Tổng hợp kiến thức và dạng bài tập toán 9 hay

TOÁN Th y: Lê Văn Ánh T NG H P KI N TH C VÀ CÁCH GI I CÁC D NG BÀI T P TOÁN PH N I: IS A KI N TH C C N NH i u ki n th c có nghĩa A có nghĩa A ≥ Các cơng th c bi n i th c A2 = A a c e A = B A B ( A ≥ 0; B > 0) A B = A2 B AB = d A2 B = A B e A B = − A2 B ( AB ≥ 0; B ≠ 0) g A = B B h C C ( A B) = A − B2 A±B i C C( A B) = A− B A± B ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) f AB b A A B = B B ( B ≥ 0) ( A < 0; B ≥ 0) ( B > 0) ( A ≥ 0; A ≠ B ) ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) Hàm s y = ax + b (a ≠ 0) - Tính ch t: + Hàm s ng bi n R a > + Hàm s ngh ch bi n R a < th : th m t ng th ng i qua i m A(0;b); B(-b/a;0) Hàm s y = ax2 (a ≠ 0) - Tính ch t: + N u a > hàm s ngh ch bi n x < ng bi n x > + N u a < hàm s ng bi n x < ngh ch bi n x > th : th m t ng cong Parabol i qua g c to O(0;0) + N u a > th n m phía tr c hồnh + N u a < th n m phía dư i tr c hồnh V trí tương i c a hai ng th ng Xét ng th ng y = ax + b (d) y = a'x + b' (d') (d) (d') c t ⇔ a ≠ a' (d) // (d') ⇔ a = a' b ≠ b' (d) ≡ (d') ⇔ a = a' b = b' V trí tương i c a ng th ng ng cong Xét ng th ng y = ax + b (d) y = ax2 (P) (d) (P) c t t i hai i m (d) ti p xúc v i (P) t i m t i m (d) (P) khơng có i m chung TỐN Th y: Lê Văn Ánh Phương trình b c hai Xét phương trình b c hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Công th c nghi m ∆ = b2 - 4ac N u ∆ > : Phương trình có hai nghi m phân bi t: x1 = Công th c nghi m thu g n ∆' = b'2 - ac v i b = 2b' - N u ∆' > : Phương trình có hai nghi m phân bi t: −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a x1 = − b ' + ∆' − b ' − ∆' ; x2 = a a N u ∆ = : Phương trình có nghi m kép : - N u ∆' = : Phương trình có nghi m kép: −b − b' x1 = x2 = x1 = x = 2a a N u ∆ < : Phương trình vơ nghi m - N u ∆' < : Phương trình vơ nghi m H th c Viet ng d ng - H th c Viet: N u x1, x2 nghi m c a phương trình b c hai ax2 + bx + c = (a≠0) thì: −b   S = x1 + x2 = a    P = x x = c  a  - M t s ng d ng: + Tìm hai s u v bi t u + v = S; u.v = P ta gi i phương trình: x2 - Sx + P = ( i u ki n S2 - 4P ≥ 0) + Nh m nghi m c a phương trình b c hai ax2 + bx + c = (a≠0) N u a + b + c = phương trình có hai nghi m: x1 = ; x2 = c a N u a - b + c = phương trình có hai nghi m: x1 = -1 ; x2 = − c a Gi i toán b ng cách l p phương trình, h phương trình Bư c 1: L p phương trình ho c h phương trình Bư c 2: Gi i phương trình ho c h phương trình Bư c 3: Ki m tra nghi m c a phương trình ho c h phương trình nghi m thích h p v i toán k t lu n Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang TOÁN Th y: Lê Văn Ánh B CÁC D NG BÀI T P D ng 1: Rút g n bi u th c Bài toán: Rút g n bi u th c A rút g n bi u th c A ta th c hi n bư c sau: - Quy ng m u th c (n u có) - ưa b t th a s ngồi th c (n u có) - Tr c th c m u (n u có) - Th c hi n phép tính: lu th a, khai căn, nhân chia - C ng tr s h ng ng d ng D ng 2: Bài tốn tính tốn Bài tốn 1: Tính giá tr c a bi u th c A Tính A mà khơng có i u ki n kèm theo ng nghĩa v i toán Rút