CHỦ đề 2 vấn đề 4 các DẠNG PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI và QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI TRÊN TRƯỜNG số PHỨC image marked

VẤN ĐỀ 4: CÁC DẠNG PHUƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG Căn bậc hai số thực âm: - Căn bậc hai số thực a âm i a Minh họa: ( ) ( ) 1) Căn bậc hai -2 i , i 2) Căn bậc hai -5 i , i = −2 = −5 Phương trình bậc hai với hệ số thực: - Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = với a, b, c  , a  Xét biệt số  = b − 4ac phương trình Ta thấy: + Khi  = b − 4ac = , phương trình có nghiệm thực x = −b 2a + Khi  = b − 4ac  , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, xác định x1,2 = −b   2a + Khi  = b − 4ac  , phương trình có hai nghiệm phức xác định x1,2 = −b  i  2a Minh họa: 1) Giải phương trình x + 3x + = tập hợp số phức Ta có:  = 32 − 4.4 = −7  Vậy phương trình cho có hai nghiệm phức là: x1,2 = −3  i 2) Giải phương trình z + z − = tập số phức z =   z = z = − z4 + z2 − =     z = −3  z = i   z = −i 3) Giải phương trình z + z + 20 z = tập số phức Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  z = 2i  z = −2i  z = −4   z + z + 20 z =  z ( z + z + 20 z ) =   z = −5   z = i  z =  z = −i   z = Nhận xét: - Trên tập hợp số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm (không thiết phân biệt) - Tổng quát, người ta chứng minh phương trình bậc n ( n1) a0 x n + a1 x1 + + an −1 x + an = Trong a0 , , an  , a0  có n nghiệm phức (các nghiệm khơng thiết phân biệt) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Minh họa: 1) Giải phương trình x − ? + 20 = tập hợp số phức Ta có:  = ( i ) − 4.20 = −81  i + i 81 i + 9i = = 5i x = 2 Vậy phương trình cho có nghiệm phức là:   i − i 81 i − 9i = = −4i x =  2 2) Giải phương trình x2 + ( i + 1) x + 2i + = tập hợp số phức Ta có:  = ( i + 1) − ( 2i + ) = −8 − 6i = ( −1 + 3i ) 2 − ( i + 1) + ( −1 + 3i )  = −1 + i x = Vậy phương trình cho có nghiệm phức là:  − ( i + 1) − ( −1 + 3i )  = −2i x =  Hướng dẫn: Ở ta có chỗ −8 − 6i = ( −1 + 3i ) gây khó hiểu cho bạn Sau tác giả xin giải thích,  bạn rơi vào trường hợp số nguyên âm mà dạng số phức bạn biến đổi cho  có dạng  = ( a + bi ) Cách tìm: ta giải ( a + bi ) = −8 − 6i để tìm a , b Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a − b2 = −8 Từ phương trình ( a + bi ) = −8 − 6i ta dễ dàng suy  Sau bạn chọn 2ab = −6 cặp ( a; b ) cho phù hợp giải kết đầy đủ (sẽ thời gian) Ở tác giả chọn ( a; b ) = ( −1;3) Ta kết là:  = −8 − 6i = ( −1 + 3i ) 3) Giải phương trình x3 + 4ix + x = tập hợp số phức x = x = x = x + 4ix + x =     ( x + 2i ) = i  x + 4ix + =  x + 4ix − = −5  ( )  x = x =    x + 2i = i   x = −2 + i  x + 2i = −i    x = −2 − i i ( ( ) ) Hướng dẫn: Ở phương trình x + 4ix + = ta giải tương tự ví dụ 2, nhiên tác giả biến đổi nhiều hướng khác nhằm giúp cho bạn rèn luyện kĩ Một số kỹ giải toán số phức nhanh Casio (ở Casio fx-570 VN PLUS): - Ấn (CMPLX) để vào toán số phức - Sau ấn - Ấn (i ) để i (CMPLX), ấn (EQN) ( ax + bx + c = ) để giải phương trình bậc hai với hệ số thực Áp dụng: 1) Ấn nhấn (EQN) , nhấn ( ax + bx + c = ) , nhập nhấn , hình , nhập , nhấn nhấn , nhập , hình Ta nghiệm phức phương trình x + x + = Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 2) Ấn nhấn (EQN) , nhấn ( ax + bx + c = ) , nhập nhấn , hình , nhập , nhấn nhấn , nhập , hình Ta nghiệm phức phương trình x + x + = - Ấn (A) Để lưu giá trị vào cho biến A (Tương tự cho số biến (STO) khác) Áp dụng: 1/ Nhập ấn 2/ Nhập (STO) ấn (STO) (A) Khi bạn gán giá trị 2i cho biến A (A) Khi bạn gán giá trị 2i + cho biến A BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − z + = Giá trị biểu thức K = z + A B C 2 