03 phương trình bậc hai đặng việt hùng image marked

Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT Hệ PT) 03 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ [ĐVH] Giải phương trình: a)  x     x  3  2 b)   x   x  25   c)  x  3 x  1   x Lời giải: a) Phương trình tương đương: 4 x   x    x     x  3   x     x  3     x   x      2 x   x  Vậy tập hợp nghiệm S  1; 2  x 3 x    x    5   25   Vậy S   ;  b)   x   x  25     x   3 x   9 x  25    c)  x  3 x  1   x   x  3 x  1    x   x    x  3 x    x    x  2 x    2   x  3 x       Vậy S   ;   3 6 x   x   Ví dụ [ĐVH] Tìm nghiệm gần phương trình (chính xác đến hàng phần trăm) a) x  5, 60 x  6, 41  b) x  3x  2  Lời giải: Sử dụng máy tính, ta tính nghiệm gần a) x  4, 00; x  1, 60 b) x  0,38; x  5, 28 Ví dụ [ĐVH] Giải biện luận phương trình: a) x  x  m   b)  m  1 x  x   Lời giải: a) x  x  m   có Δ    m  3   m Biện luận: Nếu Δ'   m  phương trình vơ nghiệm Nếu Δ'   m  phương trình có nghiệm kép x1  x2  Nếu Δ'   m  phương trình có hai nghiệm phân biệt x    m b) – Khi m  phương trình: x    x  – Khi m  phương trình bậc có Δ    m  1  4m  Nếu m   Δ  : phương trình vơ nghiệm Nếu m   3  Δ  : phương trình có nghiệm kép: x1  x2   m  1 Nếu m   3  4m  Δ  : phương trình có hai nghiệm phân biệt: x   m  1 Ví dụ [ĐVH] Giải biện luận phương trình: a)  k  1 x  1  x  1  b)  mx   2mx  x  1  Lời giải: a) Xét x  phương trình nghiệm Xét x  phương trình tương dương  k  1 x  Nếu k  1 phương trình x  vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm phương trình x 1 1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  1; x  Nếu k  phương trình x  k 1 k 1 b) Phương trình: m  2m  1 x   3m   x   - Với m  phương trình có nghiệm x  1 - Với m  , phương trình có nghiệm x  - Với m  m  phương trình bậc hai có: Δ   3m    8m  2m  1  25m  20m    5m    2 phương trình có nghiệm x  2 1 Xét m  phương trình cóhai nghiệm phân biệt x  x  2m  Xét m  Ví dụ [ĐVH] Giải biện luận phương trình: a) mx   m  3 x  m   b)  a  b  x   a  b  4ab  x  2ab  a  b   a) mx   m  3 x  m   Lời giải: - Xét m  phương trình trở thành phương trình bậc nhất: 6 x    x  - Xét m  ta có Δ'   m  3  m  m  1  5m  m   5m  9 phương trình có nghiệm phân biệt x1,2  m m3  Nếu m   phương trình có nghiệm kép x1  x2  m Nếu m   phương trình vơ nghiệm Nếu m   b)  a  b  x   a  b  4ab  x  2ab  a  b   - Xét a  b phương trình 2abx  Nếu a  b  nghiệm x Nếu a  b  phương trình có nghiệm x  - Xét a  phương trình bậc có biệt thức 2 Δ   a  b  4ab   8ab  a  b    a  b   2ab   8ab  a  b    2 2   a  b   4ab  a  b   4a 2b   a  b   2ab     nên phương trình có nghiệm phân biệt x1  a  b; x2   2ab a b Ví dụ [ĐVH] Giải biện luận phương trình sau: a) mx   3m   x  8m  34  b) x  x  m  Lời giải: 17 a) Xét m  Phương trình x  34   x   Xét m  : Δ   3m    4m  8m  34   9m  24m  16  32m  136m  23m  112m  16 - Nếu Δ   23m  112m  16   m  56  3504 3m  phương trình có nghiệm kép x   23 2m 112m 16 56  3504 56 3504  - Nếu Δ   23m  112m  16   m    m    m  23 23 23  529 23 23  2 56  3504 56  3504 m  Phương trình vơ nghiệm 23 23 m   - Nếu Δ   23m  112m  16    56  3504 56  3504  m   23 23  m   3m    23m  112m  16 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1,2  2m b) x  x  m  (1) Đặt t  x , t  (1): t  t  m  (2) Δ   4m (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm 1 1 Nếu Δ   m  (2) có nghiệm kép t   nên (1) có nghiệm x   x   2 Nếu Δ    4m   m    4m   4m , t2  0 (2) có nghiệm t1  2 Với m  t1  0, t2  nên (1) có nghiệm x  0, x  1 Nếu Δ    4m   m     4m  Với m  t1  nên (1) có nghiệm x          4m     4m  Với  m  t1  nên (1) có nghiệm : x     ; x     2     Ví dụ [ĐVH] Biện luận số giao điểm hai parabol: y   x  x  y  x  m theo m Lời giải: Số giao điểm hai parabol số nghiệm hai phương trình hồnh độ giao điểm  x2  2x   x2  m  2x2  2x  m   Δ  2m  Do đó: Nếu m  3,5 phương trình vơ nghiệm, suy hai parabol khơng có điểm chung Nếu m  3,5 phương trình có nghiệm (kép), suy hai parabol có điểm chung Nếu m  3,5 phương trình có hai nghiệm phân biệt, suy hai parabol có hai điểm chung Ví dụ [ĐVH] Chứng minh phương trình a)  x  a  x  b    x  b  x  c    x  c  x  a   ln có nghiệm với a, b, c b) a x   a  b  c  x  b  vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Lời giải: a)  x  a  x  b    x  b  x  c    x  c  x  a    x   a  b  c  x   ab  bc  ca   Δ'   a  b  c    ab  bc  ca   a  b  c  ab  bc  ca   2a  2b  2c  2ab  2ac  2ca  1 2  a  b    b  c    c  a    0,  a, b c Vậy phương trình ln có nghiệm  b) Ta có:  Δ   a  b  c   4a 2b   a  b  c    2ab    a  2ab  b  c  a  2ab  b  c  2 2   a  b   c   a  b   c    a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c     Vì a, b, c cạnh tam giác nên: a  b  c  0, b  b  c  0, a  b  c  0, a  b  c  Do Δ  Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ [ĐVH] Tìm m để phương trình a)  m   x   3m   x  m   có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b) x   m  3 x  m   có nghiệm tìm nghiệm Lời giải: a) Điều kiện m    m  2 Phương trình  m   x   3m   x  m   có nghiệm kép Δ'  m    3m     m   m     8m  16m    m    3m   Ta có x1  x2  Khi m  x1  x2  1; m  x1  x2  1 m2 b) Thế x  vào phương trình :   m  3  m    3m  9  m  3 Với m  3 phương trình x    x  2 Vậy nghiệm x  2 Ví dụ 10 [ĐVH] Cho hai phương trình bậc hai: x  p1 x  q1  0; x  p2 x  q2  có hệ số thỏa mãn điều kiện p1 p2   q1  q2  Chứng minh hai phương trình có phương trình có nghiệm Lời giải: Ta dùng phương pháp phản chứng Δ1  p12  4q1  Giả sử hai phương trình vơ nghiệm Suy :   p12  p22   q1  q2  Δ  p2  4q2    q1  q2   p12  p22  p1 p2  2.2  q1  q2    q1  q2    q1  q2    q1  q2  : Điều vơ lí Vậy hai phương trình phải có nghiệm Ví dụ 11 [ĐVH] Cho hai phương trình x  x  m   x   m  1 x   Tìm m để hai phương trình : a) có nghiệm chung b) tương đương Lời giải:  x0  x0  m   a) Giả sử phương trình có nghiệm chung x0 ta có hệ PT :   x0   m  1 x0   (1) (2) m  Trừ phương trình (2) với (1) vế với vế ta có: mx0  m   m  x0  1     x0  Khi m  hai phương trình vơ nghiệm (loại) Khi x0  m  3 Lúc phương trình (1) trở thành x  x   có nghiệm : x1  1; x2  2 phương trình (2) trở thành x  x   có nghiệm kép x1  x2  Vậy m  3 hai phương trình có nghiệm chung b) Theo kết hai phương trình tương đương chúng vơ nghiệm : 1  4m   4m  3 Δ1  4m  3     2 m   2 hay m   Δ   m  1    m  1   m       m 1 4 m  3 hay m  Ví dụ 12 [ĐVH] Cho biết nghiệm phương trình, tìm nghiệm cịn lại? a) (m  1) x  2(m  1) x  m   0; x  b) x  2(m  1) x  m  3m  0; x  Lời giải: a) Ta có (m  1) x  2(m  1) x  m   (1) Vì x  nghiệm phương trình (1) nên 4(m  1)  4(m  1)  m    m    m  6 x  Thay m  6 vào (1) ta có: 5 x  14 x    ( x  2)(5 x  4)    x   Vậy nghiệm cịn lại phương trình x  2 b) x  2(m  1) x  m  3m  (2) Vì x  nghiệm phương trình (2) nên m  3m    m   m  TH1: Nếu m  , thay vào (2) ta có: x  x    x   x  2 TH2: Nếu m  , thay vào (2) ta có: x  x    x   x  Vậy nghiệm cịn lại phương trình x  x  2 Ví dụ 13 [ĐVH] Cho phương trình (m  1) x  2(m  1) x  m   0, * Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt b) (*) có nghiệm Tính nghiệm c) Tổng bình phương nghiệm Lời giải: a) Để phương trình (*) có nghiệm phân biệt Δ '  Ta có Δ '  (m  1)  (m  1)(m  2)  m  2m   m  m    m Δ'   3 m    m Vậy với m  (*) có nghiệm phân biệt b) Vì (*) có nghiệm nên 4(m  1)  4(m  1)  m    m    m  6 x  Thay m  vào (*) ta có: 5 x  14 x    ( x  2)(5 x  4)    x   Vậy nghiệm cịn lại phương trình x  c) Giả sử phương trình (*) có nghiệm x1 ; x2  x12  x2  (theo giả thiết) (1) 2(m  1)   x1  x2  m  Theo định lý Vi-et ta có:   x12  x22  ( x1  x2 )  x1.x2 m2  x1.x2  m 1  4(m  1) m  4m  8m   2.(m  m  2) 2m  6m     (m  1) m 1 (m  1) (m  1)  2(m  2m  1)  2m  6m   10m    m  Vậy với m  tổng bình phương nghiệm phương trình cho   x12  x22  Ví dụ 14 [ĐVH] Tìm m để phương trình x  x  m  (*) có hai nghiệm phân biệt? Lời giải: +) Nếu phương trình có nghiệm x   m  x  Thay m  vào phương trình (*) ta có, x  | x | | x | (| x | 1)    x   x  1 Do đó, với m  (*) có nghiệm phân biệt +) Phương trình có nghiệm khác Khi đó, ta viết (*)  t  t  m  (1) với t  (*) có nghiệm phân biệt  (1) có nghiệm kép Xét phương trình (1), ta có Δ   4m (1) có nghiệm kép  Δ    4m   m  1 1 Khi m  phương trình (1) trở thành t  t    (t  )   t  4 2 1  (*) có nghiệm phân biệt x  ; x   2 Vậy với m  phương trình cho có nghiệm phân biệt Ví dụ 15 [ĐVH] Cho phương trình mx  2(m  4m) x  m (m  4)  Xác định m để: a) Phương trình có nghiệm kép Tính giá trị nghiệm kép b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu có trị tuyệt đối Lời giải: 2 Ta có mx  2(m  4m) x  m (m  4)  Xét Δ '  (m  4m)  m (m  4).m  m  8m3  16m  m  4m3  4m3  16m  4m (m  4) Để phương trình có nghiệm Δ '   m  4 a) Để phương trình có nghiệm kép Δ '   4m (m  4)   m  4 Với m  4 thay vào phương trình cho, ta có 4 x   x  b) Giả sử phương trình có nghiệm x1 ; x2 ( x1  x2 )  m  4  2(m  4m) x  x   m Theo định lý Viet, ta có :  m ( m  4)  x1.x2   m(m  4) m  Phương trình có nghiệm trái dấu có trị tuyệt đối nên  xx x x 0 1  x2   x1   2(m  4m)  m  4 ( loại ) 0  m Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn điều kiện toán 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0, a  Đặt   b  4ac Khẳng định sau 2   b    b    A a  x      B a  x      2a  4a  2a  4a    2   b    b    C a  x      D a  x      2a  4a  2a  4a    Câu [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0, a  Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Khẳng định sau A ax  bx  c  a  x  x1  x  x2   B ax  bx  c  a  x  x1  x  x2   C ax  bx  c  a  x  x1  x  x2   D ax  bx  c  a  x  x1  x  x2   Câu [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0, a  Hệ thức sau cho biết phương trình có nghiệm kép A a  ax  b   B a  ax  b   2 2 b   C a  ax    2a   b   D a  x    2a   Câu [ĐVH]: Cho hàm số f ( x)    A f ( x)  ( x  1)   C f ( x)  ( x  1)      x2       x    Khẳng định sau    x   3   x   3  B f ( x)  ( x  1)   D f ( x)  ( x  1)      x   3   x   3  Câu [ĐVH]: Cho phương trình x  x   Khi tổng bình phương hai nghiệm phương tình A 17 B 20 C 12 D 24 Câu [ĐVH]: Cho phương trình x  x   Khi tổng lập phương hai nghiệm phương trình A 40 B 40 C 72 D 56 Câu [ĐVH]: Cho phương trình x  A    x  Khi số nghiệm phương trình B C   Câu [ĐVH]: Cho phương trình  x  phương trình A B  D   x   Khi số nghiệm C D Câu [ĐVH]: Cho phương trình x   m  1 x  m   Khi phương trình có hai nghiệm A m  B m  C m  m  D  m  Câu 10 [ĐVH]: Cho phương trình x   m  1 x  m   Khi phương trình có ba nghiệm khi: A m  B m  C m  D m  Câu 11 [ĐVH]: Cho phương trình x   m  1 x  m   Khi phương trình có bốn nghiệm khi: A m  B m  C m  m  D m    Khi tập nghiệm phương trình x  x 1 x 1     1  B S   ;6  C S   ;3 D S   ; 6      2  Câu 12 [ĐVH]: Cho phương trình 1  A S   ;3 4  Câu 13 [ĐVH]: Nghiệm phương trình  m  3 x   m  1 x  2m   Với m  3 tập nghiệm phương trình  2m   A S  1;   m3   2m   B S  1;  m3   C S  1; 2 D S  1; 2 Câu 14 [ĐVH]: Cho phương trình x   m   x  m   Với giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp hai lần nghiệm  m  A m  B m   C  m  m  D  m    Câu 15 [ĐVH]: Cho phương trình x   m  1 x  2m   Với giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt tổng hai nghiệm tổng bình phương hai nghiệm  m  m   A m   B m  C  D   m  m   Câu 16 [ĐVH]: Phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm phân biệt dấu khi:   A  P    B  P    C  S    D  S  Câu 17 [ĐVH]: Phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm âm phân biệt khi:   A  P     B  P  S      C  P  S     D  S  Câu 18 [ĐVH]: Phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm dương phân biệt khi:   A  P     B  P  S      C  P  S     D  S  Câu 19 [ĐVH]: Phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm trái dấu khi:   A  S    B  S  C P  Câu 20 [ĐVH]: Phương trình x  mx   có hai nghiệm âm phân biệt khi: A m  2 B m  C m  2 D P  D m  Câu 21 [ĐVH]: Có giá trị nguyên tham số m thuộc  5;5 để phương trình x  4mx  m  coa hai nghiệm âm phân biệt ? A B C 10 D 11 Câu 22 [ĐVH]: Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình mx  x  m  có hai nghiệm âm phân biệt :    1  1 A m    ;0  B m    ;  C m   0;  D m   0;     2  2 Câu 23 [ĐVH]: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  2;6 để phương trình x  4mx  m  có hai nghiệm dương phân biệt Tổng phần tử S : A -3 B C 18 D 21 Câu 24 [ĐVH]: Giá trị tham số m để phương trình x   m  1 x  m   có hai nghiệm dương phân biệt : A m   1;1 B m  1;     C m    ;     D m   ; 1 Câu 25 [ĐVH]: Phương trình  m  1 x  x   có hai nghiệm trái dấu : A m  B m  C m  D m  Câu 26 [ĐVH]: Giả sử phương trình x   2m  1 x  m   ( m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 Tính giá trị biểu thức P  x1 x2   x1  x2  theo m A P  3m  10m  C P  3m  10m  B P  3m  10m  D P  3m  10m  Câu 27 [ĐVH]: Giả sử phương trình x  x  m  ( m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 Tính giá trị biểu thức P  x12 1  x2   x22 1  x1  theo m A P  m  B P  5m  C P  m  D P  5m  Câu 28 [ĐVH]: Giả sử phương trình x  4ax   có hai nghiệm x1 , x2 Tính giá trị biểu thức T  x1  x2 A T  4a  B T  4a  C T  a2  D T  a2  Câu 29 [ĐVH]: Cho phương trình x  px  q  p  0, q  Nếu hiệu nghiệm phương trình Khi p : A 4q  B 4q  C  4q  D q  Câu 30 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x   2m  1 x  m   ( m tham số) Tìm giá trị nguyên m cho biểu thức P  A m  2 B m  1 x1 x2 có giá trị nguyên x1  x2 C m  D m  Câu 31 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x   m  1 x  m   ( m tham số) Tìm m để biểu thức P  x1 x2   x1  x2   đạt giá trị nhỏ A m  B m  C m  D m  12 Câu 32 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  2mx  m   ( m tham số) Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P  x1 x2  x1  x2  A Pmax  C Pmax  B Pmax  25 D Pmax  Câu 33 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x   m  1 x  2m  3m   ( m tham số) Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P  x1  x2  x1 x2 A Pmax  C Pmax  B Pmax  D Pmax  16 Câu 34 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  mx  m   ( m tham số) Tìm m để biểu thức P  A m  2 x1 x2  đạt giá trị lớn x  x22   x1 x2  1 B m  C m  D m  Câu 35 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  mx  m   ( m tham số) Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P  A Pmin  2 x1 x2  x  x22   x1 x2  1 1 B Pmin   C Pmin  D Pmin  Câu 36 [ĐVH]: Nếu m  n  nghiệm phương trình x  mx  n  tổng m  n : 1 A  B 1 C D 2 Câu 37 [ĐVH]: Giả sử nghiệm phương trình x  px  q  lập phương nghiệm phương trình x  mx  n  Mệnh đề sau ? A p  q  m B p  m  3mn C p  m  3mn p m D    q n Câu 38 [ĐVH]: Cho hai phương trình x  2mx   x  x  m  Có hai giá trị m để phương trình nỳ có nghiệm nghịch đảo nghiệm phương trình Tính tổng S hai giá trị m 1 