g n bi u th c A Bài tốn 2: Tính giá tr c a bi u th c A(x) bi t x = a Cách gi i: - Rút g n bi u th c A(x) - Thay x = a vào bi u th c rút g n D ng 3: Ch ng minh ng th c Bài toán: Ch ng minh ng th c A = B M t s phương pháp ch ng minh: - Phương pháp 1: D a vào nh nghĩa A=B⇔ A-B=0 - Phương pháp 2: Bi n i tr c ti p A = A1 = A2 = = B - Phương pháp 3: Phương pháp so sánh A = A1 = A2 = = C A=B B = B1 = B2 = = C - Phương pháp 4: Phương pháp tương ương A = B ⇔ A' = B' ⇔ A" = B" ⇔ ⇔ (*) (*) úng ó A = B - Phương pháp 5: Phương pháp s d ng gi thi t - Phương pháp 6: Phương pháp quy n p - Phương pháp 7: Phương pháp dùng bi u th c ph D ng 4: Ch ng minh b t ng th c Bài toán: Ch ng minh b t ng th c A > B M t s b t ng th c quan tr ng: - B t ng th c Cosi: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1.a2 a3 an (v i a1.a2 a3 an ≥ ) n D u “=” x y ch khi: a1 = a2 = a3 = = an -B t ng th c BunhiaCôpxki: V i m i s a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn (a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn )2 ≤ (a12 + a22 + a32 + + an2 )(b12 + b22 + b32 + + bn2 ) D u “=” x y ch khi: Website: http://www.anhlevan.tk/ a1 a2 a3 a = = = = n b1 b2 b3 bn Trang TOÁN Th y: Lê Văn Ánh M t s phương pháp ch ng minh: - Phương pháp 1: D a vào nh nghĩa A>B⇔ A-B>0 - Phương pháp 2: Bi n i tr c ti p A = A1 = A2 = = B + M2 > B n u M ≠ - Phương pháp 3: Phương pháp tương ương A > B ⇔ A' > B' ⇔ A" > B" ⇔ ⇔ (*) (*) úng ó A > B - Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính ch t b c c u A > C C > B → A > B - Phương pháp 5: Phương pháp ph n ch ng ch ng minh A > B ta gi s B > A dùng phép bi n i tương ương d n n i u vơ lí ó ta k t lu n A > B - Phương pháp 6: Phương pháp s d ng gi thi t - Phương pháp 7: Phương pháp quy n p - Phương pháp 8: Phương pháp dùng bi u th c ph D ng 5: Bài toán liên quan t i phương trình b c hai Bài tốn 1: Gi i phương trình b c hai ax2 + bx + c = (a≠0) ≠ Các phương pháp gi i: - Phương pháp 1: Phân tích ưa v phương trình tích - Phương pháp 2: Dùng ki n th c v b c hai x2 = a → x = ± a - Phương pháp 3: Dùng cơng th c nghi m Ta có ∆ = b2 - 4ac + N u ∆ > : Phương trình có hai nghi m phân bi t: x1 = −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a + N u ∆ = : Phương trình có nghi m kép x1 = x2 = −b 2a + N u ∆ < : Phương trình vơ nghi m - Phương pháp 4: Dùng công th c nghi m thu g n Ta có ∆' = b'2 - ac v i b = 2b' + N u ∆' > : Phương trình có hai nghi m phân bi t: x1 = − b ' + ∆' − b ' − ∆' ; x2 = a a + N u ∆' = : Phương trình có nghi m kép − b' x1 = x = a + N u ∆' < : Phương trình vơ nghi m - Phương pháp 5: Nh m nghi m nh nh lí Vi-et N u x1, x2 nghi m c a phương trình b c hai ax2 + bx + c = (a≠0) thì: −b   x1 + x2 = a    x x = c  a  Chú ý: N u a, c trái d u t c a.c < phương trình ln có hai nghi m phân bi t Trang Website: http://www.anhlevan.tk/ TOÁN Th y: Lê Văn Ánh Bài toán 2: Bi n lu n theo m s có nghi m c a phương trình b c hai ax2 + bx + c = ( ó a, b, c ph thu c tham s m ) Xét h s a: Có th có kh a Trư ng h p a = v i vài giá