là: z −1 D HƯỚNG DẪN GIẢI  z = + 2i Phương trình z − z + = có hai nghiệm là:   z2 = − 2i Khi đó: K1 = z1 + K1 = z1 + 2 = + 2i + = + i = 12 + 12 = z1 − 2i 2 = − 2i − = − i = 12 + ( −1) = z1 − 2i So bốn đáp án, có đáp án C thỏa mãn  Chọn C Ví dụ 2: Số phức z thỏa mãn phương trình z = A z = − i, z = −i B z = − i, z = i − 2i − = là: z C z = + i, z = −i D z = − i, z = − i HƯỚNG DẪN GIẢI Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Đặt z = a + bi , a + bi − z = a − bi phương trình z− − 2i − = tương đương với: z − 2i − =  a + b − + 2i − ( a − bi ) =  ( a + b − − 2a ) + ( + 2b ) i = a − bi Đồng hai vế ta được: a =  a + b − − 2a = a = a =      a =    b = −1 2 + 2b = b = −1 b = −1  Vậy có hai số phức z thỏa mãn đề z = − i, z = −i So bốn đáp án, có đáp án A thỏa mãn  Chọn A Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 − 2i ) z − 2−i = ( − i ) z Tọa độ biểu diễn z 1+ i mặt phẳng Oxy là:  5 B M  ;   10 10  1 5 A M  ;   10 10   7 C M  ;   10 10  1 7 D M  ;   10 10  HƯỚNG DẪN GIẢI Từ giả thuyết (1 − 2i ) z − (1 − 2i ) z − 2−i = ( − i ) z ta có: 1+ i 2−i −2 + i −2 + i = (3 − i ) z  = (2 + i) z  z = z= + i 1+ i 1+ i 10 10 (1 + i )( + i ) 1 7 Vậy tọa độ biểu diễn z mặt phẳng Oxy M  ;   10 10   Chọn D Ví dụ 4: Số thực x,y thỏa mãn đẳng thức ( − i )( x + 1) + y ( + i ) = + 2i là: A x = 2, y = B x = 0, y = C x = 1, y = D x = 3, y = HƯỚNG DẪN GIẢI Từ đẳng thức ( − i )( x + 1) + y ( + i ) = + 2i ta có: 2x − xi + − i + y + yi = + 2i  ( 2x + y + 2) + ( − x − + y ) i = + 2i Đồng hệ số hai vế ta được: 2 x + y + =  x =   − x + y − = y = Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  Chọn B Ví dụ 5: Phần thực số phức z biết z = A ( ) (i −1) 2i − B là: C 10 D HƯỚNG DẪN GIẢI Từ giả thiết ta có: z = ( ) (i −1) 2i − = −2i ( ) 2i − = 2 − 10i  z = 2 + 10i Vậy phần ảo số phức z 10  Chọn C Ví dụ 6: Phần ảo số phức z biết z = A ( )( − i − 5i B ) là: C D HƯỚNG DẪN GIẢI Từ giả thiết ta có: z= ( )( − i − 5i ) =( )( ) − i −4 − 5i = −6 − 6i  z = −6 + 6i Vậy phần ảo số phức z  Chọn A Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + i − = z.z = Các giá trị z thỏa đề là: A z = −2i, z = i B z = −2i, z = C z = i, z = D z = −2i, z = HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt z = a + bi , z = a − bi Khi đó: z + i − =  a + bi + i − =  ( a − 1) + (b + 1) z.z =  ( a + bi )( a − bi ) =  a + b2 = (2) Từ (1) suy a − 2a + b + 2b = (3) Thế (2) vào ta a − b = (4) =  ( a − 1) + ( b + 1) = (1) 2 a = Từ (2) (4) ta được: a + ( a − ) =   a = - Với a =  b = −2 Khi z = −2i - Với a =  b = Khi z = Vậy có hai giá trị z thỏa đề z = −2i, z =  Chọn D Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ví dụ 8: Chọn số phức z thỏa mãn z = z + z là: A z = 0, z = −1 −1 + i, z = − i 2 2 1 C z = 0, z = i, z = − i 2 B z = 1, z = −1 1 + i, z = − i 2 2 D z = i, z = −1 −1 ,z = 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Nhận xét phương trình z = z + z có ba đại lượng lien hệ z , z , z Đặt z = a + bi , z = a + b2 , z = a + 2abi − b2 Ta có: z = z + z  a + 2abi − b = a + b + a − bi  2b + a − bi − 2abi = Đồng hai vế ta được: 2b + a = 1   a a = = − −   2b + a = a =  b=0 v  v        b = b = b = − b + 2ab =   a = −1      2 1 1 Vậy số phức z thỏa đề là: z = 0, z = − + i, z = − − i 2 2  Chọn A Ví dụ 9: Cho số phức z thỏa điều kiện z = z số ảo Số giá trị z thỏa đề là: A B C D HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt z = a + bi , đó: z = a2 + b2 , z = a + 2abi − b2 Ta có: z = = a2 + b2 a = b Vì z = a + 2abi − b số ảo nên: a − b2 =    a = −b - Khi a = b , ta có: z = = a2 + b2 = b  a = b = 5   a = −5  b = 2 - Khi a = −b , ta có: z = = a + b = b    a =   b = −5 Vậy có giá trị z thỏa đề