Áp dụng định Vi ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực

Đưa ra một số các dạng toán cơ bản có thể sử dụng phương pháp “Áp dụng định Vi ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” để giải quyết, góp phần nâng cao năng lực giải toán của học sinh THPT.

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hiện nay trong chương trình Toán THPT phân ban của Bộ GD & ĐT không đưa vào nội dung định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai, trong khi đó một số bài tập so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực trong chương trình Toán THPT vẫn thường được sử dụng bằng phương pháp này gây ra khó khăn cho

giáo viên giảng dạy và học sinh giải các bài tập này Trong khi phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” lại tỏ ra hữu ích với các loại bài này vì công năng đa dạng

và đơn giản trong tư duy của học sinh

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đưa ra một số các dạng toán cơ bản có thể sử dụng phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” để giải quyết, góp phần nâng cao năng lực giải toán của học

sinh THPT

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Học sinh khối 10,11 &12- THPT PHẠM NGŨ LÃO từ năm 2007 đến 2011

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện nghiên cứu cần thực hiện phối hợp linh hoạt các phương pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu lý luận

Phân tích chương trình môn toán SGK 10 Nghiên cứu về kỹ năng sử dụng

phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” trong các tài liệu lý luận, sách tham

khảo

2 Thực nghiệm và rút kinh nghiệm

Thông qua dự giờ thăm lớp, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, với các bạn đồng nghiệp, trao đổi và sát hạch học sinh bằng các bài kiểm tra Từ đó rút ra kinh nghiệm giảng dạy

V.CẤU TRÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Mở đầu

Tiềm năng và thực tiễn của việc rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp

“Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” cho học sinh THPT

Định hướng và biện pháp rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” cho học sinh THPT

Tài liệu tham khảo

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I Tiềm năng của phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán

so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ”

“Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ” là phương pháp sử dụng mối liên hệ giữa các nghiệm

của phương trình bậc hai thông qua định lí Vi-ét để giải các bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực

Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin đưa ra một số dạng bài

có thể giải được bằng phương pháp “Áp dụng định Vi - ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực ”

So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực α

So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai với hai số thực α và β

So sánh các nghiệm của phương trình bậc ba với số thực α

Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại n điểm (n = 2 hoặc n = 3) thảo mãn điều kiện cho trước

1 Bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai f(x) ≡≡≡≡ ax 2 + bx +c = 0 (*) với một số thực αααα





a<0 b>0

0 0

α α

a) Có hai nghiệm trái dấu ?

b) Có hai nghiệm lớn hơn 2?

c) Có hai nghiệm nhỏ hơn 1?

4 51

11

3 1(4)( 1) 3

m m

m m

Vậy với -2 ≤ m < -1 thì phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn 2

c) Phân tích: Hai nghiệm của phương trình nhỏ hơn 1

4 51

− < < thì phương trình (*) có hai nghiệm nhỏ hơn 1

Ví dụ 1.2: Cho phương trình f(x) = (m+2)x2 - 2mx -1 = 0(1) Hãy tìm m để phương trình (1) có nghiệm nhỏ hơn 1?

G: Phân tích: Phương trình bậc 2 có nghiệm nhỏ hơn 1 nghĩa là có thể xảy ra 3

TH2: m ≠ -2, có ∆’ = m2+m + 2 > 0, ∀m ∈ R nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

x1, x2 Theo định lí vi - ét ta có:

1 2

1 2

22(2)1

2

2 2

m m

m m

m m

Ví dụ 1.3: Cho phương trình f(x) = mx - (2m+1)x + 2 = 0(1) Hãy tìm m để

phương trình (1) có đúng một nghiệm lớn hơn 1?

TH1: m = 0 ⇔ m = 0, phương trình trở thành -x +2= 0 ⇔ x = 2 thỏa mãn bài ra

TH2: m ≠ 0, có ∆’ = (2m-1)2≥ 0, ∀m ∈ R nên (1) luôn có 2 nghiệm x1, x2 Theo

định lí vi - ét ta có:

1 2

1 2

2 1(2)2

m

m

x x m

Vậy với m ∈ (-∞;0) ∪ [1;+ ∞ ) ∪ { 1

2 } thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm lớn hơn 1

2 Bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai f(x) ≡≡≡≡ ax 2 + bx +c = 0 (*) với hai số thực αααα &ββββ

Điều kiện để (*) có đúng 1 nghiệm thuộc (α ;β) :

 Theo bài ra thì hai nghiệm của

phương trình thuộc (0;2 ) khi và chỉ khi

m m

Ví dụ 2.2: Cho phương trình f(x) = mx - 4(m+1)x + 3m + 13 = 0(*) Hãy tìm

m để phương trình (*) có đúng một nghiệm thuộc (0;3) ?

