Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề: TỔ HỢP + Tài liệu hệ thống lại các kiến thức và dạng bài tập trong chương tổ hợp + Phân loại gồm: Giai thừa, Quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, bài toán đếm, nhị thức. Được phân loại và nêu phương pháp cụ thể để quý thầy cô và các em học sinh tham khảo. Gv: Phạm Văn Quang (DongDu_BMT)
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gv: Phạm Văn Quang Tel: 01634.347303 0932.791571 I CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIAI THỪA Định nghĩa n ! = n.(n − 1)! 0! = 1! = Các tính chất n ! = n.(n − 1)(n − 2)( n − 3) 3.2.1 (n + 1).n ! = (n + 1)! n ! n.(n − 1).(n − 2) (k + 1).k ! = = n.(n − 1).(n − 2) (k + 1) ( n > k ) k! k! VD 01: Rút gọn biểu thức 7!4! 8! 9! − a) ÷ 10! 3!5! 2!7! VD 02: Giải phương trình a) (n + 1)! = 12(n − 1)! (n ≥ 1, n nguyeân döông) 1 b) − ÷.n ! n ! (n + 1)! b) n !− (n − 1)! = (n + 1)! 20 BÀI TẬP Rút gọn biểu thức n! 14! a) b) (n − 1)! 10! n !( n + 1) 1 + d) e) (n + 1)! (n − 1)! (n − 2)! Giải phương trình, bất phương trình sau n! n! n! = 20n = 18 a) b) (n − 2)! (n − 5)! (n − 4)! c) (n − 2)! n! f) 1.1!+ 2.2!+ 3.3!+ + n.n ! n! n! − = (n − 2)! ( n − 1)! (n + 1)! = 72 d) n ! ≤ 500 e) n ! ≤ 1000 f) (n − 1)! n !− (n − 1)! (n + 1)! n(n − 1)! = − g) h) ÷ ≤ ( n ≥ ) (n + 1)! n − n + (n − 3)!4! 12(n − 3)(n − 4)!2! Chú ý: Các nghiệm phải số tự nhiên Chứng minh bất đẳng thức sau n +1 1 1 a) n < n n ! < b) n ! > 2n −1 , n > c) + + + + < 1! 2! 3! n! n n d) n ! > ÷ ( n ∈ N , n ≥ ) e) 1.1!+ 2.2!+ 3.3!+ + n.n ! < ( n + 1)! e Chú ý: Ta thường dùng bất đẳng thức Côsi, phương pháp quy nạp toán học cách làm trội ( n ! > n(n − 1) , n ! < n n ) để chứng minh bất đẳng thức c) II CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Quy tắc cộng Giả sử có hai công việc, việc thứ làm n cách, việc thứ hai làm m cách hai việc thực đồng thời, có n + m cách làm hai việc Tổng quát: Nếu có n tập X , X , X , , X n đôi không giao Khi đó: | X + X + + X n | = | X | + | X | + | X | + + | X n | YM: quangthai19885@yahoo.com Trang Buôn Ma Thuột 2011 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gv: Phạm Văn Quang Tel: 01634.347303 0932.791571 VD 03: Khối 12 có 81 học sinh nam, khối 11 có 72 học sinh nữ Cần chọn học sinh nam khối 12 học sinh nữ khối 11 làm đại biểu hội đồng nhà trường Hỏi có cách chọn vị đại biểu này? VD 04: Một thư viện có 20 đầu sách Toán, 15 đầu sách Lý, 35 đầu sách Hóa từ thư viện Hỏi có cách để học sinh mượn sách từ thư viện Quy tắc nhân Giả sử người từ thành phố A đến thành phố C phải qua thành phố B Từ A đến B có đường, từ B đến C có đường Nhận thấy có 5.3 = 15 cách để từ A đến C Tổng quát: Một hành động H thực theo nhiều giai đoạn H 1, H2, …, Hn Mỗi giai đoạn tương ứng có n1, n2, n3, …, nn cách thực Khi ta có n1.n2.n3…nn cách thực hành động H VD 05: Có cầu I, II, III, IV nối bờ sông E F người từ E sang F quay Có cách để người hai cầu khác nhau? Nguyên lý bù trừ Khi hai công việc làm đồng thời mà có trùng lặp sử dụng quy tắc cộng để tính số cách thực Để tính số cách thực nhiệm vụ ta cộng số cách làm việc trừ số cách làm đồng thời hai việc Đó nguyên lý bù trừ A1 ∪ A2 = A1 + A2 − ( A1 ∩ A2 ) VD 06: Một lớp Toán có 25 sinh viên giỏi Tin học, 13 sinh viên giỏi Toán, sinh viên giỏi Toán Tin Hỏi lớp có sinh viên sinh viên giỏi Toán Tin giỏi hai môn? VD 07: Giả sử trường bạn có 1807 sinh viên năm thứ Trong số có 453 sinh viên chọn môn Tin học, 567 sinh viên chọn môn Toán học 299 sinh viên học hai môn Toán Tin Hỏi có sinh viên không học Toán không học Tin? BÀI TẬP Một biển số xe có dạng XXYX XXXX, X số từ đến 9, Y chữ 26 chữ Hỏi có biển số xe lập? Có dãy gồm kí tự, kí tự chữ (trong 26 chữ cái) số (trong 10 số từ đến 9)? Từ số 1, 5, 6, lập số tự nhiên a) Có chữ số? b) Có chữ số khác nhau? c) Có chữ số mà số tự nhiên số chẵn? Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính có mật dài từ đến kí tự Trong kí tự chữ hoa hay chữ số Mỗi mật phải chứa chữ số Hỏi có mật khẩu? Có tất số thành lập với chữ số 2, 4, 6, nếu: a) Số nằm từ 200 đến 600 b) Số gồm số c) Số gồm số khác Từ thành phố HCM đến thành phố Vũng Tàu có hai công ty xe khách A B Công ty A có xe khách khác nhau, công ty B có xe khách khác Một người xe công ty xe công ty Hỏi có cách vậy? Cho chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Lấy chữ số khác để thành lập số M a) có số tạo được? b) Có số nhỏ 400? c) Có số chẵn? Một túi bi có chứa 10 bi xanh bi đỏ Một người rút bi Hỏi có bao nhieu cách khác để bi xanh bi đỏ? Gieo xúc xắc gồm mặt 1, 2, 3, 4, 5, Có trường hợp xảy gieo lần 10 Trong mặt phẳng có n điểm không thẳng hàng Hỏi kẻ đường thẳng qua n điểm YM: quangthai19885@yahoo.com Trang Buôn Ma Thuột 2011 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gv: Phạm Văn Quang Tel: 01634.347303 0932.791571 III HOÁN VỊ Cho tập hợp A có n phần tử ( n ≥ ) Khi xếp n phần tử theo thứ tự ta hoán vị phần tử tập A gọi tắt tắt hoán vị A Kí hiệu: P (n) = n ! VD 08: Tập A = { a, b, c} có P (3) = 3! = cách xếp phẩn tử a, b, c tập A theo thứ tự Các cách xếp abc, acb, bac, bca, cab, cba VD 09: Cho tập B = { a, b, c, d } Có cách xếp phần tử tập B theo thứ tự? VD 10: Từ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? Lưu ý: Để nhận dạng toán hoán vị n phần tử ta thường dùng dấu hiệu đặc trưng là: n phần tử phải có mặt, phần tử xuất lần, có thứ tự phần tử BÀI TẬP Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập nên từ số 1, 2, 3, Hỏi có số a) Được tạo thành b) Bắt đầu chữ số c) Không bắt đầu chữ số Xét số tự nhiên có chữ số khác lập nên từ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số a) Bắt đầu số b) Không bắt đầu số c) Bắt đầu 23 d) Không bắt đầu 345 e) số lẻ f) Là số chẵn Tập A có phần tử số hoán vị phần tử A không vượt a) 500 b) 1000 Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số có chữ số khác lớn 300’000? Có cách xếp n đại biểu ngồi quanh bàn tròn? Chú ý: Xếp n phần tử thành vòng tròn gọi hoán vị vòng tròn n phần tử Số hoán vị vòng n phần tử (n –1)! Một khách du lịch định tham quan thành phố Người bắt đầu thành phố Hỏi người tất thành phố theo lộ trình khác nhau? Cho tập E gồm số 1, 2, 3, 4, 5, 6, a) Có số phân biệt lập từ tập E b) Có số phân biệt lập từ tập E ba số 3, 4, đứng cạnh c) Có số phân biệt lập từ tập E bắt đầu 123 Giải phương trình, bất phương trình sau: n! n! n! n! ≤ 10 − =3 = (n − 2)! a) b) n + c) (n − 1)! (n − 2)! ( n − 1)! 