là: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải z = + 5i, z = −5 − 5i, z = −5 + 5i, z = − 5i  Chọn B ( ) Ví dụ 10: Tính mơ đun số phức z, biết: ( z − )( i + ) + z − (1 − i ) = − i A B C D HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt z = a + bi , z = a − bi Phương trình cho tương đương: ( a + bi − 2)(i + 2) + ( a − bi −1)(1 − i ) = − i  − b − 2i + 2a + 2bi − + a − bi − − − b + i = − i  ( 3a − 2b − 5) + ( b − 1) i = − i 3a − 2b − = a = Đồng hệ số hai vế ta được:    z =3 b − = b =  Chọn C BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Câu 1: Căn bậc hai số thực a là: A B a a C −a D i a C −2 D − Câu 2: Căn bậc hai −4 là: B 2i A Câu 3: Công thức nghiệm phương trình bậc hai ax + bx + c = với a, b, c  a  0,  là: A x1,2 = −b  i  2a B x1,2 = −b   2a C x1,2 = −b 2a D x1,2 = c a D x1,2 = −1  i Câu 4: Nghiệm phương trình x + x + = tập hợp số phức là: A x1,2 = −1  B x1,2 = −1  i C x1,2 =  Câu 5: Nghiệm phương trình −3x + x − = tập hợp số phức là: A x1,2 = 1 i 3 B x1,2 =  C x1,2 = 1 D x1,2 = 1 i Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Câu 6: Cho phương trình x + 3x + = có hai nghiệm phức x1,2 = −b  i  2a , giá trị biểu thức P = a + b −  bằng: Câu 7: Cho phương trình x − x + biểu thức M = C −57 B −37 A 57 D 37 −b  i  87 = có hai nghiệm phức x1,2 = , giá trị 2a 20 a+b− bằng: A B C D Câu 8: Cho z = a + bi số phức Phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z z làm nghiệm là: A x − 2ax + a + b = B x + 2ax + a + b = C x + ax − a − b = D x + ax + b = Câu 9: Cho z = + 3i số phức Phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z z làm nghiệm là: A x − x + = B x − x + = C x − x + 13 = D x − x + = Câu 10: Cho phương trình x2 − ( − i ) x + − i = có hai nghiệm phức x1 , x2 Vậy giá trị x1 , x2 là: A x1 = i, x2 = − 3i B x1 = + i, x2 = − 2i C x1 = −2 + i, x2 = − 2i D x1 = + i, x2 = − 2i Câu 11: Cho phương trình x + x + = có hai nghiệm phức x1 , x2 Vậy giá trị biểu thức x12 + x2 − x1 x2 là: A 35 B 32 C 41 D 27 C −2 + 2i, − 2i D −1 + 5i,1 − 5i Câu 12: Căn bậc hai số phức −4 − 5i là: A −2 + 5i, − 5i B −2 + 3i,3 − 2i Câu 13: Số phức nhận A i − 2 − i làm bậc hai: B − i C − 2i D − 2i Câu 14: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình phức x2 + ( i − 3) x + − 3i = Tổng phần thực số x1 , x2 là: A B C D Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Câu 15: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình phức x2 + ( i − 3) x + − 3i = Tổng phần ảo số x1 , x2 là: B − i A −1 D −2i C Câu 16: Gọi A,B hai điểm biểu diễn cho số phức nghiệm phương trình x + x + = Tính AB? A C − B 2 D Câu 17: Nghiệm phương trình ( x + − i ) + ( x + − i ) + = tập số phức là: ( + 1) i; x = −4 + ( − + 1) i D x = −2 + ( + 1) i; x = −2 + ( − + 1) i A x1 = −4 + 3i; x2 = −4 + 3i B x1 = −4 + C x1 = −2 + 3i; x2 = −2 − 3i Câu 18: Căn bậc hai số phức A − i B 2 1 − i 2 D − 2i 1 − i 2 C 2− i Câu 19: Nghiệm phương trình ( x + x + )( x + x + ) = −1 tập số phức là: ( C x = −2 + ( A x1 = −4 + ) + 1) i; x ( = −2 + ( − ) + 1) i + i; x2 = −4 + − + i B x1 = −4 + 3i; x2 = −4 + 3i D x1 = −2 + 3i; x2 = −2 − 3i Câu 20: Nghiệm phương trình ( x − x + 10 )( x − x + ) = tập số phức là: A x =  2i; x =  2i B x =  2i; x =  i C x =  2i; x =  2i D x =  2i; x =  2i Câu 21: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x2 + ( i − 3) x + − 3i = Giá trị K = x1 + x2 bằng: A 5 C B 2 D Câu 22: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x2 + (8 + i ) x + 17 + 7i = Giá trị A = x1 + x2 bằng: A 65 B 56 C 52 D 61 Câu 23: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x2 − ( 2m −1) x + − 3mi = Tìm m để x1 + x2 = : A m = −1 B m = C m = D m = Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải - Nhập ( ) 2 − i , hình hiển thị kết − 2i Câu 14: Đáp án B ❖ Cách 1: Ta giải phương trình x2 + ( i − 3) x + − 3i = cơng thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức x1.2 = −b  i  2a Khi ta có hệ số a = 1, b = i − 3, c = − 3i và:  = ( i − 3) − ( − 3i ) = −8 + 6i = + 6i + ( 3i ) = (1 + 3i ) 2 x1 = + i x2 = − 2i Tổng phần thực x1 , x2 ❖ Cách 2: Vì đề u cầu tính tổng phần thực x1 , x2 nên ta khơng thiết phải tính giá trị cụ thể x1 , x2 mà cần tính tổng x1 + x2 tìm phần thực tổng này, kết mà đề yêu cầu Ta tính định lý Viet sau: Theo định lý Viet: x1 + x2 = −b = 3−i a Phần thực tổng x1 + x2 nên tổng phần thực x1 , x2 Câu 15: Đáp án A ❖ Cách 1: Ta giải phương trình x2 + ( i − 3) x + − 3i = công thức nghiệm phương bậc hai hệ số thực có nghiệm phức x1.2 = −b  i  2a Khi ta có hệ số a = 1, b = i − 3, c = − 3i và:  = ( i − 3) − ( − 3i ) = −8 + 6i = + 6i + ( 3i ) = (1 + 3i ) 2 x1 = + i x2 = − 2i Tổng phần ảo x1 , x2 −1 ❖ Cách 2: Trang 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Vì đề u cầu tính tổng phần ảo x1 , x2 nên ta khơng thiết phải tính giá trị cụ thể x1 , x2 mà cần tính tổng x1 + x2 tìm phần ảo tổng này, kết mà đề yêu cầu Ta tính định lý Viet sau: Theo định lý Viet: x1 + x2 = −b = 3−i a Phần ảo tổng x1 + x2 −1 nên tổng phần ảo x1 , x2 −1 ❖ Nhận xét: Dạng ta nên dùng cách hai để tiết kiệm thời gian ❖ Sai lầm thường gặp: Khi học sinh tính x1 + x2 = − i hai cách trên, nhiều học sinh dễ khoanh nhầm đáp án B hiểu sai định nghĩa phần ảo số phức Ta có phân tích sau: Một số phức biểu thức có dạng a + bi , a,b số thực i số thỏa mãn i = −1 Trong đó: i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, b gọi phần ảo Câu 16: Đáp án D ❖ Phân tích: Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho số phức z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i Khi độ dài AB tính cơng thức AB = ( a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) 2 Để xác định độ dài AB, ta tính tọa độ điểm A, B trước Với phương trình x + x + = , ta có: x1 = −2 + 5i; x2 = −2 − 5i ( ) ( Suy A −2; , B −2; − Khi đó: AB = ( −2 + ) + ( ) 5+ ) =2 Câu 17: Đáp án A Quan sát thấy phương trình ( x + − i ) + ( x + − i ) + = có biểu thức lặp lặp lại ( x + − i ) ta lien tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ Đặt t = x + − i , phương trình trở thành t + 4t + = Giải phương trình cơng thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức máy tính Casio Fx-570ES ta được: t1 = −2 + 3i; t2 = −2 − 3i Thay trở lại biến x ta được: x1 + − i = −2 + 3i; x2 + − i = −2 − 3i Trang 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ( ) ( ) Tương đương với x1 = −4 + + i; x2 = −4 + − i ❖ Nhận xét: Dạng phương trình có biểu thức lặp lại ta thường dùng cách đặt ẩn phụ để dễ nhìn, dễ giải từ đến kết nhanh Ngồi ra, ta giải nhanh tốn mà khơng cần giải phương trình, quan sát bốn đáp án thấy giá trị x khác nhau, ta sử dụng máy tính Casio Fx-570ES Vinacal để tìm xem đáp án có nghiệm thỏa mãn đề theo bước: Chuyển máy sang chế độ CMPLX cách bấm Mode → Lần lượt gán đáp án vào máy, thử đáp án C A: • Nhập vào hình biểu thức −2 + 3i Bấm Shift + RCL+ (-) ứng với gán giá trị −2 + 3i cho biến A • Nhập vào biểu thức ( x + − i ) + ( x + − i ) + Bấm CALC, hình hiển thị X? Bấm ALPHA +A • Màn hình hiển thị kết 18 − 8i , tức −2 + 3i không trải nghiệm, loại đáp án C Với đáp án A ta bấm máy tương tự: • Nhập vào hình biểu thức −4 + + i Bấm SHIFT+ RCL+ (-) ứng với gán giá ( ( ) ) trị −4 + + i cho biến A • Nhập biểu thức ( x + − i ) + ( x + − i ) + Bấm phím CALC, hình hiển thị X? Bấm ALPHA + A • Màn hình hiển thị kết 0, tức −4 + + i nghiệm ( ) Câu 18: Đáp án C Ta bình phương đáp án ngược