Theo bài ra thì phương trình có đúng 1 nghiệm

thuộc (0;2 ) khi và chỉ khi

m m

m m

m m

m m

Nếu d1 = 0 thì x0 là một nghiệm của f(x)

Phương trình ax3 + bx2 +cx + d = 0 có nghiệm hữu tỉ x0 = p

Ví dụ 3.1: Cho phương trình f(x) = x3 - 3x2 + 2(m-1)x - 2m + 4 = 0(*) Hãy tìm

m để phương trình (*) có 3 nghiệm thỏa mãn: x1 < -1 < x2 < x3 ?

G: Phân tích: Việc đầu tiên mà ta cần làm là đưa (*) về dạng phương trình tích

bằng cách áp dụng một trong số các kiến thức cơ bản trên Dễ thấy, (*) có một nghiệm là x =1 > -1 và (*) ⇔ (x-1)[x2 -2x + 2m - 4] = 0 Như vậy, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình : x2 -2x + 2m - 4 = 0 có 2 nghiệm nằm 2 phía của -1

Trình bày: Ta có: (*) ⇔ (x-1)[x2 -2x + 2m - 4] = 0 ⇔x=1

x2-2x+2m-4=0(1)

Do đó, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1’ < -1 <x2 ’ ⇔ (x1' 1+ )(x2 ' 1+ )< ⇔0 x1'x2 ' (+ x1'+ x2 ')+ <1 0(2) Mặt khác, (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔∆’ > 0 ⇔ 5 - 2m > 0 ⇔ m < 5

2

Ví dụ 3.2: Cho phương trình f(x) = x3 - 3(m+1)x2 + 2(m2 + 4m +1)x - 4m(m+1)

= 0(*) Hãy tìm m để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 ?

G: Phân tích: Việc đầu tiên mà ta cần làm là đưa (*) về dạng phương trình tích

Nếu nhẩm nghiệm bằng cách áp dụng một trong số các kiến thức cơ bản trên thì sẽ

rất mất thời gian vì phải xét dấu nhiều trường hợp dẫn đến tính toán sai lệch đáng tiêc Tác giả xin đưa ra một mẹo nhỏđể “giảm bớt sức lao động trong việc này”:

Nếu x0 là nghiệm của phương trình (*) thì khi thay nó vào (*) thì m sẽ bị triệt tiêu

Do đó m2 ( đơn thức có số mũ cao nhất của m) cũng sẽ bị triệt tiêu, mà ta thấy có 2

số hạng chứa m2 là 2m2x và -4m2 trong (*) vì thếđể m2 bị triệt tiêu thì có thể 2m2x -4m2 = 0, thế là ta sẽ có x0 = 2 là “Đối tượng khả nghi”; thay x = 2 vào (*) thỏa mãn Từ đó, ta có: (*) ⇔ (x-2)[x2 - (1+3m)x + 2m(m + 1)] = 0 Dễ thấy, lúc này yêu cầu bài toán trở thành m = ? để phương trình x2 - (1+3m)x + 2m(m + 1)]= 0

+) x1 là nghiệm của pt: y’ = 0 hoặc y’ không xác định tại x1

+) y’ đổi dấu từ (+) sang (-) khi x đi qua x1 Kí hiệu : x1 = xCĐ , f(x1) = yCĐ + Ta gọi x2 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu thoả mãn:

+) x2 là nghiệm của pt: y’ = 0 hoặc y’ không xác định tại x2

+) y’ đổi dấu từ (-) sang (+) khi x đi qua x2 Kí hiệu : x2 = xCT , f(x2) = yCT

biệt

+ Hàm số bậc 4 trùng phương có CĐ, CT ⇔ Phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm

phân biệt

+ Hàm số bậc 4 có 1CĐ và không có CT ⇔(Phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm và

hệ số a < 0) hoặc (Phương trình y’ = 0 có 1nghiệm kép và hệ số a < 0)

+ Hàm số bậc 4 có 1CT và không có CĐ ⇔(Phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm và

hệ số a > 0) hoặc (Phương trình y’ = 0 có 1nghiệm kép và hệ số a >0)

G: Phân tích: Nhẩm tính đạo hàm ta thấy y’ là tam thức bậc 2 Do đó, yêu cầu

bài toán chuyển về dạng 1 của bài toán1

Trình bày: Ta có:

+ TXĐ: R

+ y’ = x + 2(m-2)x + 5m + 4 xác định trên R

Hàm số cĩ CĐ, CT ⇔ Phương trình y’ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt

⇔ x2 + 2(m-2)x + 5m + 4 = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt ⇔∆’ > 0 ⇔m>9

Hàm số cĩ CĐ, CT ⇔ Phương trình y’ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt

⇔ x2 - 2mx + m = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt ⇔∆’ > 0 ⇔m>1

2 4 64 0

1 65 2

1 65 2

thỏa mãn bài tốn

5 Bài tốn tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại n điểm (n = 2 hoặc n = 3) thỏa mãn điều kiện cho trước

Kiến thức cơ bản:

Trong mp(Oxy) xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số: 1

2

(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)

(C 1 ) vaứ (C 2 ) khoõng coự ủieồm chung (C 1 ) vaứ (C 2 ) caột nhau (C 1 ) vaứ (C 2 ) tieỏp xuực nhau

Phửụng phaựp chung:

* Thieỏt laọp phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa ủoà thũ hai haứm soỏ ủaừ cho:

f(x) = g(x) (1)

* Khaỷo saựt nghieọm soỏ cuỷa phửụng trỡnh (1) Soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh (1) chớnh laứ soỏ giao ủieồm cuỷa hai ủoà thũ (C1) vaứ (C2)

Ghi nhụự: Soỏ nghieọm cuỷa pt (1) = soỏ giao ủieồm cuỷa hai ủoà thũ (C 1 ) vaứ (C 2 ).

Chuự yự 1 : * (1) voõ nghieọm ⇔ (C1) vaứ (C2) khoõng coự ủieồm ủieồm chung

* (1) coự n nghieọm ⇔ (C1) vaứ (C2) coự n ủieồm chung

Chuự yự 2 : * Nghieọm x0 cuỷa phửụng trỡnh (1) chớnh laứ hoaứnh ủoọ ủieồm chung cuỷa (C1) vaứ (C2)

Khi ủoự tung ủoọ ủieồm chung laứ y0 = f(x0) hoaởc y0 = g(x0)

Vớ dụ minh họa:

Vớ dụ 5.1: Tìm m để (Cm): y = x3 + 2(1- 2m )x2 + (5 - 7m)x + 2(m + 5) cắt

Ox tai 3 điểm phân biệt cú hoành độ thỏa món: x1 < x2 < x3 < 1?

G: Phõn tớch: Trục Ox chớnh là đường thẳng y = 0 Phương trỡnh hoành độ giao

điểm là phương trỡnh bậc 3 và để xử lớ thỡ cỏch thụng dụng nhất là nhẩm nghiệm và đưa về bài toỏn của phương trỡnh bậc hai Bài này nờn dựng mẹo triệt tiờu m để

O

)(C1

)(C2

)(C1

)(C2

)(C1

1 2

1 2

4

(3)5

 Kết hợp (5) & (2) ta

được m < -1

Vậy với m < -1 thỡ (Cm): y = x3 + 2(1- 2m )x2 + (5 - 7m)x + 2(m + 5) cắt Ox tai

3 điểm phân biệt cú hoành độ thỏa món: x1 < x2 < x3 < 1

Vớ dụ 5.2: Tìm m để (Cm): y = mx3 - x2 + 2x - 8m cắt Ox tai 3 điểm phân biệt:

1 < x1 < x2 < x3 ?

G: Phõn tớch: Trục Ox chớnh là đường thẳng y = 0 Phương trỡnh hoành độ giao

điểm là phương trỡnh bậc 3 và để xử lớ thỡ cỏch thụng dụng nhất là nhẩm nghiệm và

đưa về bài toỏn của phương trỡnh bậc hai Bài này nờn dựng mẹo triệt tiờu m để

m

m m

m m

1. Những thuận lợi của việc rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng áp dụng định lí Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực

Thứ nhất, trong môn Đại số lớp 9 THCS học sinh đã được trang bị những kiến thức cơ bản nhất về phương trình bậc hai và có một định lí đã nêu lên mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số của nó Định lí này đã giúp ích khá nhiều cho học sinh THCS giải các bài toán: Tìm tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai khi có nghiệm; biết một nghiệm suy ra nghiệm còn lại; nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai khi có nghiệm; … Có thể nói sau khi học xong THCS học sinh THPT đã quá quen thuộc với định lí Vi-ét áp dụng cho phương trình bậc hai

Thứ hai, Cũng từ việc quen thuộc với định lí Vi-ét nên việc áp dụng nó vào bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số thực chỉ là thao tác tư duy

“Quy lạ về quen” với độ khó không nhiều và học sinh không “vất vả” trong tư duy

Thứ ba, áp dụng định lí Vi-ét vào bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc 2,phương trình bậc 3 nhẩm được nghiệm và nhiều bài toán khác đơn giản và dễ dàng hơn so với việc áp dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai hiện nay đã không có trong nội dung của chương trình Toán THPT

2 Thực tiễn và những ghi nhận khi nghiên cứu áp dụng định lí Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực cho học sinh trường THPT Phạm Ngũ Lão

Thực tiễn nghiên cứu:

Sau hai năm giảng dạy tại trường THPT Phạm Ngũ Lão (cả 3 khối 10, 11

và 12) tôi nhận thấy: số lượng học sinh có khả năng sử giải được bài toán so

sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực còn rất ít (có lớp 10,

11 ban cơ bản không có học sinh một nào làm được bài toán này) Một số học

sinh làm được bài tập bằng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai nhưng chưa

hiểu rõ đặc điểm và cơ sở của định lí này là gì? Các em này làm bài tập theo

kiểu nhớ dạng bài quen thuộc nên khi gặp bài toán có nội dung không “gần gũi

”với các dạng bài đó thì các em hoàn toàn bế tắc trong việc “Quy lạ về quen” vì

khi áp dụng định lí này phải nhớ nhiều lí thuyết và xét nhiều trường hợp Khả

năng đọc đề bài và hình thành tư duy thuật giải chưa đủ để áp dụng thành thạo

định lí này Cá biệt, một số học sinh lớp 12 chỉ làm được một vài dạng bài này

bằng phương pháp hàm số (căn cứ vào bảng biến thiên hoặc đồ thị) nhưng tính

“cơ động và khả năng sẵn sàng” của các em chưa cao vì “Vũ khí chưa đủ

mạnh”

Trao đổi với một số đồng nghiệp trực tiếp giảng dạy khối lớp 10, tôi được

biết họ định hướng cho học sinh giải các bài toán so sánh nghiệm của phương

trình bậc 2 với một số thực bằng cách đưa ra phương pháp đặt ẩn phụ Chẳng hạn, bài toán: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 <α < x2 ta đặt t=x-α rrồi

đưa về bài toán tìm điều kiện của m để phương trình ẩn t có 2 nghiệm trái dấu

Cách làm này khá dài và sẽ vướng mắc khi ta giải các bài toán so sánh nghiệm

của phương trình bậc 2 với hai số thực vì phải đặt ẩn phụ tới 2 lần dẫn đến dài

dòng trong trình bày bài làm của học sinh, lệch lạc kết quả khi thực hiện lời

giải

Hướng giải quyết vấn đề

Đưa phương pháp này vào giảng dạy trong chủ đề tự chọn nâng cao với các

lớp 10 ban cơ bản và chủ đề tự chọn bám sát với các lớp 10 ban KHTN

Thường xuyên cho học sinh lớp 11 và 12 rèn luyện kỹ năng này trong các bài

toán quy về phương trình bậc hai và liên quan đến khảo sát hàm số

III Định hướng và biện pháp rèn luyện kỹ năng áp dụng định lí

Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số

thực cho học sinh trường THPT Phạm Ngũ Lão

1 Xây dựng quy trình giải một bài toán so sánh nghiệm của phương trình

bậc 2 với một hoặc hai số thực bằng cách áp dụng định lí Vi-ét

Để học sinh có được một kỹ năng thành thục khi sử dụng phương pháp này

để giải bài tập thì việc dạy học sinh đọc và nghiên cứu đề bài (giả thiết) để từ đó

hình thành tư duy thuật giải đến gần kết quả (yêu cầu bài toán ) là hết sức quan

trọng Sau đây là quy trình chung cho các dạng bài phổ biến :

+ Bước 1 : Tìm điều kiện của tham số để phương trình có đủ số nghiệm cần

thiết

Ví dụ : Để giải bài toán : ‘’Cho phương trình f(x) = x2 -2mx + m -3 = 0(*)

Hãy tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thuộc (0;2 )?’’ thì

trước tiên học sinh cần tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > 0 ⇔ m>3 m<1

+ Bước 2 : Áp dụng định lí Vi-ét để nêu mối liên hệ giữa các nghiệm của