A S   B S  C S   D S  4 Câu 39 [ĐVH]: Cho hai phương trình x  mx   x  x  m  Có giá trị m để nghiệm phương trình nghiệm phương trình có tổng ? A B C D Câu 40 [ĐVH]: Cho a, b, c, d số thực khác Biết c d hai nghiệm phương trình x  ax  b  a, b hai nghiệm phương trình x  cx  d  Tính giá trị biểu thức S  a  b  c  d 1  A S  2 B S  C S  D S  2 Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT Hệ PT) 03 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0, a  Đặt   b  4ac Khẳng định sau 2   b    b    A a  x      B a  x      2a  4a  2a  4a    2   b    b    C a  x      D a  x      2a  4a  2a  4a    b c b b2 b2 c 2 HD: Phương trình ax  bx  c   x  x    x  2.x    a a 2a 4a 4a a 2 2  b  b c b  4ac  b   b      x       x     a x         2 2a  4a a 4a 4a 2a  4a 2a  4a     Chọn C Câu [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0, a  Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Khẳng định sau A ax  bx  c  a  x  x1  x  x2   B ax  bx  c  a  x  x1  x  x2   C ax  bx  c  a  x  x1  x  x2   D ax  bx  c  a  x  x1  x  x2   HD: Vì x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c   Q  x  x1  x  x2   Khi ax  bx  c  Q  x  x1  x  x2   ax  bx  c  Q.x   x1  x2  x  x1 x2  Q  a Chọn B Câu [ĐVH]: Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0, a  Hệ thức sau cho biết phương trình có nghiệm kép 2 A a  ax  b   B a  ax  b   2 b   C a  ax    2a   b   D a  x    2a    b    HD: Ta có ax  bx  c   a  x      mà phương trình có nghiệm kép nên   2a  4a   2 b   Do ax  bx  c   a  x    Chọn D 2a   Câu [ĐVH]: Cho hàm số f ( x)       x2     x    Khẳng định sau B f ( x)  ( x  1)   1 x   3    D f ( x)  ( x  1)   1 x   3    HD: Ta thấy   1    1    nên phương trình cho có nghiệm x  Khi   1 x    1 x      x  1   1 x   3  Chọn A   A f ( x)  ( x  1)   C f ( x)  ( x  1)    x   3   x   3  Câu [ĐVH]: Cho phương trình x  x   Khi tổng bình phương hai nghiệm phương tình A 17 B 20 C 12 D 24 x    HD: Phương trình x  x     x   x        x   2   42  20 Chọn B x  Câu [ĐVH]: Cho phương trình x  x   Khi tổng lập phương hai nghiệm phương trình A 40 B 40 C 72 D 56 2 HD: Phương trình x  x     , có    3   5   29     có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x  x  Theo hệ thức Viet, ta có   x13  x23   x1  x2   x1  x2   x1 x2   32   5    72    x1 x2  5 Chọn C Câu [ĐVH]: Cho phương trình x  A HD: x  B    x2   x2     x  Khi số nghiệm phương trình C D x  x  Chọn B x2        x    x      Câu [ĐVH]: Cho phương trình  x     x   Khi số nghiệm phương trình A B C HD: Đặt t  x , phương trình cho trở thành  t     D  t      Có     2          có hai nghiệm phân biệt t1 , t2     t1  t2       t1 , t2 trái dấu nên   có Theo hệ thức Viet, ta có  t1t2     nghiệm dương Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Chọn B  Câu [ĐVH]: Cho phương trình x   m  1 x  m   Khi phương trình có hai nghiệm A m  B m  C m  HD: Phương trình x   m  1 x  m    x  x   mx  m  m  D  m   x2    x  1 x    m  x  1   x  1 x  m       x  m    Yêu cầu toán trở thành   có nghiệm vơ nghiệm 2 2  x2  m   m  Khi   Chọn D m  x  m     Câu 10 [ĐVH]: Cho phương trình x   m  1 x  m   Khi phương trình có ba nghiệm khi: A m  B m  C m  4 HD: Phương trình x   m  1 x  m    x  x   mx  m  D m   x2    x  1 x    m  x  1   x  1 x  m       x  m    u cầu tốn trở thành   có nghiệm khác  m    m  Chọn A 2 2 Câu 11 [ĐVH]: Cho phương trình x   m  1 x  m   Khi phương trình có bốn nghiệm khi: A m  B m  C m  m  D m  2 2 HD: Đặt t  x  , phương trình x   m  1 x  m    t   m  1 t  m    x2  t   t  t   mt  m    t  1 t    m  t  1    t  m   x  m    m   m  Phương trình cho có bốn nghiệm   có hai nghiệm khác   Chọn C  m   m  3   Khi tập nghiệm phương