20n d) n ! < 999 e) P2 x − P3 x = f) < n !+ (n + 1)! < 33 IV CHỈNH HỢP Cho tập E tập hợp gồm n phần tử riêng biệt Bộ r phần tử phân biệt ( ≤ r ≤ n ) E, có kể n! r thứ tự gọi chỉnh hợp chập r n phần tử Kí hiệu: An = (n − r )! Ann = Pn = n ! ; Ann = Anr Ann−−rr Từ định nghĩa ta có: Lưu ý: Để nhận dạng toán chỉnh hợp gặp tình huống: phải chọn r phần tử từ n phần tử, thứ tự r phần tử YM: quangthai19885@yahoo.com Trang Buôn Ma Thuột 2011 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gv: Phạm Văn Quang Tel: 01634.347303 0932.791571 VD 11: Rút gọn biểu thức A6 + A5 A12 + A11 A10 + A9 a) A = n n , n > ; b) M = 49 10 49 − 17 17 An A49 A17 VD 12: Giải phương trình a) An = 20n ; b) An = 18 An − VD 13: Từ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? BÀI TẬP Tìm giá trị đại lượng sau: a) A6 ; b) A8 ; Giải phương trình sau: 2 a) Ax + 50 = A2 x ; b) An + An = 2( n + 15) ; 10 d) Ax + Ax = Ax ; e) An − An = ; An1+1 143 − C18 ; Cnn−−13 i) < ; An +1 14 P3 y y +1 y −1 k) C x +1 : Cx : Cx = : : ; l) A2 x − Ax ≤ C x + 10 ; x y y −1 y −1 y −1 n) ( Ax −1 + yAx −1 ) : Ax : C x = 10 : :1 An4+1 h) n −3 < 14 P3 ; Cn −1 Axy + C xy = 90 Giải hệ phương trình: y y 5 Ax − 2C x = 80 Trong mặt phẳng có điểm, ba điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua điểm điểm b) Có tam giác với đỉnh thuộc điểm Các đa giác sau có đường chéo: a) Ngũ giác lồi b) n giác lồi Một đề thi gồm 15 câu hỏi Mỗi thí sinh phải rút câu a) Có khả sảy b) Tham dự kì thi có 2800 thí sinh Chứng tỏ chắn có thí sinh gặp đề thi (gồm câu) Một lớp gồm 40 học sinh với 20 nam 20 nữ Thầy giáo muốn chia lớp thành tổ, tổ có nam nữ Hỏi có cách chia tổ Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam 15 nữ Cần chọn em vào ban cán Hỏi có cách chọn nếu: a) Số nam nữ ban tùy ý b) Phải có nam nữ c) Phải có nam nữ d) Phải có nam Từ nam sinh nữ sinh ưu tú có cách thành lập nhóm người đó: a) Có nữ b) Có nữ 10 Có thể lập chữ số gồm chữ số khác 11 Chứng minh rằng: k k −1 k −2 k r k k n−k k k −2 a) Cn + 2Cn + Cn = Cn + ; b) Cn Cr = Cn Cr − k ; c) k (k − 1).Cn = n(n − 1).Cn −2 ; n r −1 r k k −1 k −2 k −3 k −4 k d) Cn = Cn −1 ; e) Cn + 4Cn + 6Cn + 4Cn + Cn = Cn + r 12 Một đa giác lồi có cạnh để có số đường chéo 35 VI BÀI TOÁN ĐẾM Đếm chữ số thỏa mãn tính chất k hình thành từ tập Cho tập E = {1, 2,3, 4,5, 6, 7} Tìm số tự nhiên gồm chữ số lấy từ tập E, cho: a) Các chữ số khác b) Chữ số chữ số c) Không tận chữ số YM: quangthai19885@yahoo.com Trang Buôn Ma Thuột 2011 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gv: Phạm Văn Quang Tel: 01634.347303 0932.791571 Có thể lập số gồm chữ số khác lấy từ tập E = {1, 2,3, 4,5} số lẻ Cho chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Có thể lập chữ số gồm chữ số lấy từ số a) Là số chắn b) Trong có chữ số c) Trong có chữ số số hàng nghìn số Với chữ số 1, 2, 3, 4, Có thể lập số gồm chữ số: a) Phân biệt b) Không bắt đầu chữ số c) Không bắt đầu 123 Với chữ số 1, 2, 5, 7, Có thể lập số gồm chữ số phân biệt thỏa mãn: a) Là số chẵn b) Là số nhỏ 278 c) Là số chẵn nhỏ 278 Có số tự nhiên gồm chữ số hai chữ số kề phải