Các dạng toán 9 về phương trình,hệ phương trình và cách giải

CHủ Đề : Hệ PHƯƠNG TRìNH HAI ẩN i - Mục tiêu CA CH : - Học sinh có kĩ năng giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn bằng các phơng pháp: thế, cộng đại số. - Giải các hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc giải và biện luận hệ phơng trình. - áp dụng giải hệ phơng trình để giải phơng trình hoặc tìm iu kin ca tham s tha món yờu cu cho trc - Hc sinh bit mt vi k nng gii mt s loi h phng trỡnh bc cao hai n, gii h phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i, cú cha cn thc. II/ CC KIN THC CN NH: 1. H hai phng trỡnh bc nht hai n: - nh ngha: Cho hai phng trỡnh bc nht hai n: ax + by = c v ax + by = c. Khi ú ta cú h hai phng trỡnh bc nht hai n: ax+by=c(1) ( ) ' ' '(2) I a x b y c + = - Nu hai phng trỡnh y cú nghim chung (x0;y0) thỡ c gi l nghim ca h (I) - Nu hai phng trỡnh y khụng cú nghim chung thỡ ta núi h vụ nghim 2. Quan h gia s nghim ca h v ng thng biu din tp nghim: - Phng trỡnh (1) c biu din bi ng thng (d) - Phng trỡnh (2) c biu din bi ng thng (d) * Nu (d) ct (d) ' ' a b a b h cú nghim duy nht * Nu (d) // (d) ' ' ' a b c a b c = h vụ nghim * Nu (d) trựng (d) ' ' ' a b c a b c = = h cú vụ s nghim. 3. H phng trỡnh tng ng: Hai h phng trỡnh c gi l tng ng vi nhau nu chỳng cú cựng tp nghim. 4. Gii h phng trỡnh bng phng phỏp cng, phng phỏp th, phng phỏp dựng nh thc: a/ Quy tc th ( Sgk Toỏn 9-T2-Tr 13) b/ Quy tc cụng i s ( Sgk Toỏn 9-T2-Tr 16) c/ Phng phỏp dựng nh thc: ( nh nh thc ta nh cõu: Anh Bn Cm Bỏt n Cm) T h phng trỡnh (I) ta cú: ' ' ; ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' = = = = = = x y a b c b a c D ab a b D cb c b D ac a c a b c b a c - Nu D 0 , thỡ h phng trỡnh cú mt nghim duy nht: y D y = D x D x v D = - Nu D = 0 v D x 0 hoc D y 0 , thỡ h phng trỡnh vụ nghim - Nu D = D x = D y = 0, thỡ h phng trỡnh cú vụ s nghim III/ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA • Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Giải và biện luận. Bài toán 1 : Giải và biện luận hệ : 2 2 (1) 3 (2) mx y m x y + =   + =  Giải Các bạn có thể chọn một trong ba phương pháp: * Cách 1: Phương pháp thế Ta có: Từ (2) ⇒ y = 3 - x. Thế vào (1) ta được: Pt (1) ⇔ mx + 2(3 - x) = 2m (m - 2)x = 2m - 6 (3). + Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2 thì (3) trở thành 0 = - 2, vô nghiệm (không được nói là phương trình vô lí !). + Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 thì (3) ⇔ x = 2 6 2 m m − − Thay vào (2) ta được: (2) ⇔ : y = 3 - 2 6 2 m m − − = 2 m m − Hệ có nghiệm duy nhất : (x;y) = ( 2 6 2 m