Các dạng toán quy về phương trình bậc hai cổ điển

www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 3  Dạng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1) với a+b=c+d và m ≠ 0 Cách giải: Phương trình (1) được viết lại: [x 2 +(a+b)x +ab][ x 2 +(c+d)x +cd] =m Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x 2 +(a +b)x= x 2 +(c+d)x lúc đó phương trình (1) được viết lại như sau: (t +ab)(t+cd) = m  t 2 +(ab+cd)t +abcd –m =0 Giải phương trình theo t  x Ví dụ: giải phương trình sau (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120  (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120  (x 2 +5x +4)(x 2 +5x+6)=120 Đặt t = x 2 +5x Lúc đó phương trình được viết lại: (t+4)(t+6)=120  t 2 +10t-96 =0  t=6, t=-16 Với t=6 thì x 2 +5x-6=0  x=1, x=-6 Với t=-16 thì x 2 +5x+16=0 ( vô nghiệm) BÀI TẬP 1. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4 2. (2x-1)(2x+3)(x+2)(x+4)+9=0 3. (x+2)(x+4)(x 2 +6x+1)=8 4. (x+1)(x+2)(x+5)(x+6)=252 5. (16(x 2 -1)(x 2 +8x+15)=105 Tìm m để phương trình sau 6. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=m có nghiệm 7. x(x+1)(x+2)(x+3)=m có 4 nghiệm phân biệt. 8. (x+2)(x+4)(x 2 +4x +m)=8m có 4 nghiệm dương phân biệt www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 4  Dạng 2: mx ax 2 +bx+c + nx ax 2 +dx+c =k Với giả thiết biểu thức ở mẫu luôn khác không Cách giải: Trước tiên ta nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Khi x≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x, lúc đó phương trình đã cho (2) được viết lại như sau: m ax+b+ c x + n ax+d+ c x =k (2.1) Đặt t= ax+ c x lúc đó phương trình (2.1) được viết lại: m t+b + n t+d =k (2.2) Giải phương trình (3) ta được nghiệm giả sử đó t 1 , t 2 rồi từ đó ta suy ra nghiệm của phương trình (2) bằng cách giải các phương trình ax+ c x = t 1 , ax+ c x = t 2 Ví dụ: giải phương trình 4x 4x 2 -8x+7 + 3x 4x 2 -10x+7 =1 (2.3) Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Xét x≠ 0 lúc đó chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x ta được www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 5 4 4x-8+ 7 x + 3 4x-10+ 7 x =1 (2.4) Đặt t = 4+ 7 x khi đó phương trình (2.4) dược viết lại là 4 t-8 + 3 t-10 =1 Quy đồng mẫu thì ta có phương trình t 2 -25t +144=0. Phương trình này có hai nghiệm t 1 =16, t 2 =9 Với t 1 =16 ta có phương trình 4x+ 7 x =16  4x 2 -16x +7=0  x 1 = 7 2 , x 2 = 1 2 Với t 2 =9 ta có phương trình 4x + 7 x =9  4x 2 -9x+7=0 (không có nghiệm thực) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 1 = 7 2 , x 2 = 1 2 BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1. 2x 3x 2 -x+1 + x 3x 2 -4x+1 = 3 2 2. 2x 2x 2 -5x+3 + 13x 2x 2 +x+3 =6 3. 2x x 2 +8x+5 + 6x x 2 +x+5 =1 4. 3x x 2 -4x+1 - 2x x 2 +x+1 = 8 3 Cho phương trình sau 2x x 2 +8x+5 + 6x x 2 +x+5 =m www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 6 Tìm m để phương trình đã cho thoả mãn các điều kiện sau: 5. Phương trình đã cho có nghiệm 6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 7. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 8. Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt 9. Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt 10. Với giá trị nào của m thì phương trình 3x x 2 -4mx+1 + 2x x 2 +mx+1 =1 có 4 nghiệm dương phân biệt x 1 , x 2 , x 3 , x 4 thoả mãn x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 14  Nhân đây tôi cũng muốn nói đến dạng phương trình cùng họ hàng với dạng toán trên. 1 x 2 +9x+20 + 1 x 2 +11x+30 + 1 x 2 +13x+42 = 1 18 (*) Giải như sau: Ta thấy (*) được viết lại: 1 (x+4)(x+5) + 1 (x+5)(x+6) + 1 (x+6)(x+7) = 1 18  1 x+4 - 1 x+5 + 1 x+5 - 1 x+6 + 1 x+6 - 1 x+7 = 1 18  1 x+4 - 1 x+7 = 1 18  x 2 +11x-26 =0  x 1 = 2, x 2 = -13 Tương tự giải phương trình sau: 1 x 2 +3x+2 + 1 x 2 +5x+6 +…… + 1 x 2 +(2n-1)x+n 2 -n = k Giả sử A là sự thành công trong cuộc sống. Vậy thì A=X+Y+Z trong đó X=làm việc, Y=vui chơi, Z=im lặng (Albert Einstein's). www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 7  Dạng 3 (x+a) 4 + (x+b) 4 =c (3) Cách giải: Đặt t= x+ a+b 2 lúc đó phương trình (3) được viết lại như sau:       t+ a-b 2 4 +       t- a-b 2 4 =c  2t 4 +3(a-b) 2 t 2 + (a-b) 4 8 -c=0 Giải phương trình trùng phương này ta tìm được t rồi từ t suy ra giá trị của x Ví dụ: Giải phương trình (x+1) 4 + (x+3) 4 = 272 Giải: Đặt t=x+2 Lúc đó phương trình đã cho được viết lại là: (t-1) 4 +(t+1) 4 =272  t 4 +6t 2 -135=0 Đặt X=t 2  0 khi đó ta có X 2 +6X-135=0  X=9, X=-15<0 (loại) Khi X=9  t 2 =9  t 1= 3, t 2 =-3  x 1 = 1, x 2 = -5 Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1 =1,x 2 =-5 BÀI TẬP Giải phương trình sau: 1. (x-2) 4 + (x-4) 4 =2 2. (x+4) 4 + (x+6) 4 =82 3. (x+3) 4 + (x+5) 4 =2 Tìm m để phương trình (x+1) 4 +(x+5) 4 =m 4. có nghiệm 5. có 2 nghiệm phân biệt 6. có 4 nghiệm phân biệt 7. có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm (x+1) 4 +(x+m) 4 =82 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 8  Nhân đây tôi cũng muốn mở rộng dạng toán này thông qua ví dụ sau: Ví dụ: Giải phương trình: (x-2) 6 + (x-4) 6 =64 Đặt t=x-3 khi đó phương trình viết lại như sau: (t+1) 6 + (t-1) 6 =64  t 6 +15t 4 +15 2 -31=0 Đặt X=t 2  0 lúc đó phương trình viết lại như sau: X 3 +15X 2 +15X-31=0  (X-1)(X 2 +16X+31)=0  X 1 =1, X 2 =-8+ 33 <0( loại) X 3 =-8- 33<0(loại) Với X=1  t 2 =1  t 1 =1, t 2 =-1  x 1 =4, x 2 =2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x 1 =4, x 2 =2 Tương tự giải phương trình sau: 1. (x-1) 6 +(x-2) 6 =1 2. (x+2) 6 + (x+4) 6 =64 3. Tìm m để phương trình (x-1) 6 + (x-3) 6 =m có nghiệm NGHIỆM CỦA ĐỜI ANH Lối vào tim em như một đường hàm số Uốn vòng vèo như đồ thị hàm sin Anh tìm vào tọa độ trái tim Mở khoảng nghiệm có tình em trong đó Ôi mắt em phương trình để ngỏ Rèm mi mịn màng nghiêng một góc anpha Mái tóc em dài như định lí Bunhia Và môi em đường tròn hàm số cos Xin em đừng bảo anh là ngốc Sinh nhật em anh tặng trái cầu xoay Và đêm Noel hình chóp cụt trên tay Anh giận em cả con tim thổc thức Mãi em ơi phương trình không mẫu mực Em là nghiệm duy nhất của đời anh. Mục đích sống ở trên đời là sống có mục đích. www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 9  Dạng 4: af 2 (x) + bf(x)g(x) + cg 2 (x) =0 (4) Với dạng này ta xét hai trường hợp: TH1: g(x)=0 , gọi x= x o là nghiệm của phương trình g(x)=0 Lúc đó nếu f(x o )=0 thì x=x o là nghiệm của phương trình (4) đã cho. Ngược lại nếu f(x o )≠ 0 thì kết luận nghiệm của phương trình g(x)=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. TH2: g(x)≠ 0, ta chia cả hai vế của phương trình (4) đã cho g(x).Khi đó ta có: a       f(x) g(x) 2 + b       f(x) g(x) +c =0 (4.1) Đặt t= f(x) g(x) khi đó