lên để tìm đáp án thỏa đề Ta nhận  1  1− 2 thấy:  − i = i  2  ❖ Nhận xét: Với dạng này, không cần phải khai triển hay biến đổi biểu thức, ta cần ngược đáp án để kết cách Câu 19: Đáp án D ✓ Cách 1: Quan sát thấy phương trình ( x + x + )( x + x + ) = −1 có biểu thức lặp lại x + x ta lien tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ Nếu đặt t = x + x , phương trình trở thành (t + 6)(t + 8) = −1 Giải phương trình cơng thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số thực máy tính Casio Fx-570ES ta nghiệm t = −7 Trang 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Thay trở lại biến x ta được: x + x + = Tương đương với : x1 = −2 + 3i; x1 = −2 − 3i ✓ Cách 2: Quan sát thấy phương trình ( x + x + )( x + x + ) = −1 có biểu thức lặp lại x + x ta liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ Nhưng lần ta đặt t = x + x + Xem thử lại đặt nhé, phương trình trở thành: (t −1)(t + 1) = −1  t −1 = −1  t = Thay trở lại biến x ta được: x + x + = Tương đương với: x1 = −2 + 3i x2 = −2 − 3i ❖ Nhận xét: Thơng thường ta dễ dàng chọn cách 1, dễ thấy, dễ làm, nhueng tinh tế hơn, cách cho ta cách biến đổi ấn tượng, giúp toán giải nhanh hơn, gọn đẹp mắt Về chất, hai cách đặt ẩn phụ quy phương trình để giải nghiệm.Ngồi ra, ta giải nhanh tốn mà khơng cần giải phương trình, quan sát bốn đáp án thấy giá trị x khác nhau, ta sử dụng máy tính CASIO fx570-ES Vinacal để tìm xem đáp án nghiệm thỏa mãn đề theo bước: + Nhập vào hình biểu thức −2 + 3i Bấm SHIFT + RLC + (-) ứng với gán giá trị −2 + 3i cho biến A + Nhập biểu thức ( x + x + )( x + x + ) = −1 Bấm CALC, hình hiển thị X? Bấm ALPHA + A + Màn hình hiển thị kết 0, tức −2 + 3i nghiệm Vậy đáp án đáp án A Câu 20: Đáp án A ✓ Cách 1: - Quan sát thấy phương trình ( x − x + 10 )( x − x + ) = có biểu thức lặp lại x − x ta liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ Nếu đặt t = x − x , phương trình trở thành: (t + 10)( t + 8) = - Giải phương trình máy tính Casio Fx-570ES ta nghiệm: Trang 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải t1 = −6 t2 = −12 - Thay trở lại biến x ta hai phương trình: x2 − x + = x − x + 12 = - Tương đương với x =  2i; x =  2i ✓ Cách 2: - Quan sát thấy phương trình ( x − x + 10 )( x − x + ) = có biểu thức lặp lại x − x ta liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ Nhưng lần ta đặt t = x − x + , xem thử lại đặt nhé, phương trình trở thành: (t −1)(t + 1) =  t −1 =  t = 3 - Thay trở lại biến x ta được: x2 − x + = x − x + 12 = - Tương đương với: x =  2i; x =  2i ❖ Nhận xét: Thông thường ta dễ dàng chọn cách 1, dễ thấy, dễ làm, tinh tế hơn, cách hai cho ta bước biến đổi ấn tượng, giúp toán giải nhanh hơn, gọn đẹp mắt Về chất, hai cách đặt ẩn phụ quy phương trình để giải nghiệm.Ngồi ra, ta giải nhanh tốn mà khơng cần giải phương trình, quan sát bốn đáp án thấy giá trị x khác nhau, ta sử dụng máy tính CASIO fx570-ES Vinacal để tìm xem đáp án nghiệm thỏa mãn đề theo bước: + Nhập vào hình biểu thức + 2i Bấm SHIFT + RLC + (-) ứng với gán giá trị + 2i cho biến A + Nhập biểu thức ( x − x + 10 )( x − x + ) = Bấm phím CALC, hình hiển thị X? Bấm ALPHA + A + Màn hình hiển thị kết 0, tức + 2i nghiệm Vậy đáp án đáp án A Câu 21: Đáp án C Trang 23 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải - Để tính x1 , x2 ta cần xác định x1 , x2 công thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức với a = 1, b = i − 3, c = − 3i Ta có:  = ( i − 3) − ( − 3i ) = 6i − = ( 3i + 1) 2 x1 = + i x2 = − 2i - Khi đó: K = x1 + x2 = 22 + 12 + 12 + 22 = ❖ Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh nhầm lẫn x1 + x2 x1 + x2 dẫn đến tính sai kết chưa phân biệt định lý Viet mô đun số phức Câu 22: Đáp án A ✓ Cách 1: - Để tính x1 + x2 ta cần xác định x1 , x2 cơng thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức với a = 1, b = −8 − i, c = 17 + 7i , ta có: x1 = − i x2 = 2i + -Khi đó: x1 + x2 = i + A = x1 + x2 = 82 + 12 = 65 ❖ Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh nhầm lẫn x1 + x2 x1 + x2 dẫn đến tính sai kết chưa phân biệt định lí Viet mơđun số phức ✓ Cách 2: - Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = i + - Khi đó: A = x1 + x2 = 82 + 12 = 65 - Trong bốn đáp án có đáp án A thõa mãn ❖ Nhận xét: Rõ ràng cách nhanh gọn, ta khơng phải tính nghiệm cụ thể, cần hiều chất định lý Viet mơđun số phức thực Câu 23: Đáp án B - Theo phản xạ tập trước, ta dùng Viet tính kết mà không cần thông qua bước tinh nghệm để tránh rườm rà, sai sót tính tốn - Theo định lý Viet: x1 + x2 = 2m − Trang 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ta có: x1 + x2 =  2m − =  m = Câu 24: Đáp án C - Theo phản xạ tập trước, ta dùng Viet tính kết mà không cần thông qua bước tinh nghệm để tránh rườm rà, sai sót tính tốn - Theo định lý Viet: x1 x2 = − 3mi Ta có: x1 x2 =  − 3mi =  m = −1 i Câu 25: Đáp án D - Ta có biến đổi sau: ( z − 1)( z − 1)( z + 1) =  ( z − 1) ( z + 1)( z + 1) =  z = 1  z = i  z −1 =   2  z + =  ( z − 1) ( z + 1) ( z + 1) ( z − z + 1) =    z = 1+ z +1 =    1−  z − z + = z =  2 Vậy phương trình cho có nghiệm thỏa mãn đề Câu 26: Đáp án C x = − i làm nghiệm phương trình x2 + ( a + 1) x + b − = khi: (1 − i ) + ( a + 1)(1 − i ) + b − =  ( −3 − a ) i + a + b − = −3 − a = a = −3   a + b − = b = - Nhận xét: Ta giải tốn máy tính CASIO fx570-ES Vinacal cách ngược đáp án, giá trị đáp án A,B,C,D - Chuyển máy sang chế độ CMPLX: Bấm MODE → - Nhập − i , bấm SHIFT + RLC + (-) để lưu giá trị − i vào biến nhớ A  a = −3 - Với  phương trình trở thành: x − x + = Nhập x − x + = Vào máy tính, b = bấm phím CALC, hình hiển thị X? Bấm Alpha + A + =, hình hiển thị 0,  a = −3 thỏa đề  b = Câu 27: Đáp án D Trang 25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải * Khơng cần phải khai triển hay biến đổi biểu thức, ta dùng máy tính CASIO fx570-ES Vinacal thực sau: - Chuyển máy sang chế độ CMPLX: Bấm MODE → - Đối với đáp án A: Nhập ( − i , hình hiển thị kết − 2i ( − 2i , hình hiển thị kết −1 − 3i ) Vậy đáp án A - Đối với đáp án B: Nhập ) Vậy đáp án B - Đối với đáp án C: Nhập (1 + 3i ) , hình hiển thị kết −8 + 6i Vậy đáp án C ( ) - Đối với đáp án D: Nhập + 2i , hình hiển thị kết −7 + 2i Vậy đáp án D sai Câu 28: Đáp án B A) Sai phương trình có hai nghiệm −1 + 2i −1 − 2i không số nguyên ( B) Đúng − 5i ) = ( −1 + 5i ) 2 = −4 − 5i C) Sai theo định lý Viet ta có tích hai nghiệm 3i − D) Sai số phức có hai bậc hai Câu 29: Đáp án A A) Sai phương trình có hai nghiệm −3 + 39i −3 − 39i không số thực 2 B) Đúng theo định lý Viet ta có tích hai nghiệm 12 C) Đúng −3 + 39i −3 − 39i hai số phức liên hợp 2 D) Đúng theo định lý Viet ta có tổng hai nghiệm -3 Câu 30: Đáp án B z =  z = −2 z = 4 2 - Ta có biến đổi sau: z − 16 =  ( z − )( z + ) =     z = 2i z = −    z = −2i Vậy tổng số nghiệm phương trình cho Câu 31: Đáp án C Trang 26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải - Ta có biến đổi sau: z − z + z − z + =  ( z − z + z ) + ( z − z + 1) = z =  z −1 =  z ( z − z + 1) + ( z − z + 1) =  ( z − 1) ( z + 1) =     z = i z +1 =  z = −i 2 2 Khi tổng nghiệm phương trình Câu 32: Đáp án D - Quan sát thấy phương trình (z + z + 3) − ( z + z + 3) + = có biểu thức lặp lại z + z + ta liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ Đặt t = z + z + , phương trình trở t = thành: t − 3t + =   t = - Thế trở lại biến z ta có:  + 3i z =   − 3i 2 z = z + z + = z + z +1 =     −1 + 7i z + z + = z + z + = z =   −1 − 7i z =  - Khi tổng nghiệm phương trình Câu 33: Đáp án B - Quan sát thấy phương trình ( z + 3) − ( z + 3) + = có biểu thức lặp lại z + ta liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ Đặt t = z + , phương trình trở thành: t = t − 4t +   t = - Thế trở lại biến z ta có: z = z2 + = z =     z = 2i  z + = z + =  z = − 2i  - Khi giá trị tuyệt đối nghiệm phức là:  2i + 2i = 2i Câu 34: Đáp án C Trang 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải - Quan sát thấy phương trình (z + z + ) + ( z + z + ) − = có biểu thức lặp lại z + z + ta liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ Đặt t = z + z + , phương trình trở t = thành t + t − =   t = −3 - Thế trở lại biến z ta có:  z = −2 +   z2 + 4z + =  z2 + 4z + =  z = −2 −     z + z + = −3  z + 4z + =  z = −2 +   z = −2 − 2 3i 3i ( ) ( Khí tơng bình phương nghiệm phức bằng: −2 + 3i + −2 − 3i ) =2 ❖ Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh đọc không kĩ đề hiểu nhầm khái niệm bình phương tổng tổng bình phương dẫn đến sai lầm Nếu bình phương ( tổng thì: −2 + 3i − − 3i ) = 16 Dẫn đến khoanh đáp án B, đáp án sai Câu 35: Đáp án D - Ta giải phương trình z − 3z − = so kết tìm để tìm đáp án sai z =  z = −2 z = Ta có:    z = i z = −    z = −i A) Đúng hai nghiệm thực -2 2, hai nghiệm phức i –i B) Đúng tổng hai nghiệm phức i − i = C) Đúng tổng hai nghiệm thực − = D) Sai kết luận A,B,C ❖ Nhận xét: Dạng hỏi lý thuyết ta phải giải cụ thể nghiệm để kết luận hay sai không làm lý thuyết đơn Câu 36: Đáp án B - Ta giải phương trình z − z + z − z + = để tìm nghiệm sau: Ta có: z − z3 + 5z − 8z + =  ( z + ) + ( z − z + z − 8z ) = Trang 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  ( z + ) +  z ( z + ) − z ( z + ) =  ( z + ) + ( z + )( z − z ) = z =  ( z + )( z − z + 1) =  ( z + ) ( z − 1) =   z = 2i  z = −2i 2 ❖ Nhận xét: Để đưa tích ( z + 4) ( z − 1) = ta sử dụng máy tính CASIO fx570-ES Vinacal sau: - Reset máy ban đầu thao tác bấm SHIFT+9+3+=+= - Nhập phương trình x − x3 + x − x + , bấm SHIFT + RLC + Máy hiển thị kết - Solve khoảng cách ta khơng tìm thêm nghiệm - Vậy ta có nhân tử ( z − 1) Ta kiểm tra xem có phải nghiệm bội khơng cách bấm SHIFT +  nhập x − x3 + x − x + giá trị x = Màn hình hiển thị kết tức phương trình có nghiệm kép, nhân tử ( z − 1) - Ta tìm cách ghép nhân tử ( z − 1) , nhân tử lại tự xuất để đưa tích Câu 37: Đáp án D - Để tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 , ta tính z1 , z2 cách giải phương trình 2 z + z + = sau:  z + = 5i  z = −1 + 5i    z + = − 5i  z = −1 − 5i P = z1 + z2 = 12 + 2 ( 5) ( + ( −1) + − ) = 12 Câu 38: Đáp án C - Để tính giá trị biểu thức bốn đáp án, ta tính z1 , z2 cách giải phương trình z + z + 12 = sau: z + z + 12 =  z + z + = −16  ( z + ) = −16  z + = 4i  z = −2 + 4i 2  ( z + ) = ( 4i )     z + = −4i  z = −2 − 4i - Khi đó: A) z1 + z2 = −4 = , loại đáp án A Trang 29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải B) z1 − z2 = ( −2) + 42 − ( −2) + ( −4) 2 = , loại đáp án B C) z1 − z2 = ( −2 ) + 42 − ( −2 ) − ( −4 ) = , chọn đáp án C 2 D) z1 + z2 = ( −2) 2 + 42 + ( −2) + ( −4) 2 = , loại đáp án D Câu 39: Đáp án A - Ta quan sát rõ ràng thì: z 0 z 0  z + z +  Vậy phương trình z + z + = vô nghiệm Câu 40: Đáp án D - Ta giải phương trình ( z − 3) + z − = sau: ( z − 3)2 = ( a + bi − 3)2  - Đặt z = a + bi ,   ( z − 3) + z −  2   z − = ( a − 3) + b a + bi − = a =  - Dấu “=” xảy xa khi: a =  b = b =  Vậy phương trình có nghiệm z=3 Câu 41: Đáp án B Vì phương trình z + z − az + b = nhận z = − i làm nghiệm nên: Với z = − i ta có: (1 − i ) + (1 − i ) − a + + b =  −2 − 6i − a + + b = −6 + a = a = - Đồng hệ số