m − − ; 2 m m − ). * Cách 2: Phương pháp định thức: Từ hệ phương trình ta có: 2 .1 1.2 2 1 1 2 2 2 .1 3.2 2 6 3 1 2 .3 1.2 3 2 1 3 x y m D m m m D m m m m D m m m m m = = − = − = = − = − = = − = − = - Nếu D ≠ 0 ⇔ m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: 2 6 ; 2 2 y x D D m m x y D m D m − = = = = − − - Nếu D = 0 ⇔ m – 2 = 0 ⇔ m=2 ⇒ 2.2 6 4 0( 2 0) x y D D = − = − ≠ = ≠ ⇒ hệ phương trình vô nghiệm ⇒ - LK:…. 2. Nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Những yêu cầu về nghiệm thường gặp : - Nghiệm của hệ thỏa mãn những bất đẳng thức. - Nghiệm của hệ thỏa mãn một hệ thức. - Nghiệm của hệ là những số nguyên. Bài toán 2 : Tìm m để hệ : 3 2 (1) 3 (2) x y m x my − =   + =  có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0. Giải Nhân hai vế của (2) với -3, ta có: (2) ⇔ -3x - 3my = -9 (3) Cộng từng vế của (1) và (3) dẫn đến : - 2y - 3my = m - 9 ⇔ (2 + 3m)y = 9 - m (4) + Nếu 2 + 3m = 0 ⇔ m = 2 3 − thì (4) trở thành 0 = 29/3 vô nghiệm. + Nếu 2 + 3m ≠ 0 ; m ≠ 2 3 − thì : (4) ⇔ y = 9 2 3 m m − + Thế vào (1) ta có : 3x – 2. 9 2 3 m m − + = m ⇔ x = 2 6 2 3 m m + + Khi đó x > 0 và y > 0 Kết hợp với điều kiện có nghiệm là m ≠ 2 3 − 2 9 3 m ⇒ − < < Tóm lại : Hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0 khi và chỉ khi -2/3 < m < 9 Bài toán 3 : Cho hệ : ( ) 1 1 (1) 4 2 (2) x m y x y  + + =   − = −   a) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm x, y nguyên. b) Tìm m sao cho nghiệm của hệ thỏa mãn x 2 + y 2 = 0,25. Giải a) Từ (2) m ≠ ⇒ y = 4x + 2 nên thế vào (1) ta có : x + (m + 1) (4x + 2) = 1 ⇔ (4m + 5)x = -2m - 1 (3) + Nếu 4m + 5 = 0 ⇔ m = - 5/4 thì (3) vô nghiệm. + Nếu 4m + 5 ≠ 0 ⇔ m ≠ - 5/4 thì (3) 2 1 4 5 m x m − − ⇔ = + Thế vào (2) thì : y = - 4. 2 1 4 5 m m − − + + 2 = 6 4 5m + Trước hết ta thấy : Vì m nguyên nên 4m + 5 là số nguyên lẻ. Do đó : y nguyên ⇔ 4m + 5 là ước số lẻ của 6 ⇔ 4m + 5 ∈ { -1;1;-3;3} ⇔ m ∈ {-3/2;-1;-2;-1/2} - Với m = - 1 thì x = 1 ; y = 6 thỏa mãn. - Với m = - 2 thì x = - 1 ; y = - 2 thỏa mãn. Tóm lại : Hệ có nghiệm x và y là số nguyên m = - 1 hoặc m = - 2. b) Ta có x 2 + y 2 = 0,25 [ - (2m + 1)/(4m + 5)] 2 + [ -6/(4m + 5)] 2 = 1/4 4(2m + 1) 2 + 4.36 = (4m + 5) 2 khi và chỉ khi m = 123/24 3.Giải các hệ đưa về hệ bậc nhất hai ẩn (thông qua các ẩn phụ). Bài toán 4 : Giải hệ : 3 5 2 2 2 1 1 2 2 2 15 x y x y x y x y  + =  − +    + =  − +  Giải Đặt thì u = 1/(2x - y); v = 1/(2x + y) hệ trở thành : 3 5 2 2 15 u v u v + =    + =   Giải hệ này ta có u = 1/3 ; v = 1/5 Từ đó ta có : 4. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất. Có khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức lại xuất hiện loại hệ này. Ta xét bài toán sau : Bài toán 5 : Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = (mx + 2y - 2m) 2 + (x + y - 3) 2 Giải Ta thấy F ≥ 0 với mọi x, y, m và F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 ⇔ khi hệ sau có nghiệm : Hệ này chính là hệ ở bài toán 1, có nghiệm ⇔ m ≠ 2. Với m = 2 thì F = (2x + 2y - 4) 2 + (x + y - 3) 2 . Đặt t = x + y - 2 ta có : F = (2t) 2 + (t - 1) 2 = 5t 2 - 2t + 1 = 5(t - 1/5) 2 + 4/5 ≥ 4/5 Khi đó F đạt giá trị nhỏ nhất là 4/5 ⇔ t = 1/5 Tóm lại : Nếu m = 2 thì F nhỏ nhất là 4/5 Và nếu m ≠ 2 thì F nhỏ nhất bằng 0. • Hệ phương trình bậc hai hai ẩn Bài toán 6: Giải hệ phương trình 2 2 2 (1 ) 4 4x y y x y  − + =  +  Hướng dẫn Vì: x 2 (1 – y) + 4y = 4  x 2 + 4y = 4 + x 2 y  (x 2 – 4)(y – 1) = 0 Nên hệ pt đã cho tương đương với: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 ( 4)( 1) 0 2 1 2 x x y x y x y y x y   =   + =  − − =   ⇔   + = =     + =    a/ Giải 2 2 2 4 1 x x y  =  + =  ( vô nghiệm) b/ Giải 2 2 1 0 1 1 y x x y y  = =  ⇔   + = =   Đáp số: (x; y) = ( 0; 1 ) Bài toán 7: Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 2 ( ) 2 x y x y xy xy x y  + =  + + − + =  Hướng dẫn 2 ( ) 2 ( 2)( 1) 0x y xy xy x y x y xy + + − + = ⇔ + − − = IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG */ Lo¹i 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng phương pháp thế, định thức: Bài 1 2 3 2 / 3 2 3 4 3 6 / 2 0 7 4 74 / 3 2 32 x y a x y x y c x y x y e x y + = −   − = −  + =   + =  + =   + =  9 8 6 / 2 2 6 17 / 5 23 3 6 / 2 6 12 x y b x y x y d x y x y f x y + =   − =  − =   + =  − =   − + = −  Bài 2: 2 3 1 / 3 2 2 3 1 / 2 2 2 5 (1 3) 1 / (1 3) 5 1 x y a x y x y c x y x y e x y  − =   + =    − =   + = −    − + =   − + =   ( 2 1) 2 / ( 2 1) 1 2 3 1 / 3 2 5 3 2 2 / 6 2 2 x y b x y x y d x y x y f x y  − − =   + + =    − =   + =    + =   − =   LOẠI 2: Hệ phương trình gồm một phương trình là bậc nhất, một phương trình không phải bậc nhất 2 2 2 2 1 0 / 2 3 7 12 1 0 2 2 23 0 / 3 3 0 x y a x xy y x y x y x y c x y − + =   − + − − + =   + − − − =  − − =  2 2 2 5 1 / 3 10 3 6 3 0 / 4 9 6 x y b x y xy x y x xy x y d x y − = −   + − + + =   + − + =  − =  LOẠI 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: DẠNG 1: 2 2 1 1 1 / 3 4 5 1 1 24 / 2 3 8 1 1 12 / 1 5 12 7 13 39 / 5 11 33 x y a x y x y d x y x y g x y x y j x y  − =     + =    + =     =    − =  +    +  +   + = −  − =  2 2 2 2 6 5 3 / 9 10 1 1 1 2 2 1 / 2 3 1 2 1 4 9 1 2 1 1 / 3 2 13 2 1 1 6 2 3 36 / 3 7 37 x y b x y x y e x y x y h x y x y k x y  + =     − =    + =  − −    − =  − −   + =  + −    − =  + −   + =  + =  2 2 2 2 1 1 1 4 / 10 1 1 4 5 3 1 / 5 1 29 3 1 20 1 1 2 1 2 / 2 3 1 2 1 3 5 / 3 1 x y c x y x y f x y x y i y x x y l x y  + =     − =    +  − +    + =  − +   + =  − −    − =  − −   + =  − =  */ DẠNG 2: 4 5 2 2 3 3 / 3 5 21 3 2 3 1 12 / 2 12 4 5 5 1 2 3 2 / 3 1 7 1 2 3 5 2 3 1 1 1 / 2 5 2 1 1 x y x y b x y x y x x y y d x x y y x y x y f x y x y x y y x h y x x y  + = −  − +    − =  + −   − =  +    − =  +   − =  + − − +    + =  + − − +   + =  − −    − =  − −  */ LOẠI 4 : Hệ hai phương trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích được thành nhân tử 2 2 2 2 2 1 0 / 22 (2 3 2)( 5 3) 0 / 3 1 ( ) 3( ) 2 0 / 5 0 ( ) 4( ) 12 / ( ) 2( ) 3 x y xy a x y x y x y x y c x y x y x y e x y x y x y g x y x y + + + =   + − − =  + − − − =   − =   + − + + =  − − =   + − + =  − − − =  2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 1)( 2 2) 0 / 3 1 0 ( 2)(2 2 1) 0 / 3 32 5 0 ( 1) ( 1) 0 / 3 5 0 ( ) 6 / 2 2 5 x y x y b xy y y x y x y d x y x y f x y x y x y h x y xy + + + + =   + + + =  + + + − =   + + =   − − + =  + − =   − − + =  + =  */ LOẠI 5: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y: -Hệ có dạng: 2 2 2 2 ax (1) ' ' ' '(2) bxy cy d a x b xy c y d  + + =  + + =  - Cách giải: * Cách 1: Nhân 2 vế của phương trình (1) và phương trình (2) với k và k’ sao cho: 2 2 1 1 / 3 1 1 1 7 5 9 2 1 2 / 3 2 4 2 1 3 6 1 2 / 1 1 0 2 5 2 / 10 3 x y x y a x y x y x y x y c x y x y x y x y e x y x y x y xy xy x y g x y xy xy x y  + =  + +    + = −  + +   − =  − + + −    + =  − + + −   − = −  − +    − =  − +  +  + =  +   −  + =  −  k.d = k’.d’ rồi trừ từng vế của hai phương trình cho nhau ta được một phương trình dạng: Ax 2 + Bxy + Cy 2 = 0 (*) +/ Xét y = 0 +/ Xét y ≠ 0, ta đặt: x = yt ⇒ pt (*) trở thành: Ay 2 t 2 + By 2 t + Cy 2 = 0 ⇔ At 2 + Bt + C = 0 Giải phương trình trên tìm t. * Cách 2: Chọn hai số m và n sao cho: a.m = a’.n +/ Nhân hai vế của phương trình (1) với m, phương trình (2) với n +/ Trừ từng vế của hai phương trình cho nhau, ta được phương trình dạng: B(x, y) + Cy 2 = D (3) +/ Xét y = 0 +/ Xét y ≠ 0, từ (3) ⇒ x = 2 (4) D Cy By − Thay (4) vào (1) hoặc (2), ta được một phương trình trùng phương. Bài tập: Giải các hệ phươ:ng trình sau 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 / 3 4 3 5 / 3 1 4 2 3 / 2 3 4 25 2 / ( ) 10 x xy y a y xy x y d x y x xy y g x xy y x y xy j y x y  − + =  − =   + =  − =   + − =  − + =   + = −  + =  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 5 0 2 3 36 / 3 7 37 3 54 / 4 115 ( )( ) 5 / ( )( ) 3 x xy y b y xy x y