàm số : 4 2 4 x y a bx= + − . Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng 5 khi 2x = . của hàm số trên một đoạn, một khoảng. Ứng dụng vào việc giải phương trình, bất phương trình. 3. Tìm đường cận ứng , tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số 3. dung Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại sơ đồ khảo sát hàm số và vẽ đồ thị của hàm số Giáo viên nhấn mạnh các dạng ( về cực trị , tiệm cận , hình dáng của đồ thị ) của từng loại hàm số để. CHỦ ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ( 9 tiết : từ 26/04 – 08/05 ) Các kiến thức cần nhớ : 1. Tính đơn điệu của hàm số, mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch