MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Tài liệu khá hay về phương pháp cùng dạng bài tập hay về phương trình quy về bậc hai.Với khá nhiều dạng tổng quát sẽ giúp bạn hiểu sâu vấn đê của bài tập hơn, và từ đó bạn sẽ có hương giải đúng cho bà toán. CHÚC BẠN THÀNH CÔNG

Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x2 +(a +b)x= x2 +(c+d)x lúc

đó phương trình (1) được viết lại như sau:

(t +ab)(t+cd) = m  t2 +(ab+cd)t +abcd –m =0

Giải phương trình theo t  x

Ví dụ: giải phương trình sau

7 x(x+1)(x+2)(x+3)=m có 4 nghiệm phân biệt

8 (x+2)(x+4)(x2 +4x +m)=8m có 4 nghiệm dương phân biệt

Khi x≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x,

lúc đó phương trình đã cho (2) được viết lại như sau: m

ax+b+c

x

+ nax+d+c

x =k (2.1)

từ đó ta suy ra nghiệm của phương trình (2) bằng cách giải các phương trình

đã cho

Xét x≠ 0 lúc đó chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức

cho x ta được

Quy đồng mẫu thì ta có phương trình

Giải các phương trình sau

1 2x

3x2-x+1 +

x3x2-4x+1 =

32

2 2x

2x2-5x+3 +

13x2x2+x+3 =6

Tìm m để phương trình đã cho thoả mãn các điều kiện sau:

5 Phương trình đã cho có nghiệm

6 Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

7 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

8 Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

9 Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt

10 Với giá trị nào của m thì phương trình

Ta thấy (*) được viết lại:

1

(x+4)(x+5) +

1(x+5)(x+6) +

1(x+6)(x+7) =

118

 1

x+4 -

1x+5 +

1x+5 -

1x+6 +

1x+6 -

1x+7 =

118

 1

x+4 -

1x+7 =

1

18  x

2

+11x-26 =0  x1= 2, x2= -13 Tương tự giải phương trình sau:

 Dạng 3 (x+a) 4 + (x+b) 4 =c (3)

Cách giải: Đặt t= x+a+b

2 lúc đó phương trình (3) được viết lại như sau:

t suy ra giá trị của x

5 có 2 nghiệm phân biệt

6 có 4 nghiệm phân biệt

7 có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng

8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

(x+1)4+(x+m)4 =82

 Nhân đây tôi cũng muốn mở rộng dạng toán này

thông qua ví dụ sau:

Anh tìm vào tọa độ trái tim

Mở khoảng nghiệm có tình em trong đó

Ôi mắt em phương trình để ngỏ Rèm mi mịn màng nghiêng một góc anpha Mái tóc em dài như định lí Bunhia

Và môi em đường tròn hàm số cos Xin em đừng bảo anh là ngốc

Sinh nhật em anh tặng trái cầu xoay

Và đêm Noel hình chóp cụt trên tay Anh giận em cả con tim thổc thức Mãi em ơi phương trình không mẫu mực

Em là nghiệm duy nhất của đời anh.

Mục đích sống ở trên đời là sống có mục đích.

 Dạng 4: af2(x) + bf(x)g(x) + cg2(x) =0 (4)

Với dạng này ta xét hai trường hợp:

TH1: g(x)=0 , gọi x= xo là nghiệm của phương trình g(x)=0

Lúc đó nếu f(xo)=0 thì x=xo là nghiệm của phương trình (4) đã cho

Ngược lại nếu f(xo)≠ 0 thì kết luận nghiệm của phương

trình g(x)=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho

TH2: g(x)≠ 0, ta chia cả hai vế của phương trình (4) đã

g(x) khi đó phương trình (4.1) đã cho trở thành

at2 +bt +c=0 (4.2)

Giải phương trình này ta tìm được t

Giả sử t=to là nghiệm của phương trình (4.2) Khi đó

nghiệm của phương trình (*) đã cho là nghiệm của

phương trình f(x)

g(x) =to  f(x)=tog(x)

Ví dụ:Giải phương trình: (x2 +6)2-8x(x2+6)+7x2 =0

Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương

trình đã cho.Khi đó với x≠ 0 ta chia hai vế của phương

trình cho x2 Lúc đó phương trình được viết lại như sau (x2+6)2

x2 -8

(x2+6)

x +7=0

 Dạng 5 m

x+a +

m x+b -

m x+c -

m x+d = n (5)

Trong đó a+c = b+d = p và giả thiết phương trình đã cho

mx+b -

mx+d =n quy đồng ta được:

m(c-a)

x2+px+ac +

m(d-b)

x2+px+bd =n Khi đó đặt t=x2+px ta được phương trình có dạng

k

t+ +

ht+ =n Phương trình trên thì các bạn có thể giải được dễ dàng nhờ phương pháp quy đồng rồi từ đó có thể suy ra

1x+5 -

1x+6=

59

420 (5.1) Theo cách làm như đã hướng dẫn ta có phương trình (5) tương đương với phương trình sau:

3

t+18 +

1t+20 =

59420Giải phương trình trên ta có nghiệm là -1152

59 , 10

Khi đó ta có các nghiệm của phương trình đã cho

Giải các phương trình sau

1 1

x+2 +

1x+5 -

1x+4 -

1x+7 =

29252

3 Giải và biện luận phương trình sau:

4 Tìm m để phương trình (5.2) có hai nghiệm phân biệt

mà hai nghiệm ấy phải thuộc [-2, 2], khi nào thì (5.2)

có 4 nghiệm phân biệt

- Ai đó ví người theo nghề giáo như những người

chèo đò cần mẫn đưa khách sang sông Bao thế hệ

người đến rồi đi và chỉ có người lái đò ở lại Thầy

cô là thế, luôn miệt mài với công việc của mình để

dìu dắt bao thế hệ trí thức, luôn sẵn sàng cho đi

những gì tinh túy nhất cuộc đời mình mà không

mong nhận lại điều gì

- Đừng khóc vì những gì đã mất mà hãy cười với

những gì đang có

- Mọi sáng tạo và cái mới chỉ có thể tới được trên cơ

sở cách nhìn nhận mới, cách nghĩ mới, không theo

lối mòn cũ

 Dạng 6* x4 =ax2 +bx+c (6) trong đó a, b,c

là hằng số Với dạng này ta có phương pháp giải như sau:

Chọn giá trị mR sao cho m thoả mãn

-2 =0

11 2 37

1 2



11 2 37

1 2



11 2 37 2

Giải phương trình tích này ta có các nghiệm là:

Chú ý đối với phương trình x4=6x2+bx+3 thì ta

chọn giá trị m cần chọn là m=

(b2-64)

1 3

2 -1 BÀI TẬP

Giải phương trình sau

4 Khi nào thì phương trình (6.3) có 2 nghiệm dương

phân biệt nằm thuộc vào [-2, 2]

- Thế giới quá rộng lớn Những con người bé nhỏ cứ

đi mãi, đi mãi trên khắp các con đường Thế rồi tình

cờ, hai trong số họ gặp nhau Nói với nhau vài câu

rồi rời đi Giúp đỡ nhau tí chút để trở thành bạn bè

Hay nhiều hơn nữa, họ ở lại bên nhau, nương tựa,

nâng đỡ tâm hồn nhau Bao nhiêu phương án có thể

xảy ra Tôi chợt hiểu, để tìm thấy một người khiến

thật tâm mình rung động, yêu thương không tính

toán, trao gửi hết tất cả bí mật mới khó khăn và

thiêng liêng làm sao (Dạt vòm – Phan Hồn Nhiên)



5 1  1 5

 Dạng 7 a(ax2+bx+c)2 +b(ax2+bx+c) +c=x (7)Đặt t= ax2+bx+c khi đó ta có hệ phương trình sau:

3 Giải phương trình khi m=-12

4 Giải phương trình khi m=-22

5 Giải và biện luận nghiệm của phương trình đã cho

6 Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it nhất hai nghiệm dương phân biệt

Cho phương trình sau:

Đó là thủ thuật, đó là tinh khôn!

Là tư duy lôgic, ma lanh, Giúp cho đời những giải pháp nhanh, Rút ngắn thời gian và đầu tư công của,

Để thu về cuộc sống optimal!

Chính vì thế mà ta đã yêu!

Yêu, yêu nhất suốt đời ta là Toán!

Toán cho ta một bầu trời trí tuệ, Một kho tàng chìa khóa để tư duy

Hệ thống công thức, định lý Toán là một loài hoa,

Nở rộ hàng ngày và đẹp mãi trong ta

Song đặc biệt chúng không bao giờ tàn lụi, Chỉ có đẹp thêm, đẹp thêm, tràn đầy sức sống!

Nay Toán yêu của ta có thêm Tin cộng lực

Dù yêu Tin, ta vẫn yêu Toán nhất trên đời!

Hà Nội, 30/7/2007

- Thành công có 99% là mồ hôi và nước mắt

 Dạng 8: ax2+bx+c= px2+qx+r

trong đó aq=bp≠ 0 và giả thiết biểu thức trong căn là

không âm

Với loại này ta có cách giải như sau:

Viết phương trình đã cho dưới dạng:

ax= x

2

+ q

p x (do aq=bp≠ 0) Phương trình (8.1) được viết lại là:

Khi t=-6 thì ta có x2-3x=-6  phương trình không có nghiệm thực

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thực là -1, 4 BÀI TẬP

Giải các phương trình sau:

2 x2-7x +2= 2x2-14x+84

Cho phương trình sau x2 -7x+m - 3x2-21x+85 =0

3 Giải phương trình khi m=19

4 Giải và biện luận theo m nghiệm của phương

trình

Cho phương trình 6x2-12x+5= 2x2-4x+m (8.3)

5 Giải phương trình khi m= 85, m=2

6 Giải phương trình khi m= 119

72

7 Tìm giá trị m để phương trình (8.3)chỉ có hai

nghiệm mà hai nghiệm đó đều dương

8 Tìm giá trị của m để phương trình (8.3) có bốn nghiệm phân biệt

- Cuộc đời làm nhà giáo là hiến dâng sức lực, trí tuệ, tài năng, sức sống cho lớp lớp học sinh Đó là một cuộc đời nặng nhọc, mòn mỏi trái tim, là những đêm không ngủ, là những sợi tóc bạc Đó là một cuộc sống vất vả nhất nhưng vui tươi nhất, là một sáng tạo đầy hồi hộp Chúng ta sáng tạo ra con người và chính vì thế đó là một niềm hạnh phúc lớn lao, một hạnh phúc chân chính Lao động của chúng ta

là lao động không có gì so sánh nổi, là lao động từ năm này qua năm khác, là sự nghiệp trăm năm trồng người Bởi vậy, nghề giáo là những nghề cao quý Để trở thành một nhà giáo ưu tú phải có một tình yêu vô hạn đối với lao động, có năng lực chuyên môn, có tinh thần sáng khoái, có trí tuệ sáng suốt, có tâm hồn cao đẹp để những lời giảng vang lên không phải là những âm thanh trống rỗng mà chính là

nguồn mạch nuôi lớn tâm hồn và trí tuệ học sinh

- Hồn tôi mãi mãi cháy bỏng, hồn tôi mãi mãi vun xới và nâng niu…Nếu có kiếp sau, tôi xin được làm thầy giáo dưới bầu trời Việt Nam

(Những lời trên là của thầy trưởng Khoa Văn trường ĐHSP Huế trong dịp kỉ niệm ngày nhà giáo Việt Nam(20-11-2009)

2 +

2 = c

(9)

Giả sử các biểu thức ở mẫu luôn khác không

Với loại này ta đặt X= f(x)+ a+b

2 và =

b-a

2 khi đó phương trình đã cho được viết lại như sau:

2

= c Tiến hành quy đồng mẫu ta có phương trình sau:

cX4 -2(c2 +1)X2 + c4 -22=0 (9.1)

Phương trình (9.1) là một phương trình trùng phương theo X mà bạn có thể giải được dễ dàng

Khi tìm được X = X0 là nghiệm thì dựa vào cách đặt

X ta đưa phương trình đã cho về dạng:

f(x) + a+b

2 =X0Lúc này bạn có thể tìm được x dễ dàng bằng cách giải phương trình trên

2

=c ta luôn đưa về được dạng phương trình (9)

2 ( vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là

x= (-1)k

6 + k (kZ) BÀI TẬP

Giải các phương trình sau:

5 Giải phương trình khi m=25

6 Biện luận số nghiệm của phương trình (9.3)

- Bạn và tôi cùng chung mục đích, lý tưởng thì ắt phải đi

chung trên một con đường rồi cuối cùng sẽ gặp nhau

- Đừng sợ hãi khi bạn phải đối đầu với một đối thủ mạnh

hơn, mà phải vui mừng vì bạn đã có cơ hội chiến đấu hết mình

 Dạng 10 (Phương trình phản phương)

ax4+bx3+cx2 bx+a=0 (a≠ 0) (10)

Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là

nghiệm của phương trình đã cho

Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x2 khi đó ta được ax2+bx+c  b

x khi đó ta có phương trình mới

at2 +bt +c 2=0 (10.1)

Việc giải phương trình (10.1) là dễ dàng, tìm được t

sau đó dựa vào cách đặt t ta suy ra x

x lúc đó ta có phương trình

t2-4t+3=0  t1=1, t2 =3

Với t=1 thì ta có phương trình

x2-x-1=0  x1= 1+ 5

2 , x2=

1- 5 2 Với t=3 thì ta có phương trình

x2 -3x-1=0  x3= 3+ 13

2 , x4=

3- 132Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm

4 Giải phương trình khi m=-12

5 Giải và biện luận số nghiệm của phương trình

6 Cho phương trình sau

 Dạng 11 (Phương trình hồi quy)

ax4 +bx3+cx2  dx+k=0 (11) trong đó kb2=ad2

Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì

phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba

Với loại này ta có cách giải như sau

Trước hết để thuận tiện ta đặt = d

b =

k a

Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của

phương trình (11)

Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình (11) cho

x2 thì thu được phương trình sau:

x khi đó ta có phương trình bậc hai

at2+bt+c  2a=0 Việc giải phương trình này ta có

Tiến hành chia hai vế của phương trình đã cho cho

x2 khi đó ta thu được:

5 Giải phương trình khi m=4

6 Giải phương trình khi m= 12-2 3 , m= 12+ 3

7 Tìm m để phương trình có một số chẳn nghiệm

8 Khi nào thì phương trình có một số chẳn nghiệm

- Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè

- Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT

AX3+BX2+CX+D=0(A≠ 0) (12)

Sau đây tôi xin cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quát hơn về phương trình bậc ba

Trước hết ta chú ý rằng phương trình (12) luôn luôn

được đưa về dạng x3+ax2+bx+c=0 (12.1) nên ta chỉ cần xét phương trình này

2+b

TH1: Nếu p=0 thì ta có phương trình t3+q=0 t=- 3 q Tức là đã giải được  nên ta không cần xét tiếp nữa

p p khi đó ta có phương trình u

3

+3u = m

Ta có đồ thị hàm y=x3+3x như sau

Dựa vào đồ thị ta nhận xét phương trình x3 +3x=m có

duy nhất nghiệm

Đồ thị hàm số y= x3 -3x

Dựa vào đồ thị ta có nhận xét phương trình x3 -3x=m

Có ba nghiệm phân biệt nếu -2 < m < 2

Có một nghiệm nếu m > 2 hoặc m<-2

Có hai nghiệm nếu m=-2 hoặc m=2

Nên ta suy ra phương trình x3 +3x =a - 1

a có một

nghiệm duy nhất là x = 3 a - 1

3

aXét phương trình x3 +3x =m và ta đặt m= a- 1

a khi đó ta chon một giá trị a thoả mãn là đủ

Việc chọn a chính là giải phương trình bậc hai

ta chọn giá trị nào trong hai giá trị trên cũng được, giả

Trước tiên ta chứng minh x (-2,2)  m (-2,2)

Thật vậy, ta đặt x=2cos thì phương trình trở thành

8cos3 - 6cos = m  2(4cos3 - 3cos)= m

 2cos3 = m  m (-2,2) (đpcm)

Vạy trong trường hợp này thì ta đặt x=2cos

 (0,) lúc này phương trình x3 -3x=m sẽ có dạng là 2cos3 = m  cos3 = m

2Đặt cos= m

2 (0,)

Quá trình giải phương trình bậc ba tổng quát ta phải đi theo các bước như trên Sau đó dựa vào cách đặt các biến mà ta suy ra nghiệm của phương trình ban đầu

- Tôi tư duy có nghĩa là tôi tồn tại!

3 X ta có thể đưa (12.4) về dạng

X3 +3X = -14

5 (12.5) Phương trình (12.4) có duy nhất nghiệm (vì có dạng 3x3+3x=m) và như đã trình bày ở phần giải phương trình

tổng quát ta tìm được nghiệm của phương trình (12.5) là X=

Bây giờ bạn có thể thử sức mình với các bài sau:

biến  do đó phương trình (13.4) có ít nhất một nghiệm

(giải phương trình bậc ba tổng quát đã trình bày ở phần trước) Vì vậy, ta luôn tìm được giá trị  thoả mãn yêu cầu mà đặt ra

Giả sử = 0 là giá trị làm cho biểu thức (13.3) trở thành bình phương đúng Khi đó

a) 1<0 và 2<0 thì phương trình vô nghiệm

b) 1=0 và 2<0 hoặc 1<0 và 2=0 thì phương trình

có một nghiệm kép y= 20

2 hoặc y= -

202c) 1>0 và 2<0

1<0 và 2>0

1=0 và 2=0

Trong cả ba trường hợp này phương trình có hai nghiệm trong đó hai trường hợp đầu hai nghiệm của phương trình là nghiệm đơn trường hợp thứ ba là hai ngiệm kép

d) 1>0 và 2=0

1=0 và 2>0

Trong hai trường hợp này phương trình có ba nghiệm trong đó có một nghiệm là nghiệm kép và hai nghiệm đơn

e) 1>0 và 2>0, trong trường hợp này phương trình có bốn nghiệm phân biệt( bốn nghiệm đơn)

Sau khi tìm hiểu một cách tổng quát về phương trình bậc bốn thì bạn có thể thử với một số ví dụ như sau

1) x4+2x3-23x2+12x+5=0

2) x4+2x3+3x2+4x+5=0

3) x4+2x3+3x2+4x+5=0

4) x4+2x3+3x2+4x+2=0

 Phụ lục một số nhà toán học có công trong việc giải các phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn và cao hơn

Carl Friedrich Gauss Evariste Galois

Niels Henrik Abel