khác Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ta lập chữ số a) Gồm chữ số phân biệt b) Gồm chữ số phân biệt số chẵn c) Gồm chữ số phân biệt có chữ số d) Gồm chữ số khác chia hết cho e) Gồm chữ số, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt lần Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta lập chữ số gồm chữ số khác đôi a) Là số chẵn b) Một chữ số phải Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác thỏa mãn điều kiện: a) nhỏ 40’000 b) nhỏ 45000 10 Có số với chữ số phân biệt nhỏ 10’000 Đếm phương án 11 Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn bì thư dán tem thư Có cách làm vậy? 12 Một ban chấp hành niên có 11 người, có nam, nữ Muốn chọn ban thường trực người, phải có nữ Có cách chọn ban thường trực? 13 Trong 100 vé số có vé trúng thưởng Nếu mua 12 vé có trường hợp a) Không vé trúng thưởng b) Có vé trúng thưởng c) Có vé trúng thưởng 14 Người ta muốn thành lập tổ công tác gồm nam, nữ chọn nam, 10 nữ, có anh Bình, chị An a) Có cách thành lập tổ? b) Có cách thành lập tổ mà anh Bình chị An không tổ? 15 Trong hộp có chứa 100 sản phẩm có 90 sản phẩm đạt yêu cầu 10 sản phẩm không đạt yêu cầu Lấy ngẫu nhiên từ hộp 10 sản phẩm a) Có kết khác nhau? b) Có 10 sản phẩm sản phẩm đạt yêu cầu? Các toán khác 16 Các số sau có ước số? a) 210 b) 1638 c) 2310 17 Tính số hoán vị chữ số 1, 2, 3, tính tổng tất số tạo hoán vị 18 Tính số hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Chứng minh tổng tất số tạo hoán vị chia hết cho chia hết cho YM: quangthai19885@yahoo.com Trang Buôn Ma Thuột 2011 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gv: Phạm Văn Quang Tel: 01634.347303 0932.791571 LUYỆN TẬP Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn có chữ số khác Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Có thể lập chữ số chẵn có chữ số cho chữ số chữ số có mặt lần Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600’000 Có thể lập số gồm chữ số khác cho chữ số có mặt chữ số Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại 2, 3, 4, Hỏi có chữ số nếu: a) chữ số xếp kề b) Các chữ số xếp tùy ý Có số lẻ có chữ số chia hết cho Có số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho số chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước Có 12 bánh khác Hỏi có cách xếp chúng vào hộp giống nhau, hộp có bánh 10 Một tổ sinh viên có 20 em, có em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp, em biết tiếng Đức Cần lập nhóm thức tế gồm em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp, em biết tiếng Đức Hỏi có cách lập nhóm 11 Một chi đoàn có 20 đoàn viên, có 10 nữ Tổ công tác có người Có cách chọn tổ cần 10 nữ 12 Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam Người ta muốn chọn ban điều hành gồm học sinh a) Có cách chọn ban điều hành b) Có cách chọn ban điều hành có nam nữ c) Có cách chọn ban điều hành có nam 13 Một tổ học sinh gồm 10 người (trong có nữ) vào ngồi 10 ghế đặt quanh bàn tròn Hỏi a) Có cách xếp chỗ ngồi khác b) Có cách xếp chỗ ngồi khác để bạn nữ ngồi cạnh 14 Có nhà Toán Học nam, nhà Toán Học nữ nhà Vật Lý nam Lập đoàn công tác có người cần có nam nữ, cần có Toán Học lẫn Vật Lý Hỏi có cách 15 Từ chử