ứng dụng đạo hàm chứng minh BĐT

Ứng dụng đạo hàm đê chứng minh BĐT Ví dụ 1: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a+b+c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=3(a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 ) +3(ab + bc + ca) + 2 2 2 2 a b c   . (Câu V Đề khối B 2010) Giải :Đặt t = ab + bc + ca, ta có: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca  1 = (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)  a 2 + b 2 + c 2 = 1 – 2t và 1 0 t 3   Theo B.C.S ta có : t 2 = (ab + bc + ca) 2 ≤ 3(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )  M ≥ 2 t 3t 2 1 2t    ; với f(t) =t 2 +3t +2 1 2t  f ’(t) = 2 2t 3 1 2t    f ’’(t) = 3 2 2 (1 2 ) t   < 0, t  1 0, 3        f ’(t) là hàm giảm 1 11 f '(t) f '( ) 2 3 3 3    > 0  f tăng  f (t) ≥ f(0) = 2, t  1 0; 3        M ≥ 2,  a, b, c không âm thỏa a + b + c = 1 Khi a = b = 0 và c = 1 thì M = 2. Vậy min M = 2. Ví dụ 2: Cho x,y,z >0 và x+y+z ≤1 . Tìm GTNN của P= x+y+z + 1 x + 1 y + 1 z Giải: Ta có : 1 x + 1 y + 1 z  9 x y z   Khi đó : P  x+y+z + 9 x y z   ; xét f(t) = t + 9 t và 0 <t  1 Đạo hàm : f ’(t)= 1 2 9 t = 2 2 t 9 t  f’ (t) = 0 <=> t=  3 ( loại) Bảng biến thiên : t 3 0 1 3 f ’(t) 0  0 f(t) + 10 Suy ra : P  f(t)  10 minP =10 khi t=1 <=> x=y=z= 1 3 Ví dụ 3: Cho x, y,z là ba số thực dương thay đổi .Tìm GTNN của : P=x x 1 2 yz        + y y 1 2 zx        + z z 1 2 xy        ( khối B 2007) Giải :Viết lại : P= 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + x yz + y zx + z xy = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 2 2 2 x y z xyz   Vì x 2 +y 2 +z 2  xy+yz+zx => P  2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + xy yz zx xyz   <=> P  ( 2 x 2 + 1 x ) +( 2 y 2 + 1 y )+( 2 z 2 + 1 z ) Xét hàm số f(t) = 2 t 2 + 1 t với t > 0 Ta có f’(t) = t 2 1 t ; f’(t) = 0 <=> t=1 Bảng biến thiên : t 0 1 + f’(t)  0 + f(t) 3/2 CT Suy ra : f(t)  3/2 với mọi t dương Vậy P  3 2 + 3 2 + 3 2 = 9 2 . MinP= 9 2 khi x=y=z =1 Ví dụ 4: Cho a,b,c là ba số dương và a 2 +b 2 +c 2 =1 Tìm GTLN của M= (a+b+c) 2 +a(2bc1) +b(2ca1) +c(2ab1) Giải : 2bc ≤ b 2 +c 2 =1a 2 <=>2bc 1 ≤ a 2 <=> a(2bc1) ≤a 3 Tương tự : b(2ca1) ≤ b 3 ; c(2ab1) ≤ c 3 Suy ra : M ≤ (a+b+c) 2 (a 3 +b 3 +c 3 ) Mặt khác : (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 =( a . 3 a + b . 3 b + c . 3 c ) 2 ≤ (a+b+c) (a 3 +b 3 +c 3 ) => a 3 +b 3 +c 3 ≥ 1 a b c   <=> (a 3 +b 3 +c 3 ) ≤  1 a b c   Và : (a+b+c) 2 ≤ 3(a 2 +b 2 +c 2 ) => a+b+c ≤ 3 Vậy M ≤ (a+b+c) 3  1 a b c   Xét hàm số g(t) =t 3  1 t với 0 < t ≤ 3 g’(t) =3t 2 + 2 1 t > 0 Bảng biến thiên : t 0 3 g’(t) + g(t) 8/ 3 ∞ => g(t) ≤ g( 3 ) = 3 3  1 3 = 8 3 Và M ≤ g(t) ≤ 8 3 . Vậy GTLN của M bằng 8 3 khi a=b=c = 1 3 Ví dụ 5:Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 A x xy   . ( đề CĐ2010) Giải : A = 1 1 x xy   1 2 x x y   Vì 3x+y 1 <=> 0 < x+y  12x => 2 x y   2 1 2x  Với đk : 0 <x  1 2 ( vì 12x  0 ). Suy ra : A  1 x + 2 1 2x  = f(x) Đạo hàm : f ’(x) =  2 1 x + 2 4 (1 2x)  = 2 2 2 2 (1 2x) 4x x .