hai vế ta được:    −2 − a + b = b = Câu 42: Đáp án A - Ta có đẳng thức x ( + i ) + y (1 − i ) = 12 + 3i tương đương với: 3x + 3i + −2iy = 12 + 3i 3x = 12 x =  - Đồng hệ số hai vế ta được:  −2 y =  y = Câu 43: Đáp án C ✓ Cách 1: - Để tính Môđun số phức ( z1 − 1)( z2 − 1) ta giải cụ thể nghiệm z1 , z2 phương trình z − iz + = sau: Trang 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  z1 = 2i z − iz + =    z2 = −i - Khi đó: ( z1 − 1)( z2 − 1) = ( 2i − 1)( −i − 1) = − i  ( z1 − 1)( z2 − 1) = 32 + ( −1) = 10 ✓ Cách 2: - Ta áp dụng định lý Viet để tính ( z1 − 1)( z2 − 1) mà khơng cần tính cụ thể z1 , z2 sau: Ta có: ( z1 −1)( z2 −1) = z1 z2 − ( z1 + z2 ) + z + z = i - Theo định lý Viet ta có:   z1 z2 = - Thay vào biểu thức ta có: ( z1 −1)( z2 −1) = z1z2 − ( z1 + z2 ) + = − i ( z1 −1)( z2 −1) = 32 + ( −1) = 10 Câu 44: Đáp án D - Điều kiện xác định phương trình z − − 2i = z − 3i z  i z −i - Với dạng tốn này, ta đặt z = a + bi đồng hệ số hai vế để tìm a , b nhiên, ta giải tốn nhanh biến đổi thơng thường sau: z − − 2i = z − 3i  z − − 2i = ( z − 3i )( z − i ) z −i z =  z − − 2i = z − 4iz −  z − 2iz − z =    z = 2i + So với điều kiện xác định, ta nhận hai nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm z = 0, z = 2i + Câu 45: Đáp án B - Để tính môđun số phức w = z − 2z +1 , ta cần tính z Ta tính z sau: z2 - Từ giả thiết ta có: (1 + i )( z − i ) + 2z = 2i  z + iz − i + + 2z = 2i  3z + iz = 3i −  z =  z = −i 3i − =i 3+i  z = −1 - Khi đó:  w = 32 + ( −1) = 10 Câu 46: Đáp án A Trang 31 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải - Đặt z = a + bi  z = a − bi , ta có: z + (1 − i ) z = − 2i  a + bi + (1 − i )( a − bi ) = − 2i  a + bi + a − − bi + b = − 2i  2a + b − = − 2i - Đồng hệ số hai vế ta được:  2a + b = a =    z = + 5i −a = −2 b = - Phần ảo số phức z Câu 47: Đáp án C - Trước hết ta xác định cụ thể số thực x, y thỏa phương trình: x + + (1 − y ) i = − 2i + yi sau: - Ta có: x + + i − iy = − 2i + yi  x − + 3i − yi = x −1 = x =   3 − y = y =1 - Khi đó: P = x − xy − y = 12 − − 12 = −2 Câu 48: Đáp án B - Từ giả thiết ta có: z= ( +i ) (1 − 3i ) = ( + 3i )(1 − 3i ) = + 2 3i − 3i + = Vậy phần ảo số phức z Câu 49: Đáp án D - Phương trình z + ( i − 1) z = − 3i giải có hai đại lượng z z , ta đặt z = a + bi để có mối liên hệ z z Khi z = a − bi - Phương trình cho tương đương: a + bi + ( i − 1)( a − bi ) = − 3i  a + bi + − a + b + bi = − 3i  b + ( 2b + a ) i = − 3i 2b + a = −3 a = −7 - Đồng hệ số hai vế ta được:   b = b = Câu 50: Đáp án A - Để tính Mơđun z ta cần xác định z Trang 32 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải - Phương trình z + (1 − i ) z = − 9i giải có hai đại lượng z z , ta đặt z = a + bi để có mối liên hệ z z - Khi z = a − bi Phương trình cho tương đương: ( a + bi ) + (1 − i )( a − bi ) = − 9i  2a + 2bi + 3a − 3ai − 3bi − 3b = − 9i  ( 5a − 3b ) + ( −3a − b ) i = − 9i 5a − 3b = a = - Đồng hệ số hai vế ta được:   −3a − b = −9 b =  z = + 3i  z = 22 + 32 = 13 Trang 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ... x 12 + x2 − x1 x2 là: A 35 B 32 C 41 D 27 C ? ?2 + 2i, − 2i D −1 + 5i,1 − 5i Câu 12: Căn bậc hai số phức ? ?4 − 5i là: A ? ?2 + 5i, − 5i B ? ?2 + 3i,3 − 2i Câu 13: Số phức nhận A i − 2 − i làm bậc hai: ... lời giải B) z1 − z2 = ( ? ?2) + 42 − ( ? ?2) + ( ? ?4) 2 = , loại đáp án B C) z1 − z2 = ( ? ?2 ) + 42 − ( ? ?2 ) − ( ? ?4 ) = , chọn đáp án C 2 D) z1 + z2 = ( ? ?2) 2 + 42 + ( ? ?2) + ( ? ?4) 2 = , loại đáp án... 1-D 2- B 3-A 4- B 5-D 6-A 7-C 8-A 9-C 10-D 11-A 12- D 13-C 14- B 15-A 16-D 17-B 18-C 19-D 20 -A 21 -C 22 -A 23 -B 24 -C 25 -D 26 -C 27 -D 28 -B 29 -A 30-B 31-C 32- D 33-B 34- C 35-A 36-B 37-D 38-C 39-A 40 -D 41 -B