e x y x xy h xy y x y x y k x y x y  − + =  − + =   + =  + =   + =  + =   + + =  − − =  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 4 38 / 5 9 3 15 2 3 9 / 2 2 2 2 1 / 2 ( )( ) 45 / ( )( ) 85 x xy y c x xy y x xy y f x xy y x y i xy x x y x y l x y x y  + − =  − − =   + + =  + + =   − =  + =   + − =  − + =  */LOẠI 6: Hệ đối xứng loại 1 - Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi Hệ có dạng: ( ; ) 0(1) ( ) ( ; ) 0(2) f x y I g x y =   =  - Cách giải: Ta quy về hệ phương trình biết tổng và tích của hai nghiệm: Biến đổi các phương trình trong hệ về dạng: x + y và x.y Đặt: . x y S x y P + =   =  ĐK: S 2 – 4P ≥ 0 (*) Thay vào hệ phương trình (I), ta được một hệ phương trình có hai ẩn là S và P ⇒ Hệ phương trình (I) có nghiệm ⇔ Hệ phương trình ẩn S và P có nghiệm thỏa mãn (*). Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 17 1 102 1/ 2 / 3 / 4 / 13 65 6 69 ( 2)( 2) 9 2 ( 3) 2 ( 3) 9 0 5 / 6 / 2( ) 6 2( ) 6 0 + + = = + + + + = −  + − − =        + + = + + = − + + =     + + =  + + − + − + =    + + + = + − + =   x y xy xy x y x y xy x y x y x y xy x y x y y x xy x y xy x y x y x y y x x y x y x y xy 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 52 1 9 7 / 8 / 9 / 10 / 1 1 5 5 2 12  + = −  + =    + + + = + =       + = + = + + =     = −   +  x x y x y x y xy x y x x y x y x y x y x y LOẠI 7: Hệ đối xứng loại 2: - Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và phương trình (2) trở thành phương trình (1). Hệ có dạng: ( ; ) 0(1) ( ) ( ; ) 0(2) f x y I g x y =   =  - Cách giải: Trừ từng vế của phương trình (1) và (2) ta được một phương trình dạng: (x – y) [A(x; y)] = 0 0 ( ; ) 0 x y A x y − =  ⇔  =  Hệ phương trình (I) 0 ( ) ( ; ) 0 ( ; ) 0 ( ) ( ; ) 0 x y II f x y A x y III f x y  − =    =   ⇔  =    =    Giải hệ (II) và (III) để tìm nghiệm Chú ý: Nếu trong cả hai phương trình các ẩn đề có lũy thừa là số lẻ thì ta có thể cộng và trừ từng vế của hai phương trình, khi đó ta được một hệ phương trình tương đương với hệ pt (I): ( ). ( ; ) 0 ( ). ( ; ) 0 x y A x y x y B x y − =   + =  Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 4 5 1/ 2 4 5 2 3 3 1 4 / 2 3 3 1 13 6 7 / 13 6 x y y y x x x xy y x y xy x y x x y y y x  = − +  = − +   − = − −  − = − −   = −  = −  2 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 / 2 3 5 5/ 5 4 3 8/ 4 3 y x x y x x y y y x y x x x x y y y  = +  = +   = +  = +   = − +  = − +  2 2 2 2 3 3 3 3 2 7 3/ 2 7 2 6/ 2 2 1 9/ 2 1 x y x y x y x y x y x y x y y x  − =  − =   = −  = −   − =  − =  LOẠI 8: Hệ có chứa căn thức: Lưu ý: - Trước khi giải hệ phải đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa - Sau khi giải xong cần đối chiếu với điều kiện trên Bài tập1: Giải các hệ phương trình sau ( Đặt ẩn phụ 3 5 3 2 1 2 / / 2 3 18 2 3 1 4   − = + − + =     + = + + + =     x y x y a c x y x y 7 4 5 3 7 6 3 2 6 / / 5 3 1 4,5 2 6 7 6  − =   − + + =     − =    + =  − +  x y x y b d x y x y Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 1 1 1 1 x y y x  + + =   + + =   HD ĐK: x ≥ 0 và y ≥ 0 Từ đk suy ra: 1 1, 1 1,x y y x + + ≥ + + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0 Đ/s: x = y = 0 Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 2 4 2 4 2 1. 4 3 2 1. 4 3 x y x y x y  − − =   − − =   HD Nhân hai phương trình của hệ ta thu được: 2 2 4 4 2 1. 4 3. 2 1. 4 3x x y y x y − − − − = Ta có bất đẳng thức: 4 2 1 4 3 1; 1 x x x x − − ≤ ≤ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1, suy ra 2 2 4 4 2 1. 4 3. 2 1. 4 3x x y y x y − − − − ≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1; y = 1 Bài 4: Giải các hệ phương trình: [...]... =3 x 9 3+x x+3 3x x 1 x +1 Bài 5 Giải các phơng trình sau: a) x 4 10 x 3 + 26 x 2 10 x + 1 = 0 c) x 4 + 2 x 3 x 2 2 x + 1 = 0 e) x 4 4 x 3 9 x 2 + 8 x + 4 = 0 Bài 6 Giải các phơng trình sau: x2 + x 5 3x a) + 2 +4=0 x x + x 5 21 x2 + 4x 6 = 0 c) 2 x 4 x + 10 e) ( x + 3) 4 + ( x + 5) 4 = 2 b) x 4 4x 3 6x 2 4x + 1 = 0 d) x 4 + 3 x 3 14 x 2 6 x + 4 = 0 f) x 4 + 5 x 3 + 10 x 2 + 15 x + 9 =... 2 16 = h/ 7 9 13 11 1 19 2 1 k*/ 3 x + 2 ữ = 4 x ữ+ u/ x 5 + x 2 + 2x + 2 = 0 x x 4 Bài 11: Giải cỏc phng trỡnh: 1 1 1 x + 4 2x 3 1 1 + =2 2 = 2 =0 a/ b/ c/ 2 x ( x + 2 ) ( x + 1) 12 2x 3 x + 4 2x 1 2x 4 1 1 1 x + 4 2x 3 2x + 1 3 ( x 1) + = + =2 d/ e/ f/ + =6 x 1 x 9 x 2x 3 x + 4 x 1 x +1 32 1 1 y 3 1 + = + = 2 / 2 ơ/ 3 2 2 x 2x x 2 ( x 1) ( x 2 ) x + 1 y 9 6y + 2y y 3y... 1 x 3 2 = 0 6) 2 2mx + 3 = 0 ( ) 9) 2 10) 4x 2 1 + 3 x + 3 = 0 11) x2 2 1 + 2 x + 4 + 3 2 = 0 ( 5x 3) ( 3) 0,7x 2 2,3x 3 = 0 12) ( x 2 ) ( x + 3) = 2 ( x 5 ) Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau: 4 2 1) x 7x + 12 = 0 2) x 4 18x 2 + 81 = 0 3) 4x 4 5x 2 9 = 0 4) x 4 x 2 + 1 = 0 1 4 1 2 1 5) 2x 4 + 5x 2 7 = 0 6) 2x 4 + 5x 2 7 = 0 7) x x + = 0 3 2 6 Bài 3: Giải cỏc phng trỡnh sau: 2 2 2 2 a/... : b 4 + c 4 2 + 2 8 Chng minh rng nu cỏc h s a, b, c phng trỡnh sau luụn cú nghim : a ( x b) ( x c) + b ( x c ) ( x a ) + c ( x a ) ( x b) = 0 9 Chng minh rng nu cỏc h s a, b, c ca phng trỡnh : ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) tha món iu kin : 2b 2 9ac = 0 thỡ phng trỡnh s cú nghim ny gp ụi nghim kia 10 Chng minh rng nu m + n > p, m n < p vi m, n, p