phương trình (4.1) đã cho trở thành at 2 +bt +c=0 (4.2) Giải phương trình này ta tìm được t Giả sử t=t o là nghiệm của phương trình (4.2) Khi đó nghiệm của phương trình (*) đã cho là nghiệm của phương trình f(x) g(x) =t o  f(x)=t o g(x) Ví dụ:Giải phương trình: (x 2 +6) 2 -8x(x 2 +6)+7x 2 =0 Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.Khi đó với x≠ 0 ta chia hai vế của phương trình cho x 2 . Lúc đó phương trình được viết lại như sau (x 2 +6) 2 x 2 -8 (x 2 +6) x +7=0 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 10 Đặt t= (x 2 +6) x khi đó phương trình đã cho được viết lại như sau: t 2 -8t+7=0  t 1 =1, t 2 =7 Khi t 1 =1 thì ta có phương trình x 2 - x +6 =0 (Vô nghiệm) Khi t 2 =7 thì ta có phương trình x 2 -7x+6 =0  x 1 =1, x 2 =6 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 1 =1, x 2 =6 BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. (x+3) 2 - x 2 -x+6 = 2(x-2) 2 2. 2(x 2 +x+1) 2 -7(x-1) 2 =13(x 3 -1) 3. 4 x + 6 x = 9 x 4. 2(x-1) 2 + 3(x 2 -1)=5(x+1) 2 5. 2010 2x -3.4002 x +2.4 x =0 6. 3.16 x +2.81 x =5.36 x 7. 2.4 1 x +6 1 x =9 1 x 8. Giải và biện luận các phương trình sau: a. 2(x 2 +x+1) 2 +(m-1)(x 3 -1) +(x-1) 2 =0 b. 49 x - 4.21 x +m.9 x =0 9. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn 2< x 1  x 2  5       2+ 5 2x +       5-2 2x + m = 0 - Không gì gần sát cái đúng bằng cái sai. (Albert Einstein's) www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 11  Dạng 5 m x+a + m x+b - m x+c - m x+d = n (5) Trong đó a+c = b+d = p và giả thiết phương trình đã cho là xác định. Vói loại này ta có phương pháp giải như sau: Đưa phương trình về dạng: m x+a - m x+c + m x+b - m x+d =n quy đồng ta được: m(c-a) x 2 +px+ac + m(d-b) x 2 +px+bd =n Khi đó đặt t=x 2 +px ta được phương trình có dạng k t+ + h t+ =n Phương trình trên thì các bạn có thể giải được dễ dàng nhờ phương pháp quy đồng rồi từ đó có thể suy ra nghiệm của (1) Ví dụ: Giải phương trình 1 x+3 + 1 x+4 - 1 x+5 - 1 x+6 = 59 420 (5.1) Theo cách làm như đã hướng dẫn ta có phương trình (5) tương đương với phương trình sau: 3 x 2 +9x+18 + 1 x 2 +9x+20 = 59 420 Đặt t = x 2 +9x khi đó ta có phương trình sau 3 t+18 + 1 t+20 = 59 420 Giải phương trình trên ta có nghiệm là -1152 59 , 10 www.VNMATH.com [...]... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 11 (Phương trình hồi quy) ax4 +bx3+cx2  dx+k=0 (11) trong đó kb2=ad2 Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba Với loại này ta có cách giải như sau d k Trước hết để thuận tiện ta đặt = = b a Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình (11) Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình. .. Giải các phương trình sau: 1 2x2 -3x+2= 4x2-6x+28 Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 17 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2 x2-7x +2= 2x2-14x+84 Cho phương trình sau x2 -7x+m - 3x2-21x+85 =0 3 Giải phương trình khi m=19 4 Giải và biện luận theo m nghiệm của phương trình (8.3) Cho phương trình 6x2-12x+5= 2x2-4x+m 5 Giải phương trình khi m= 85, m=2 119 6 Giải phương trình. .. m=-12 4 Giải phương trình khi m=-22 5 Giải và biện luận nghiệm của phương trình đã cho 6 Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it nhất hai nghiệm dương phân biệt Cho phương trình sau: Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 15 