tr ó c a m Gi s a = ⇔ m = m0 ta có: (*) tr thành phương trình b c nh t ax + c = (**) + N u b ≠ v i m = m0: (**) có m t nghi m x = -c/b + N u b = c = v i m = m0: (**) vô nh ⇔ (*) vô nh + N u b = c ≠ v i m = m0: (**) vô nghi m ⇔ (*) vô nghi m b Trư ng h p a ≠ 0: Tính ∆ ho c ∆' + Tính ∆ = b2 - 4ac N u ∆ > : Phương trình có hai nghi m phân bi t: x1 = −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a N u ∆ = : Phương trình có nghi m kép : x1 = x2 = −b 2a N u ∆ < : Phương trình vơ nghi m + Tính ∆' = b'2 - ac v i b = 2b' N u ∆' > : Phương trình có hai nghi m phân bi t: x1 = − b ' + ∆' − b ' − ∆' ; x2 = a a − b' N u ∆' = : Phương trình có nghi m kép: x = x = a N u ∆' < : Phương trình vơ nghi m - Ghi tóm t t ph n bi n lu n Bài toán 3: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai ax2 + bx + c = ( ó a, b, c ph thu c tham s m ) có nghi m Có hai kh phương trình b c hai ax2 + bx + c = có nghi m: Ho c a = 0, b ≠ Ho c a ≠ 0, ∆ ≥ ho c ∆' ≥ T p h p giá tr m toàn b giá tr m tho mãn i u ki n ho c i u ki n Bài tốn 4: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai ax2 + bx + c = ( a, b, c ph thu c tham s m ) có nghi m phân bi t a ≠ a ≠ ho c  ' ∆ > ∆ > i u ki n có hai nghi m phân bi t  Bài tốn 5: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai ax2 + bx + c = ( ó a, b, c ph thu c tham s m ) có nghi m i u ki n có m t nghi m: a ≠ a ≠ a = ho c  ho c  '  b ≠ ∆ = ∆ = Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang TỐN Th y: Lê Văn Ánh Bài tốn 6: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai ax2 + bx + c = ( ó a, b, c ph thu c tham s m ) có nghi m kép a ≠ i u ki n có nghi m kép:  ∆ = a ≠ ho c  ' ∆ = Bài tốn 7: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai ax2 + bx + c = ( ó a, b, c ph thu c tham s m ) vô nghi m a ≠ i u ki n có m t nghi m:  ∆ < a ≠ ho c  ' ∆ < Bài tốn 8: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai ax2 + bx + c = ( ó a, b, c ph thu c tham s m ) có nghi m a ≠ a ≠ a = ho c  ho c  ' b ≠ ∆ = ∆ = i u ki n có m t nghi m:  Bài tốn : Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai ax2 + bx + c = ( a, b, c ph thu c tham s m ) có hai nghi m d u i u ki n có hai nghi m d u: ∆' ≥ ∆ ≥   ho c   c c P = a > P = >  a  Bài tốn 10 : Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai ax + bx + c = (a, b, c ph thu c tham s m) có nghi m dương i u ki n có hai nghi m dương:   ∆ ≥ ∆' ≥   c c   P = > ho c  P = >  a a   b b   S = − a > S = − a >   Bài toán 11 : Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai ax2 + bx + c = ( ó a, b, c ph thu c tham s m ) có nghi m âm i u ki n có hai nghi m âm:   ∆ ≥ ∆' ≥   c c   P = > ho c  P = >  a a   b b   S = − a < S = − a <   phương trình b c hai Bài tốn 12 : Tìm i u ki n c a tham s m ax2 + bx + c = ( a, b, c ph thu c tham s m) có nghi m trái d u i u ki n có hai nghi m trái d u: P < ho c a c trái d u Bài tốn 13 : Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai ax2 + bx + c = (*) ( a, b, c ph thu c tham s m) có m t nghi m x = x1 Cách gi i: - Thay x = x1 vào phương trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = → m - Thay giá tr c a m vào (*) → x1, x2 - Ho c tính x2 = S - x1 ho c x2 = Website: http://www.anhlevan.tk/ P x1 Trang TOÁN Th y: Lê Văn Ánh Bài tốn 14 : Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai ax2 + bx + c = ( a, b, c ph thu c tham s m) có nghi m x1, x2 tho mãn i u ki n: b x12 + x2 = k a αx1 + βx2 = γ c 1 + =n x1 x2 Theo d x12 + x2 ≥ h e x13 + x2 = t i u ki n chung: ∆ ≥ ho c ∆' ≥ (*) nh lí Viet ta có: −b   x1 + x2 = a = S (1)    x x = c = P ( 2)  a  a Trư ng h p: α x + β x = γ −b   x1 + x2 = Gi i h  a αx1 + βx2 = γ  x1, x2 Thay x1, x2 vào (2) → m Ch n giá tr c a m tho mãn (*) b Trư ng h p: x12 + x2 = k ↔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = k Thay x1 + x2 = S = −b c x1.x2 = P = vào ta có: a a S2 - 2P = k → Tìm c giá tr c a m tho mãn (*) c Trư ng h p: 1 + = n ↔ x1 + x2 = nx1.x2 ↔ − b = nc x1 x2 Gi i phương trình - b = nc tìm c m tho mãn (*) d Trư ng h p: x12 + x2 ≥ h ↔ S − P − h ≥ Gi i b t phương trình S2 - 2P - h ≥ ch n m tho mãn (*) e Trư ng h p: x13 + x2 = t ↔ S − 3PS = t Gi i phương trình S − 3PS = t ch n m tho mãn (*) Bài tốn 15: Tìm hai s u v bi t t ng u + v = S tích u.v = P c a chúng Ta có u v nghi m c a phương trình: x2 - Sx + P = (*) ( i u ki n S2 - 4P ≥ 0) Gi i phương trình (*) ta tìm c hai s u v c n tìm Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang TOÁN Th y: Lê Văn Ánh N i dung 6: Gi i phương trình b ng phương pháp t n s ph Bài tốn1: Gi i phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = t t = x2 (t≥0) ta có phương trình at2 + bt + c = Gi i phương trình b c hai n t sau ó thay vào tìm n x B ng tóm t t at + bt + c = vô nghi m nghi m âm nghi m kép âm nghi m dương nghi m dương Bài tốn 2: Gi i phương trình A( x + ax4 + bx2 + c = vô nghi m vô nghi m vô nghi m nghi m i nghi m c p nghi m i 1 ) + B( x + ) + C = x x = t ⇔ x2 - tx + = x 1 Suy t2 = ( x + )2 = x + + ⇔ x + = t − x x x t x + Thay vào phương trình ta có: A(t2 - 2) + Bt + C = ⇔ At2 + Bt + C - 2A = = t gi i tìm x x 1 Bài tốn 3: Gi i phương trình A( x + ) + B( x − ) + C = x x t x − = t ⇔ x2 - tx - = x 1 Suy t2 = ( x − )2 = x + − ⇔ x + = t + x x x Gi i phương trình n t sau ó th vào x + Thay vào phương trình ta có: A(t2 + 2) + Bt + C = ⇔ At2 + Bt + C + 2A = Gi i phương trình n t sau ó th vào x − = t gi i tìm x x Bài tốn 4: Gi i phương trình b c cao Dùng phép bi n i ưa phương trình b c cao v d ng: + Phương trình tích + Phương trình b c hai Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang TOÁN Th y: Lê Văn Ánh N i dung 7: Gi i h phương trình ax + by = c a ' x + b ' y = c ' Bài toán: Gi i h phương trình  Các phương pháp gi i: + Phương pháp th + Phương pháp c ng + Phương pháp th + Phương pháp t n ph N i dung 7: Gi i phương trình vơ t Bài tốn 1: Gi i phương trình d ng f ( x) = g ( x) (1) Ta có  g( x ) ≥  f ( x ) = g( x ) ⇔     f ( x ) =  g( x )  (2) (3) Gi i (3) i chi u i u ki n (2) ch n nghi m thích h p → nghi m c a (1) Bài toán 2: Gi i phương trình d ng