l cỏc s dng thỡ phng 2 2 2 2 2 2 trỡnh sau õy... ; x2= b/ x1 = -2 1 3+ 2 h/ x1 = 4 3 5 ; x2 = 4 + 3 5 1 1 ; x2 = 3 4 3 1 3 c/ x1 = 1 ; x2 = - 0 ,9 f/ x1 = 5 +2 6 ; x2 = 5 2 6 i/ x1 = 1 1 ; x2 = 2+ 3 2 3 d/ x1 = 1 2 ; x2 = 1 + 2 g/ x1 = 3 + 2 2 ; x2 = 3 2 2 k/ x1 = 1 1 ; x2 = 10 72 10 + 72 l/ x1 = 3 - 5 ; x2 = 3 + 5 m/ x1 = 4; x2 = 1 - 2 n/ x1 = -1 ,9; x2 = 5,1 o/ x1 = 3 + 11 ; x2 = 3 11 Bi 2: Gi s x1; x2 l hai nghim ca phng trỡnh: 2x2 7x 3... t giỏ tr nh nht Tỡm giỏ tr ú? Bi 6: Cho pt: x2 2mx + 2m 1 = 0 a/ CMR: phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m 2 b/ t A = 2( x12 + x2 ) 5 x1 x2 Bi 4: Cho phng trỡnh: Chng minh: A = 8m2 18m + 9 Tỡm m sao cho A = 27 c/Tỡm m pt cú nghim ny bng hai nghim kia Khi ú hóy tỡm hai nghim y Bi 7: Cho pt: x2 2(m + 1)x + m 4 = 0 a/ CMR: phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit x1; x2 vi mi m b/ Tỡm m... p v tớnh nghim kia? c/ Bit hiu hai nghim ca pt: x2 7 + q = 0 bng 11 Tỡm q v hai nghim ca phng trỡnh d/ Tỡm giỏ tr ca m pt: x2 + 2(m + 2)x + 2m2 + 7 = 0 cú nghim x1 = 5 khi ú hóy tỡm nghim cũn li? Bi 9: Cho phng trỡnh: x4 + 2mx2 + 4 = 0 (1) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú 4 nghim phõn 4 bit x1, x2, x3, x4 tha món: x1 4 4 4 + x2 + x3 + x4 = 32 Hng dn 2 t x = t suy ra phng trỡnh tr thnh: t + 2mt + 4 =... õm ( x1 x2 < 0 ): S < 0 P > 0 * Bi toỏn 7: Tỡm iu kin phng trỡnh cú hai nghim trỏi du ( x1 < 0 < x2 ): P 0 S > 0 P = 0 * Bi toỏn 8: Tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim: 0 = x1 < x2: * Bi toỏn 9: Tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim: x1 < x2 = V> 0 0: S < 0 P = 0 V= 0 S = 0 * Bi toỏn 10: Tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim: x1 = x2 = 0 */ Chỳ ý: Ta lu ý n iu kin a # 0 phng trỡnh cú hai nghim ... biu thc : a) F = (mx - 2y + 1)2 + (3x + y)2 b) Q = |x - my| + |2x + y - 1| ax + by = c bx + cy = a Bi 5 : Chng minh rng : Nu h cú nghim tha món cx + ay = b thỡ : a3 + b3 + c3 = 3abc Chủ đề : một số bài toán sử dụng hệ thức vi- et I/ CC KIN THC CN NH 1.nh lớ Vi-ột: Cho phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Nu phng trỡnh cú hai nghim x 1 ; x 2 thỡ: b x1 + x2 = a xx =c 1 2 a 2.p dng h thc Vi-ột nhm... + 3b ) x 6 = 0 ( 1) , x ( 2a + b ) x 3a ( 2 ) Tỡm a, b 2 phng trỡnh (1), (2) cú cựng tp hp nghim 2 2 18 Tỡm m phng trỡnh x ( 2m + 1) x + m 1 = 0 cú 2 nghim x1 , x2 sao cho 2 x12 + x2 = 5 2 2 19 Cho hm s y = x ( 2m + 1) x + m 1 , tỡm m th hm s ct trc honh ti 2 im cú honh x1 , x2 tha món : x1 < 0; x2 > 0; x2 > x1 2 2 20 Tỡm cỏc giỏ tr ca a sao cho 2 phng trỡnh x ax + 2a + 1 = 0, ax (