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2m(2mx2 +3x+m)2 +6mx2 +8x+4m=0 2 7 Giải phương trình khi m=3 8 Với giá trị nào của m thì phương trình đã... 30 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC BỐN AX4+BX3+CX2+DX+E=0(A≠ 0) (13) Trước hết ta chú ý rằng phương trình (13) luôn có thể được đưa về dạng x4 +ax3+bx2+cx+d=0 (13.1) nên ta chỉ cần xét phương trình này  Khi a2+b2+c2=0 thì ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình  Khi a2+b2+c2≠ 0 a Đặt x= y- khi đó phương trình (13.1) được viết lại... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Khi đó ta có các nghiệm của phương trình đã cho là: 1, -10, -9 3 1121 -9 3 1121 + , 2 2 118 118 BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1 1 1 1 29 1 + = x+2 x+5 x+4 x+7 252 4 4 4 4 43 2 2 + 2 - 2 - 2 = x -3 x -5 x +7 x +9 36 3 Giải và biện luận phương trình sau: 3 3 3 3 + =m (5.2) x2+1 x2+2 x2+3 x2+4 4 Tìm m để phương trình (5.2) có hai nghiệm phân biệt mà hai. .. nghiệm của phương trình ban đầu - Tôi tư duy có nghĩa là tôi tồn tại! Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 29 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ: Giải phương trình x3 +2x2 +3x +4=0 (12.3) Hướng dẫn: Bằng cách đặt x = t - 2 ta đưa phương trình đã cho 3 5 70 t+ =0 (12.4) 3 27 5 Bằng cách đặt t= X ta có thể đưa (12.4) về dạng 3 -14 (12.5) X3 +3X = 5 Phương trình (12.4)... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 10 (Phương trình phản phương) ax4+bx3+cx2 bx+a=0 (a≠ 0) (10) Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x2 khi đó ta được ax2+bx+c  b a + =0 x x2  1 2  1  axx +bxx+c 2=0     1 khi đó ta có phương trình mới x at2 +bt +c 2=0 (10.1) Việc giải phương. .. ta có phương trình là u3 -3u =m p -p Kết luận: Mọi phương trình bậc ba luôn luôn có thể đưa về dạng x3 +3x=m hoặc x3 -3x=m Ta có đồ thị hàm y=x3+3x như sau    Dựa vào đồ thị ta nhận xét phương trình x3 +3x=m có duy nhất nghiệm Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 26 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Đồ thị hàm số y= x3 -3x Dựa vào đồ thị ta có nhận xét phương trình. .. Phú 14 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 7 a(ax2+bx+c)2 +b(ax2+bx+c) +c=x (7) Đặt t= ax2+bx+c khi đó ta có hệ phương trình sau: ax2 +bx+c=t   2 at +bt+c=x  Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm của phương trình đã cho Ví dụ: Giải phương trình sau: (x2+3x-4)2 +3(x2+3x-4) =x+4 (7.1) Đặt t=x2+3x-4 Khi đó ta có hệ phương trình sau: x2+3x-4=t   2 (7.2)... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 9  1 2   f(x)+a +  1 2   f(x)+b =c (9) Giả sử các biểu thức ở mẫu luôn khác không b-a a+b và = khi đó Với loại này ta đặt X= f(x)+ 2 2 phương trình đã cho được viết lại như sau:  1 2  1 2 =c   + X+ X-   Tiến hành quy đồng mẫu ta có phương trình sau: cX4 -2(c2 +1)X2 + c4 -22=0 (9.1) Phương trình (9.1) là một phương trình . chia hai vế của phương trình cho x 2 . Lúc đó phương trình được viết lại như sau (x 2 +6) 2 x 2 -8 (x 2 +6) x +7=0 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it nhất hai nghiệm dương phân biệt. Cho phương trình sau: www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi. www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 7  Dạng 3 (x+a) 4 + (x+b) 4 =c (3) Cách giải: Đặt t= x+ a+b 2 lúc đó phương trình (3) được