trình x  x 1 x 1 1      1  A S   ;3 B S   ;6  C S   ;3 D S   ; 6  4      2   x  1   x   x  5 HD: Điều kiện:  Phương trình     x  x 1 x 1 x 1  x  1 x    x  1 Câu 12 [ĐVH]: Cho phương trình  x7    x   x  1   x  1 x     x  x    x  x   x  1 x   x  x     x  11x     x  1 x  3     S   ;3 Chọn C x      Câu 13 [ĐVH]: Nghiệm phương trình  m  3 x   m  1 x  2m   Với m  3 tập nghiệm phương trình  2m   A S  1;   m3   2m   B S  1; C S  1; 2 D S  1; 2  m3   c 2m  HD: Ta dễ thấy a  b  c   x  1; x   nghiệm phương trình Chọn A a m3 Câu 14 [ĐVH]: Cho phương trình x   m   x  m   Với giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp hai lần nghiệm  m A m  B m   C   m  m  D  m    2 2 HD: Xét phương trình x   m   x  m    x  mx  x  m    x  x   m  x  1 x    x  1  m  x  1   x  1 x  m  1    x  m   1  m   x1  x2 m    Yêu cầu toán trở thành   x1  x2     m    Chọn D  m     x  x    m  1  2   Câu 15 [ĐVH]: Cho phương trình x   m  1 x  2m   Với giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt tổng hai nghiệm tổng bình phương hai nghiệm  m  m  A m   B m  C D   m  m   2 HD: Xét phương trình x   m  1 x  2m    x  2mx  x  2m   x    x  1  2m  x  1   x  1 x  2m  1     x2  2m  1  2m   x1  x2 Yêu cầu toán trở thành  Chọn A    m  2 2  x1  x2  x1  x2 1  2m     2m  1 Câu 16 [ĐVH]: Phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm phân biệt dấu khi:   A  P    B  C P  HD: Phương trình có hai nghiệm phân biệt   Khi đó, gọi hai nghiệm phương trình x1 x2    S    D  S  Do x1 x2 dấu nên x1 x2  hay P  Chọn A Câu 17 [ĐVH]: Phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm âm phân biệt khi:   A  P     B  P  S      C  P  S     D  S  HD: Phương trình có hai nghiệm phân biệt   Khi đó, gọi nghiệm phương trình x1 x2 x  x  S  Do x1 x2 hai nghiệm âm nên  hay  Chọn C P   x1 x2  Câu 18 [ĐVH]: Phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm dương phân biệt khi:   A  P     B  P  S      C  P  S     D  S  HD: Phương trình có hai nghiệm phân biệt   Khi đó, gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 x  x  S  Do x1 x2 hai nghiệm dương nên  hay  Chọn B P   x1 x2  Câu 19 [ĐVH]: Phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm trái dấu khi:     A  B  C P  S  S  HD: Phương trình có hai nghiệm phân biệt   Khi đó, gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 D P  Do x1 x2 hai nghiệm trái dấu nên x1 x2  hay P  c   ac     b  4ac  a Do đó, phương trình có hai nghiệm trái dấu P  Chọn C Mặt khác, P   Câu 20 [ĐVH]: Phương trình x  mx   có hai nghiệm âm phân biệt khi: A m  2 B m  C m  2 D m  m        m   Chọn A HD: Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  S   m  P  1    Câu 21 [ĐVH]: Có giá trị nguyên tham số m thuộc  5;5 để phương trình x  4mx  m  có hai nghiệm âm phân biệt ? A B C 10 D 11 3m     m    HD: Phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt  S    4m    m0 m  P  m    m   Do    m  1; 2;3; 4;5   Có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A m    5;5 Câu 22 [ĐVH]: Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình mx  x  m  có hai nghiệm âm phân biệt :    1  1 A m    ;0  B m    ;  C m   0;  D m   0;     2  2 m  a     1  4m      m  Chọn D HD: Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  S    m  P   1  Câu 23 [ĐVH]: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  2;6 để phương trình x  4mx  m  có hai nghiệm dương phân biệt Tổng phần tử S : A -3 B C 18 D 21 3m       HD: Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  S    4m  P  m    m  m    2;6   m    S   2; 1 Do đó, tổng phần tử S  Chọn A m m  Câu 24 [ĐVH]: Giá trị tham số m để phương trình x   m  1 x  m   có hai nghiệm dương phân biệt : A m   1;1   C m    ;     B m  1;   D m   ; 1    2m   m  1  HD: PT có hai nghiệm dương phân biệt   S   m  1   m  1  m  Chọn B   m  P  m 1    m  1 Câu 25 [ĐVH]: Phương trình  m  1 x  x   có hai nghiệm trái dấu : A m  B m  C m  D m  m   a     1  m  Chọn A HD: Phương trình cho có hai nghiệm trái dấu  P   m   Câu 26 [ĐVH]: Giả sử phương trình x   2m  1 x  m   ( m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 Tính giá trị biểu thức P  x1 x2   x1  x2  theo m A P  3m  10m  C P  3m  10m  B P  3m  10m  D P  3m  10m   x1 x2  m  HD: Theo định lý Viet, ta có   x1  x2  2m  Thay vào P, ta P   m     2m  1  3m  10m  Chọn C Câu 27 [ĐVH]: Giả sử phương trình x  x  m  ( m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 Tính giá trị biểu thức P  x12 1  x2   x22 1  x1  theo m A P  m  B P  5m  C P  m  2 2 HD: Ta có P  x1 1  x2   x2 1  x1   x1  x1 x2  x2  x22 x1 D P  5m   x12  x22  x1.x2 ( x1  x2 )   x1  x2   x1.x2  x1.x2  x1  x2  x  x  Theo định lý Viet, ta có   x1.x2  m Thay vào P, ta P  32    m     m   5m  Chọn B Câu 28 [ĐVH]: Giả sử phương trình x  4ax   có hai nghiệm x1 , x2 Tính giá trị biểu thức T  x1  x2 a2  4a  B T  4a  C T  HD: Vì x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  4ax   A T  D T   4a  Theo định lý Viet, ta có x1  x2       2a x1 x2     (1) Ta có T  x1  x2  T   x1  x2    x1  x2   x1 x2 (2) 2 a2   1 Từ (1) (2) suy T   2a       4a   T  4a   Chọn B  2 Câu 29 [ĐVH]: Cho phương trình x  px  q  p  0, q  Nếu hiệu nghiệm phương trình Khi p : A 4q  B 4q  C  4q  D q  HD: Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phương trình x  px  q  x  x   p  Theo định lý Viet, ta có  (vì p, q  )  x1 x2  q  (1) Từ giả thiết, ta có x1  x2    x1  x2     x1  x2   x1 x2  2 (2 ) Từ (1), (2) suy p  4q   p  4q   p  4q   Chọn A Câu 30 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x   2m  1 x  m   ( m tham số) Tìm giá trị nguyên m cho biểu thức P  A m  2 B m  1 HD: Ta có    2m  1   m  1  4m  x1 x2 có giá trị nguyên x1  x2 C m  D m  2 Để phương trình có hai nghiệm     m   x1  x2  2m  Theo định lý Viet, ta có  x x  m   Khi P  x1 x2 m  2m  5     P  2m   x1  x2 2m  4  2m  1 2m  nên 2m   Để P   ta phải có  2m  1 ước Suy 2m    m  Chọn D Do m  Câu 31 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x   m  1 x  m   ( m tham số) Tìm m để biểu thức P  x1 x2   x1  x2   đạt giá trị nhỏ A m  B m  C m  D m  12 HD: Ta có    m  1   m    2m  Để phương trình có hai nghiệm     m   x1  x2  2m  Theo định lý Viet, ta có   x1.x2  m    Khi P = x1 x - ( x1 + x ) - = m + - (2m + 2) - = (m - 2)2 -12 ³ -12 Dấu '' = '' xảy m  Chọn C Câu 32 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  2mx  m   ( m tham số) Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P  x1 x2  x1  x2  A Pmax  B Pmax  C Pmax  25 D Pmax  HD: Ta có   m   m     m  Để phương trình có hai nghiệm    m     m     x1  x2   m  Theo định lý Viet, ta có  m2  x x    Khi A  x1 x2  x1  x2   m  m    m   m  3    m   m  3  25 25  (do   m  )  m  m   m     2 4  Dấu '' = '' xảy m  Chọn C 2 Câu 33 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x   m  1 x  2m  3m   ( m tham số) Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P  x1  x2  x1 x2 A Pmax  C Pmax  B Pmax  D Pmax  HD: Ta có    m  1   2m  3m  1   m  m  m 1  m  16 Để phương trình có hai nghiệm      m   x1  x2   m  1 Theo định lý Viet, ta có   x1.x2  2m  3m  m 1  Khi P  x1  x2  x1.x2   m  1  2m  3m   m     m    2  16  2 2 1 1 1   Vì  m      m      m       m     4 4  16  16   2 9  1 1  1   Do P   m     2   m      2 m       16 4  4    16  Dấu '' = '' xảy m  Chọn C Câu 34 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  mx  m   ( m tham số) Tìm