số 1, 2, 3, 5, lập số tự nhiên a) Có chữ số b) Có chữ số khác c) Có vận động viên chạy thi Có kết xảy với vị trí nhì ba (không kể truờng hợp hai người đích lúc) 16 Trong mặt phẳng cho n điểm không thẳng hàng a) Có đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc n điểm b) Có vectơ khác o mà điểm đầu điểm cuối thuộc n điểm 17 Trong ban chấp hành gồm người cần chọn người vao ban thường vụ a) Có cách chọn (không phân biệt chức vụ) b) Cần chọn người vào ban thường vụ với chức vụ bí thư, phó bí thư, ủy viên có cách chọn 18 Một thi có 15 người người điểm a) Cần chọn người điểm cao có kết b) Cần chọn giải nhì ba có kết 19.Một tổ có nam nữ Cần chọn người có nữ có cách 20 Một nhóm co nam nữ cần chọn em em nữ có cách 21 Tính tổng: S = C11 + C11 + + C11 22 Giải phương trình, bất phương trình sau: A4 143 2 < a) Px Ax + 72 = 6( Ax + Px ) ; b) A2 x − Ax ≤ Cx + 10 ; c) n + − Pn + Pn x YM: quangthai19885@yahoo.com Trang Buôn Ma Thuột 2011 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gv: Phạm Văn Quang Tel: 01634.347303 0932.791571 VII NHỊ THỨC NEWTON n n n k k n −k k n −k k Công thức nhị thức Newtơn: (a + b) = ∑ Cn a b = ∑ Cn a b 0 n n n 1 n −1 n 2 n n n =C a b + C a b n + + Cnn −1a n −1b1 + Cnn a nb (1 + x ) n = C + Cn1 x + C x + + Cnn x n Hệ quả: 2n = Cn0 + C + Cn2 + + C (với x = 1) VD 19: Thực khai triển a) (1 + x )10 ; VD 20: Tính giá trị biểu thức sau a) S1 = C6 + C6 + + C6 ; b) (3x − 4)5 2 5 b) S = C5 + 2C5 + C5 + + C5 BÀI TẬP Tính giá trị biểu thức n n−2 n a) S1 = Cn + Cn + + Cn ; n −1 n −3 n b) S = Cn + Cn + + Cn Tìm hệ số x khai triển biểu thức P ( x) = ( x + 1) + ( x + 1)3 + ( x + 1) + ( x + 1)5 Tìm hai số khai triển ( x − xy )15 Chứng minh rằng: n n k k n n a) Cn + Cn + + Cn = ; b) Cn − Cn + + (−1) Cn + + (−1) Cn = 10 1 Xét khai triển x + ÷ x a) Hãy viết số hạng thứ (k+1) khai triển b) Số hạng khai triển không chứa x LUYỆN TẬP Chứng minh rằng: 2 n −1 n −1 n n n a) + 4Cn + Cn + + Cn + Cn = ; n −1 b) Cn + Cn + Cn + = Cn + Cn + Cn + = ; 2 n n n n c) Cn − 2Cn + Cn − + ( −1) Cn = (−1) ; n −1 n d) Cn − 2Cn + 3Cn − (−1) nCn = ; n −1 n n −1 e) Cn + 2Cn + + (n − 1)Cn + nCn = n.2 ; n n−2 f) 2.1.Cn + 3.2.Cn + + n(n − 1)Cn = n(n − 1)2 100 100 Cho khai triển ( x − 2) = ao + a1 x + a2 x + + a100 x a) Tính hệ số a97 b) Tính tổng S1 = ao + a1 + a2 + + a100 c) Tính tổng S = a1 + 2a2 + 3a3 + + 100a100 10 2 Tìm số hạng không phụ thuộc x khai triển 2x + ÷ x n x Cho biết hệ số số hạng thứ khai triển x x + ÷ 36 Tìm số hạng thứ x ÷ n 28 − n n −1 n −2 Trong khai triển nhị thức x x + x 15 ÷ Tìm số hạng không phụ thuộc x, biết: Cn + Cn + Cn = 79 Biết tổng tất hệ số khai triển ( x + 1) n 1024 Tìm hệ số số hạng a.x12 1 2 Tìm số hạng có giá trị lớn khai triển + ÷ 3 3 12 Tìm hệ số lớn khai triển (1 + x) YM: quangthai19885@yahoo.com Trang Buôn Ma Thuột 2011 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gv: Phạm Văn Quang Tel: 01634.347303 0932.791571 ÔN TẬP VIII HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP CÓ LẶP LẠI BÀI TẬP LUYỆN TẬP (tuyển tập tập nâng cao) VIII ÔN TẬP (tuyển tập lại bản, đề thi tốt nghiệp, đại học – cao đẳng) YM: quangthai19885@yahoo.com Trang Buôn Ma Thuột 2011