f ( x) + h( x) = g ( x) i u ki n có nghĩa c a phương trình  f ( x) ≥  h ( x ) ≥  g ( x) ≥  V i i u ki n tho mãn ta bình phương hai v gi i tìm x N i dung 8: Gi i phương trình ch a giá tr t i Bài toán: Gi i phương trình d ng f ( x ) = g ( x ) Phương pháp 1:  g ( x) ≥ f (x) = g (x) ⇔  [ f ( x)] = [g ( x)] 2 Xét f(x) ≥ → f(x) = g(x) Xét f(x) < → - f(x) = g(x) Phương pháp 3: V i g(x) ≥ ta có f(x) = ± g(x) N i dung 9: Giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a bi u th c Bài tốn: Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s y = f(x) Phương pháp 1: D a vào lu th a b c ch n - Bi n i hàm s y = f(x) cho: y = M - [g(x)]2n , n ∈Z → y ≤ M Do ó ymax = M g(x) = - Bi n i hàm s y = f(x) cho: y = m + [h(x)]2k k∈Z → y ≥ m Do ó ymin = m h(x) = Phương pháp 2: Phương pháp 2: D a vào t p giá tr hàm Phương pháp 3: D a vào ng th c Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang TOÁN Th y: Lê Văn Ánh N i dung 10: Các toán liên quan n hàm s * i m thu c ng - ng i qua m t i m th c a hàm s y = f(x) m t i m A(xA;yA) Bài toán: Cho (C) H i (C) có i qua A khơng? th (C) i qua A(xA;yA) ch to c a A nghi m úng phương trình c a (C) A∈(C) ⇔ yA = f(xA) Dó ó tính f(xA) N u f(xA) = yA (C) i qua A N u f(xA) ≠ yA (C) khơng i qua A * S tương giao c a hai th Bài toán : Cho (C) (L) theo th t th hàm s y = f(x) y = g(x) Hãy kh o sát s tương giao c a hai th To i m chung c a (C) (L) nghi m c a phương trình hồnh giao i m: f(x) = g(x) (*) - N u (*) vô nghi m (C) (L) khơng có i m chung - N u (*) có nghi m kép (C) (L) ti p xúc - N u (*) có nghi m (C) (L) có i m chung - N u (*) có nghi m (C) (L) có i m chung * L p phương trình ng th ng Bài tốn 1: L p phương trình c a ng th ng (D) i qua i m A(xA;yA) có h s góc b ng k Phương trình t ng quát c a ng th ng (D) : y = ax + b (*) - Xác nh a: ta có a = k - Xác nh b: (D) i qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b → b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phương trình c a (D) Bài tốn 2: L p phương trình c a ng th ng (D) i qua hai i m A(xA;yA); B(xB;yB) Phương trình t ng quát c a ng th ng (D) : y = ax + b  y A = ax A + b  y B = ax B + b (D) i qua A B nên ta có:  Gi i h ta tìm c a b suy phương trình c a (D) Bài tốn 3: L p phương trình c a ng th ng (D) có h s góc k ti p xúc v i ng cong (C): y = f(x) Phương trình t ng quát c a ng th ng (D) : y = kx + b Phương trình hồnh i m chung c a (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) ti p xúc v i (P) nên (*) có nghi m kép T i u ki n ta tìm c b suy phương trình c a (D) Bài tốn 3: L p phương trình c a ng th ng (D) i qua i m A(xA;yA) ti p xúc v i ng cong (C): y = f(x) Phương trình t ng quát c a ng th ng (D) : y = kx + b Phương trình hồnh giao i m c a (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) ti p xúc v i (P) nên (*) có nghi m kép T i u ki n ta tìm c h th c liên h gi a a b (**) M t khác: (D) qua A(xA;yA) ó ta có yA = axA + b (***) T (**) (***) → a b → Phương trình ng th ng (D) Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang 10 TOÁN Th y: Lê Văn Ánh PH N II: HÌNH H C A KI N TH C C N NH H th c lư ng tam giác vuông b2 = ab' c2 = ac' A h = b'c' b c ah = bc h a2 = b2 + c2 B c' b' C H 1 = 2+ 2 h b c a T s lư ng giác c a góc nh n < sinα < < cossα < sin α cos α tgα = cot gα = cos α sin α tgα.cotgα = 1 + tg 2α = cos α sin2α + cos2α = 1 + cot g 2α = sin α B H th c v c nh góc tam giác vng b = asinB = acosC a c b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B A ng tròn - Cách xác nh: Qua ba ng tròn - Tâm i x ng, tr c i x i x ng - Quan h vng góc gi a Trong m t ng tròn + ng kính vng góc v + ng kính i qua trung v i dây y Website: http://www.anhlevan.tk/ b C i m không th ng hàng ta v c m t ch m t ng: ng tròn có m t tâm i x ng; có vơ s tr c ng kính dây i m t dây i qua trung i m c a dây y i m c a m t dây không i qua tâm vng góc Trang 11 TỐN Th y: Lê Văn Ánh - Liên h gi a dây kho ng cách t tâm n dây: Trong m t ng tròn: + Hai dây b ng cách + Hai dây cách u tâm u tâm b ng + Dây l n dây ó g n tâm + Dây g n tâm dây ó l n - Liên h gi a cung dây: Trong m t ng tròn hay hai ng tròn b ng nhau: + Hai cung b ng căng hai dây b ng + Hai dây b ng căng hai cung b ng + Cung l n căng dây l n + Dây l n căng cung l n - V trí tương i c a ng th ng ng trịn: V trí tương i S i m chung H th c liên h gi a d R - ng th ng ng tròn c t dR - ng th ng ng tròn ti p xúc - ng th ng ng tròn khơng giao Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang 12 TỐN Th y: Lê Văn Ánh - V trí tương i c a ng th ng ng tròn: V trí tương i S i m chung H th c liên h gi a d R - Hai ng tròn c t - Hai ng trịn ti p xúc + Ti p xúc ngồi R - r < OO' < R + r OO' = R + r + Ti p xúc OO' = R - r - Hai ng tròn khơng giao + (O) (O') ngồi OO' > R + r + (O) ng (O') + (O) (O') ng tâm OO' < R - r OO' = Ti p n c a ng trịn - Tính ch t c a ti p n:Ti p n vng góc v i bán kính i qua ti p i m - D u hi u nh n bi t ti p n: + ng th ng ng tròn ch có m t i m chung + Kho ng cách t tâm c a ng tròn n ng th ng b ng bán kính + ng th ng i qua m t i m c a ng trịn vng góc v i bán kính i qua i m ó - Tính ch t c a ti p n c t A MA, MB hai ti p n c t thì: + MA = MB O M + MO phân giác c a góc AMB + OM phân giác c a góc AOB B Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang 13 TOÁN Th y: Lê Văn Ánh - Ti p n chung c a hai ng tròn: ng th ng ti p xúc v i c hai ng trịn ó: Ti p n chung Ti p n chung d d d' O O' O O' d' Góc v i ng trịn Lo i góc Hình v Cơng th c tính s o A B Góc tâm AOB = sd AB O A B O Góc n i ti p AMB = sd AB M x A Góc t o b i tia ti p n dây cung B xBA = O sd AB B A AMB = O ( sd AB + sdCD ) AMB = M Góc có nh bên ng trịn ( sd AB − sdCD) C D M D C Góc có nh bên ngồi ng trịn O A B Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang 14 TOÁN Th y: Lê Văn Ánh Chú ý: Trong m t ng trịn - Các góc n i ti p b ng ch n cung b ng - Các góc n i ti p ch n m t cung b ng - Các góc n i ti p ch n cung b ng b ng - Góc n i ti p nh ho c b ng 900 có s o b ng n a s o c a góc tâm ch n m t cung - Góc n i ti p ch n n a ng tròn góc vng ngư c l i góc vng n i ti p