x1 x2  m để biểu thức P  đạt giá trị lớn x1  x22   x1 x2  1 A m  B m  C m  2 HD: Ta có   m   m  1   m    , với m Do phương trình ln có nghiệm với giá trị m x  x  m Theo định lý Viet, ta có   x1 x2  m  Suy x12  x22   x1  x2   x1 x2  m   m  1  m  2m  Khi P  x1 x2  2m   x  x2  2( x1 x2  1) m  2  m  1  0, m   2m  2m   m  Suy P   1   2 m 2 m 2 m 2 Do P  1, m   Dấu '' = '' xảy m  Chọn B D m  Câu 35 [ĐVH]: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  mx  m   ( m tham số) x1 x2  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P  x1  x22   x1 x2  1 B Pmin   C Pmin  2 HD: Ta có   m   m  1   m    , với m A Pmin  2 D Pmin  Do phương trình ln có nghiệm với giá trị m x  x  m Theo định lý Viet, ta có   x1 x2  m  Suy x12  x22   x1  x2   x1 x2  m   m  1  m  2m  Khi P  x1 x2  2m   x  x2   x1 x2  1 m  2 2m  1  2m  1  m   m   Suy P       0, m   m 2 2  m2    m2   Do P   , m   Dấu '' = '' xảy m   Chọn B Câu 36 [ĐVH]: Nếu m  n  nghiệm phương trình x  mx  n  tổng m  n : 1 A  B 1 C D 2 m  n   m  n   2m m  HD: Theo định lý Viet, ta có   Chọn B  n  0   m.n  n m  n   Câu 37 [ĐVH]: Giả sử nghiệm phương trình x  px  q  lập phương nghiệm phương trình x  mx  n  Mệnh đề sau ? A p  q  m B p  m  3mn C p  m  3mn p m D    q n HD: Giả sử phương trình x  px  q  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Và phương trình x  mx  n  có hai nghiệm phân biệt x3 , x4  x1  x33 Theo ra, ta có   x1  x2  x33  x43   x3  x4   x3  x4   x3 x4     x2  x4    x1  x2   p  Theo định lý Viet, ta có  x3  x4   m , thay vào   , ta  p   m  m  3n  x x  n  Vậy p  m  m  3n   m3  3mn Chọn C Câu 38 [ĐVH]: Cho hai phương trình x  2mx   x  x  m  Có hai giá trị m để phương trình nỳ có nghiệm nghịch đảo nghiệm phương trình Tính tổng S hai giá trị m 1 A S   B S  C S   D S  4 HD: Gọi x0 nghiệm phương trình x  2mx   Điều kiện: x0  Suy nghiệm phương trình x  x  m  x0  x02  2mx0    x02  2mx0     Khi đó, ta có hệ       m  mx0  x0   x x 0    1  2 m  Lấy 1    , ta x02 1  m   x0  m  1    m  1  x02  x0      x0   Với x0   thay vào 1 , ta     2m       m   Vậy tổng tất giá trị m cần tìm m1  m2     Chọn C 4 Câu 39 [ĐVH]: Cho hai phương trình x  mx   x  x  m  Có giá trị m để nghiệm phương trình nghiệm phương trình có tổng ? A B C D HD: Gọi x0 nghiệm phương trình x  mx   Suy  x0 nghiệm phương trình x  x  m   x02  mx0    x02  mx0    Khi đó, ta có hệ  2 m  x0  x0  15   x0     x0   m  1  2  x0  Chọn D Thay   vào 1 , ta x   x  x0  15  x0     x    2 Câu 40 [ĐVH]: Cho a, b, c, d số thực khác Biết c d hai nghiệm phương trình x  ax  b  a, b hai nghiệm phương trình x  cx  d  Tính giá trị biểu thức S  a  b  c  d 1  A S  2 B S  C S  D S  2 HD: Vì c, d hai nghiệm phương trình x  ax  b  suy c  d   a Vì a, b hai nghiệm phương trình x  cx  d  suy a  b   c c  d   a a  c   d Khi đó, ta có hệ    b  d a  b   c a  c   b a  c c  ac  b  Lại có    c2  a2  b  d   a2  c2   a  ca  d  a   c  Với a   c từ c  d   a   d  : mâu thuẫn giả thiết  Với a  c từ c  d   a   d   2c từ a  b   c   b   2c c  ac Ta có c  ac  b   2c  2c    b   2c c  Khi S  a  b  c  d  c  2c  c  2c   2c   2.1   Chọn A ... phương trình x  k 1 k 1 b) Phương trình: m  2m  1 x   3m   x   - Với m  phương trình có nghiệm x  1 - Với m  , phương trình có nghiệm x  - Với m  m  phương trình bậc hai có:... 2m  Để phương trình có hai nghiệm     m   x1  x2  2m  Theo định lý Viet, ta có   x1.x2  m    Khi P = x1 x - ( x1 + x ) - = m + - (2m + 2) - = (m - 2)2 -1 2 ³ -1 2 Dấu '' = ''... phương trình vơ nghiệm, suy hai parabol khơng có điểm chung Nếu m  3,5 phương trình có nghiệm (kép), suy hai parabol có điểm chung Nếu m  3,5 phương trình có hai nghiệm phân biệt, suy hai parabol