(1 2x)     = 2 2 4x 1 x .(1 2x)   f ’(x) =0 <=> 4x1=0 <=> x= 1 4 Bảng biến thiên : t 0 1/4 1/2 f’(x)  0 + f(x) 8 CT Suy ra : f(x)  8 với mọi x (0; 1 2 ] Vậy A  f(x) 8 . MinA= 8 khi x= 1 4 =y Ví dụ 6: Cho a  b >0 . Chứng minh rằng: a a b 1 2 2        ≤ a b b 1 2 2        ( khối D2007) Giả :BĐT cần chứng minh<=>   a b 4 1     a b 4 1  <=> ln   a b 4 1   ln   a b 4 1  <=> b.ln(4 a +1)  a.ln(4 b +1) <=> a ln(4 1) a   b ln(4 1) b  (*) Xét hàm số f(x) = x ln(4 1) x  với x > 0 Đạo hàm f’(x) = x x x 2 4 ln 4 x ln(4 1) 4 1 x          = x x x 2 x 4 .xln4 (4 1)ln(4 1) x (4 1)     = x x x x 2 x 4 .ln4 (4 1)ln(4 1) x (4 1)     < 0 => hàm số nghòch biến Từ a  b >0 suy ra f(a)  f(b) <=> a ln(4 1) a   b ln(4 1) b  ( đpcm) Ví dụ 7: .CM rằng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn 2 2 2 a b c 1    , ta có: 5 3 5 3 5 3 2 2 2 2 2 2 a 2a a b 2b b c 2c c 2 3 b c c a a b 3             Giải : BĐT cần c/m <=> 5 3 2 a 2a a 1 a    + 5 3 2 b 2b b 1 b    + 5 3 2 c 2c c 1 c    ≤ 2 3 3 <=> a(1a 2 ) +b(1b 2 ) +c(1c) 2 ≤ 2 3 3 Ta có : f(t)= tt 3 với t (0;1) Đạo hàm : f’(t) = 13t 2 ; f’(t) =0 <=> t= 1 3 Bảng biến thiên : t  1/ 3 0 1/ 3 1 + f’(t) 0 + + 0   f(t) CĐ Từ bảng biến thiên : f(t) ≤ f( 1 3 )= 2 3 3 Do đó : a(1a 2 ) ≤ 2 3 3 ; b(1b 2 )≤ 2 3 3 ; c(1c 2 )≤ 2 3 3 Cộng lại suy ra đpcm . Ví dụ 8: Cho x, y >0 và x+y=1 . Tìm GTNN của : P= x 1 x  + y 1 y  Giải : P= x 1 x  + y 1 y  = x y + y x = 3 3 ( x) ( y) xy  = ( x y)(x xy y) xy    Đặt t= x + y => xy = 2 t 1 2  Vì x < x ; y < y => t > 1 Mặt khác : (1 x +1. y ) 2 ≤ (1 2 +1 2 ) (x+y) =2 => t ≤ 2 Vậy P= 2 2 t 1 t(1 ) 2 t 1 2    = 3 2 3t t t 1   Đạo hàm : P’= 2 2 3 2 2 (3 3t )(t 1) 2t(3t t ) (t 1)      = 4 2 2 t 3 (t 1)    <0 Bảng biến thiên : t 1 1 2 + P’     P => P  P( 2 )= 2 Khi t= 2 => x=y = 2 2 Ví dụ 9: Cho a,b,c là ba số dương thỏa : a 2 +b 2 +c 2 =1 . Chứng minh : 2 2 a b c  + 2 2 b c a  + 2 2 c a b  ≥ 3 3 2 Giải : BĐT cần chứng minh <=> 2 3 a a a  + 2 3 b b b  + 2 3 c c c  ≥ 3 3 2 Xét hàm số : f(x) =xx 3 với x  (0;1) Đạo hàm f’(x) = 13x 2 f’(x) =0 <=> x=  1 3 Bảng biến thiên : t  1/ 3 0 1/ 3 1 + f’(t) 0 + + 0   f(t) CĐ => 0 < f(x) ≤ f( 1 3 )= 2 3 3 => 1 f(x)  3 3 2 Suy ra : 2 3 a a a   3 3 2 a 2 ; 2 3 b b b   3 3 2 b 2 ; 2 3 c c c   3 3 2 c 2 Cộng 2 3 a a a  + 2 3 b b b  + 2 3 c c c  ≥ 3 3 2 (a 2 +b 2 +c 2 )= 3 3 2 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c = 1 3 . Ứng dụng đạo hàm đê chứng minh BĐT Ví dụ 1: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a+b+c = 1. Tìm giá trị. +b 2 +c 2 =1 . Chứng minh : 2 2 a b c  + 2 2 b c a  + 2 2 c a b  ≥ 3 3 2 Giải : BĐT cần chứng minh <=> 2 3 a a a  + 2 3 b b b  + 2 3 c c c  ≥ 3 3 2 Xét hàm số : f(x) =xx 3 . khi x= 1 4 =y Ví dụ 6: Cho a  b >0 . Chứng minh rằng: a a b 1 2 2        ≤ a b b 1 2 2        ( khối D2007) Giả :BĐT cần chứng minh& lt;=>   a b 4 1     a b 4