ch n n a ng trịn - Góc t o b i tia ti p n dây cung góc n i ti p ch n m t cung b ng dài ng tròn dài cung tròn dài ng trịn bán kính R: C = 2πR = πd π Rn dài cung trịn n0 bán kính R : l = 180 Di n tích hình trịn - Di n tích hình qu t trịn - Di n tích hình trịn: S = πR2 - Di n tích hình qu t trịn bán kính R, cong n0: S = Các lo i ng tròn ng tròn ngo i ti p tam giác π R2n 360 ng tròn n i ti p tam giác A A O O B C B C Tâm ng tròn giao c a ba ng trung tr c c a tam giác = lR ng tròn bàng ti p tam giác Tâm c a ng trịn bàng ti p góc A giao i m c a hai ng phân giác góc ngồi t i B ho c C ho c giao i m c a ng phân giác góc A ng phân giác ngồi t i B (ho c C) Tâm ng tròn giao c a ba ng phân giác c a tam giác 10 Các lo i hình khơng gian a Hình tr - Di n tích xung quanh: Sxq = 2πrh - Di n tích tồn ph n: Stp = 2πrh + πr2 - Th tích hình tr : V = Sh = πr2h b Hình nón: - Di n tích xung quanh: Sxq = 2πrl - Di n tích tồn ph n: Stp = 2πrl + πr2 π r2h Website: http://www.anhlevan.tk/ - Th tích hình tr : V = r: bán kính Trong ó h: chi u cao Trong ó r: bán kính l: ng sinh h: chi u cao Trang 15 TOÁN Th y: Lê Văn Ánh c Hình nón c t: - Di n tích xung quanh: Sxq = π(r1 + r2)l - Th tích: V = π h(r12 + r22 + r1 r2 ) d Hình c u - Di n tích m t c u: S = 4πR2 = πd - Th tích hình c u: V = π R3 r1: bán kính dáy l n Trong ó: r2: bán kính áy nh l: ng sinh h: chi u cao R: bán kính Trong ó: d: ng kính 11 T giác n i ti p: D u hi u nh n bi t t giác n i ti p: - T giác có t ng hai góc i b ng 1800 - T giác có góc ngồi t i m t nh b ng góc c a nh i di n - T giác có nh cách u m t i m - T giác có hai nh k nhìn c nh ch a hai nh cịn l i dư i m t góc α Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang 16 TOÁN Th y: Lê Văn Ánh B CÁC D NG BÀI T P D ng 1: Ch ng minh hai góc b ng Cách ch ng minh: - Ch ng minh hai góc b ng góc th ba - Ch ng minh hai góc b ng v i hai góc b ng khác - Hai góc b ng t ng ho c hi u c a hai góc theo th t m t b ng - Hai góc ph (ho c bù) v i góc th ba - Hai góc nh n ho c tù có c nh m t song song ho c v.góc - Hai góc ó le trong, so le ho c ng v - Hai góc v trí i nh - Hai góc c a m tam giác cân ho c u - Hai góc tương ng c a hai tam giác b ng ho c ng d ng - Hai góc n i ti p ch n m t cung ho c ch n hai cung b ng D ng 2: Ch ng minh hai o n th ng b ng Cách ch ng minh: - Ch ng minh hai o n th ng b ng o n th ba - Hai c nh c a mm t tam giác cân ho c tam giác u - Hai c nh tương ng c a hai tam giác b ng - Hai c nh i c a hình bình hành (ch nh t, hình thoi, hình vng) - Hai c nh bên c a hình thang cân - Hai dây trương hai cung b ng m t ng tròn ho c hai ng b ng D ng 3: Ch ng minh hai ng th ng song song Cách ch ng minh: - Ch ng minh hai ng th ng song song v i ng th ng th ba - Ch ng minh hai ng th ng vng góc v i ng th ng th ba - Ch ng minh chúng t o v i m t cát n hai góc b ng nhau: + v trí so le + v trí so le ngồi + v trí ng v - Là hai dây ch n gi a chúng hai cung b ng m t ng tròn - Chúng hai c nh i c a m t hình bình hành D ng 4: Ch ng minh hai ng th ng vng góc Cách ch ng minh: - Chúng song song song song v i hai ng th ng vng góc khác - Ch ng minh chúng chân ng cao m t tam giác - ng kính i qua trung i m dây dây - Chúng phân giác c a hai góc k bù Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang 17 TỐN Th y: Lê Văn Ánh D ng 5: Ch ng minh ba ng th ng ng quy Cách ch ng minh: - Ch ng minh chúng ba ng cao, ba trung n, ba trung tr c, ba phân giác (ho c m t phân giác phân giác ngồi c a hai góc kia) - V n d ng nh lí oc a nh lí Talet D ng 6: Ch ng minh hai tam giác b ng Cách ch ng minh: * Hai tam giác thư ng: - Trư ng h p góc - c nh - góc (g-c-g) - Trư ng h p c nh - góc - c nh (c-g-c) - Trư ng h p c nh - c nh - c nh (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có c nh huy n m t góc nh n b ng - Có c nh huy n b ng m t c nh góc vng b ng - C nh góc vng m t b ng D ng 7: Ch ng minh hai tam giác ng d ng Cách ch ng minh: * Hai tam giác thư ng: - Có hai góc b ng m t - Có m t góc b ng xen gi a hai c nh tương ng t l - Có ba c nh tương ng t l * Hai tam giác vng: - Có m t góc nh n b ng - Có hai c nh góc vng tương ng t l D ng 8: Ch ng minh ng th c hình h c Cách ch ng minh: Gi s ph i ch ng minh ng th c: MA.MB = MC.MD (*) - Ch ng minh: ∆MAC ∼ ∆MDB ho c ∆MAD ∼ ∆MCB - N u i m M, A, B, C, D cúng n m m t ng th ng ph i ch ng minh tích b ng tích th ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF T c ta ch ng minh: ∆MAE ∼ ∆MFB ∆MCE ∼ ∆MFD → MA.MB = MC.MD * Trư ng h p c bi t: MT2 = MA.MB ta ch ng minh ∆MTA ∼ ∆MBT Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang 18 TOÁN Th y: Lê Văn Ánh D ng 9: Ch ng minh t giác n i ti p Cách ch ng minh: D u hi u nh n bi t t giác n i ti p: - T giác có t ng hai góc i b ng 1800 - T giác có góc ngồi t i m t nh b ng góc c a nh i di n - T giác có nh cách u m t i m - T giác có hai nh k nhìn c nh ch a hai nh cịn l i dư i m t góc α D ng 10: Ch ng minh MT ti p n c a ng tròn (O;R) Cách ch ng minh: - Ch ng minh OT ⊥ MT t i T ∈ (O;R) - Ch ng minh kho ng cách t tâm O n ng th ng MT b ng bán kính - Dùng góc n i ti p D ng 10: Các tốn tính tốn dài c nh, l n góc Cách tính: - D a vào h th c lư ng tam giác vuông - D a vào t s lư ng giác - D a vào h th c gi a c nh góc tam giác vng - D a vào cơng th c tính dài, di n tích, th tích Đây số kiến thức chương trình Toán Để giúp em ôn tập tốt Cần đọc kỹ tài liệu Xem thêm Saùch giaùo khoa Toaùn Chúc em h c t p thành công! Website: http://www.anhlevan.tk/ Trang 19 ... - D a vào h th c lư ng tam giác vuông - D a vào t s lư ng giác - D a vào h th c gi a c nh góc tam giác vng - D a vào cơng th c tính dài, di n tích, th tích Đây số kiến thức chương trình Toán. .. Rút g n bi u th c A(x) - Thay x = a vào bi u th c rút g n D ng 3: Ch ng minh ng th c Bài toán: Ch ng minh ng th c A = B M t s phương pháp ch ng minh: - Phương pháp 1: D a vào nh nghĩa A=B⇔ A-B=0... gi i: - Thay x = x1 vào phương trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = → m - Thay giá tr c a m vào (*) → x1, x2 - Ho c tính x2 = S - x1 ho c x2 = Website: http://www.anhlevan.tk/ P x1 Trang TOÁN Th